九台区第三高级中学2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学

九台区第三高级中学2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学

班级__________

一、选择题

1． 已知一组函数fn（x）=sinnx+cosnx，x∈[0，①∀n∈N*，fn（x）≤

恒成立

]，n∈N*，则下列说法正确的个数是（

）

姓名__________ 分数__________

②若fn（x）为常数函数，则n=2③f4（x）在[0，A．0

B．1

]上单调递减，在[C．2

D．3

，

]上单调递增．

2． 已知函数y=f（x）对任意实数x都有f（1+x）=f（1﹣x），且函数f（x）在[1，+∞）上为单调函数．若数列{an}是公差不为0的等差数列，且f（a6）=f（a23），则{an}的前2之和S28=（ A．73． f（）=A．3

B．1

B．14，则f（2）=（ C．2

D．

）

D．2,5）

C．28

D．56

）

4． 已知全集U1,2,3,4,5,6,7，A2,4,6，B1,3,5,7，则A(ðUB)（ A．2,4,6 5． 已知实数x，y满足A．﹣2

B．﹣1

C．0

D．4

）

C．30米

D．20米

B．1,3,5

C．2,4,5

）

，则z=2x+y的最大值为（

6． 江岸边有一炮台高30米，江中有两条船，由炮台顶部测得俯角分别为45°和30°，而且两条船与炮台底部连线成30°角，则两条船相距（ A．10米

7． 给出定义：若

B．100米

（其中m为整数），则m叫做离实数x最近的整数，记作{x}，即{x}=m

在此基础上给出下列关于函数f（x）=|x﹣{x}|的四个命题：①③

；②f（3.4）=﹣0.4；

；④y=f（x）的定义域为R，值域是

）

D．③④

；

则其中真命题的序号是（ A．①②　　

B．①③

C．②④

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8． 设,是两个不同的平面，是一条直线，以下命题正确的是（ A．若l，，则l C．若l，//，则l A．若b⊂α，c∥α，则b∥cC．若b⊂α，b∥c，则c∥α　

B．若l//，

）

//，则l

D．若l//，，则l）

9． 设b，c表示两条直线，α，β表示两个平面，则下列命题是真命题的是（

B．若c∥α，α⊥β，则c⊥βD．若c∥α，c⊥β，则α⊥β

的定义域，则A∩B=（

10．设集合A={x|x2+x﹣6≤0}，集合B为函数A．（1，2）B．[1，2]11．给出下列两个结论：

C．[1，2）

D．（1，2]

）

①若命题p：∃x0∈R，x02+x0+1＜0，则￢p：∀x∈R，x2+x+1≥0；

②命题“若m＞0，则方程x2+x﹣m=0有实数根”的逆否命题为“若方程x2+x﹣m=0没有实数根，则m≤0”；：则判断正确的是（ A．①对②错结论正确的是（

）

B．①错②对）

C．①②都对

D．①②都错

12．已知某市两次数学测试的成绩ξ1和ξ2分别服从正态分布ξ1：N1（90，86）和ξ2：N2（93，79），则以下A．第一次测试的平均分比第二次测试的平均分要高，也比第二次成绩稳定B．第一次测试的平均分比第二次测试的平均分要高，但不如第二次成绩稳定C．第二次测试的平均分比第一次测试的平均分要高，也比第一次成绩稳定D．第二次测试的平均分比第一次测试的平均分要高，但不如第一次成绩稳定　

二、填空题

13．抛物线y2=﹣8x上到焦点距离等于6的点的坐标是　　　　　　．14．已知x、y之间的一组数据如下：x01y82则线性回归方程名学生回答如下：

甲说：“我们四人都没考好．” 乙说：“我们四人中有人考的好．” 丙说：“乙和丁至少有一人没考好．” 丁说：“我没考好．”

2

6

34

所表示的直线必经过点　　　　　　．15．刘老师带甲、乙、丙、丁四名学生去西安参加自主招生考试，考试结束后刘老师向四名学生了解考试情况．四

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结果，四名学生中有两人说对了，则这四名学生中的 两人说对了．

16．若命题“∃x∈R，x2﹣2x+m≤0”是假命题，则m的取值范围是　　．17．在极坐标系中，O是极点，设点A，B的极坐标分别是（2的距离是　　　　　　．18．某慢性疾病患者，因病到医院就医，医生给他开了处方药（片剂),要求此患者每天早、晚间隔

小时各

服一次药，每次一片，每片毫克．假设该患者的肾脏每小时从体内大约排出这种药在其体内残留量的

，并且医生认为这种药在体内的残留量不超过毫克时无明显副作用．若该患者第一天上午点第一次服药，则第二天上午点服完药时，药在其体内的残留量是 毫克，若该患者坚持长期服用此药 明显副作用（此空填“有”或“无”）

，

），（3，

），则O点到直线AB

三、解答题

19．已知m∈R，函数f（x）=（x2+mx+m）ex．（1）若函数f（x）没有零点，求实数m的取值范围；

（2）若函数f（x）存在极大值，并记为g（m），求g（m）的表达式；（3）当m=0时，求证：f（x）≥x2+x3．　

20．【南京市2018届高三数学上学期期初学情调研】已知函数f（x）＝2x3－3（a+1）x2＋6ax，a∈R．（Ⅰ）曲线y＝f（x）在x＝0处的切线的斜率为3，求a的值；

（Ⅱ）若对于任意x∈（0，+∞），f（x）＋f（－x）≥12lnx恒成立，求a的取值范围；（Ⅲ）若a＞1，设函数f（x）在区间[1，2]上的最大值、最小值分别为M（a）、m（a），记h（a）＝M（a）－m（a），求h（a）的最小值．

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21．已知在平面直角坐标系中的一个椭圆，它的中心在原点，左焦点为（1）求该椭圆的标准方程；（2）设点　

，若P是椭圆上的动点，求线段PA的中点M的轨迹方程．

，且过点D（2，0）．

22．（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲

ABAAF，BF与AD、AO分别交于点E、如图所示，BC是半圆O的直径，ADBC，垂足为D，AG．

（1）证明：DAOFBC； （2）证明：AEBE．

AGEBDOFC23．设函数f（x）=lnx﹣ax+﹣1．

（Ⅰ）当a=1时，求曲线f（x）在x=1处的切线方程；（Ⅱ）当a=时，求函数f（x）的单调区间；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，设函数g（x）=x2﹣2bx﹣立，求实数b的取值范围．

，若对于∀x1∈[1，2]，∃x2∈[0，1]，使f（x1）≥g（x2）成

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24．如图所示，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为菱形，E为AC与BD的交点，PA平面ABCD，M为PA中点，N为BC中点．（1）证明：直线MN//平面ABCD；

（2）若点Q为PC中点，BAD120，PA3，AB1，求三棱锥AQCD的体积．

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九台区第三高级中学2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学（参）一、选择题

1． 【答案】 D

【解析】解：①∵x∈[0，

]，∴fn（x）=sinnx+cosnx≤sinx+cosx=

≤

，因此正确；

②当n=1时，f1（x）=sinx+cosx，不是常数函数；当n=2时，f2（x）=sin2x+cos2x=1为常数函数，当n≠2时，令sin2x=t∈[0，1]，则fn（x）=

，当t∈

当t∈

+

=g（t），g′（t）=

﹣

=

时，g′（t）＜0，函数g（t）单调递减；

时，g′（t）＞0，函数g（t）单调递增加，因此函数fn（x）不是常数函数，因此②正确．

=，

=

+，当x∈[0，

，

]

③f4（x）=sin4x+cos4x=（sin2x+cos2x）2﹣2sin2xcos2x=1﹣]，4x∈[0，π]，因此f4（x）在[0，上单调递增，因此正确．综上可得：①②③都正确．故选：D．

]上单调递减，当x∈[

]，4x∈[π，2π]，因此f4（x）在[

【点评】本题考查了三角函数的图象与性质、倍角公式、平方公式、两角和差的正弦公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．　

2． 【答案】C

【解析】解：∵函数y=f（x）对任意实数x都有f（1+x）=f（1﹣x），且函数f（x）在[1，+∞）上为单调函数．∴函数f（x）关于直线x=1对称，

∵数列{an}是公差不为0的等差数列，且f（a6）=f（a23），∴a6+a23=2．

则{an}的前2之和S28=故选：C．

【点评】本题考查了等差数列的通项公式性质及其前n项和公式、函数的对称性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．　

3． 【答案】A

=14（a6+a23）=28．

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【解析】解：∵f（）=∴f（2）=f（

）=

，=3．

故选：A．　

4． 【答案】A

考点：集合交集，并集和补集．

【易错点晴】集合的三要素是：确定性、互异性和无序性.研究一个集合，我们首先要看清楚它的研究对象，是实数还是点的坐标还是其它的一些元素，这是很关键的一步.第二步常常是解一元二次不等式，我们首先用十字相乘法分解因式，求得不等式的解集.在解分式不等式的过程中，要注意分母不能为零.元素与集合之间是属于和不属于的关系，集合与集合间有包含关系. 在求交集时注意区间端点的取舍. 熟练画数轴来解交集、并集和补集的题目.5． 【答案】D

【解析】解：画出满足条件的平面区域，如图示：

，

将z=2x+y转化为：y=﹣2x+z，

由图象得：y=﹣2x+z过（1，2）时，z最大，Z最大值=4，故选：D．

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【点评】本题考查了简单的线性规划问题，考查了数形结合思想，是一道基础题．　

6． 【答案】C

【解析】解：如图，过炮台顶部A作水平面的垂线，垂足为B，设A处观测小船C的俯角为45°，设A处观测小船D的俯角为30°，连接BC、BDRt△ABC中，∠ACB=45°，可得BC=AB=30米Rt△ABD中，∠ADB=30°，可得BD=在△BCD中，BC=30米，BD=30由余弦定理可得：

CD2=BC2+BD2﹣2BCBDcos30°=900∴CD=30米（负值舍去）故选：C

AB=30

米

米，∠CBD=30°，

【点评】本题给出实际应用问题，求炮台旁边两条小船距的距离．着重考查了余弦定理、空间线面的位置关系等知识，属于中档题．熟练掌握直线与平面所成角的定义与余弦定理解三角形，是解决本题的关键．　

7． 【答案】B

【解析】解：①∵﹣1﹣＜﹣≤﹣1+∴{﹣}=﹣1

∴f（﹣）=|﹣﹣{﹣}|=|﹣+1|=∴①正确；②∵3﹣＜3.4≤3+∴{3.4}=3

∴f（3.4）=|3.4﹣{3.4}|=|3.4﹣3|=0.4∴②错误；

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③∵0﹣＜﹣≤0+∴{﹣}=0

∴f（﹣）=|﹣﹣0|=，∵0﹣＜≤0+∴{}=0

∴f（）=|﹣0|=，∴f（﹣）=f（）∴③正确；

④y=f（x）的定义域为R，值域是[0，]∴④错误．故选：B．

【点评】本题主要考查对于新定义的理解与运用，是对学生能力的考查．　

8． 【答案】C111]【解析】

考

点：线线，线面，面面的位置关系9． 【答案】D

【解析】解：对于A，设正方体的上底面为α，下底面为β，直线c是平面β内一条直线因为α∥β，c⊂β，可得c∥α，而正方体上底面为α内的任意直线b不一定与直线c平行故b⊂α，c∥α，不能推出b∥c．得A项不正确；

对于B，因为α⊥β，设α∩β=b，若直线c∥b，则满足c∥α，α⊥β，但此时直线c⊂β或c∥β，推不出c⊥β，故B项不正确；对于C，当b⊂α，c⊄α且b∥c时，可推出c∥α．但是条件中缺少“c⊄α”这一条，故C项不正确；

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对于D，因为c∥α，设经过c的平面γ交平面α于b，则有c∥b结合c⊥β得b⊥β，由b⊂α可得α⊥β，故D项是真命题故选：D

【点评】本题给出空间位置关系的几个命题，要我们找出其中的真命题，着重考查了线面平行、线面垂直的判定与性质，面面垂直的判定与性质等知识，属于中档题．　

10．【答案】D

【解析】解：A={x|x2+x﹣6≤0}={x|﹣3≤x≤2}=[﹣3，2]，要使函数y=

有意义，则x﹣1＞0，即x＞1，

∴函数的定义域B=（1，+∞），则A∩B=（1，2]，故选：D．

【点评】本题主要考查集合的基本运算，利用函数成立的条件求出函数的定义域y以及利用不等式的解法求出集合A是解决本题的关键，比较基础　

11．【答案】C

①命题p是一个特称命题，它的否定是全称命题，￢p是全称命题，所以①正确．【解析】解：②根据逆否命题的定义可知②正确．故选C．

【点评】考查特称命题，全称命题，和逆否命题的概念．

12．【答案】C

【解析】解：∵某市两次数学测试的成绩ξ1和ξ2分别服从正态分布ξ1：N1（90，86）和ξ2：N2（93，79），∴μ1=90，▱1=86，μ2=93，▱2=79，

∴第二次测试的平均分比第一次测试的平均分要高，也比第一次成绩稳定，故选：C．

【点评】本题考查正态分布曲线的特点，考查学生分析解决问题的能力，比较基础．　

二、填空题

13．【答案】　（﹣4，

）　．

【解析】解：∵抛物线方程为y2=﹣8x，可得2p=8， =2．∴抛物线的焦点为F（﹣2，0），准线为x=2．

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设抛物线上点P（m，n）到焦点F的距离等于6，

根据抛物线的定义，得点P到F的距离等于P到准线的距离，即|PF|=﹣m+2=6，解得m=﹣4，∴n2=8m=32，可得n=±4因此，点P的坐标为（﹣4，故答案为：（﹣4，

）．，

）．

【点评】本题给出抛物线的方程，求抛物线上到焦点的距离等于定长的点的坐标．着重考查了抛物线的定义与标准方程等知识，属于基础题．　

14．【答案】　（，5）　．

【解析】解：∵故选C

【点评】解决线性回归直线的方程，利用最小二乘法求出直线的截距和斜率，注意由公式判断出回归直线一定过样本中心点．　

15．【答案】乙 ，丙【解析】【解析】

甲与乙的关系是对立事件，二人说话矛盾，必有一对一错，如果选丁正确，则丙也是对的，所以丁错误，可得丙正确，此时乙正确。故答案为：乙，丙。

16．【答案】　m＞1　．

【解析】解：若命题“∃x∈R，x2﹣2x+m≤0”是假命题，则命题“∀x∈R，x2﹣2x+m＞0”是真命题，即判别式△=4﹣4m＜0，解得m＞1，故答案为：m＞1　

17．【答案】　

　．

，

=5

∴线性回归方程y=a+bx所表示的直线必经过点（1.5，5）

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B的极坐标分别是（2【解析】解：根据点A，）、（﹣，

），

，故直线AB的方程为 y﹣

=

，3，），（B的直角坐标分别是（3，），可得A、

故AB的斜率为﹣=﹣，

（x﹣3），即x+3y﹣12=0，

所以O点到直线AB的距离是故答案为：

．

【点评】本题主要考查把点的极坐标化为直角坐标的方法，点到直线的距离公式的应用，属于基础题．

18．【答案】 , 无．【解析】【知识点】等比数列

【试题解析】设该病人第n次服药后，药在体内的残留量为所以由所以所以

所以若该患者坚持长期服用此药无明显副作用。故答案为： , 无．

是一个等比数列，

）=300，

，

毫克，

=350．

三、解答题

19．【答案】

【解析】解：（1）令f（x）=0，得（x2+mx+m）ex=0，所以x2+mx+m=0．因为函数f（x）没有零点，所以△=m2﹣4m＜0，所以0＜m＜4．（2）f'（x）=（2x+m）ex+（x2+mx+m）ex=（x+2）（x+m）ex，令f'（x）=0，得x=﹣2，或x=﹣m，当m＞2时，﹣m＜﹣2．列出下表：x

（﹣∞，﹣m）

﹣m0

（﹣m，﹣2）﹣

﹣20（4﹣m）e﹣2

（﹣2，+∞）+↗

f'（x）+f（x）↗

me﹣m↘

当x=﹣m时，f（x）取得极大值me﹣m．

当m=2时，f'（x）=（x+2）2ex≥0，f（x）在R上为增函数，所以f（x）无极大值．

当m＜2时，﹣m＞﹣2．列出下表：

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x（﹣∞，﹣2）﹣20（4﹣m）e﹣2

（﹣2，﹣m）﹣↘

﹣m0

（﹣m，+∞）+

f'（x）+f（x）↗

me﹣m↗

当x=﹣2时，f（x）取得极大值（4﹣m）e﹣2，所以

（3）当m=0时，f（x）=x2ex，令ϕ（x）=ex﹣1﹣x，则ϕ'（x）=ex﹣1，

当x＞0时，φ'（x）＞0，φ（x）为增函数；当x＜0时，φ'（x）＜0，φ（x）为减函数，所以当x=0时，φ（x）取得最小值0．

所以φ（x）≥φ（0）=0，ex﹣1﹣x≥0，所以ex≥1+x，因此x2ex≥x2+x3，即f（x）≥x2+x3．

【点评】本题考查的知识点是利用导数研究函数的单调性，利用函数研究函数的极值，其中根据已知函数的解析式，求出函数的导函数是解答此类问题的关键．　

20．【答案】（1）a＝

118（2）（－∞，－1－]．（3）2e27【解析】

f（x）＋f（－x）＝－6（a＋1）x2≥12lnx对任意x∈（0，+∞）恒成立，所以－（a＋1）≥

（2）

212lnx2lnx令g（x）＝2，x＞0，则g（x）＝．

x3x令g（x）＝0，解得x＝e．

当x∈（0，e）时，g（x）＞0，所以g（x）在（0，e）上单调递增；

2lnx．2x第 13 页，共 18 页

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当x∈（e，＋∞）时，g（x）＜0，所以g（x）在（e，＋∞）上单调递减．所以g（x）max＝g（e）＝所以－（a＋1）≥

1，e11，即a≤－1－，ee1所以a的取值范围为（－∞，－1－]．

e（3）因为f（x）＝2x3－3（a＋1）x2＋6ax，

所以f ′（x）＝6x2－6（a＋1）x＋6a＝6（x－1）（x－a），f（1）＝3a－1，f（2）＝4．令f ′（x）＝0，则x＝1或a． f（1）＝3a－1，f（2）＝4．

②当

5＜a＜2时，3当x∈（1，a）时，f （x）＜0，所以f（x）在（1，a）上单调递减；当x∈（a，2）时，f （x）＞0，所以f（x）在（a，2）上单调递增．

又因为f（1）＞f（2），所以M（a）＝f（1）＝3a－1，m（a）＝f（a）＝－a3＋3a2，所以h（a）＝M（a）－m（a）＝3a－1－（－a3＋3a2）＝a3－3a2＋3a－1．因为h （a）＝3a2－6a＋3＝3（a－1）2≥0．

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所以h（a）在（所以当a∈（

5，2）上单调递增，3558，2）时，h（a）＞h（）＝．3327③当a≥2时，

当x∈（1，2）时，f （x）＜0，所以f（x）在（1，2）上单调递减，所以M（a）＝f（1）＝3a－1，m（a）＝f（2）＝4，所以h（a）＝M（a）－m（a）＝3a－1－4＝3a－5，所以h（a）在[2，＋∞）上的最小值为h（2）＝1．综上，h（a）的最小值为

8．27点睛：已知函数最值求参数值或取值范围的一般方法：（1）利用导数结合参数讨论函数最值取法，根据最值列等量关系，确定参数值或取值范围；（2）利用最值转化为不等式恒成立问题，结合变量分离转化为不含参数的函数，利用导数求新函数最值得参数值或取值范围.21．【答案】

【解析】解：（1）由题意知椭圆的焦点在x轴上，设椭圆的标准方程是∵椭圆经过点D（2，0），左焦点为∴a=2，

，可得b=

=1．

，

因此，椭圆的标准方程为

（2）设点P的坐标是（x0，y0），线段PA的中点为M（x，y），

由根据中点坐标公式，可得，整理得，

∵点P（x0，y0）在椭圆上，∴可得

，化简整理得

．

，

由此可得线段PA中点M的轨迹方程是

【点评】本题给出椭足的条件，求椭圆方程并求与之有关的一个轨迹方程，着重考查了椭圆的标准方程、简单几何性质和轨迹方程的求法等知识点，属于中档题．

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22．【答案】

【解析】（1）连接FC，OF，

ABAAF，OBOF，∵A∴点G是BF的中点，OGBF．∵BC是AO的直径，∴CFBF．∴OG//CF．∴AOBFCB，

∴DAO90AOB,FBC90FCB，∴DAOFBC．

（2）在RtOAD与RtOBG中，由（1）知DAOGBO，又OAOB，

∴OADOBG，于是ODOG．∴AGOAOGOBODBD．在RtAGE与RtBDE中，由于DAOFBC，AGBD，∴AGEBDE，∴AEBE．

23．【答案】

【解析】解：函数f（x）的定义域为（0，+∞），（Ⅰ）当a=1时，f（x）=lnx﹣x﹣1，∴f（1）=﹣2，

∴f′（1）=0，∴f（x）在x=1处的切线方程为y=﹣2（5分）（Ⅱ）

=

（6分）

，

AGEBDOFC（2分）

令f′（x）＜0，可得0＜x＜1，或x＞2；令f'（x）＞0，可得1＜x＜2故当

时，函数f（x）的单调递增区间为（1，2）；单调递减区间为（0，1），（2，+∞）.

时，由（Ⅱ）可知函数f（x）在（1，2）上为增函数，

（9分）

（Ⅲ）当

∴函数f（x）在[1，2]上的最小值为f（1）=

若对于∀x1∈[1，2]，∃x2∈[0，1]使f（x1）≥g（x2）成立，等价于g（x）在[0，1]上的最小值不大于f（x）在（0，e]上的最小值

（*）

（10分）

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又

①当b＜0时，g（x）在[0，1]上为增函数，②当0≤b≤1时，

③当b＞1时，g（x）在[0，1]上为减函数，此时b＞1（11分）综上，b的取值范围是

（12分）

，x∈[0，1]

与（*）矛盾

，由

及0≤b≤1得，

，

【点评】本题考查导数知识的运用，考查导数的几何意义，考查函数的单调性，考查恒成立问题，解题的关键是将对于∀x1∈[1，2]，∃x2∈[0，1]使f（x1）≥g（x2）成立，转化为g（x）在[0，1]上的最小值不大于f（x）在（0，e]上的最小值．

24．【答案】（1）证明见解析；（2）【解析】

1.8试题解析：（1）证明：取PD中点R，连结MR，RC，∵MR//AD，NC//AD，MRNC∴MR//NC，MRAC，∴四边形MNCR为平行四边形，

∴MN//RC，又∵RC平面PCD，MN平面PCD，∴MN//平面PCD．

（2）由已知条件得ACADCD1，所以SACD所以VAQCDVQACD1AD，23，4111SACDPA．328第 17 页，共 18 页

精选高中模拟试卷

考点：1、直线与平面平行的判定；2、等积变换及棱锥的体积公式.

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