六年级奥数培训教材

目 录

第1讲 定义新运算

第2讲 第3讲 第4讲 第5讲 第6讲 第7讲 第8讲 ;

第9讲 第10讲 第11讲 第12讲 第13讲 第14讲 第15讲 第16讲 简单的二元一次不定方程 分数乘除法计算 分数四则混合运算 估算

分数乘除法的计算技巧 简单的分数应用题（1）

较复杂的分数应用题（2） 阶段复习与测试（略）

简单的工程问题 圆和扇形

简单的百分数应用题 分数应用题复习 综合复习（略） 测试（略）

复杂的利润问题（2）

第一讲 定义新运算

:

在加.减.乘.除四则运算之外，还有其它许多种法则的运算。在这一讲里，我们学习的新运算就是用“ #”“*”“Δ”等多种符号按照一定的关系“临时”规定的一种运算法则进行的运算。

例1：如果A*B=3A+2B，那么7*5的值是多少

例2：如果A#B表示

AB 照这样的规定，6#（8#5）的结果是多少 3 }

例3：规定XYXY 求2Δ10Δ10的值。

XY

例4：设M*N表示M的3倍减去N的2倍，即M*N=3M-2N

（1） 计算（14 *10）*6

（2） 计算 （

,

831*） *（1 *） 2

例5：如果任何数A和B有A¤B=A×B-（A+B）

求（1）10¤7 （2）（5¤3）¤4

（3）假设2¤X=1求X

，

例6：设P∞Q=5P+4Q，当X∞9=91时，1/5∞（X∞ 1/4）的值是多少

例7：规定X*Y=

>

AXY，且5*6=6*5则（3*2）*（1*10）的值是多少 XY

例8：▽表示一种运算符号，它的意义是XY已知2111 XY（XA）（YA）112 那么20088▽2009= 2（21）（1A）3

\\

巩固练习

1、已知2▽3=2+22+222=246； 3▽4=3+33+333+3333=3702；按此规则类推

（1） 3▽2 （2）5▽3

<

（3）1▽X=123，求X的值

2、已知1△4=1×2×3×4；5△3=5×6×7

计算（1）（4△2）+（5△3） （2）（3△5）÷（4△4）

；

3、如果A*B=3A+2B，那么

（1）7*5的值是多少 （2）（4*5）*6 （3）（1*5）*（2*4）

4、如果A>B，那么｛A，B｝=A；如果A&

5、N为自然数，规定F（N）=3N-2 例如F（4）=3×4-2=10

试求：F（1）+F（2）+F（3）+F（4）+F（5）+……+F（100）的值

6、如果1=1！

1×2=2！ 1×2×3=3！

、

……

1×2×3×4×……×100=100!

那么1！+2！+3！+……+100！的个位数字是几

（第四届小学生“迎春杯”数学决赛试题）

7、若“+、-、×、÷、=、（）”的意义是通常情况，而式子中的“5”却相当于“4”。

下面四个算式（1）8×7=8

（2）7×7×7=6 ~ （3）（7+8+3）×9=39

（4）3×3=3

那么应该是我们通常的哪四个算式

8、如果2*4=2×3×4×5 5*3=5×6×7，请按此规定计算

（1）（3*4）-（5*3） （2）（4*4）÷（3*3）

9、规定（25）=2+5=7 （123）=1+2+3=6 （65）=6+5=（11）=1+1=2 、

则计算（1）（5） （2）（92045）+（90÷5）÷（12）

10、规定=2×2×2×2×2×2表示成F（）=6；

243=3×3×3×3×3表示成G（243）=5；试求下面各题的值

（1） F（128）= ( )

（2） F（16）= G（ ） （3） F（ ）+ G( 27 )=6

…

11、如果1=1！

1×2=2！ 1×2×3=3！

……

试计算（1）5！ （2）X！=5040，求X

12、有一种运算符号“＆”使下列算式成立

2＆3=7 5＆3=13 4＆5=13 9＆7=25 求995 ＆ 9=

(

13、A*B=

14、对于任意的整数X、Y定义新运算“￥”X￥Y=如果1￥2=2，那么2￥9=

AB 在X*（5*1）=6中，X的值是多少 AB6XY（其中M是一个固定的值）

MX2Y第二讲 二元一次不定方程

)

一、学习目标：掌握用奇偶性、最值和尾数特点来解答不定方程。

二、基础知识：我们知道，一般的一个方程只能解答一个未知数，而有的题目却必须设两个未知数，且列不出两个方程，类似这样的方程我们称之为二元一次不定方程。

在我们研究不定方程的解时，常常会附有其他一些条件，有的条件是明显的，也有隐蔽的，但它们对解题至关重要，这就需要我们在解题过程中酌情进行讨论。

三、例题解析： （一）基本方法

例1、小明要买一只4元9角的钢笔，他手上有贰角和伍角的硬币各10枚，请问他可以怎样付钱

分析：本题可以用多种方法解答，这里用不定方程来解。

设小明付了X枚贰角和Y枚伍角 列方程，得2X+5Y=49

方法一 … 1、利用奇偶性。49是奇数，2X是偶数，那么5Y必定是奇数。这样，Y只能取1，3，5，7，9这五个数。

2、利用最值：所付钱中贰角和伍角的都有，而X至多为10，那么5Y不小于49—2×19=29，这样，可得Y大于6。

方法二 观察系数的特点，利用尾数（个位数）解答。

~

由例1可以看出，对于二元一次不定方程，尽量缩小未知数的取值范围，再求解。

不定方程常常利用奇偶性，最值和尾数来帮助解决

例2、大汽车能容纳人，小汽车能容纳36人，现有378人要乘车，问要大、小汽车各几辆才能使每个人都能上车且各车都正好坐满。为了便于管理，要求车辆数最少，应该选择哪个方案

分析：解答不定方程时，能够把方程化简就尽量化简。注意加了条件以后，答案的变化。

试一试：一个同学把他生日的月份乘以31，日期乘以12，然后加起来的和是170，你知道他出生于几月几日

^

例3、现有铁矿石73吨，计划用载重量分别为7吨和5吨的两种卡车一次运走，且每辆车都要装满，已知载重量7吨的卡车每台车运费65元，载重量5吨的卡车每台车运费50元，问需用两种卡车各多少台运费最省

分析：根据条件用不定方程可以求出卡车的台数，但是要注意问题求运费最省。 \" 例4 、一个同学发现自己1991年的年龄正好等于他出生那一年的年份的各位数字之和，请问这个学生1991年时多少岁

分析与解：设他出生于19XY年，那么

1991—19XY=1+9+X+Y

1991—（1900+10X+Y）=10+X+Y

91—10X—Y=10+X+Y

（二）能力拓展

例5、一辆匀速行驶的汽车，起初看路标上的数字是一个两位数xy,过了一小时路标上的数字变为yx，又行驶了一小时路标上的数字是一个三位数x0y,求每次看到的数字和汽车的速度。

分析：路标上的数字是累计数。由于汽车是匀速行驶，因此汽车在单位时间里行驶的路程是相等的，根据这个关系可以列出方程。

:

试一试：一个两位数，如果把数字1放在它前面可得一个三位数，放在它后面也可得一个三位数。已知这两个三位数之差为414，求原来的两位数。

例6、如下图，一个长方体的长、宽、高的长度都是质数，且长＞宽＞高，将这个长方体横切两刀，竖切两刀，得到9个长方体，这9个长方体表面积之和比原来长方体表面积之和多624平方厘米，求原来长方体的体积。

分析与解：设长方体的长、宽、高分别为a、b、c，分析可得，横切两刀，增加了4ab的面积，竖切两刀增加了4ac的面积，所以可列方程：4ab+4ac=624。

三个未知数的不定方程一般采用分解质因数的方法解答。

#

练习

一、基本题

1、求方程6x+9y=87的自然数解。 ; 2、求方程2x+5y=24的自然数解

3、大客车有48个座位，小客车有30个座位。现在有306名旅客，要使每位旅客都有座位而且不空出座位来，需要大、小客车各几辆

4、装饼干的盒子有大、小两种，大盒每盒要11元，小盒每盒要8元，妈妈用了元，问大小盒子各买了多少个

~

5、一个两位数，交换个位和十位上的数字，就得到一个新的两位数，已知新两位数比原两位数多，求原来的两位数。

6、一个两位数，各位数字之和的6倍比原数大3，求这个两位数。 ?

7、一个商人将弹子放进两种盒子里，每个大盒子装12个，每个小盒子装5个，恰好装完。如果弹子数为99，盒子数大于10，问两种盒子各有多少个

二、综合题

8、在一个两位质数的两个数字之间，添上数字6以后，所得的三位数比原数大870，那么原数是多少

#

9、会场里有两座和四座的两种长椅若干把。现有一个班的学生（不足70人）

来开会。一部分学生一人坐一把两座的长椅，其余的同学每三人坐一把四座的长椅。结果平均每个学生坐个座位。求有多少个学生

|

思考题

10、有一个长方体，它的正面和上面的面积之和是209，如果它的长、宽、高都是质数，那么这个长方体的体积是多少

第三讲 分数乘除法计算

分数乘除法的计算方法用字母表示为：

,

bdbd（a，c都不等于0）； acacbdbcbc（a，c都不等于0）。 acadad一、课前准备：

1、 计算下列各题：

513375927（1）÷10÷ （2）＋÷ （3）÷×

336751518735

217555213（3）÷9÷ （4）÷× （6）÷（+）

8122435{

2、在□或〇里填上合适的数字或符号，并说明使用了什么运算定律 167

（1） 25×7 ×8 = ×( × ) 528

（2） 8 ×3 ×15 =( × )× 229

（3） 29 ×(15×31 )= ×( × ) 3

（4） 2 ×4= × + × 7

（5） 7×8 = × 〇 × （6） ：

4

15 ×25= × 〇 × （7）

85

（8） ×(9 - 6 )= × 〇 ×

二、例题讲解 例1：计算：⑴

441537； ⑵27。 45241与1只相差，如果把写45【分析】认真观察这两道题的数学特点：第(1)题中的成(11)的差与37相乘，再运用乘法分配律就能简化运算了。同样，第（2）题中的4527可以写成（26+1）。

|

练习：“挑战自己！”比一比，看一看，谁的方法最巧妙

2125 263 × 5 325 ×6

例2：计算：2741

分析仔细观察因数的特点可知，27可转化为9，这样就可以利用乘法的分配律进行简算了。

！

153515312114练习：计算：2316

7137713

例3：计算：925527

9797【分析】把几个分数的和作为一个整体去处理，往往会使计算简便得多。在本题中，把

11与的和作为一个数来参与运算，使计算中只含有乘除法。再利用乘法的交换律、79结合律就可以很快算出结果。 例4：计算：⑴1661200341；⑵20032003。 2020041分成一个4120【分析】同学们都会计算带分数除法。不过，看了这两题，你一定感到把带分数化成假分数太繁了。如果我们动一下脑筋，就会发现：可以把题(1)中的166的倍数与另一个较小的数相加，再利用除法性质就可以使运算简便。把题（2)中的

2003（

2003化为假分数时，把分子用两个数相乘的形式表示，便于约分和计算。 2004

例5：计算：7779103711110

例6：计算：

[

一、基本练习

1、下面各题，怎样简便就怎样算。

1112 1511511614－164 【 417（2568） 1312＋1223

2. “考考你”下面各题怎么算简便就怎么算710 ×101- 710 × ÷ ×

34 36×345 ×25 35 ￥

15（233＋5） 4593 35 × 99 + 35 ( 55186 - 9 )×5

4821531033

( 7 + 9 )×25 21 ×4 + 21 ×4 - 4

4. 分数四则混合计算：

1136313（1）（—）×1000 （2）×[（—）÷]

1010062'

741535（3）×—÷ （4）（×6+×3）÷

8512688

二．能力提高 @

（4） （5）20082008

2009

&

%

第四讲 分数四则混合运算

一、课前准备：

2780141615999÷9 62 （＋）×

3593516

&

373534111÷＋× （＋－）×24 104103346

二、例题讲解

82例1：计算：8881.12536023%

93

%

2237练习：915.462(4.8752)

3358

21317例2：计算：（×37＋5981×）÷1＋190×

51730

&

1213141516例3、3141516171

2334455667 -

5312536114 例4；计算；4.4448371113725

练习：

1. 下面各题怎样算简便就怎样算。

8529241 （＋－）×27 （＋）÷

93273515】

344323233225×4 24÷5 ×＋×＋ 45

2. 用简便方法计算。

1÷13×100－9113－91×13

[

3、计算下面各题。

555556 565655

211143（3256）5

>

411334511445611556

71313 ×4212997＋÷519－×97

151720782512

133171（4415）8 （1111369）18 713 22334141 （0.870.23）3%

751111

&

3555.60.3755.43.7510 11101113

81113

212931 15.8612.5% 1.1440.954.09

97199758

<

4425 50.827.621.25

9559

第五讲 估 算

取近似值的方法除了常用的四舍五入法外，还有去尾法和收尾法（进一

法）。其方法一般是计算出准确值再按要求取近似值。还有两种：（1）省略尾数取近似值，即观其“大概”； （2）用放大或缩小的方法来确定某个数或整个算式的取值范围，即估计范围。这就是估计与估算，估计与估算，是一种十分重要的算法，在生活实践和数学解题中有广泛的应用。

一、去尾法和收尾法（进一法）

例1、某飞机所载油料最多只能在空中连续飞行4时，飞去时速度为900千米/时，飞回时速度为850千米/时。问：该飞机最远飞出多少千米就应返回（精确到1千米）

解：设该飞机最远能飞出x小时，依题意有

·

此题采用去尾法。如果按照四舍五入的原则，那么得到x≈1749，当飞机真的飞出1749千米再返回时，恐怕在快着陆的瞬间就要机毁人亡了。

例2、某人执行爆破任务时，点燃导火线后往70米开外的安全地带奔跑，其奔跑的速度为7米/秒。已知导火线燃烧的速度是0.112米/秒。问：导火线的长度至少多长才能确保安全（精确到0.1米）

此题采用收尾法。如果你的答案是1.1米，执行任务的人还没跑到安全地带，炸药就被引爆，那可就太危险了。

?

二、放缩法与省略尾数法

282912例3、有三十个数：，+，+，……++，如果取每个数的整数部分

3030303011（例如：的整数部分是1，+的整数部分是2），并将这些整数相加，那么其

30和是多少

分析：关键是判断从哪个数开始整数部分是2

例4、 A=1213÷3321，求 A的小数点后前3位数字。

分析：本题可以采用取近似值的办法求解，还可采用放缩法估计范围解答的。 方法一：放缩法：A＞1234÷3122=…

@

A＜1235÷3121＝… 所以＜A＜

方法二：省略尾数法：近似值：将被除数、除数同时舍去13位，各保留4位，则有

1234÷3121≈

例5、老师在黑板上写了十三个自然数，让小明计算平均数（保留两位小数），

小明计算出的答数是。老师说最后一位数字错了，其它的数字都对。正确的答案应是什么

分析：小明的答案仅仅是最后一位数字错了，那么正确答案应该在与之间。原来13个数的总和最小应该是×13=，最大应该是×13=之间，从而可求出这 13个自然数的总和，从而知道正确答案

~

例6、 已知：S=

1，求S的整数部分。

11111980198119821991分析与解：如果我们能知道分母部分最小不小于几、最大不大于几，就能

知道它的值在某个范围内。当这个范围很小时，就容易判断出s的整数部分了。

设A= < 说明：本题如果直接计算，不但非常麻烦，而且容易出错。上面的“分析”中，我们采用了“放大——缩小”的方法，就是先把s的倒数（分母部分）的每一个加数都看成最大的一个（放大），再都看成最小的一个（缩小）。

11111A1()19961997199819992000练一练：求的整数部分。

练习

一、基本题 /

19191919191、（1+）+（1+×2）+（1+×3）+……（1+×10）+（1+×11）

9292929292的结果是x，那么，与x最接近的整数是多少

2、求算式……5051÷……4321的小数点后前二位数字是多少

,

3、为了修水电站，需要在极短的时间内向河道中投入300米3石料，以截断河流。如果每台大型运输车一次可运石料17.5米3，那么为保障一次截流成功，至少需多少台运输车

4、用5米长的花布做上衣，已知每件上衣需用布2米，求这块布料可以做几件上衣

|

5、小华在计算一道求七个自然数平均数（得数保留两位小数）的题目时，将得数最后一位算错了。他的错误答案是，正确答案应是多少

6、求下式中S的整数部分：

&

二、综合题 7、 计算：

（提示：注意385= 5×7×11，可以先用乘法分配律化简，再估算。）

《

1111，，……，，中选出若干个数，使得它们2399100的和大于3，至少要选几个数

三、思考题：8、在1，

。

第六讲 分数运算的技巧

对于分数的混合运算，除了掌握常规的四则运算法则外，还应该掌握一些特殊的运算技巧，才能提高运算速度，解答较难的问题。下面我们着重介绍五种常用的简算技巧。

（一）一般分数乘除法的计算：

—

（二）分数的简便计算 1.凑整法

与整数运算中的“凑整法”相同，在分数运算中，充分利用四则运算法则和运算律（如交换律、结合律、分配律），使部分的和、差、积、商成为整数、整十数……从而使运算得到简化。

）

例3、计算：

|

2.约分法：

例4、计算：

分析：仔细观察可知，分子的每一项（每一个加数）都可以分解出1×2×3，分母的每一项都可以分解出1×3×5。把它们作为公因数提出来后，括号内的和是相等的。

，

例5、计算：

3628361

3628186分析：仔细观察分子、分母中各数的特点，就会发现分毋中的被减数362×8可以变形为：（361＋1)×8=361×8＋8，同时发现8－186=362。这样就可以把分母转化成与分子完全相同的式子，简化运算。

$

例6、计算：

例7、计算：

*

2、 分组法 例8、计算：

分析：利用加法交换律和结合律，先将同分母的分数相加。

》

4、代数法 例9、

`

练习：

;

2003

2004 ×2005

?

…

$

第七讲 简单的分数应用题（一）

一、基础知识：

1、分数应用题的一般关系式是：

表示单位“1”的量（标准量）×分率=分率的对应量。 2、解题思路：

①一道分数应用题中，先根据分率所在的哪个条件，找出并判断“1”。 分率是“谁的”几分之几，谁就是单位“1”（分率是一个不带单位的、不具体的分数，反映的是两个数之间的一种倍数关系。）

单位“1”的量的判断：根据分率来判断把哪个数量平均分成多少份，哪个数量就是单位“1”。

②表示单位“1”的量是已知的，则该题用“×”。 | 表示单位“1”的量是未知的，则该题用“÷”或方程。 ③解题的关键是：寻找“与数量对应的分率”，“与分率对应的数量”。 二、例题解析： （一）基本方法

例1、指出下面每组中单位“1”和对应分率。

①一只鸡的重量是鸭的。把( )平均分为3份,把（ ）看作单位“1”,( )相当于这样的2份，2/3对应的数量是（ ）。

②甲的相当于乙。把( )平均分为5份,把（ ）看作单位“1”,( )相当于这样的3份，3/5对应的数量是（ ）。

③现价是原价的。把( )平均分为40份,把（ ）看作单位“1”,( )相当于这样的3份，3/40对应的数量是（ ）。现价比原价少的部分对应的分率是（ ）。

④小红的书比小明少。把( )平均分为8份,把（ ）看作单位“1”,( )相当于这样的7份，7/8对应的数量是（ ）。小明的书对应的分率是（ ）。

|

例2、根据已知条件用“——”线标出单位“1”的量，再写出数量关系式。 510（1）白兔只数的是黑兔的只数。 （2）已经修了公路全长的。 1221 （3）二班植树棵数相当于一班的 { （4）第三季度冰箱价格比第二季度便宜 例3、小王买了一个本子和一支钢笔。本子的价格是1

元，钢笔的价格比本

77。 （6）还剩这堆煤的。 5115105。 （4）今年棉花产量比去年增加。218子的价格多，钢笔的价格是多少元

例4、一条裤子比一件上衣便宜25元。一条裤子是一件上衣价格的2/3，一件上衣多少元 ~

例5、商店运来一批水果，运来苹果20筐，梨的筐数是苹果的3/4，梨的筐数同时又是桔子的3/5。运来桔子多少筐

例6、学校买来本新书，其中科技书占 1/6，文艺书占1/3，文艺书比科技书多多少本

（二）能力拓展 <

例7、小强看一本故事书，每天看16页,看了5天后，还剩全书的3/5没有看，这本故事书有多少页

分析：把全书看作单位“1”，是未知的，可以用除法或方程解答。3/5与没有看的页数相对应，看了的已知量16×5与1—3/5相对应。

例8、客车由甲城开往乙城要10小时,货车由乙城开往甲城要15小时, 两车同时从两城相向开出,多少小时两车相遇如果相遇时客车走了600千米,甲乙两城之间的公路长多少千米 分析：本题的关键是要求相遇时间，我们知道相遇时间=相遇距离÷速度和，而本题要求的就是相遇距离，怎么办可以假设全程为单位“1”。

：

练一练：一项工作,由甲单独做需要10天；由乙单独做需要12天.如果两人合做,几天才能完成

·

练习： 一、基本题

1、指出下面每组中单位“1”和对应分率。

①白兔是黑兔的。把( )平均分为6份,把（ ）看作单位“1”,( )

相当于这样的5份，对应的数量是（ ）。

②一种毛衣现价是原价的4/7。把( )平均分为7份,把（ ）看作单位“1”,( )相当于这样的4份,4/7对应的数量是（ ）。现价比原价少的部分对应的分率是（ ）。 ③九月份的产量比八月份增加了

。

。

单位“1”：（ ）。九月份的产量对应分率（ ）。 2、根据已知条件用“——”线标出单位“1”的量，再写出数量关系式。 59（1）妈妈年龄的是女儿的年龄。 （2）已经用这根绳子的。 1211 205（3）男生人数占总数的。 （4）今年车祸比去年减少。 218 # 77（4）现价比原价增加。 （6）没有看的占这本书的。 1015 3、六年级有男生100人，女生有80人。 （1）男生人数是女生的几分之几

（2）女生是男生的几分之几

，

（3）女生是全年级学生的几分之几

（4）男生人数比女生多几分之几

3、某生产队挖一条长300米的水渠，第一天挖了全长的1/4，挖了多少米还剩多少米

4、某车间五月份生产零件3000个，六月份比五月份多生产了，六月份生产了多少个零件

，

分析：把（ ）看作单位“1”，是（ ）知的。可用（ ）方法计算。对应的数量是（ ），六月份生产的对应分率是（ ）。

解答：

5、某小学有学生若干人，其中女生占3/8，还已知该校男生有240人，这所小学共有多少人 分析：把（ ）看作单位“1”，是（ ）知的。可用（ ）方法计算。男生的对应分率是（ ）。 解答：

~

6、小亮在银行存了240元，小华存的钱是小亮的5/6，小华存的钱是小新的2/3，小新存了多少元

7、某粮店共有大米2800千克，第一天卖了4/7，粮店还有大米多少千克

!

8、商店有红气球和黄气球，共有48只，其中黄气球的只数是红气球的3/5 。红气球和黄气球各多少只

9、一只大雁由北方飞往南方要6天, 一只野鸭由南方飞往北方要8天,如果大雁和野鸭同时从两个方向同时出发,多少天他们可以相遇

二、综合题：

10、王琳看一本连环画共80页，第一天看了全书的1/5，第二天看了全书的1/4。还剩多少页没有看

、

11、本站有一批货物，上午运走了总数的2/5，下午运走了总数的3/8 ，还剩下2700吨没有运，这批货物一共有多少吨

12、一袋大米吃了1/3后又加入8千克，这时袋里的大米恰好是22千克。这袋大米原来有多少千克

2113、小刚读一本书，先读了全书的，又读了全书的，已读的比没读的多

5370页，这本书共有多少页

《

14、根据算式写出问题。（说明：35%=7/20）

还剩下全长的1/3没有修完，————————

（1）2400×1/4

（2）2400×35% （3）2400×（1/4+35%） （4）2400×1/3 《

（5）2400×（35% - 1/4） （6）2400×（1/3 - 1/4）

（7）2400×（1/4+35% - 1/3）

第八讲 较复杂的分数应用题（二）

本讲继续学习较复杂的应用题——两个单位“1”的情况和量与率的对应关系。较复杂的分数应用题常常需要画出线段图或用方程的方法解答。 例1、一根140厘米长的绳子，第一次用去它的4/7 ，第二次又用了余下的3/5 ，两次共用去多少厘米

分析：本题有2个分率，相对应的有2个单位“1”。

-

例2、小红看一本书，第一天看了全书的4/7 ，第二天又看了剩下的 3/5，还剩下42页没有看，这本书共有多少页

练一练：某生产队挖一条长300米的水渠，第一天挖了全长的，第二天挖了

余下的，第三天恰好挖完，第三天挖了多少米

、

例3、一瓶油第一次吃了1/5千克，第二次吃了余下的3/4，这时瓶内还有1/5千克，问这瓶油原来有多少千克

分析：根据条件“第二次吃了余下的3/4”，我们先确定“1”；再利用线段

图来找出：“与量对应的率”或“与率对应的量”。

例4、某校男生人数比全校学生总数的4/9少25人，女生人数比全校学生总数的4/7 多15人。求全校学生总人数。

分析：利用线段图来找出：“与量对应的率”或“与率对应的量”。而单位“1”是未知的，可以用除法或方程解答。

#

例5、 有一瓶酒精，第一次倒出2/3又80克，然后倒回140克；第二次再倒出瓶里酒精的3/4，这时瓶里还剩下90克酒精。求原来瓶里有酒精多少克

分析：本题2个分率，相对应的有2个单位“1”。利用线段图来找出：“与量对应的率”或“与率对应的量”。单位“1”是未知的，可以用除法或方程解答。

!

试一试：东盛化肥厂生产一批化肥，分三次运出，第一次运出的比总数的3/5还多300吨，第二次运出的是第一次的1/3，第三次运出的450吨，求这批化肥有多少吨

例6、某工厂二月份比元月份增产1/10，三月份比二月份减产1/10．问三月份比元月份增产了还是减产了 .

分析：本题没有告诉我们具体的数量，要求的也是不具体的分率，所以我们可以假设老三年龄为“1”,或者假设一个具体的数量、字母。

练一练：有兄弟三个，老大比老二年龄大2/5，老二比老三年龄大2/5，老大的年龄是老三的几分之几

练习： ？

1、某水泥厂第二个月生产水泥2400吨，比第一个月多生产1/4，第一个月生产水泥多少吨第三个月生产的水泥，比第一个月少生产1/5，那么第三个月生产水泥多少吨 2、小红看一本240页的书，第一天看了全书的1/4 ，第二天又看了剩下的1/3，还剩下多少页没有看 {

3、某粮店，第一天卖了全部大米的4/7，第二天又卖了余下的3/5，这时还剩下420千克米没有卖。这个粮店共有大米多少千克

4、某车间一月份生产了1000个零件，以后每个月都增产1/10，三月份生产了多少个零件

—

5、某工厂去年制造一种零件，成本逐渐下降，每一季度的成本都比前一季度降低1/4，问第三季度的成本是第一季度的几分之几

6、某班学生中，男生人数比全班人数的5/9 少5人，女生人数比全班人数的3/7多11人，求全班人数。 !

7、一桶柴油，第一次用了全桶的2/5，第二次用去20千克，第三次用了前两次的和，这时桶里还剩8千克油．问这桶油有多少千克

二、综合题

8、两队合修一条水渠，甲队完成的比全长的1/2还多千米，乙队完成的相当于甲队的1/3。这条水渠有多长 （

9、小王做零件，已经做了240个，比计划还少20%，为了超额25%，小王还应再做多少个

10、一袋大米第一周吃了1/3又6千克，后又加入8千克，第二周又吃了剩下的1/3，这时袋里的大米恰好是24千克。这袋大米原来有多少千克

<

11、向阳村用拖拉机耕地，第一天耕了全部土地的1/4，第二天耕了剩下的三分之二，第二天比第一天多耕30公顷，问这个村共有多少公顷土地

1112、一种商品，先提价，再降价，现价相当于原价的几分之几

55

—

第九讲 阶段复习与考试

第十讲 简单的工程问题（一）

准备题：修建一条长1200米的公路，甲队需要30天，乙队需要40天，如果两队合修需要多少天

在日常生活中，做某一件事，制造某种产品，完成某项任务，完成某项工程等等，都要涉及到工作量、工作效率、工作时间这三个量，它们之间的基本数量关系是：工作效率×工作时间=工作总量（由此还可以变化为工作时间=工作总量÷工作效率，工作效率=工作总量÷工作时间），在小学数学中，探讨这三个数量之间关系的应用题，我们都叫做“工程问题”。

工程问题中的本质关系为：工作效率×工作时间=工作总量。分数工程问题的特点，常常不给出具体的工作总量，我们把全部工程看作单位“1”，这样，工作效率=1/工作时间，然后再根据工总、工效和工时这三个量的关系解题。

一、基本方法

例1、加工一批零件，甲单独做6小时完成，乙单独做9小时完成。 —

（1）甲、乙合做，每小时完成这批零件的几分之几

（2）合做3小时完成这批零件的几分之几

（3）合做3小时后完成剩下零件两人合作还需要多少小时

（4）如果合做2小时后，剩下的由甲单独做还需要多少小时做完

$

练一练：现在打一份文稿，甲做9天可以完成，乙做6天可以完成.现在甲先做了3天，余下的工作由甲、乙合作完成，还需要做几天可以完成全部工作

例2、两列火车同时从甲、乙两地相向而行，货车从甲地开往乙地需要10小时，客车从乙地开往甲地需要8小时，现货车先行2小时后，客车才出发，求客车出发后多少小时两车相遇

分析；没有告诉我们甲、乙两地的路程，我们把甲、乙两地路程看做单位“1”，速度用1/时间来表示。求相遇时间，相遇时间=相隔路程÷速度和。

》

例3、一个水池有两个进水管，一个出水管。单开甲管12小时可把空池注满，单开乙管20小时可把空池注满，单开丙管15小时可把满池水放空，三管同开，多少小时把空池注满水

分析：注意本题是两个进水管，一个出水管，进水管来灌水，出水管来放水。

例4、水池上装有甲、乙两个大小不同的水龙头，单开甲龙头60分钟可注满水池，现在两个水龙头同时注水，20分钟可注满水池的1/2，如果单开乙龙头需要多长时间注满水池 《

分析：根据条件可以求出甲、乙两水龙头的工效和，再根据甲龙头的工效，就可以求出乙龙头的工效了。进而求出乙龙头的工作时间。

二、能力拓展

例5、一项工程，先由甲、乙合做5天完成了全部工程的1/3，再由乙单独做了2天完成了全部工程的1/30 ，然后由乙、丙二人合做19天完成余下的工程。如果这项工程由甲、乙、丙三人合做，需要多少天完成

|

例6、一项工程，甲队独做需要45天完成，乙队独做需要60天完成，现在甲、乙两队合作，中途乙队因事调走，这样完成全部工程共用了30 天，求乙队工作了几天

分析：这项工程，我们可以看成甲队做了一部分，乙队也做了一部分。 ;

例7、某项工程，甲、乙两队合做，30天可以完成。今两队合做12天后，剩下的由甲队独做，经过24天才完成。问：乙队独做全部工程需几天完成

分析：根据条件可以求出两队工效和。

例8、加工一批零件，甲独做20天完成，乙独做每天完成这件零件的1/30，现在两人合作完成这批零件，甲中途休息了天，乙也休息了几天，这样用了15天才全部完成，求乙休息了几天

分析：乙休息的天数可能天多或少或同样多。解题方法多样：按前面例题的思路，可用方程的方法，或假设方法。

…

练习：

一、基本题：

1、修一栋楼房，甲公司单独做5个月完成，乙公司单独做6个月完成。 （1）合做2个月完成这栋楼房的几分之几

（2）如果合做2个月后，剩下的由甲公司做还需要多少个月做完

>

2、一项工程，甲队单独做20天完成，乙队单独做30天完成。现在两队合作，多少天可以完成

3、一件工作，甲做9天可以完成，乙做6天可以完成.现在甲先做了3天，余下的工作由乙继续完成.乙需要做几天可以完成全部工作

】

4、做一批零件，甲单独做12天完成，乙单独做16天完成，现在两人合作4天后，余下的由乙独做多少天可以完成 5、一个水池上装有一根进水管和一根出水管，单开一根进水管30分钟可以将水池注满，单开一根出水管45分钟可以将一池水放完。现在水池有1/2的水，两管齐开，多少分钟水池可以把水池灌满

>

6、一只大雁从甲地飞向乙地需要10天，一只野鸭从乙地飞向甲地需要12天，现野鸭先飞了3天后，大雁才出发，求大雁出发后多少天大雁和野鸭相遇

7、一项工程，甲队单独做5天完成；乙队单独做6天完成，甲、乙两队合做2天后，甲队因事调走，余下的部分由乙队单独做完，还需要多少天完成

…

二、综合题

8、做一批零件，甲、乙两人合做12天完成，现在甲、乙合做4天后，余下的乙独做20天可以完成。如果甲单独完成这批零件要用多少天

9、有一项工程，甲队独做40天可完成，乙队独做60天可完成，现在已知两队合做这项工程，但中间甲队因另有任务调走几天，所以经过27天才完成全部工作，甲队离开了几天

`

10、一件工程，甲5小时先完成了1/4，乙接着用9小时又完成了剩下任务的一半，最后余下的部分由甲、乙合作，还需要多少小时才能完成 》

11、一项工程，先由甲做10天完成了全部工程的1/6；再由乙做5天完成了全部工程的1/4；然后由丙做2天完成了全部工程的1/15。最后甲、乙、丙合做余下的工程，还要几天可以完成

—

第十一讲：圆和扇形（一）（一）基本知识

1、圆：圆周长公式：C=πd或C=2πr。 圆面积公式：Sr2。 圆环面积：S环(R2r2)

。

图一 图二 图三

2、扇形。如上图二，连接两条半径OA、OB，就可得到一个扇形OAB，扇

nr2形面积公式是：S=。扇形的圆弧长=所在圆周长的

360。其中r是指扇形

的在圆的面积，n指的是圆心角的度数。

例1、图二中n=60°，半径为6厘米，扇形面积是多少弧AB是多少

)

3、弓形。如上图三， S弓AC= S扇AOC—S△AOC

例2、图三中，直角三角形AOC的直角边OA= 6厘米，求弓形AC的面积。

（二）基本运用 \"

例3、街心花园中圆形花坛的周长是18.84米。花坛的面积是多少平方米

例4、计算下图阴影部分的面积．(单位：厘米)

,

例5、在一块长4.5米，宽2米的长方形铁板上截下2个最大的圆形后，剩下的铁板面积是多少平方米

例6、从一块边长10厘米的正方形铁皮上剪下一个最大的圆，这块圆形铁皮的面积是多少平方厘米剩下的面积是多少

（

例7、从一个直径为10厘米的圆中，剪去一个最大的正方形，正方形面积是多少

例8、求下图中阴影部分的面积和周长。

练 习

一、基本题

1、一个圆形花坛的周长是25.12米。花坛的面积是多少平方米

,

2、已知一个圆的面积是平方厘米，求这个圆的周长。

3、下图涂色部分是个环形，它的内圆半径是10厘米，外圆半径是15厘米，它的面积是多少

4、从一块边长8厘米的正方形铁皮上剪下一个最大的圆，阴影部分面积是多少

5、下图圆的半径为6厘米，圆心角为45度，扇形AOC的面积是多少弧AC是多少

~

6、下图是一个直角边长为20厘米的等腰直角三角形。求弓形面积。

7、求阴影部分的面积：(单位：分米) （π=3）

|

8、右图中直角三角形ABC的底AB= 20 厘米，以AB为直径画成一个圆，圆心

为O，CO垂直于AB，求弓形AC的面积。

9、求下图中阴影部分面积和周长 <

（1）等腰梯形的腰是。（单位：厘米）

（2）三角形ABC是等边三角形，底BC= 6厘米，扇形圆心角为120度。

：

思考题：

10、在下图中左右两个正方形一样大小，且图（2）中四个小圆一样大．试问是图（1）中的大圆面积大，还是图（2）中四个小圆的面积之和大请说明理由。

第十二讲 简单的百分数应用题（一）

百分数是表示一个数是另一个数的百分之几的数，叫做百分数。百分数也叫做百分率或百分比。百分数在生活中大量地运用。如出生率、利息、利润等。 一般地，我们可以把百分数应用题看作分数应用题来解答。 一、一般百分数应用题

例1、东风化肥厂去年计划生产化肥60万吨，实际生产了72万吨。实际产量比计划超过百分之几

<

例2、商店卖一种袖珍收音机, 现在按八折出售，每台是元,这种收音机原价每台多少元

例3、有甲、乙两个仓库，甲仓库存粮的2/3正好是乙仓库存粮的60%，已知乙仓库存粮1500吨，甲仓库存粮多少吨

~

例4、工程队挖一条水渠，每天挖1.4千米，10天挖了全长的70%，还剩多少千米没有挖

例5、学校去年春季植树500棵，成活率为85％，去年秋季植树的成活率为90％。已知去年春季比秋季多死了20棵树，那么去年秋季学校共种多少棵树

— 分析：成活率是指成活的棵数占全部棵数的百分之几。根据去年春季成活率85％，可以求出成活棵数和死了的棵数。进而求出死了的棵数，再根据去年秋季植树的成活率90％，求出去年秋季种的树。

例6、纺织厂的女工占全厂人数的80％，一车间的男工占全厂男工的25％。问：一车间的男工占全厂人数的百分之几

分析：没有告诉我们具体的数量，而且求的也是一个不具体的数量百分比，这样，我们可以采用设参数的方法。

-

二、特殊的百分数应用题——利润问题

在这类问题中，特别的在于，它涉及两个量的相乘，一是商品的单价，另一个是销售量。我们要同时把握这两个量的变化：总价=单价×数量 利润：一般地，商店购进货物的钱叫成本（或购入价）。卖出去的钱叫售价（或卖出价）。售价与成本的差叫利润。利润与成本的比叫利润率。 售价=成本+利润=成本+成本×利润率=成本×（1+利润率） 利润=售价—成本

例7、某商店进货的批发价为50元一袋，规定零售价为70元一袋，求商品的利润率是多少 》

例8、商店从某供货商以每台1200元，购进了50台空调。该商店以20%的利润率来定价，空调的定价是多少如果全部按这个价卖出，商店共获利多少元

例9、商场以400元的成本购进一见商品，该商店准备以50%的利润率来定价，但因为价高，没有人购买，只好打75折优惠，问现在这件商品卖多少元 ·

练习

1、曙光面粉厂

①5000千克小麦可以出面粉4000千克，面粉的出粉率是多少

②面粉的出粉率是80％，4000千克小麦可以出面粉多少千克

③面粉的出粉率是80％，加工3200千克面粉需要多少千克小麦

2、把20克盐溶解在80克水中，盐占盐水的百分之几

《

3、一家大型超级市场,一月份的营业额是5000万元,如果按营业额的5%缴纳营业税后,还剩余多少万元

4、甲数比乙数多20%，乙数比甲数少百分之几

—

5、某化肥厂第一季度生产化肥2400吨，完成了全年任务的 25%，他们准备在第二季度完成全年任务的 30%，那么第二季度应生产化肥多少吨

6、运送一批树苗，已运了总数的％，未运的比已运的少420棵，这批树苗总数多少棵 [

7、某商场以每套元的价格，购进童装100套，全部销售完后，共得10000元，求商场销售这些童装的利润率。

8、中国书店收购一本旧书, 原价12元．收购时按八折作价, 然后又按比收购价多5%的价钱售出．书店售出这本书的价钱是多少元

9、在某校学生中，男生人数占全校人数的60％，女生人数占全校的40％，那么，男生人数比女生多百分之几

^

10、采煤队三月份上半月完成月计划的60％，下半月完成月计划的65％，这个月实际采煤万吨，这个月超过月计划多少万吨

11、一家服装店出售两种春装，一种是新式样，每件卖240元，可赚20%，另一种样式过时，是处理品赔本20%，每件售价也是240元，问：两种春装各出售一件，是赔还是赚赔（或赚）多少

)

12、某校绿化校园植了水杉，柏树、梧桐三种树，其中种植水杉的棵数为总数的40%，柏树的棵数是水杉的7/8，其余的是梧桐树。已知水杉比梧桐多144棵，水杉是多少棵

第十三讲 分数应用题复习

例1：数量和分率直接对应

一辆汽车4小时行了全程的2/5，照这样的速度，再行几小时到达

#

练习：六（1）班，男生比女生少8人，女生比男生多1/3，全班多少人

例2：已知量的——对应分率

1、一条公路第一天修了全长的1/4，第二天修了全长的2/5，两天共修了千米，

这条公路全长多少米

：

2、一辆汽车行了全程的3/5，这时已超过中点15千米，已行了多少千米

3、服装店分两次加工一批服装，第一次做了全部的1/5，第二次比第一次多做90件。这批服装共多少件

4、汽车从A城开往B城，第一小时行全程的1/4，第二小时行全程的1/3，超过中点15千米，A、B两城相距多少千米

{

5、电视机厂9月份生产一批电视机，上旬生产了全部的3/10，中旬生产的是上旬的2/3，下旬全部完成任务。已知下旬比中旬多生产2250台，9月份生产电视机多少台

例3：找对应关系

1．小红看一本小说，第一天看总页数的1/12还多19页，第二天看的比总页数的1/8少17页，还余下93页，这本书共多少页

$

2、服装店加工一批服装，第一次做了全部的1/5，第二次比第一次多做8件。这时做完的比没做完的少2件，这批服装共多少件

3、一批木料，先用去总数的2/5，又用去总数的4/9，这时用去的比剩下的多21方，这批木料共多少方

4、有两只桶装油50千克，若第一桶里倒出1/5，第二桶里倒进4千克，则两桶内油相等。原来每只桶各装油多少千克

^

5、一个班女生比男生的2/3多4人，如果男生减少3人，女生增加4人，那么男女生恰好相等。这个班男、女生各有多少人

6、甲、乙、丙、丁四人共同购买一只游艇，甲支付的现金是其余三人所支付的1/4，乙支付的比其余三入所支付的总数少1/2，丙支付的是其余三人所支付的1/3，丁支付9100元。这只游艇价值多少元

7．小强读一本书，第一天读全书的4/7，第二天又读了余下的1/2，这时还有30页没读，这本书共有多少页

】

8、学校举行一项数学讲座，整个教室坐满了人，其中两人中有一个六年级学生，四人中有一个五年级学生，七人中有一个四年级学生，还有六位老师，整个教室听课的有多少人

六年级分数应用题练习

１、修一条长3000米的路，已经修了30%，还剩多少米没有修

>

2

2、码头上有一堆石子，卖出5 ，正好是600吨。这堆石子有多少吨卖出了多少吨

3、有300千克的面粉，第一天吃了20%，第二天吃了35%。两天一共吃了多少千克第一天比第二天少吃多少千克

4、植树节同学们植了160棵松树，植的杉树是松树的40%。两种树一共多少棵松树比杉树多多少棵

1

5、李大伯家今年收小麦2000千克，比稻谷少 5 。今年收稻谷多少千克

1

6、一辆汽车从A地到B 地，上午行了全长的5 ，下午行了全长的30%。下午比上午多行了80千米。A地到B 地的路程有多少千米

7、带了1200元钱去购物，买衣服用去了20%，买DVD用去了25%。身上还剩多少元钱

3

8、王师傅买了一套西服用了800元钱，其中裤子的价钱是上衣的5 。上衣和裤子各是多少元钱

12

9、小明步行上学，走到商场正好是全长的2 ，再走50米就走了全长的3 。小明的家离学校有多少米

10、一件衣服打八五折是340元，比原来降价了多少元(八五折是85%)

11、选择合适的算式，连线。

商店运来彩色电视机１２６台，（ ），DVD有多少台？ DVD比彩电多1/6， 126×1/6 DVD比彩电少1/6， 126÷1/6

DVD是彩电的1/6 126×（1+1/6） 彩电比DVD少1/6 126÷（1+1/6） 彩电比DVD多1/6 126×（1－1/6） 彩电是DVD的1/6 126÷（1－1/6）

12、张师傅和黄师傅要加工400个机器零件，已经加工了60%。又知道张师傅与黄师傅加工的个数比是5：7。两人各加工了多少个零件 、

第十六讲 复杂的利润问题（二）

本讲继续学习较复杂的利润问题。

利润率：利润与成本的比 利润=售价—成本 售价=成本+利润=成本×（1+利润率）

例1、出售甲种产品的利润是25%，乙种产品利润是20%，如果分别各用2000元购进甲、乙两种产品，共获利多少元如果两种产品一起买可以优惠15%，此时的售价是多少

例2、一件商品按30%的利润定价，然后又按八折出售，结果赚了元，这件商品的成本是多少元

分析：成本为单位1未知，可以用除法或方程解答。售价- 成本=赚的钱，作为等量关系。

例3、一件商品如果按原价出售可以盈利25%，如果降价30%出售，则要亏本30元，那么这件产品的进价是多少元

分析：条件“一件商品如果按原价出售可以盈利25%”实际上告诉我们了利润率是25%。成本为单位1未知，可以用除法或方程解答，由于成本-售价=亏的钱，可作为等量关系。

例4、某商品按定价出售，每个可获得45元的利润。已知按定价打八五折出售8个获得的利润与按定价每个减少35元出售12个所获得的利润一样多。这种商品每个定价多少元

分析：根据条件“利润一样多”，找到等量关系，所以可以用方程解答。

例5、某商店从外地购进360个玻璃制品，运输时损坏了40个，剩下的按进

价以117%售出，商店可盈利百分之几 分析：由于求的是一个不具体的数量——利润率，而且没有告诉我们关键的数量——进价，可采用设参数的方法解答。要注意，损坏的40个，要算成本，但无售价。还可以采用设参数方法：设具体的数，设单位1，设字母。 解：设一个玻璃制品的进价为x元，则每个售价为元。

练习：

1、商店从生产厂家以每台120元的价格，购进了一批电风扇。该商店以20%的利润率来定价，电风扇的定价是多少如果打九折卖出，这时的实际利润率是多少

2、新光商店把进货价是3元，原零售价是元的800 双袜子降价出售。开始按原零售价八折出售，卖了50 0双； 剩下的按原零售价六折出售。卖完这800双袜子是盈利还是亏本

3、一批西瓜按20%的利润定价，由于下雨，只好按6折出售，结果亏了120元。这批西瓜的成本是多少元

4、某种商品按原价出售可获利20%，如果打九折出售，要赚60元，求这种商品的成本价

5、商店购进一批每双元的凉鞋，售价为元，当卖到还剩下5双时，除去全部成本还已获利44元，那么这批凉鞋共有多少双

6、甲种产品总成本价为800元，如果按获25%的利润价格出售一半以后，剩下的一半降价10%出售，全部售完可获利多少元

7、商店进了一批钢笔，用零售价10元卖出20支与用零售价11元卖出15支的利润相同。这批钢笔的进货价是每支多少钱

8、A、B两种商品成本共200元。商品A按30%的利润定价，商品B按20%的利润定价。后来两种商品按定价的90%售出，结果获利元，A种商品的成本是多少元

9、某商店进了一批钢笔，按30%的利润定价。当售出这批钢笔的80%后，为了尽快销完，商店把余下的钢笔按定价的一半售出。销完后商店实际获得的利润率是多少