锐角三角函数的专项训练解析附答案

一、选择题

1．如图所示，RtAOB中，AOB90 ，顶点A,B分别在反比例函数y与y1x0x5x0的图象器上，则tanBAO的值为（ ） x

A．5 5B．5 C．25 5D．10

【答案】B 【解析】 【分析】

过A作AC⊥x轴，过B作BD⊥x轴于D，于是得到∠BDO=∠ACO=90°，根据反比例函数的

51OB5，根据三角函数的，S△AOC=，根据相似三角形的性质得到=

2OA2定义即可得到结论． 【详解】

解：过A作AC⊥x轴，过B作BD⊥x轴于D，

性质得到S△BDO=则∠BDO=∠ACO=90°，

∵顶点A，B分别在反比例函数y∴S△BDO=

51x0与yx0的图象上， xx51，S△AOC=，

22∵∠AOB=90°，

∴∠BOD+∠DBO=∠BOD+∠AOC=90°， ∴∠DBO=∠AOC， ∴△BDO∽△OCA，

SOB51∴△BOD5， S△OACOA22∴

2OB5， OAOB5. OA∴tan∠BAO=故选B.

【点睛】

本题考查了反比例函数的性质以及直角三角形的性质，三角形相似的判定和性质．解题时注意掌握数形结合思想的应用，注意掌握辅助线的作法．

2．公元三世纪，我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”如图所示，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形．如果大正方形的面积是125，小正方形面积是25，则sincos( )

2

A．

1 5B．5 5C．35 5D．

9 5【答案】A 【解析】 【分析】

根据正方形的面积公式可得大正方形的边长为55，小正方形的边长为5，再根据直角三角形的边角关系列式即可求解． 【详解】

解：∵大正方形的面积是125，小正方形面积是25， ∴大正方形的边长为55，小正方形的边长为5， ∴55cos55sin5，

∴cossin25， 5∴sincos故选：A． 【点睛】

1． 5本题考查了解直角三角形、勾股定理的证明和正方形的面积，难度适中，解题的关键是正确得出cossin5． 5

3．同学们参加综合实践活动时，看到木工师傅用“三弧法”在板材边角处作直角，其作法是：如图：

（1）作线段AB，分别以点A，B为圆心，AB长为半径作弧，两弧交于点C； （2）以点C为圆心，仍以AB长为半径作弧交AC的延长线于点D； （3）连接BD，BC．

根据以上作图过程及所作图形，下列结论中错误的是（ ）

A．∠ABD＝90° 【答案】D 【解析】 【分析】

B．CA＝CB＝CD C．sinA＝

3 2D．cosD＝

1 2由作法得CA＝CB＝CD＝AB，根据圆周角定理得到∠ABD＝90°，点C是△ABD的外心，根据三角函数的定义计算出∠D＝30°，则∠A＝60°，利用特殊角的三角函数值即可得到结论． 【详解】

由作法得CA＝CB＝CD＝AB，故B正确； ∴点B在以AD为直径的圆上， ∴∠ABD＝90°，故A正确； ∴点C是△ABD的外心，

AB1＝， AD2∴∠D＝30°，∠A＝60°，

在Rt△ABC中，sin∠D＝

∴sinA＝

33，故C正确；cosD＝，故D错误， 22故选：D． 【点睛】

本题考查了解直角三角形，三角形的外接圆与外心：三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心．也考查了圆周角定理和解直角三角形．

4．如图，点E从点A出发沿AB方向运动，点G从点B出发沿BC方向运动，同时出发且速度相同，DEGFAB（DE长度不变，F在G上方，D在E左边），当点D到达点B时，点E停止运动．在整个运动过程中，图中阴影部分面积的大小变化情况是（ ）

A．一直减小 【答案】B 【解析】 【分析】

连接GE，过点E作EM⊥BC于M，过点G作GN⊥AB于N，设AE=BG=x，然后利用锐角三角函数求出GN和EM，再根据S阴影=S△GDE＋S△EGF即可求出结论． 【详解】

解：连接GE，过点E作EM⊥BC于M，过点G作GN⊥AB于N

B．一直不变

C．先减小后增大

D．先增大后减小

设AE=BG=x，则BE=AB－AE=AB－x

sinB=x·sinB，EM=BE·sinB=（AB－x）·sinB ∴GN=BG·

∴S阴影=S△GDE＋S△EGF ====

11DE·GN＋GF·EM 2211DE·sinB）＋DE·[（AB－x）·sinB] （x·221DE·[x·sinB＋（AB－x）·sinB] 21DE·AB·sinB 2∵DE、AB和∠B都为定值 ∴S阴影也为定值

故选B． 【点睛】

此题考查的是锐角三角函数和求阴影部分的面积，掌握利用锐角三角函数解直角三角形和三角形的面积公式是解决此题的关键．

5．直角三角形纸片的两直角边长分别为6，8，现将VABC如图那样折叠，使点A与点B重合，折痕为DE，则tanCBE的值是（ ）

24 7A．B．

7 3C．

7 24D．

1 3【答案】C 【解析】

试题分析：根据题意，BE=AE．设BE=x，则CE=8-x． 在Rt△BCE中，x2=（8-x）2+62， 解得x=

25257=， ，故CE=8-444CE7. CB24∴tan∠CBE=故选C.

考点：锐角三角函数.

6．为了方便行人推车过某天桥,市在10m高的天桥一侧修建了40m长的斜道(如图所示),我们可以借助科学计算器求这条斜道倾斜角的度数,具体按键顺序是( )

A．B．C．D．【答案】A 【解析】 【分析】

先利用正弦的定义得到sinA=0.25，然后利用计算器求锐角∠A． 【详解】

解：因为AC＝40，BC＝10，sin∠A＝所以sin∠A＝0.25.

BC， AC所以用科学计算器求这条斜道倾斜角的度数时，按键顺序为

故选：A． 点睛：

本题考查了计算器-三角函数：正确使用计算器，一般情况下，三角函数值直接可以求出，已知三角函数值求角需要用第二功能键．

7．如图所示，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝8，CD是AB边上的中线，作CD的中垂线与CD交于点E，与BC交于点F．若CF＝x，tanA＝y，则x与y之间满足（ ）

A．

44x2 2yB．

44x2 2yC．

88x2 2yD．

88x2 2y【答案】A 【解析】 【分析】

由直角三角形斜边上的中线性质得出CD＝∠ACD，得出tan∠ACD＝

1AB＝AD＝4，由等腰三角形的性质得出∠A＝2GEGECE＝tanA＝y，证明△CEG∽△FEC，得出，得出y＝CEFECE424222222

y，求出＝2＝FE，再由勾股定理得出FE＝CF﹣CE＝x﹣4，即可得2，得出FEFEy出答案． 【详解】 解：如图所示：

∵在△ABC中，∠C＝90°，AB＝8，CD是AB边上的中线，

1AB＝AD＝4， 2∴∠A＝∠ACD， ∵EF垂直平分CD，

∴CD＝∴CE＝

1CD＝2，∠CEF＝∠CEG＝90°， 2∴tan∠ACD＝

GE＝tanA＝y， CE∵∠ACD+∠FCE＝∠CFE+∠FCE＝90°， ∴∠ACD＝∠FCE， ∴△CEG∽△FEC， ∴

GECE＝， CEFE2， FE4， FE2∴y＝

∴y2＝∴

422＝FE， y∵FE2＝CF2﹣CE2＝x2﹣4，

4∴2＝x2﹣4， y4∴2+4＝x2， y故选：A．

【点睛】

本题考查了解直角三角形、直角三角形斜边上的中线性质、等腰三角形的性质、相似三角形的判定与性质等知识；熟练掌握直角三角形的性质，证明三角形相似是解题的关键．

8．如图，ABC是一张顶角是120的三角形纸片，ABAC,BC6现将ABC折叠，使点B与点A重合，折痕DE，则DE的长为（ ）

A．1 【答案】A 【解析】

B．2

C．2 D．3 【分析】

作AH⊥BC于H，根据等腰三角形的性质求出BH，根据翻折变换的性质求出BD，根据正切的定答即可． 【详解】

解：作AH⊥BC于H，

∵AB=AC，AH⊥BC，

BH=

1BC=3， 2∵∠BAC=120°，AB=AC， ∴∠B=30°， ∴AB=

BH=23， cos30由翻折变换的性质可知，DB=DA=3， ∴DE=BD•tan30°=1， 故选：A． 【点睛】

此题考查翻折变换的性质、勾股定理的应用，解题关键在于掌握翻折变换是一种对称变换，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．

9．如图，AB是eO的弦，直径CD交AB于点E，若AEEB3，C15o，则

OE的长为( )

A．3 【答案】D 【解析】 【分析】

B．4 C．6

D．33 连接OA．证明OAB是等边三角形即可解决问题． 【详解】 如图，连接OA．

∵AEEB， ∴CDAB，

»， ∴»ADBD∴BODAOD2ACD30o， ∴AOB60o， ∵OAOB， ∴AOB是等边三角形， ∵AE3，

∴OEAEtan60o33， 故选D． 【点睛】

本题考查圆周角定理，勾股定理，垂径定理，解直角三角形等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．

10．如图，点O为△ABC边 AC的中点，连接BO并延长到点D,连接AD、CD，若BD=12，AC=8，∠AOD＝120°，则四边形ABCD的面积为（ ）

A．23 【答案】D 【解析】 【分析】

分别过点A、C作BD的垂线，垂足分别为M、N，通过题意可求出AM、CN的长度，可计算三角形ABD和三角形CBD的面积，相加即为四边形ABCD的面积. 【详解】

解：分别过点A、C作BD的垂线，垂足分别为M、N，

B．22

C．10

D．243

∵点O为△ABC边 AC的中点，AC=8， ∴AO=CO=4， ∵∠AOD＝120°，

∴∠AOB=60°，∠COD=60°， ∴sin∠AOBAMAM3， AO42sin∠CODCNCN3， CO42∴AM=23，CN=23， ∴S△ABDBDgAM1223123, 22S△BCDBDgCN1223123， 22∴S四边形ABCD=S△ABDS△BCD123123243 故选：D. 【点睛】

本题考查了三角函数的内容，熟练掌握特殊角的三角函数值是解题的关键.

11．在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，那么cosA的值是（ ） A．

4 5B．

3 5C．

4 3D．

3 4【答案】B 【解析】 【分析】

根据勾股定理，可得AB的长，根据锐角的余弦等于邻边比斜边，可得答案． 【详解】

解：在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4， 由勾股定理，得AB=AC2BC2=5

AC3= AB5故选：B． 【点睛】

cosA=

本题考查锐角三角函数的定义，在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边．

12．如图，在RtVABC中，ACB90，tanB3，CD为AB边上的中线，CE平4分ACB，则

AE的值（ ） AD

A．

3 5B．

3 4C．

4 5D．

6 7【答案】D 【解析】 【分析】

根据角平分线定理可得AE：BE＝AC：BC＝3:4，进而求得AE＝

3AB，再由点D为AB中点71AEAB，进而可求得的值． 2AD【详解】

得AD＝

解：∵CE平分ACB， ∴点E到ACB的两边距离相等， 设点E到ACB的两边距离位h， 则S△ACE＝

11AC·h，S△BCE＝BC·h， 2211AC·h：BC·h＝AC：BC， 22又∵S△ACE：S△BCE＝AE：BE， ∴AE：BE＝AC：BC，

∴S△ACE：S△BCE＝

∵在RtVABC中，ACB90，tanB∴AC：BC＝3:4， ∴AE：BE＝3:4 ∴AE＝

3， 43AB， 71AB， 2∵CD为AB边上的中线， ∴AD＝

3ABAE76， ∴

AD1AB72故选：D．

【点睛】

本题主要考查了角平分线定理的应用及三角函数的应用，通过面积比证得AE：BE＝AC：BC是解决本题的关键．

13．如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上的点，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点E，若∠A＝30°，则sin∠E的值为（ ）

A．

1 2B．

2 2C．

3 2D．

3 3【答案】A 【解析】 【分析】

首先连接OC，由CE是⊙O切线，可证得OC⊥CE，又由圆周角定理，求得∠BOC的度数，继而求得∠E的度数，然后由特殊角的三角函数值，求得答案． 【详解】 如图，连接OC，

∵CE是⊙O的切线， ∴∠OCE=90°， ∵OA=OC， ∴∠OCA=∠A=30°， ∴∠COE=∠A+∠OCA=60°， ∴∠E=180°-90°-60°=30°， ∴sinE=sin30°=故选A.

1. 2

14．如图，正方形ABCD中，点E、F分别在边CD，AD上，BE与CF交于点G.若

BC4，DEAF1，则GF的长为（ ）

A．

13 5B．

12 5C．

19 5D．

16 5【答案】A 【解析】 【分析】

根据正方形的性质以及勾股定理求得BECF5，证明BCECDF，根据全等三角形的性质可得CBEDCF，继而根据cosCBEcosECG求得CG的长，进而根据GFCFCG即可求得答案. 【详解】

∵四边形ABCD是正方形，BC4，

∴BCCDAD4，BCECDF90， ∵AFDE1， ∴DFCE3，

∴BECF32425， 在BCE和CDF中，

BCCG，可BECEBCCDBCECDF， CEDF∴BCECDF(SAS)， ∴CBEDCF，

∵CBECEBECGCEB90CGE，

cosCBEcosECG∴

BCCG， BECE4CG12，CG， 535∴GFCFCG5故选A. 【点睛】

1213， 55本题考查了正方形的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，三角函数等知识，综合性较强，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键.注意数形结合思想的运用.

15．将一副直角三角板如图放置，点C在FD的延长上，AB∥CF，∠F＝∠ACB＝90°，∠E＝30°，∠A＝45°，AC＝122，则CD的长为（ ）

A．43 【答案】B 【解析】 【分析】

B．12﹣43 C．12﹣63 D．63 过点B作BM⊥FD于点M，根据题意可求出BC的长度，然后在△EFD中可求出∠EDF＝60°，进而可得出答案． 【详解】

解：过点B作BM⊥FD于点M，

在△ACB中，∠ACB＝90°，∠A＝45°，AC＝122， ∴BC＝AC＝122． ∵AB∥CF，

∴BM＝BC×sin45°＝122CM＝BM＝12，

在△EFD中，∠F＝90°，∠E＝30°， ∴∠EDF＝60°，

∴MD＝BM÷tan60°＝43， ∴CD＝CM﹣MD＝12﹣43． 故选B．

212 2

【点睛】

本题考查了解直角三角形，难度较大，解答此类题目的关键根据题意建立直角三角形利用所学的三角函数的关系进行解答．

16．如图，有一个边长为2cm的正六边形纸片，若在该纸片上沿虚线剪一个最大圆形纸片，则这个圆形纸片的半径是（ ）

A．3cm 【答案】A 【解析】 【分析】

B．2cm C．23cm D．4cm

根据题意画出图形，再根据正多边形圆心角的求法求出∠AOB的度数，最后根据等腰三角形及直角三角形的性质解答即可． 【详解】

解：如图所示，正六边形的边长为2cm，OG⊥BC， ∵六边形ABCDEF是正六边形， ∴∠BOC=360°÷6=60°， ∵OB=OC，OG⊥BC，

1∠BOC =30°， 2∵OG⊥BC，OB=OC，BC=2cm，

∴∠BOG=∠COG=∴BG=∴OB=

11BC=×2=1cm， 22BG=2cm， sin30o∴OG=OB2BG222123， ∴圆形纸片的半径为3cm， 故选：A．

【点睛】

本题考查的是正多边形和圆，根据题意画出图形，利用直角三角形的性质及正六边形的性质解答是解答此题的关键．

17．如图，在VABC中，DE//BC,AFBC,ADE30，2DEBC,BF33,则DF的长为（）

A．4 C．3B．23 3 D．3

【答案】D 【解析】 【分析】

先利用相似三角形的相似比证明点D是AB的中点，再解直角三角形求得AB，最后利用直角三角形斜边中线性质求出DF． 【详解】 解：∵DE//BC， ∴VADE~VABC， ∵2DEBC， ∴点D是AB的中点，

∵AFBC,ADE30，BF33， ∴∠B＝30°，

BF6，

cos30∴DF=3， 故选：D． 【点睛】

∴AB此题主要考查相似三角形的判定与性质、解直角三角形和直角三角形斜边中线性质，熟练掌握性质的运用是解题关键．

18．如图1，在△ABC中，∠B＝90°，∠C＝30°，动点P从点B开始沿边BA、AC向点C以恒定的速度移动，动点Q从点B开始沿边BC向点C以恒定的速度移动，两点同时到达点C，设△BPQ的面积为y（cm2）．运动时间为x（s），y与x之间关系如图2所示，当点P恰好为AC的中点时，PQ的长为（ ）

A．2 【答案】C 【解析】 【分析】

B．4 C．23 D．43 点P、Q的速度比为3：3，根据x＝2，y＝63，确定P、Q运动的速度，即可求解． 【详解】

解：设AB＝a，∠C＝30°，则AC＝2a，BC＝3a， 设P、Q同时到达的时间为T， 则点P的速度为

3a3a，点Q的速度为，故点P、Q的速度比为3：3， TT故设点P、Q的速度分别为：3v、3v，

由图2知，当x＝2时，y＝63，此时点P到达点A的位置，即AB＝2×3v＝6v， BQ＝2×3v＝23v， y＝

11AB×BQ＝6v×23v＝63，解得：v＝1， 22故点P、Q的速度分别为：3，3，AB＝6v＝6＝a， 则AC＝12，BC＝63，

如图当点P在AC的中点时，PC＝6，

此时点P运动的距离为AB+AP＝12，需要的时间为12÷3＝4， 则BQ＝3x＝43，CQ＝BC﹣BQ＝63﹣43＝23， 过点P作PH⊥BC于点H，

PC＝6，则PH＝PCsinC＝6×

1＝3，同理CH＝33，则HQ＝CH﹣CQ＝33﹣23＝23，

PQ＝PH2HQ2＝39＝23，

故选：C． 【点睛】

本题考查的是动点图象问题，此类问题关键是：弄清楚不同时间段，图象和图形的对应关系，进而求解．

19．如图，在Rt△ABC内有边长分别为a，b，c的三个正方形．则a、b、c满足的关系式是（ ）

A．b=a+c 【答案】A 【解析】 【分析】

B．b=ac C．b2=a2+c2 D．b=2a=2c

利用解直角三角形知识.在边长为a和b两正方形上方的两直角三角形中由正切可得

abc，化简得b＝a＋c，故选A. bac【详解】

请在此输入详解！

20．如图，菱形ABCD中，AC交BD于点O，DE⊥BC于点E，连接OE，∠DOE＝120°，DE＝1，则BD＝（ ）

A．

3 3B．

23 3C．63 D．33 【答案】B 【解析】 【分析】

证明△OBE是等边三角形，然后解直角三角形即可． 【详解】

∵四边形ABCD是菱形，∴OD=OB，CD=BC． ∵DE⊥BC，∴∠DEB=90°，∴OE=OD=OB．

∵∠DOE=120°，∴∠BOE=60°，∴△OBE是等边三角形，∴∠DBC=60°．

∵∠DEB=90°，∴BD=故选B． 【点睛】

DE23． sin603本题考查了解直角三角形，菱形的性质，等边三角形的判定和性质，直角三角形斜边的中线的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．