苏科版八年级下册数学期中模拟综合测试题(1)

一、选择题

1．一个不透明的盒子里有n个除颜色外其他完全相同的小球，其中有9个黄球，每次摸球前先将盒子里的球摇匀，任意摸出一个球记下颜色后再放回盒子，通过大量重复摸球实验后发现，摸到黄球的频率稳定在30%，那么估计盒子中小球的个数n为（ ） A．20

B．24

C．28

D．30

2．四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，给出下列四组条件：①AB∥CD，AD∥BC；②AB=CD，AD=BC；③AO=CO，BO=DO；④AB∥CD，AD=BC．其中一定能判断这个四边形是平行四边形的条件共有 A．1组

B．2组

C．3组

D．4组

3．一个事件的概率不可能是（ ） A．

3 2B．1 C．

2 3D．0

4．如图，由两个长为9，宽为3的全等矩形叠合而得到四边形ABCD，则四边形ABCD面积的最大值是（ ）

A．15 B．16 C．19 D．20

5．如图，▱ABCD的周长为22m，对角线AC、BD交于点O，过点O与AC垂直的直线交边AD于点E，则△CDE的周长为（ ）

A．8cm B．9cm C．10cm D．11cm

6．如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC的顶点A的坐标为（4，3），点D是边OC上的一点，点E在直线OB上，连接DE、CE，则DE+CE的最小值为（ ）

A．5

B．7+1 C．25 D．

24 57．在□ ABCD中，∠A=4∠D,则∠C的大小是（ ）

A．36° 长为（ ） A．13

B．45° C．120° D．144°

8．三角形两边长分别为3和6，第三边的长是方程x2﹣13x+36=0的两根，则该三角形的周

B．15

C．18

D．13或18

9．如图，正方形ABCD中，点E、F、H分别是AB、BC、CD的中点，CE、DF交于G，连接AG、HG，下列结论：①CE⊥DF；②AG=AD；③∠CHG=∠DAG；④HG=有( )

1AD．其中正确的2

A．① ② B．① ② ④ C．① ③ ④ D．① ② ③ ④

10．下列我国著名企业商标图案中，是中心对称图形的是（ ）

A． B． C． D．

二、填空题

11．在平面直角坐标系中，点P（5，﹣3）关于原点对称的点的坐标是___．

12．某口袋中有红色、黄色小球共40个，这些球除颜色外都相同．小明通过多次摸球试验后，发现摸到红球的频率为30%，则口袋中黄球的个数约为_____．

13．在一次数学测试中 ，某班50名学生的成绩分为六组，第一组到第四组的频数分别为6，8，9，12，第五组的频率是0.2 ，则第六组的频数是_______．

14．如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC的中点，F是线段DE上一点，连接AF，BF，若AB＝16，EF＝1，∠AFB＝90°，则BC的长为_____．

15．如图，AB∥CD，AB＝7，CD＝3，M、N分别是AC和BD的中点，则MN的长度_____．

116．如图，点A是一次函数yx(x0)图像上一点，过点A作x轴的垂线l，点B是l3上一点（B在A上方），在AB的右侧以AB为斜边作等腰直角三角形ABC，反比例函

k

(x0)的图像过点B、C，若OAB的面积为8，则ABC的面积是x

_________．

数y

17．如图，在菱形ABCD中，若AC＝24 cm，BD＝10 cm，则菱形ABCD的高为________cm．

18．若分式方程

xm2有增根，则m＝________. x11x19．如图，菱形ABCD的边长为6，∠ABC=60°，则对角线AC的长是 .

20．如图，在矩形ABCD中，AB5，BC12，点E是BC边上一点，连接AE，将

ABE沿AE折叠，使点B落在点B′处．当CEB为直角三角形时，BE__．

三、解答题

21．自2009年以来，“中国•兴化千垛菜花旅游节”享誉全国．“河有万湾多碧水，田无一垛不黄花”所描绘的就是我市发达的油菜种植业．为了解某品种油菜籽的发芽情况，农业部门从该品种油菜籽中抽取了6批，在相同条件下进行发芽试验，有关数据如表： 批次 油菜籽粒数 发芽油菜籽粒数 发芽频率 1 100 2 400 3 800 4 1000 5 2000 6 5000 a 0.850 318 0.795 652 0.815 793 0.793 1604 b 4005 0.801

（1）分别求a和b的值；

（2）请根据以上数据，直接写出该品种油菜籽发芽概率的估计值（精确到0.1）； （3）农业部门抽取的第7批油菜籽共有6000粒．请你根据问题（2）的结果，通过计算来估计第7批油菜籽在相同条件下进行发芽试验时的发芽粒数．

22．某文化用品商店用120元从某厂家购进一批套尺，很快销售一空；第二次购买时，该厂家回馈老客户，给予8折优惠，商店用100元购进第二批该款套尺，所购到的数量比第一批还多1套．

（1）求第一批套尺购进时的单价；

（2）若商店以每套5.5元的价格将第二批套尺全部售出，可以盈利多少元？

23．某校计划组织学生参加“书法”、“摄影”、“航模”、“围棋”四个课外兴趣小组，要求每人必须参加，并且只能选择其中一个小组．学校从全体学生中随机抽取部分学生进行问卷调查，并把调查结果制成如图所示的条形统计图和扇形统计图（部分信息未给出）．请你根据给出的信息解答下列问题： （1）求参加这次问卷调查的学生人数； （2）补全条形统计图；

（3）若该校共有1200名学生，请你过计算估计选择“围棋”课外兴趣小组的学生有多少人．

24．如图，四边形ABCD是正方形，点E是BC边上的动点（不与点B、C重合），将射线AE绕点A按逆时针方向旋转45°后交CD边于点F，AE、AF分别交BD于G、H两点． （1）当∠BEA＝55°时，求∠HAD的度数；

（2）设∠BEA＝α，试用含α的代数式表示∠DFA的大小；

（3）点E运动的过程中，试探究∠BEA与∠FEA有怎样的数量关系，并说明理由．

25．正方形ABCD中，点O是对角线DB的中点，点P是DB所在直线上的一个动点，PE⊥BC于E，PF⊥DC于F．

（1）当点P与点O重合时（如图①），猜测AP与EF的数量及位置关系，并证明你的结论；

（2）当点P在线段DB上（不与点D、O、B重合）时（如图②），探究（1）中的结论是否成立？若成立，写出证明过程；若不成立，请说明理由；

（3）当点P在DB的长延长线上时，请将图③补充完整，并判断（1）中的结论是否成立？若成立，直接写出结论；若不成立，请写出相应的结论．

26．在Rt△AEB中，∠AEB＝90°，以斜边AB为边向Rt△AEB形外作正方形ABCD，若正方形ABCD的对角线交于点O（如图1）．

（1）求证：EO平分∠AEB；

（2）猜想线段OE与EB、EA之间的数量关系为 （直接写出结果，不要写出证明过程）；

（3）过点C作CF⊥EB于F，过点D作DH⊥EA于H，CF和DH的反向延长线交于点G（如图2），求证：四边形EFGH为正方形．

1x22x1x227．化简求值：，其中x31 x1xxx28．解方程（1）2(x1)x1 （2）2x23x10（配方法）

2

【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除

一、选择题 1．D 解析：D 【详解】

试题解析：根据题意得

9=30%，解得n=30， n所以这个不透明的盒子里大约有30个除颜色外其他完全相同的小球． 故选D．

考点：利用频率估计概率．

2．C

解析：C 【解析】

如图，（1）∵AB∥CD，AD∥BC， ∴四边形ABCD是平行四边形； （2）∵AB∥CD， ∴∠ABC+∠BCD=180°， 又∵∠BAD=∠BCD，

∴∠BAD+∠ABC=180°， ∴AD∥BC，

∴四边形ABCD是平行四边形；

（3）∵在四边形ABCD中，AO＝CO，BO＝DO， ∴四边形ABCD是平行四边形；

（4）∵在四边形ABCD中，AB∥CD，AD＝BC， ∴四边形ABCD可能是等腰梯形，也可能是平行四边形；

综上所述，上述四组条件一定能判定四边形ABCD是平行四边形的有3组. 故选C.

3．A

解析：A 【分析】

根据概率的意义知，一件事件的发生概率最大是1，所以只有A项是错误的，即找到正确选项． 【详解】

∵必然事件的概率是1，不可能事件的概率为0， ∴B、C、D选项的概率都有可能， ∵

3＞1， 2∴A不成立． 故选：A． 【点睛】

本题主要考查了概率的定义，正确把握各事件的概率是解题的关键.

4．A

解析：A 【解析】

如图1，作AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，

，

∵AD∥BC,AB∥CD，

∴四边形ABCD是平行四边形， ∵两个矩形的宽都是3， ∴AE=AF=3，

∵S四边形ABCD=AE⋅BC=AF⋅CD， ∴BC=CD，

∴平行四边形ABCD是菱形． 如图2，

，

设AB=BC=x，则BE=9−x， ∵BC=BE+CE， ∴x2=(9−x)2+32， 解得x=5，

∴四边形ABCD面积的最大值是： 5×3=15. 故选A.

2

2

2

5．D

解析：D 【解析】 【分析】

由平行四边形的性质可得AB＝CD，AD＝BC，AO＝CO，可得AD+CD＝11cm，由线段垂直平分线的性质可得AE＝CE，即可求△CDE的周长＝CE+DE+CD＝AE+DE+CD＝AD+CD＝11cm． 【详解】

解：∵四边形ABCD是平行四边形 ∴AB＝CD，AD＝BC，AO＝CO， 又∵EO⊥AC， ∴AE＝CE，

∵▱ABCD的周长为22cm， ∴2（AD+CD）＝22cm ∴AD+CD＝11cm

∴△CDE的周长＝CE+DE+CD＝AE+DE+CD＝AD+CD＝11cm 故选：D． 【点睛】

本题考查了平行四边形的性质，线段垂直平分线的性质，熟练运用平行四边形的性质是本题的关键．

6．D

解析：D 【解析】 【分析】

首先根据菱形的对角线性质得到DE+CE的最小值=CF,再利用菱形的面积列出等量关系即可解题. 【详解】

解：如下图,过点C作CF⊥OA与F,交OB于点E,过点E作ED⊥OC与D, ∵四边形OABC是菱形,由菱形对角线互相垂直平分可知EF=ED, ∴DE+CE的最小值=CF, ∵A的坐标为（4，3）， ∴对角线分别是8和6,OA=5,

∴菱形的面积=24,（二分之一对角线的乘积）, 5, 即24=CF×解得：CF=

24, 524, 5即DE+CE的最小值=故选D.

【点睛】

本题考查了菱形的性质,图形中的最值问题,中等难度,利用菱形的对称性找到点E的位置并熟悉菱形面积的求法是解题关键.

7．D

解析：D 【解析】 【分析】

由四边形ABCD是平行四边形可知∠A+∠D=180°，结合∠A=4∠D，可求出∠D的值，从而可求出∠C的大小. 【详解】

∵四边形ABCD是平行四边形， ∴∠A+∠D=180°， ∵∠A=4∠D， ∴4∠D +∠D=180°，

∴∠D=36°，

∴∠C=180°-36°=144°. 故选D. 【点睛】

本题考查了平行四边形的性质，熟练掌握平行四边行的性质是解答本题的关键.平行四边形的性质有：平行四边形对边平行且相等；平行四边形对角相等，邻角互补；平行四边形对角线互相平分.

8．A

解析：A 【解析】

试题解析：解方程x2-13x+36=0得， x=9或4，

即第三边长为9或4．

边长为9，3，6不能构成三角形； 而4，3，6能构成三角形， 所以三角形的周长为3+4+6=13， 故选A．

考点：1．解一元二次方程-因式分解法；2．三角形三边关系．

9．D

解析：D 【详解】

∵四边形ABCD是正方形， ∴AB=BC=CD=AD，∠B=∠BCD=90°， ∵点E、F、H分别是AB、BC、CD的中点， ∴△BCE≌△CDF， ∴∠ECB=∠CDF， ∵∠BCE+∠ECD=90°， ∴∠ECD+∠CDF=90°， ∴∠CGD=90°， ∴CE⊥DF，故①正确；

在Rt△CGD中，H是CD边的中点， ∴HG=

11CD=AD，故④正确； 22连接AH，

同理可得：AH⊥DF， ∵HG=HD=

1CD， 2∴DK=GK， ∴AH垂直平分DG，

∴AG=AD，故②正确； ∴∠DAG=2∠DAH， 同理：△ADH≌△DCF， ∴∠DAH=∠CDF， ∵GH=DH， ∴∠HDG=∠HGD，

∴∠GHC=∠HDG+∠HGD=2∠CDF， ∴∠CHG=∠DAG．故③正确． 故选D． 【点睛】

运用了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质以及垂直平分线的性质等知识．此题综合性很强，难度较大，解题的关键是注意数形结合思想的应用．

10．B

解析：B 【解析】 【分析】

根据把一个图形绕某一点旋转180°,如果旋转后的图形能够与原来的图形重合,那么这个图形就叫做中心对称图形,这个点叫做对称中心进行分析即可 【详解】

A.不是中心对称图形,故此选项错误 B.是中心对称图形,故此选项正确; C.不是中心对称图形,故此选项错误 D.不是中心对称图形,故此选项错误; 故选B 【点睛】

此题考查中心对称图形，难度不大

二、填空题

11．（﹣5， 3） 【详解】

解：关于原点对称的点的坐标是横、纵坐标都互为相反数，从而点P（5，﹣3）关于原点对称的点的坐标是（﹣5， 3）． 故答案为: （﹣5， 3）．

解析：（﹣5， 3） 【详解】

解：关于原点对称的点的坐标是横、纵坐标都互为相反数，从而点P（5，﹣3）关于原点对称的点的坐标是（﹣5， 3）． 故答案为: （﹣5， 3）．

12．28 【分析】

在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，所以用黄球的频率乘以总球数求解． 【详解】 解：根据题意得：

40×（1﹣30%）＝28（个） 答：口袋中黄球的个

解析：28 【分析】

在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，所以用黄球的频率乘以总球数求解． 【详解】 解：根据题意得： 40×（1﹣30%）＝28（个） 答：口袋中黄球的个数约为28个． 故答案为：28． 【点晴】

考查利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率．用到的知识点为：频率=所求情况数与总情况数之比．

13．5 【详解】

解：一个容量为50的样本，把它分成6组，第一组到第四组的频数分别为6，8，9，12，根据第五组的频率是0.2，求出第五组的频数，用样本容量减去前五组的频数，得到第六组的频数是50-6-

解析：5 【详解】

解：一个容量为50的样本，把它分成6组，第一组到第四组的频数分别为6，8，9，12，根据第五组的频率是0.2，求出第五组的频数，用样本容量减去前五组的频数，得到第六组的频数是50-6-8-9-10-12=5． 考点：频数与频率

14．18 【分析】

根据直角三角形的性质得到DF＝8，根据EF＝1，得到DE＝9，根据三角形中位线定理解答即可． 【详解】

解：∵∠AFB＝90°，点D是AB的中点，

∴DF＝AB＝8， ∵EF＝1，

解析：18 【分析】

根据直角三角形的性质得到DF＝8，根据EF＝1，得到DE＝9，根据三角形中位线定理解答即可． 【详解】

解：∵∠AFB＝90°，点D是AB的中点， ∴DF＝

1AB＝8， 2∵EF＝1， ∴DE＝9，

∵D、E分别是AB，AC的中点， ∴BC＝2DE＝18， 故答案为：18 【点睛】

本题考查的是三角形中位线定理、直角三角形的性质，掌握三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半是解题的关键．

15．2 【分析】

连接并延长DM交AB于E，证明△AME≌△CMD，根据全等三角形的性质得到AE＝CD＝3，DM＝ME，求出BE，根据三角形中位线定理计算即可． 【详解】

连接并延长DM交AB于E，

解析：2 【分析】

连接并延长DM交AB于E，证明△AME≌△CMD，根据全等三角形的性质得到AE＝CD＝3，DM＝ME，求出BE，根据三角形中位线定理计算即可． 【详解】

连接并延长DM交AB于E，

∵AB∥CD， ∴∠C＝∠A，

在△AME和△CMD中，

AC， AMCMAMECMD∴△AME≌△CMD（ASA） ∴AE＝CD＝3，DM＝ME， ∴BE＝AB﹣AE＝4， ∵DM＝ME，DN＝NB， ∴MN是△DEB的中位线， ∴MN＝

1BE＝2， 2故答案为：2． 【点睛】

本题考查的是三角形中位线定理、全等三角形的判定和性质，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键．

16．【分析】

过作轴于，交于，设，根据直角三角形斜边中线是斜边一半得：，设，则，，因为．都在反比例函数的图象上，列方程可得结论． 【详解】

如图，过作轴于，交于． ∵轴 ∴，

∵是等腰直角三角形， 解析：

16 3【分析】

过C作CDy轴于D，交AB于E，设AB2a，根据直角三角形斜边中线是斜边一半得：BEAECEa，设Ax,111x，则Bx,x2a，Cxa,xa，因为333B．C都在反比例函数的图象上，列方程可得结论．

【详解】

如图，过C作CDy轴于D，交AB于E．

∵ABx轴 ∴CDAB，

∵ABC是等腰直角三角形， ∴BEAECE，

设AB2a，则BEAECEa，

111Ax,xBx,x2aCxa,xa， 设，则，333∵B，C在反比例函数的图象上，

11xx2a(xa)∴xa， 33解得x3a， 211ABDE2ax8， 22∵SOAB∴ax8， ∴

32a8， 22∴a16， 311ABCE2aaa2 22∵SABC16 3故答案为：【点睛】

16． 3本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征、等腰直角三角形的性质、三角形面积，熟练掌握反比例函数上的点符合反比例函数的关系式是关键．

17．【分析】

先根据菱形的面积=两条对角线积的一半得出面积，再求出菱形的边长，由面积即可得出菱形的高．

【详解】

解：作DE⊥AB于E，如图所示：

∵四边形ABCD是菱形，对角线AC=24，BD=1 解析：

120 13【分析】

先根据菱形的面积=两条对角线积的一半得出面积，再求出菱形的边长，由面积即可得出菱形的高． 【详解】

解：作DE⊥AB于E，如图所示：

∵四边形ABCD是菱形，对角线AC=24，BD=10， ∴AC⊥BD，OA=

11AC=12，OB=BD=5， 2211AC·BD=×24×10=120， 22菱形ABCD的面积=

AB=122+52=13，

又∵菱形ABCD的面积=AB·DE=120， ∴DE=

120， 13120． 13故答案为：【点睛】

本题考查了菱形的性质、勾股定理、菱形面积的计算；根据菱形的性质由勾股定理求出边长是解题的关键．

18．－1 【分析】

首先根据分式方程的解法求出x的值，然后根据增根求出m的值． 【详解】

解：解方程可得：x=m+2， 根据方程有增根， 则x=1，

即m+2=1， 解得：m=－1． 故答案为：-1 【

解析：－1 【分析】

首先根据分式方程的解法求出x的值，然后根据增根求出m的值． 【详解】

解：解方程可得：x=m+2， 根据方程有增根， 则x=1， 即m+2=1， 解得：m=－1． 故答案为：-1 【点睛】

本题考查分式方程的增根，掌握增根的概念是本题的解题关键．

19．6 【分析】

由菱形的性质可得AB=BC，再由∠ABC=60°得△ABC为等边三角形即可求得答案． 【详解】

根据菱形的性质可得AB=BC=6， ∵∠ABC=60°， 则△ABC为等边三角形，

解析：6 【分析】

由菱形的性质可得AB=BC，再由∠ABC=60°得△ABC为等边三角形即可求得答案． 【详解】

根据菱形的性质可得AB=BC=6， ∵∠ABC=60°， 则△ABC为等边三角形， 则AC=AB=6， 故答案为：6． 【点睛】

本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定与性质，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题

的关键．

20．或5 【分析】

当△CEB′为直角三角形时，有两种情况：①当点B′落在矩形内部时，如图1所示．连结AC，先利用勾股定理计算出AC=13，根据折叠的性质得∠AB′E=∠B=90°，而当△CEB′为直角

10或5 3【分析】

解析：

当△CEB′为直角三角形时，有两种情况：①当点B′落在矩形内部时，如图1所示．连结AC，先利用勾股定理计算出AC=13，根据折叠的性质得∠AB′E=∠B=90°，而当△CEB′为直角三角形时，只能得到∠EB′C=90°，所以点A、B′、C共线，即ΔABE沿AE折叠，使点B落在对角线AC上的点B′处，则EB=EB′，AB=AB′=5，可计算出CB′=8，设BE=a，则EB′=a，CE=12-a，然后在Rt△CEB′中运用勾股定理可计算出a．②当点B′落在AD边上时，如图2所示．此时ABEB′为正方形． 【详解】

当△CEB′为直角三角形时，有两种情况： ①当点B′落在矩形内部时，如图1所示， 连结AC，

在Rt△ABC中，AB=5，BC=12， ∴AC=52122=13，

∵将ΔABE沿AE折叠，使点B落在点B′处， ∴∠AB′E=∠B=90°，

当△CEB′为直角三角形时，只能得到∠EB′C=90°，

∴点A、B′、C共线，即将ΔABE沿AE折叠，使点B落在对角线AC上的点B′处，设：

BEaB'E，则CE12a，ABAB'5， B'CACAB'1358，

由勾股定理得：12aa282， 解得：a210； 3②当点B′落在AD边上时，如图2所示， 此时ABEB′为正方形，∴BE=AB=5， 综上所述，BE的长为故答案为

10或5， 310或5． 3【点睛】

本题考查了矩形的性质，折叠问题，勾股定理等知识，熟练掌握折叠前后两图形全等，即对应线段相等；对应角相等是解题的关键.注意本题有两种情况，需要分类讨论，避免漏解．

三、解答题

21．（1）a【分析】

（1）用油菜籽粒数乘以发芽频率求得a的值，用发芽油菜籽粒数除以油菜籽总数即可求得b的值．

（2）观察大量重复试验发芽的频率稳定到哪个常数附近即可用哪个数表示发芽概率． （3）用油菜籽总数乘以发芽概率即可求得发芽粒数． 【详解】

（1）a1000.85085，b85，b0.802；（2）0.8；（3）4800

16040.802； 2000（2）∵观察表格发现发芽频率逐渐稳定到0.8附近， ∴该品种油菜籽发芽概率的估计值为0.8； （3）60000.8=4800，

故估计第7批油菜籽在相同条件下进行发芽试验时的发芽粒数为4800． 【点睛】

本题考查统计与概率，解题关键在于信息筛选能力，对频率计算公式的理解，其次注意计算仔细即可．

22．（1）第一批套尺购进时单价为5元；（2）可以盈利37.5元． 【分析】

（1）设第一批套尺购进时单价为x元，则第二批套尺购进时单价为0.8x元，根据数量＝总价÷单价结合第二次购进的数量比第一批多1套，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论；

（2）利用单价＝总价÷数量可求出第二批套尺购进时的单价，再利用总利润＝单套利润×销售数量（购进数量），即可求出结论． 【详解】

解：（1）设第一批套尺购进时单价为x元，则第二批套尺购进时单价为0.8x元，

1001201， 0.8xx解得：x＝5，

依题意，得：

经检验，x＝5是原方程的解，且符合题意． 答：第一批套尺购进时单价为5元．

（2）第二批套尺购进时单价为5×0.8＝4（元）． 全部售出后的利润为（5.5﹣4）×[100÷4]＝37.5（元）． 答：可以盈利37.5元． 【点睛】

本题考查的是分式方程的应用，掌握寻找相等关系列分式方程是解题的关键． 23．（1）150人；（2）见解析；（3）192人 【分析】

（1）根据书法小组的人数及其对应百分比可得总人数；

（2）根据各小组人数之和等于总人数求得航模人数，从而补全图形； （3）总人数乘以样本中围棋的人数所占百分比即可． 【详解】

（1）参加这次问卷调查的学生人数为：30÷20%=150（人）；

（2）航模的人数为150﹣(30+54+24)=42（人），补全条形统计图如下：

（3）该校选择“围棋”课外兴趣小组的学生有：1200×【点睛】

24×100%=192（人）． 150本题考查了条形统计图和扇形统计图，用样本估计总体，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．

24．（1）10°；（2）DFA135；（3）∠BEA＝∠FEA，理由见解析 【分析】

（1）根据正方形的性质和三角形的内角和解答即可； （2）根据正方形的性质和三角形内角和解答即可；

（3）延长CB至I，使BI＝DF，根据全等三角形的判定和性质解答即可． 【详解】

解：（1）∵四边形ABCD是正方形， ∴∠EBA＝∠BAD＝90°，

∴∠EAB＝90°﹣∠BAE＝90°﹣55°＝35°，

∴∠HAD＝∠BAD﹣∠EAF﹣∠EAB＝90°﹣45°﹣35°＝10°；

（2）∵四边形ABCD是正方形， ∴∠EBA＝∠BAD＝∠ADF＝90°， ∴∠EAB＝90°﹣∠BAE＝90°﹣α，

∴∠DAF＝∠BAD﹣∠EAF﹣∠EAB＝904590＝45， ∴∠DFA＝90°﹣∠DAF＝9045＝135°﹣α； （3）∠BEA＝∠FEA，理由如下：

延长CB至I，使BI＝DF，连接AI． ∵四边形ABCD是正方形， ∴AD＝AB，∠ADF＝∠ABC＝90°， ∴∠ABI＝90°， 又∵BI＝DF，

∴△DAF≌△BAI（SAS）， ∴AF＝AI，∠DAF＝∠BAI，

∴∠EAI＝∠BAI+∠BAE＝∠DAF+∠BAE＝45°＝∠EAF， 又∵AE是△EAI与△EAF的公共边， ∴△EAI≌△EAF（SAS）， ∴∠BEA＝∠FEA． 【点睛】

本题主要考查正方形的性质、三角形外角性质及全等三角形，关键是根据正方形的性质及外角和性质得到角之间的关系，然后求解．

25．（1）AP=EF，AP⊥EF，理由见解析；（2）仍成立，理由见解析；（3）仍成立，理由见解析； 【解析】 【分析】

（1）正方形中容易证明∠MAO=∠OFE=45°，∠AMO=∠EOF=90°，利用AAS证明△AMO≌△FOE.(2) （3）按照（1）中的证明方法证明△AMP≌△FPE（SAS），结论依然成立. 【详解】

解：（1）AP=EF，AP⊥EF，理由如下： 连接AC，则AC必过点O，延长FO交AB于M；

∵OF⊥CD，OE⊥BC，且四边形ABCD是正方形， ∴四边形OECF是正方形， ∴OM=OF=OE=AM，

∵∠MAO=∠OFE=45°，∠AMO=∠EOF=90°， ∴△AMO≌△FOE（AAS），

∴AO=EF，且∠AOM=∠OFE=∠FOC=45°，即OC⊥EF， 故AP=EF，且AP⊥EF．

（2）题（1）的结论仍然成立，理由如下： 延长AP交BC于N，延长FP交AB于M；

∵PM⊥AB，PE⊥BC，∠MBE=90°，且∠MBP=∠EBP=45°， ∴四边形MBEP是正方形， ∴MP=PE，∠AMP=∠FPE=90°；

又∵AB﹣BM=AM，BC﹣BE=EC=PF，且AB=BC，BM=BE， ∴AM=PF，

∴△AMP≌△FPE（SAS）， ∴AP=EF，∠APM=∠FPN=∠PEF, ∵∠PEF+∠PFE=90°，∠FPN=∠PEF， ∴∠FPN+∠PFE=90°，即AP⊥EF， 故AP=EF，且AP⊥EF．

（3）题（1）（2）的结论仍然成立；

如右图，延长AB交PF于H，证法与（2）完全相同．

【点睛】

利用正方形，等腰三角形，菱形等含等边的特殊图形，不管其他条件如何变化，等边作为证明等边三角形的隐含条件，证明三角形的全等，是证明此类问题的关键. 26．（1）求证见解析；（2）2OE＝EB+EA；（3）见解析． 【分析】

（1）延长EA至点F，使AF＝BE，连接OF，由SAS证得△OBE≌△OAF，得出OE＝OF，∠BEO＝∠AFO，由等腰三角形的性质与等量代换即可得出结论； （2）判断出△EOF是等腰直角三角形，根据勾股定理即可得出结论；

（3）先根据ASA证得△ABE≌△ADH，△ABE≌△BCF，△ADH≌△DCG，△DCG≌△CBF，得出FG＝EF＝EH＝HG，再由∠F＝∠H＝∠AEB＝90°，由此可得出结论． 【详解】

（1）证明：延长EA至点F，使AF＝BE，连接OF，如图所示：

∵四边形ABCD是正方形， ∴∠BOA＝90°，OB＝OA， ∵∠AEB＝90°，

∴∠OBE+∠OAE＝360°﹣90°﹣90°＝180°， ∵∠OAE+∠OAF＝180°，

∴∠OBE＝∠OAE，在△OBE与△OAF中，

OB0AOBEOAF， BEAF∴△OBE≌△OAF（SAS）， ∴OE＝OF，∠BEO＝∠AFO， ∴∠AEO＝∠AFO， ∴∠BEO＝∠AEO， ∴EO平分∠AEB；

（2）解：2OE＝EB+EA，理由如下： 由（1）得：△OBE≌△OAF， ∴OE＝OF，∠BOE＝∠AOF， ∵∠BOE+∠AOE＝90°， ∴∠AOF+∠AOE＝90°， ∴∠EOF＝90°，

∴△EOF是等腰直角三角形， ∴2OE2＝EF2， ∵EF＝EA+AF＝EA+EB， ∴2OE2＝（EB+EA）2， ∴2OE＝EB+EA， 故答案为：2OE＝EB+EA； （3）证明：∵CF⊥EB，DH⊥EA， ∴∠F＝∠H＝∠AEB＝90°， ∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝AD，∠BAD＝90°，

∴∠EAB+∠DAH＝90°，∠EAB+∠ABE＝90°，∠ADH+∠DAH＝90°， ∴∠EAB＝∠HDA，∠ABE＝∠DAH． 在△ABE与△ADH中，

EABHDA， ABADABEDAH∴△ABE≌△ADH（ASA）， ∴BE＝AH，AE＝DH，

同理可得：△ABE≌△BCF，△ADH≌△DCG，△DCG≌△CBF， ∴BE＝CF，AE＝BF，AH＝DG，DH＝CG，DG＝CF，CG＝BF， ∴CG+FC＝BF+BE＝AE+AH＝DH+DG， ∴FG＝EF＝EH＝HG， ∵∠F＝∠H＝∠AEB＝90°， ∴四边形EFGH为正方形．

【点睛】

本题是四边形综合题，主要考查了正方形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、等腰直角三角形的判定与性质、角平分线定义等知识；熟练掌握正方形的判定和性质，作辅助线构建全等三角形是解题的关键． 27．

13； x13【分析】

通分合并同类项，再约分，代入求值． 【详解】

x21x1原式2 xx(x1)2x1代入得原式【点睛】

本题考查分式的化简求值，分式混合运算要注意先去括号；分子、分母能因式分解的先因式分解；除法要统一为乘法运算． 28．（1）x11，x2【分析】

（1）移项，提取公因式x1，利用因式分解法求解即可；

（2）移项，方程左右两边同时除以2后，两边都加上一次项系数一半的平方，左边化为完全平方式，右边合并为一个非负常数，开方转化为两个一元一次方程来求解． 【详解】

2（1）2(x1)x1，

13． 311311；（2）x11，x2 22移项得：2(x1)(x1)0， 提取公因式x1得：(x1)(2x1)0， 可得：x10或2x10，

2，x2解得：x111； 2（2）2x23x10， 原方程化为：x231x， 22223213133配方得：x2x，即(x)，

4162244开方得：x31， 441． 2，x2解得：x11【点睛】

本题考查了解一元二次方程-因式分解法及配方法，能把一元二次方程转化成一元一次方程是解此题的关键．