整式的乘法与乘法公式(教师版)

教学课题 教学目标 整式的乘法与乘法公式 1.掌握整式的乘法、除法法则，会进行单项式与多项式的乘除运算，并熟练地进行整式的计算与化简； 2.认识平方差公式与完全平方公式，并了解公式的意义并用其简化计算和解决简单的实际问题； 重点：掌握整式乘除的乘法、除法法则，理解并运用乘法公式； 难点：迅速准确地进行整式的乘法运算及运算过程中的系数与符号问题，理解乘法公式中字母的广泛含义； 教学重难点 知识网络归纳： aman=amnmnmn幂的运算法则(a)a(m,n为正整数，a,b可为一个单项式或一个式项式)(ab)nanbn整式单项式单项式 的乘单项式多项式:m(ab)mamb法 整式的乘法多项式多项式：(mn)(ab)mambnanb22平方差公式:(ab)(ab)ab特殊的　　乘法公式(ab)2a22abb2完全平方公式： 知识点一：整式乘法的简单运用 注意：正确处理运算中的“符号”，避免以下错误，如：例一： 一样大 0 例二：下列各式计算正确的是（ D ） A、a2b2等； 3a6b6 B、a2ba2b5 251131 412C、abab D、a3b2a6b4943例三：333mm1的值是（ C ） m1A、1 B、－1 C、0 D、3例四：化简下列结果 (1)axy3abyx 32 (2)235a53a73a7 2(3)(2yx)(x2y)_____________ (4)(3ab)___________________,(2ab)______________________ (5)(ab)(ab)____________,(x2y)_________________________ (6)(－4x－y)(－5x＋2y) (7)(x＋2)(x＋3)－(x＋6)(x－1) 22(8)求(a＋b)－(a－b)－4ab的值，其中a＝2002，b＝2001； 0 （9）化简a(bc)b(ca)c(ab)的结果是（2ab-2bc） 22222知识点二：巧用幂的运算和乘法公式简化运算 方法1：逆用幂的三条运算法则简化计算 例一：(1) 计算：(1 (1) (2)已知3×9×27＝3，求m的值； N=4 (2)相等的两个幂，如果其底数相同，则其指数相等，据此可列方程求解。 (3) 已知x＝4，求(3x)－4(x)512 (3)此题关键在于将待求式(3x3n)2－4(x2) 2n用含x2n的代数式表示，利用(xm)n＝(xn)m这一性质加以转化。 （4）已知：3M=0.5 方法2：巧用乘法公式简化计算 例二：计算(1)(19m2n3n22 2nm m21319961)(3)1996； 1033131031，只有逆用积的乘方的运算性质，才能使运算简便。 103103的值； 27m36，求m； 12

1111)(1)(1) 2224282152

思路分析：在进行多项式乘法运算时，应先观察给出的算式是否符合或可转化成某公式的形式，如果符合则应用公式计算，若不符合则运用多项式乘法法则计算。观察本题容易发现缺少因式(1)，如果能通过恒等变形构造一个因式(1)，则运用平方差公式就会迎刃而解。 解：原式＝2(1)(1)(1 1212111111 )(1)(1)2481522222211111＝2(12)(12)(14)(18)15 222221111＝2(14)(14)(18)15 2222111＝2(18)(18)15 22211＝2(116)15 221111＝221615215152. 2222 方法3：将条件或结论巧妙变形简化计算 例三：计算2003002－2003021×2003023 原式＝20030022－(2003002－1)(2003002＋1) ＝20030022－(20030022－1) ＝20030022－20030022＋1 ＝1 2点评：此例通过把2003021化成(2003023－1)，把2003023化成(2003022＋1)，从而可以运用平方差公式得到(20030222－1)，使计算大大简化。由此可见乘法公式与因式分解在数值计算中有很重要的巧妙作用，注意不断总结积累经验。 例四：已知(x＋y)＝1，(x－y)＝49，求x＋y与xy的值。 2222(xy)2(xy)214925. 解法1：x＋y＝2222 (xy)2(xy)2149xy12. 44 ① ② 解法2：由(x＋y)2＝1得x2＋2xy＋y2＝1. 由(x－y)2＝49得x2＋y2－2xy＝49. ①－②得4xy＝－48，所以xy＝－12. 3

点评：解决本题关键是如何由(x＋y)2、(x－y)2表示出x2＋y2和xy，显然都要从完全平方公式中找突破口。以上两种解法，解法1更简单。 知识点三：整式乘法在求代数式值中的应用 方法1：先将求值式化简，再代入求值 例一：先化简，再求值 (a－2b)＋(a－b)(a＋b)－2(a－3b)(a－b)，其中a＝21，b＝－3 2思路分析：本题是一个含有整式乘方、乘法、加减混合运算的代数式，根据特点灵活选用相应的公式或法则是解题的关键。 解：原式＝a2－4ab＋4b2＋a2－b2－2(a2－4ab＋3b2) ＝2a2－4ab＋3b2－2a2＋8ab－6b2＝4ab－3b2。 当a＝ 11，b＝－3时，原式＝4××(－3)－3×(－3)2＝－6－27＝－33. 22方法2：整体代入求值 例二：当代数式a＋b的值为3时，代数式2a＋2b＋1的值是（ C ） A、5 例三：若代数式2a3a1的值为6，则代数式6a9a5的值为 20 . 例四：已知;aa10，求a2a1999的值 2000 23222 B、6 C、7 D、8 x2y2xy的值 例五：已知x(x1)(xy)3，求22x-y=-3 知识点四：学科内综合运用（数学思想方法简介） 1.从特殊到一般的认识规律和方法 在探索幂的运算法则时，都是从几个特殊例子出发，再推出法则。 如：从以下几个特殊的例子a·a＝aaaaa＝a＝a2352＋3， 2个3个4

a·a＝aaaaaaaaaa＝a＝a4个6个46104＋6， 推广到a·a＝aam个mnaaan个a＝am+n。 从而得到法则“同底数幂相乘，底数不变，指数相加”。 2.化归思想 即将要解决的问题转化为另一个较易解决的问题或已经解决的问题，这是初中数学中最常用的思想方法，如在本章中，单项式乘以单项式可转化为有理数乘法和同底数幂的乘法运算；单项式乘以多项式以及多项式乘多×单单×单。还有：如比较4与15以多项式都可转化为单项式乘以单项式，即多×多20转化转化10的大小，通常也是将要比较的两个数化为底数相同或指数相同的形式，再进行比较，即4＝(4)＝16，16．．＞15，所以4＞15。 3.逆向变换的方法 102010202101010在进行有些整式乘法运算时，逆用公式可使计算简便。这样的例子很多，前边已举了一些，这里再举一例。 例：()5720021.42003 4.整体代换的方法 此方法的最典型应用表现于乘法公式中，公式中的字母a、b不仅可以表示一个单项式，还可以表示一个多项式，在因式分解3a(m－2)＋4b(m－2)中，可把m－2看作一个整体，提公因式m－2，即原式＝(m－2)(3a＋4b)。 例一：（与方程综合）一个长方形的长增加4 cm，宽减少1 cm，面积保持不变；长减少2 cm，宽增加1 cm，面积仍保持不变。求这个长方形的面积。 解：设这个长方形的长为a cm，宽为b cm，由题意得 (a4)(b1)ab,a4b40, 即 (a2)(b1)ab,a2b20.解得a8, b3.因为ab＝8×3＝24，所以这个长方形面积为24 cm2。 例二：解不等式(y2)(3y)(y3)1 Y<-3 例三：生物课上老师讲到农作的需要的肥料主要有氮、磷、钾三种，现有某种复合肥共50千克，分别含氮23%、磷11%、钾6%，求此种肥料共含有肥料多少千克？ 5

2解：50×23%＋50×11%＋50×6%＝50（23%＋11%＋6%）＝50×40%＝20. 答：复合肥共含有肥料20千克。 例四：（整除问题）2－1可以被60和70之间某两个数整除，求这两个数。 思路分析：由248－1＝(224)2－1＝(224＋1)( 224－1)＝(224＋1)(212＋1) (212－1) ＝(224＋1)(212＋1)(26＋1)(26－1) ＝(224＋1)(212＋1)×(＋1)(－1) ＝(224＋1)(212＋1)×65×63， 48所以这两个数是65和63。 知识点五：解题方法、技巧 技巧1：构造求值型 例一：已知x+y=1，那么121xxyy2的值为_______. 22分析：通过已知条件，不能分别求出x、y的值，所以要考虑把所求式进行变形，构造出x+y的整体形式. 在此过程中我们要用完全平方公式对因式分解中的. 12111111xxyy2=（x2+2xy+y2）=(x+y)2 = 12 = 1 = . 22222221在此过程中，我们先提取公因式，再用完全平方公式对原式进行因式分解，产生x+y的整体形式，最后2将x+y=1代入求出最终结果. 例二：计算：22222318219220___________. 分析：为了便于观察，我们将原式“倒过来”，即 原式 = 2 2021921823222 18 = 2(21)2 = 2191923222 21823222 32 = 2(21)222 183218 = 2222 = …… = 22 + 2 = 4+2 = 6. 此题的解题过程中，巧妙地用到了提公因式法进行分解因式，使结构特点明朗化，规律凸现出来. 此题解法很多，比如，我们还可以采用整体思想，把原式看作一个整体，利用方程与提公因式法分解因式相结合的方法解答此题. 设M = 22222318219220，则-M = 22223218219220 6

M2(1222218219)2[1(222218219)]2[1(M4-2219220)]2M6 即 M2M-6. 解得 M = 6. 技巧2：探索规律型 例三：观察下列各式：l+1=1×2，2+2=2×3，3+3＝3×4，…… 请你将猜想到的规律用自然数n(n≥1)表示出来 n+n=n(n+1) . 例四：请先观察下列算式，再填空： 2222321281，523282． （1）758× 3 ； （2）9－（ 7 ）＝8×4； （3）（ 11 ）－9＝8×5； （4）13－（11 ）＝8× 7 ；…… 通过观察归纳，写出反映这种规律的一般结论 (2n+1)2 – (2n-1)2 = [(2n+1)+(2n-1)] [(2n+1)-(2n-1)] = 4n×2 = 8n. 例五：你能很快算出 1995吗？ 为了解决这个问题，我们考察个位上的数字是5的自然数的平方，任意一个个位数为5的自然数可写成即求10n5的值（n为正整数），你分析n=1、n=2，…这些简单情况，从中探索其规律，并归纳、10n5，2222222222猜想出结论（在下面的空格内填上你探索的结果）。 （1）通过计算，探索规律 215=225 可写成100×1×（1+1）+25 225=625 可写成100×2×（2+1）+25 235=1225 可写成100×3×（3+1）+25 245=2025 可写成100×4×（4+1）+25 … 7525625 可写成 100*7*8=25 。 8527225 可写成 100*8*9+25 。 （2）从第（1）题的结果归纳、猜想得：10n5 100*n*（n+1）+25 。 2（3）根据上面的归纳、猜想，请算出：1995 3980025 。 7

2 技巧3：开放创新型 例六：请写出一个三项式，使它能先提公因式，在运用公式来分解。 你编写的三项式是_______________，分解的结果是________________. 分析：利用整式乘法与因式分解的互逆关系，可以先利用乘法公式中的完全平方公式，写出一个等式，在它的两边都乘一个因式，比如 2223222m(m+n) = 2m(m+2mn+n)=2m+2mn+2mn, 22222223a(2x-5y)=3a[(2x)-2×2x×5y+(5y)]=3a(4x-20xy+25y)=12ax-60axy+75ay，等等. 3222于是编写的三项式可以是2m+2mn+2mn，分解因式的结果是2m(m+n)； 222或者编写的三项式可以是12ax-60axy+75ay，分解因式的结果是3a(2x-5y)，等等. 2例七：多项式9x + 1加上一个单项式后，使它能成为一个整式的完全平方，那么加上的单项式可以是_________________________(填上一个你认为正确的即可)。 ．．分析：根据完全平方公式a2±2ab+b2= (a±b)2的特点，若9x1表示了a2+b2的话，则有a=3x，b=1，所以，缺少的一项为±2ab=±2（3x）·1=±6x，此时，9x + 1±6x=(3x±1)2；如果认为9x + 1表示了2ab+b22的话，则有a=4.5x2，b=1，所以，缺少的一项为a2=（4.5x）2= 20.25x4，此时，20.25x4+9x + 1=(4.5x2+1)2. 从另外一个角度考虑，“一个整式的完全平方”中所指的“整式”既可以是上面所提到的多项式，也可以2是单项式. 注意到9x2=(3x)2，1=12，所以，保留二项式9x + 1中的任何一项，都是“一个整式的完全平方”，22故所加单项式还可以是-1或者 - 9x2，此时有9x + 1-1=9x2=(3x)2，或者9x + 1-9x2=12. 综上分析，可知所加上的单项式可以是±6x、20.25x4、-1或者 - 9x2. 技巧4：数形结合型 222例八：如图1，在长为a 的正方形中挖掉一个边长为b的小正方形(a＞b)把余下的部分剪拼成一个矩形(如图2),通过计算两个图形(阴影部分)的面积，验证了一个等式,则这个等式是( A ) A．a－b＝(a十b)(a—b) B．(a＋b)＝a＋2ab 十b C．(a－b)＝a－2ab＋b D．(a十2b)(a－b)＝＝a＋ab －2b 例九：请你观察图3，依据图形面积间的关系，不需要添加辅助线，便可得到一个你非常熟悉的公式，这个公式是____ x2-2xy+y2 = (x-y)2，或者x2-y2 = (x+y)(x-y)._________． 8

2222222222 图3 例十：有若干张如图4所示的正方形和长方形卡片， aa(1)bb(2)图4 ba(3) 表中所列四种方案能拼成边长为ab的正方形的是（ ） 分析：此题的本意就是判断哪些卡片的面积之和是（a+b）. 22222因为a+2ab+b=（a+b），对照图4所示的正方形和长方形卡片，可知三种卡片的面积分别为a、b和ab，它们分别需要1张、1张、2张. 由此可选出正确答案为A. 卡片 数量（张） （1） 方案 A B C D 1 1 1 2 （2） 1 1 2 1 （3） 2 1 1 1 2 例十一：如图5是用四张全等的矩形纸片拼成的图形，请利用图中空白部分的面积的不同表示方法写出一个关于a、b的恒等式 图5 22分析：外框围成的大正方形面积为（a+b），4个矩形的面积之和为4ab，中间的空白部分的面积为(a-b).22于是，可以列出等式（a+b）-4ab = (a-b). 对于它的正确性，可以用因式分解的方法证明： 222222（a+b）-4ab =a+2ab+b-4ab = a-2ab+b = (a-b). 9

课堂测试： 一、填空题 1、(－a)·(－a)＝ ，(－x)·x·(－x)＝ ，(xy)＝ . 2、(－2×10)×10＝ ，(－3xy)·(－2xy)＝ . 3、计算：(－8)20045221222232422 (－0.125)22003＝ ，22005－22004＝ . 4、计算：(m－n)·(m－n)·(n－m)＝ ，(3＋a)(1－a)＝ ， (a＋2)(a－2)(4＋a)＝ ，(m＋n－1)(m－n－1)＝ . nn2nxyx+y235、x＝5，y＝3，则(xy)＝ ，若2＝m，2＝n，则8＝ . 6、若A＝3x－2，B＝1－2x，C＝－5x，则A·B＋A·C＝ . 7、不等式(x＋16)(x＋4)＞(x＋12)的解集是 . 8、比较25，，81的大小用“＜”号联 . 9、把下列各式分解因式： (1) a－2a52n2n－1180120902＝ ； (2) 12x－x＋1＝ ； 43(3) m－m＝ ； 2(4) (1－x)＋(x－1)＝ . 10、在多项式16a＋4上加上一个单项式，使其成为一个整式的平方，该单项式是 . 11、四个连续自然数中，已知两个大数的积与其余两个数的积的差等于58，则这四个数的和是 . 12、如图(1)的面积可以用来解释(2a)＝4a，那么根据图(2)，可以用来解释 （写出一个符合要求的代数恒等式）。 二、选择题 13、下列各式中，正确的是（ ） A、m·m＝m 2223622 B、(－a＋b)(b－a)＝a－b D、(x－y)(x＋xy＋y)＝x－y 223322C、25a－2b＝(5a＋2b)(5a－2b) 2614、与(x＋x＋1)(x－1)的积等于x－1的多项式是（ ） A、x－1 2B、x－1 3C、x＋1 2D、x＋1 310

15、已知5＝3，5＝4，则25的结果为（ ） A、144 B、24 x+1xxyx+y xx+1C、25 6 D、49 16、x为正整数，且满足3·2－32＝6，则x＝（ ） A、2 2 B、3 C、6 D、12 17、把多项式2x＋bx＋c分解因式后得2(x－3)(x＋1)，则b、c的值为（ ） A、b＝3，c＝－1 33 B、b＝－6，c＝2 D、b＝－4，c＝－6 C、b＝－6，c＝－4 318、如果xy≠0，且(x＋y)＝x＋y，那么x、y的关系为（ ） A、x＝y 2B、x＋y＝0 C、x、y异号 D、x、y同号 19、不等式(x－1)－(x＋1)(x－1)＋3(x＋1)＞0的正整数解为（ ） A、1, 2 2B、1, 2, 3 C、1, 2, 3, 4 D、任意正整数 20、若二次三项式ax＋bx＋c＝(a1x＋c1)(a2x＋c2)，则当a＞0，b＜0，c＞0时，c1，c2的符号为（ ） A、c1＞0, c2＞0 B、c1＜0, c2＜0 C、c1＞0, c2＜0 D、c1, c2异号 21、若m＋m－1＝0，则m＋2m＋3＝（ ） A、2 2232 B、4 C、－2 D、－4 22、已知x＋ax－12能分解成两个整系数的一次因式的积，则符合条件的整数a的个数是（ ） A、3个 三、解答题 23、计算： (1) (－2y)＋(-4y)－[(－2y)·(-3y)]； (2) (3x＋2)－(3x－2)＋(3x＋2)·(3x－2)； (3) 3.76＋0.4692×3.76＋0.2346. 2222223223222 B、4个 C、6个 D、8个 24、因式分解： (1) (a－3)－(6－2a)； (2) 81(a＋b)－4(a－b)； (3) (x－5)＋8(5－x)＋16. 22222225、解方程或不等式： (1) 3(x＋2)＋(2x－1)－7(x＋3)(x－3)＝28； (2) (1－3x)－(2x－1)＞5(x－1)(x＋1). 222226、化简求值： 11

(1) (x＋3x)(x－3)－x(x－2)＋(－x－y)(y－x)，其中x＝3，y＝－2； (2) 已知x－3x＋1＝0，求下列各式的值， ①x22221； x2 ②x41. x4四、应用题 27、如图大正方形的面积为16，小正方形的面积为4，求阴影部分的面积。 28、如图四边形ABCD是校园内一边长为a＋b的正方形土地（其中a＞b）示意图，现准备在这块正方形土地中修建一个小正方形花坛，使其边长为a－b，其余的部分为空地，留作道路用，请画出示意图。 (1) 用尺规画出两种图形的情形，保留痕迹，不写作法，并标明各部分面积的代数式。 (2) 用等式表示大小正方形及空地间的面积关系。 29、在通常的日历牌上,可以看到一些数所满足的规律,表1是2005年6月份的日历牌。 表1 星期日 5 12 19 26 (1) 在表1中，我们选择用如表2那样2×2的长方形框任意圈出2×2个数，将它们交叉相乘，再相12

星期一 6 13 20 27 星期二 7 14 21 28 星期三 1 8 15 22 29 星期四 2 9 16 23 30 星期五 3 10 17 24 星期六 4 11 18 25 表3 表2 减，如：2×8－1×9＝7，14×20－13×21＝7，24×18－17×25＝7，你发现了什么？再选择几个试试，看看是否都是这样，想一想，能否用整式的运算加以说明。 (2) 如果选择用如表3那样3×3的长方形方框任意圈出3×3个数，将长方形方框四解位置上的4个数交叉相，再相减，你发现了什么？请说明理由。 30、为了美化校园环境，争创绿色学校，某区教育局委托园林公司对A，B两校进行校园绿化，已知A校有如图(1)的阴影部分空地需铺设草坪，B校有如图(2)的阴影部分空地需铺设草坪，在甲、乙两地分别有同种草皮3500米和2500米出售，且售价一样，若园林公司向甲、乙两地购买草皮，其路程和运费单价表如下： 路程、运费单价表 A校 路程(千米) 甲地 乙地 20 15 运费单价(元) 0.15 0.20 B校 路程(千米) 10 20 运费单价(元) 0.15 0.20 22（注：运费单价表示每平方米草皮运送1千米所需的人民币） 求：(1) 分别求出图1、图2的阴影部分面积； (2) 若园林公司将甲地3500m的草皮全部运往A校，请你求出园林公司运送草皮去A、B两校的总运费； (3) 请你给出一种运送方案，使得园林公司支付出送草皮的总运费不超过15000元。 第30题图 2 13

参 一、填空题 1、－a，x，xy 2、4×10，－18xy 3、－8，2200431455724 24224、－(m－n)，3－2a－a，a－16，m－2m＋1－n 5、225，mn 6、－21x＋17x－2 7、x＜－20 8、81＜＜25 9、a2n－1901201802336(a－2)，(122x－1)，m(1＋m)(1＋m)(1－m)，x(1－x)(2－x) 210、±16a 11、58 12、(a＋b)＝(a－b)＋4ab 二、选择题 13、D 14、D 15、A 16、C 17、D 18、B 19、D 20、B 21、B 22、C 三、解答题 23、(1) －96y 622(2) 81x－72x＋24x＋16 42(3) 16 (3) (x＋3) (x－3) 2224、(1) (a－3)(a－1)； 25、(1) x＝－6； 2(2) (11a＋7a)(7a＋11b)； (2) x＜25. 226、(1) 原式＝5x－13x－y，当x＝3，y＝－2时，原式＝2； 13， x1122 ∴ x2(x)27 xx112422 x4(x2)27247 xx (2) 由题意得x27、∵ 大正方形的边长为4，小正方形的边长为2. ∴ 长方形的长为6，宽为4. S阴＝6×4－16－4＝4. 28、(1) 如图 14

(2) (a＋b)＝(a－b)＋4ab (a＋b)＝a＋2ab＋b. 2222229、(1) 9×15－8×16＝7，18×24－17×25＝7. 设最小数为x，另三个数分别为(x＋1)，(x＋7)，(x＋8)则(x＋1)(x＋7)－x(x＋8)＝x＋8x＋7－x－8x＝7. (2) 它们的差是28. 设最中间一个数为x，则最小的是x－8最大的是x＋8，另两个分别是x－6和x＋6. 2222有题意得(x－6)(x＋6)－(x－8)(x＋8)＝x－36－x＋＝28 2230、(1) 图1阴影面积为3600m，图2阴影面积为2400m. (2) 总运费为20400元。 (3) 设甲地草皮运送x m去A校，有(3500－x)m运往B校，乙地草皮(3600－x)m运往A校，(x－1100)m草皮运往B校。依题意得。 20×0.15x＋(3500－x)×10×0.15＋(3600－x)×15×0.20＋(x－1100)×20×0.20≤1500， x－1100≥0 解之得 1100≤x≤1340. 只要所设计的方案中运往A校的草皮在1100m～1340m之间都可。如甲地的草皮运往A校1100m，运往B校2400m，乙地草皮运往A校2500m，总运费14400元。

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