数学建模课程及答案

《数学建模课程》练习题一

一、填空题

1. 设开始时的人口数为x0，时刻t的人口数为x(t)，若人口增长率是常数r，那麽人口增长问题的马尔萨斯模型应为 。

2. 设某种商品的需求量函数是Q(t)25p(t)1200,而供给量函数是

G(t)35p(t1)3600，其中p(t)为该商品的价格函数，那麽该商品的均衡价格

是 。

3. 某服装店经营的某种服装平均每天卖出110件，进货一次的手续费为200元，存储费用为每件0.01元/天，店主不希望出现缺货现象，则最优进货周期与最优进货量分别为 。

4. 一个连通图能够一笔画出的充分必要条件是 .

5.设开始时的人口数为x0，时刻t的人口数为x(t)，若允许的最大人口数为xm，人口增长率由r(x)rsx表示，则人口增长问题的罗捷斯蒂克模型为 . 6. 在夏季博览会上，商人预测每天冰淇淋销量N将和下列因素有关：

（1）参加展览会的人数n； （2）气温T超过10C； （3）冰淇淋的售价p.

由此建立的冰淇淋销量的比例模型应为 .

7、若银行的年利率是x%，则需要 时间，存入的钱才可翻番. 若每个小长方形街路的

8. 如图是一个邮路，邮递员从邮局A出发走遍所有长方形街路后再返回邮局. 边长横向均为1km，纵向均为2km，则他至少要走 km.. A

9. 设某种新产品的社会需求量为无限，开始时的生产量为100件，且设产品生产的增长率控制在0.1，t时刻产品量为x(t)，则x(t)= .

10. 商店以10元/件的进价购进衬衫，若衬衫的需求量模型是Q802p,p是销售单价（元/件），为获得最大利润，商店的出售价是 .

二、分析判断题

1．从下面不太明确的叙述中确定要研究的问题，需要哪些数据资料（至少列举3个），要做些甚麽建模的具体的前期工作（至少列举3个） ，建立何种数学模型：一座高层办公楼有四部电梯，早晨上班时间非常拥挤，该如何解决。

2．某种疾病每年新发生1000例，患者中有一半当年可治愈.若2000年底时有1200个病人，到2005年将会出现甚麽结果？有人说，无论多少年过去，患者人数只是趋向2000人，但不会达到2000人，试判断这个说法的正确性.

3．一条公路交通不太拥挤，以至人们养成“冲过”马路的习惯，不愿意走临近的“斑马线”。交管部门不允许任意横穿马路，为方便行人，准备在一些特殊地点增设“斑马线”，以便让行人可以穿越马路。那末“选择设置斑马线的地点”这一问题应该考虑哪些因素？试至少列出3种。 4. 某营养配餐问题的数学模型为

minZ=4x1+3x2

10x15x250,5x8x40,12s.t.6x15x242,x1,x20(1)(2)(3) 其中x1,x2表示参与配餐的两种原料食品的采购量，约束条件（1）、（2）、（3）依次表示铁、蛋白质和钙的最低摄入量。并用图解法给出了其最优解x*(2,6)T，试分析解决下述问题：

（1） 假如本题的目标函数不是求最小而是求最大值类型且约束条件不变，会出现什么结果？

（2） 本题最后定解时，只用了直线（1）与直线（3），而直线（2）未用上，这件事说明了什么？试从实际问题背景给以解释.

5．据绘画大师达芬奇的说法，在人体躯干与身高的比例上，肚脐是理想的黄金分割点。也就是说，这个比值越接近0.618，就越给人以一种美的感觉。很可惜，一般人的躯干（由脚底至肚脐的长度）与身高比都低于此数值，大约只有0.58—0.60左右。

设躯干长为x，身高为l，一位女士的身高为1.60(m)，其躯干与身高之比x:l0.60，若其所穿的高跟鞋高度为（单位与x，l相同），那么，她该穿多高的高跟鞋（d=？）才能产生最美的效应值。 三、应用题

1．从厂家A往B、C、D三地运送货物，中间可经过9个转运站E1,E2,E3,F1,F2,F3,G1,G2,G3.从A到E1,E2,E3的运价依次为3、8、7；从E1到F1,F2的运价为4、3；从E2到F1,F2,F3的运价为2、8、4；从E3到F2,F3的运价为7、6；从F1到G1,G2的运价为10、12；从F2到

G1,G2,G3的运价为13、5、7；从F3到G2,G3的运价为6、8；从G1到B,C的运价为9、

10；从G2到B,C,D的运价为5、10、15；从G3到C,D的运价为8、7。试利用图模型协助厂家制定一个总运费最少的运输路线。

2. 试求如表2所示运输问题的最优运输方案和最小运输费用：

表2

销地 产地 运价 单位：百元/吨

B1 B2 B3 B4 3 5 2 9 4 7 5 12 6 9 10 11 10 20 15 15 产量 A1 A2 A3 20 15 25 销量

3．某工厂计划用两种原材料A,B生产甲、乙两种产品，两种原材料的最高供应量依次为22和20个单位；每单位产品甲需用两种原材料依次为1、1个单位，产值为3（百元）乙的需要两依次为3、1个单位，产值为9（百元）；又根据市场预测，产品乙的市场需求量最多为6个单位，而甲、乙两种产品的需求比不超过5：2，试建立线性规划模型以求一个生产方案，使得总产值达到最大，并由此回答：

（1） 最优生产方案是否具有可选择余地？若有请至少给出两个，否则说明理由. （2） 原材料的利用情况.

4. 两个水厂A1,A2将自来水供应三个小区B1,B2,B3,每天各水厂的供应量与各小区的需求量以及各水厂调运到各小区的供水单价见表.试安排供水方案，使总供水费最小？

小区 单价/元 水厂 B1 10 7 160 供应量/t B2 6 5 90 B3 4 6 150 A1 A2 需求量/t 170 200 5、有某种物资从城市v1运往城市v9.中间可以通过v2,,v8七个城市运抵目的地。各城市之间的可通道路及其间距离如图所示（单位：km）.试设计一个从v1到v9的运输路线，使得总运输路程最短，并求出最短路线.

《数学建模课程》练习题二

一、填空题 1. 若yz,zx,则y与x的函数关系是

2. 有人观察到鱼尾每摆动一次，鱼所移动的距离几乎与鱼身的长度相等，则鱼尾摆动的次数T（次/秒）、鱼身的长度L和它的速度V的关系式为 .

3. 已知行星的质量与它的密度和它的半径的立方成正比.若某行星的直径是地球直径的d倍，且它的平均密度是地球的s倍，则此行星质量是地球的 倍. 4. 马尔萨斯与逻辑斯蒂克两个人口增长模型的主要区别是假设了

5. 设S表示挣的钱数，x表示花的钱数，则“钱越多花的也就越多”的数学模型可以简单表示为 .

6. 在超级市场的收银台有两条队伍可选择，队1有m1个顾客，每人都买了n1件商品，队2有m2个顾客，每人都买了n2件商品，假设每个人付款需p秒，而扫描每件商品需t秒秒，则加入较快队1的条件是 .

7. 在建立人口增长问题的逻辑斯蒂克模型时，假设人口增长率r是人口数量x(t)的递减函数，若最大人口数量记作xm,为简化模型，采用的递减函数是 .

8. 一次晚会花掉100元用于食品和饮料，其中食品至少要花掉40%，饮料起码要花30元，用f和d列出花在食品和饮料上的费用的数学模型是

9. 设某种商品的需求量函数是Q(t)25p(t)1200（万件），其中p(t)为该商品的价格函数，那么该商品的社会最大需求量是 .

10. 设某种商品的供给量函数是G(t)36p(t1)3600，其中p(t)为该商品的价格函数，

那麽该商品下一时段的价格达到 ，才能迫使供给商停止供给。 二、分析判断题

1．地方门想知道，当紧急事故发生时，人群从一个建筑物中撤离所需要的时间，假设有足够的安全通道.若指挥者想尽可能多且快地将人群撤离，应制定甚麽样的疏散计划.请就这个计划指出至少三个相关因素，并使用数学符号表示. 2. 假设某个数学模型建成为如下形式：

Mx22x2 P(x)[1(12)]e.

xa试在适当的假设下将这个模型进行简化.

3. 要为一所大学编制全校性选修课程表，有哪些因素应予以考虑？试至少列出5种.

4. 一起交通事故发生3个小时后，警方测得司机血液中酒精的含量是56/100(mg/ml),又过两个小时，含量降为40/100(mg/ml),试判断，当事故发生时，司机是否违反了酒精含量的规定（不超过80/100(mg/ml).

5、为了节约用水，业内人士提出水费应按照阶梯式进行收费。譬如对于居民用水收费，在一般月用水量的平均值之内按照原价格收取，超出部分要加大收费力度。对此问题建立模型应该考虑那些问题和因素？至少列举三个。 三、应用题

1. 某铝合金加工单位要加工一批成套窗料，每套窗料含有2.2(m)和1.5(m)长度的料各两根，总计要加工20套，所用原料的长度均为4.6(m),试建立整数规划模型以给出一个截料方案，使得所用原料最少？

2. 求如图所示网络中v1到v9的最短路线及其路长.

1

3. 一个毛纺厂使用羊毛、兔毛和某种纤维生产甲、乙两种混纺毛料，生产一个单位产品甲需要的三种原料依次为3、2、8个单位，产值为580元；生产一个单位产品乙需要的三种原料依次为2、3、5个单位，产值为680元，三种原料在计划期内的供给量依次为90、30和80单位.试建立线性规划模型以求一个生产方案，使得总产值达到最大，并由此回答：

（3） 最优生产方案是否具有可选择余地？若有请至少给出两个，否则说明理由. （4） 原材料的利用情况.

4. 三个砖厂A1,A2,A3向三个工地B1,B2,B3供应红砖.各砖厂的供应量与各工地的需求量以及各砖厂调运红砖到各工地的单价见表.试安排调运方案，使总费用最小？

工地 单价/百元 砖厂 B1 10 7 8 160 供应量/万块 B2 6 5 3 180 B3 4 6 9 180 A1 A2 A3 需求量/万块 170 200 150

5、求解以下线性规划模型，并回答所给两个问题：

maxz12x18x22x1x24,3x2x12, 12x1x25,xj0,j1,2.（1）该模型的最优解是否唯一？为什么？若有两个以上最优解，请至少给出两个。 （2）若其中的x1,x2代表两种商品的产量，且x2的销售情况比较x1要差些，那么你选择哪一个最优方案？为什么？

（3）若每个约束条件的右端项依次表示生产所需三种材料，那么对于你所选择的最优解，这些材料的利用情况怎样？

《数学建模课程》练习题一答案

一、填空题： 1.

dxrx,x(0)x0x(t)x0ert; 2. 80； 3. T*19,Q*2090. dt4、图中奇点个数为0或2. 5.

dxxrx(1),x(0)x0x(t)dtxmxmx1(m1)ertx0.

1x%)； 8、42. 6. NKn(T10)/P,(T10C), K是比例常数； 7、ln2/ln(0

9.x(t)100e0.1t; 10. p25；

二、分析判断题：

1、1）要研究的问题：如何设置四部电梯的停靠方式，使之发挥最大效益

2）所需资料为：每天早晨乘电梯的总人数、各层上、下电梯的人数、电梯的速度、楼层的高度、层数等

3）要做的具体建模前期工作：观察和统计所需资料，一般讲，需要统计一周内每天的相关资料 4）可以建立概率统计模型，亦可在适当的假设下建立确定性模型 2、根据题意可知：下一年病人数==当年患者数的一半+新患者.于是令Xn为从2000年起计算的n年后患者的人数，可得到递推关系模型：

Xn10.5Xn1000

由X01200,可以算出2005年时的患者数X51975人. 递推计算的结果有， Xn11x2000(1). 0nn22容易看出，Xn是单调递增的正值数列，且Xn2000,故结论正确.

3. （1）车流的密度 （2）车的行驶速度 （3）道路的宽度 （4）行人穿越马路的速度

（5）设置斑马线地点的两侧视野等。

4. （1）因为可行域的右上方无界，故将出现目标函数趋于无穷大的情形，结果是问题具有无界解；

（2）将最优解代入约束条件可知第二个约束条件为严格不等式，而其他为严格等式。这说明，铁和钙的摄入量达标，而蛋白质的摄入量超最低标准18个单位。 5、穿高跟鞋后新的比值应为

xd0.6ld. 令 ldld0.6ld0.618，

ld由此可解得d7.(cm).

三、应用题：

1、先建立模型（图1），然后使用双标号法求解，得到图2。

图1 图2

由图2进行逆向搜索可知，从厂家A到B只有一条路线最短：

AE1F2G2B,lmin16；

从厂家A到C有两条最短路线可选择：

AE1F2G2C,lmin21,AE1F2G3C,lmin21;从厂家A到D也只有一条路线最短：

AE1F2G3D,lmin20.

2、易见，这是一个产销平衡且为最小值类型的运输问题。我们利用最小元素法可得初始方案如表1，

表1 销地 产地 运价 B1 B2 B3 B4 产量 A1 A2 A3 3⑤ 5 2⒂ 9 20 4⑤ 7⑩ 5 12 15 6 9⑩ 10 11⒂ 25 10 20 15 15 销量

使用闭回路法可得负检验数为12=-1，故令x12进基。再使用闭回路法进行调整知x11出基，便得新的运输方案，再进行检验知，所有检验数ij0，故上述方案即为最优运输方案。最小费用为385（百元）。 3. 设x1,x2表示甲、乙两种产品的产量，则有

原材料条件：x13x222和x1x220,

又由产品乙不超过6件以及两种产品比例条件有另外两个条件：

x26, 以及 2x15x20,

目标函数满足 maxz3x19x2,便可以得到线性规划模型： maxz3x19x2

x13x2xx21x2 s.t.2x5x21x2x1,22,20,6, 0,0.（1）使用图解法易得其最优生产方案将有无穷多组（这是因为第一个约束条件所在直线的斜率与目标函数直线的斜率相等），其中的两个方案为该直线段上的两个端点：

X1(4,6)T,X2(10,4),目标值均为 z66（百元）.

（2）按照上面的第一个解，原材料B将有10个单位的剩余量，而按照第二个解，原材料B将有6个单位的剩余量.不论是哪一个解，原材料A都全部充分利用. 4. 本问题可以看成是一个产销不平衡的运输问题，属于供小于求问题.为此，虚设一个水厂

A0，其供水量为30吨，相应的运价均定为0，便得到一个产销平衡的运输问题如表所示：

小区 单价/元 水厂 B1 10 7 0 160 供应量/t B2 6 5 0 90 B3 4 6 0 150 A1 A2 A0 需求量/t 170 200 30

再利用表上作业法求解，即可获得供水费用最低的供水方案为：

A1B2,A1B3,A2B1,A2B2, 小区B1将有30吨水的缺口. 总费用为 620415071305701980（元）. 5. 使用双标号法可得知，本问题有两条最短路线，分别是：

2015013070v1v4v3v5v7v9,lmin18;v1v4v6v5v7v9,lmin18.

《数学建模课程》练习题二答案

一、填空题

31. ykx,k是比例常数； 2. VkTL； 3. sd；

4. 增长率是常数还是人口的递减函数.

5. Skx,k0是比例常数. 6. m1(pn1t)m2(pn2t)；

7. r(x)rsx，其中r,s均为正常数； 8. df100,f/(fd)0.4,d30 9.1200（万件）； 10. 100.

二、分析判断题：

1、撤离时人员的分布状态S、人员总数N、撤离速度v、人们之间相对拥挤程度r、人员所在地与安全地点的距离L、人员撤离完毕所需要的总时间t等.

x22x2x2. 当较小的时候，可以利用二项展开式将小括号部分简化为(12)1,从而

aa2a2有P(x)1Mx2xxe.若x也很小，则可以利用e1x将其进一步化简为 22aMx(1x2). P(x)22a3、问题涉及到时间、地点和人员三大因素，故应该考虑到的因素至少有以下几个： （1）教师：是否连续上课，对时间的要求，对多媒体的要求和课程种类的等；（2）学生：是否连续上课，专业课课时与共同课是否冲突，选修人数等；

（3）教室：教室的数量，教室的容纳量，是否具备必要的多媒体等条件； 4. 设C(t)为t时刻血液中酒精的浓度，则浓度递减率的模型应为CkC,其通解是

/C(t)C(0)ekt,而C(0)就是所求量.由题设可知C(3)56,C(5)40,故有

C(0)e由此解得 e2k3k56 和 C(0)e5k40,

56/40k0.17C(0)56e3k94. 可见在事故发生时，司

机血液中酒精的浓度已经超出了规定.

5、从问题角度说，应该考虑低收入家庭的承受能力，必须进行调查研究；从制定何种收费模型角度看，需要研究模型的结构，譬如分几段收费等；用水的平均值数据怎样获得，分段力度达到多大；既要考虑平民百姓，也不能不考虑高收入人群，怎样兼顾等。

三、应用题：

1. 先列出所有可能的截料方案：

方案 1 2 3 尺寸 0 1 2 2.2米

1.5米 料头长 3 0.1 1 0.9 0 0.2

由此假设，按照方案1、2、3分别需原料x1,x2,x3根，以z表示总料头长，则有

minz0.1x10.9x20.2x3 3x1x,1x2x2,x2x32x3N40,40,

由两个约束条件得x3(40x2)/2,x1(40x2)/3,一起代入目标函数得 z可见应令x20,x1新的整数规划问题：

1623x2, 33040,x320.但x1非整数，于是可将原问题添加条件构成两个3minz0.1x10.9x20.2x3(1)3x1x1x2x2x2,2x3x340,40,N

minz0.1x10.9x20.2x3x2(2)3x1x2x14,x,x,x23112x3N40,40,

13,x1,其中问题（2）无解，而（1）可同上求解得 x320x240x2,x1,但x113x21, 2312代入目标函数可知x21x113,x319.

依此再进行分支和求解，最后获得解为

x112,x24,x318zmin8.4.

即按照方案1、2、3各自截12、4、18根原料即为最优方案.

2. 利用双标号法可得下图：

故得v1到v9的最短路线（两条）及其路长分别为 第一条：v1v4v3v5v7v9;lmin18. 第二条：v1v4v6v5v7v9;lmin18.

3. 设x1,x2表示甲、乙两种产品的产量，则有 原材料条件：3x12x290,2x13x230,8x15x280，

目标函数满足 maxz580x1680x2,合在一起便是所求线性规划模型，其中

xj0,j1,2.

（1）使用图解法易得其最优生产方案只有一组（这是因为所有约束条件所在直线的斜率与目标函数直线的斜率均不相等），从而最优方案没有可选择余地.计算知最优解为：

X(*40T53300,),目标值为 maxz（万元）. 777（2）利用图解法求解中只用到了后两个约束条件，故羊毛有剩余量，将解代入可检验而知羊毛有592单位的剩余量. 74. 本问题是一个产销平衡的运输问题，可以利用表上作业法直接求解，即可获得总运费用最低的调运方案为（求解过程从略）： A1B3,A2B1,A2B2,A2B3,A3B2

总费用为 4170716053061031502460（百元）.

5. （1）该模型的最优解不唯一，因为目标函数直线的斜率与第二个约束条件直线的相同。其两个顶点解及其目标值分别为

X1(2,3)T,1701603010150X2(4,0)T,zmax48.

（2）由于x2的销售情况比较x1要差些，因此可以有多种选择，其中最简单的就是上述的后一个最优方案。此时仅生产第一种产品。

（3）对于第一个方案，第一种原料将超支3个单位，其余充分利用；对于第二个方案，第一种原料将超支4个单位，第三种原料剩余1个单位未被充分利用。