几何作图题的解题策略

（1）如图，已知PA是⊙O的一条切线，PD与⊙O交于C点，求证：PA2=PC·PD

APC·O DB 证明：连结AO并延长交⊙O于点B，连结AC、BC、AD ∵AB是直径 ∴∠ACB=90° 在△ABC中 ∠CAB+∠CBA=90° ∵PA是⊙O的切线 ∴∠PAC+∠CAB=90° ∴∠PAC=∠CBA ∵∠PDA=∠CBA ∴∠PAC=∠PDA ∵∠P=∠P ∴△PAC∽△PDA ∴PA：PD=PC：PA ∴PA2=PC·PD

（2）如图，在线段AB上有一点P，过P点的垂线与以AB为直径的半圆交于C点，求证PC2=PA·PB

证明：连结AC、BC ∵AB是半圆的直径 ∴∠ACB=90° 在Rt△ABC中 ∵PC⊥AB

由射影定理可知 PC2=PA·PB

（3）有一条直线L，直线L一侧有A，B两点。 求：做一个圆过A,B两点，并和直线L相切。写出做法。

1、如图1，连结AB并延长交直线L于点C，用圆规分别量取AC、BC的长度；

2、如图2，以AC＋BC为直径作半圆，过C作AB的垂线，交半圆于点D，用圆规量取CD的长度；

3、在图1中，以C为圆心、CD为半径画圆弧，交直线L于D1、D2，分别过D1、D2作直线L的垂线，分别交AB的垂直平分线于O1、O2，则O1、O2即为所求圆的圆心，以O1为圆心、O1D1为半径即可作出⊙O1，以O2为圆心、O2D2为半径即可作出⊙O2

说明：①本方法利用圆的切割线定理先确定切线的长度，进而确定圆心的位置；②满足条件的圆有两个。

2、过角内一点作圆与角的两边相切

（1）已知，O是∠APB的平分线上一点，过O点的圆于∠APB切于A、B两点，F是∠APB内任意一点，连结PF并延长交⊙O于C点，EF∥OC，求证：以E点为圆心，EF为半径的圆与∠APB的两边相切

AFCPEODB证明：过E点作DE⊥PB，垂足为D,连结OB ∵EF∥OC ∴△PEF∽△POC ∴EF：OC=PE：PO ∵PB与⊙O切于B点 ∴OB⊥PB ∵DE⊥PB ∴DE∥OB ∴△PDE∽△PBO ∴DE：OB=PE：PO ∵OB=OC ∴DE=EF

即E点到PB的距离等于EF的长 同理，E点到PA的距离也等于EF的长

∴以E点为圆心，EF为半径的圆与∠APB的两边相切

（2）已知角AOB内的一点P，求做一个圆，过P点且与OA和OB边相切

A P Q O S X R T C 作法：

（1）作角平分线OC；

（2）在OC上任取一点X并作与两边相切的圆； （3）作直线OP交圆X于Q、R；

（4）过P分别作XQ、XR的平行线交OC于S、T。 则S、T就是所求圆的圆心。

B 3、n等分线段问题 （1）三等分线段

方法一：过线段AB一端点做射线AO，依次截取三段等长线段AM 、MN 、NL，连接LB 过M 、N做平行于LB直线交AB与 X Y ，X 、Y为等分点。 方法二：将线段转成一三角形的一条中线再做AB边的中垂线（这步不用说明吧）交AB于M，连MC交AO于N（N即是ABC重心），AO=3NO。 方法三：线段AB，过A点做直线与AB夹60度，做角平分线AC，角CAB为30度，过B做垂线交AC与C，平分角ACB交AB于D，则AB=3DB。 方法五：已知线段AB，以AB为对角线作出平行四边形ACBD，作AC边与BD边的中点E与F，连接DE与CF，可三等分AB （2）n等分线段 首先可以仿照三等分线段方法一进行，下面介绍另外一种方法 如图，设AB为已知线段，以AB为一边作矩形ABCD，对角线AC、BD交于E1点，过E作AB的垂线EF1，垂足为F1，则F1是AB的二等分点；连结DF1交AC于点E2，过E2再作AB的垂线，垂足为F2，则F2是AB的一个三等分点，…如此进行下去，就可以得到线段AB的n等分点Fn。D E1 E2 E3 En C A

Fn F3 F2 F1 B