(小学奥数)幻方(一)

5-1-4-1.幻方（一）

教學目標

1. 會用羅伯法填奇數階幻方

2. 瞭解偶數階幻方相關知識點 3. 深入學習三階幻方

知識點撥

一、幻方起源

也叫縱橫圖，也就是把數字縱橫排列成正方形，因此縱橫圖又叫幻方．幻方起源於我國，古人還為它編撰了一些神話．傳說在大禹治水的年代，陝西的洛水經常大肆氾濫，無論怎樣祭祀河神都無濟於事，每年人們擺好祭品之後，河中都會爬出一只大烏龜，烏龜殼有九大塊，橫著數是3行，豎著數是3列，每塊烏龜殼上都有幾個點點，正好湊成1至9的數字，可是誰也弄不清這些小點點是什麼意思．一次，大烏龜又從河裏爬上來，一個看熱鬧的小孩驚叫起來：“瞧多有趣啊，這些點點不論橫著加、豎著加還是斜著加，結果都等於十五！”於是人們趕緊把十五份祭品獻給河神，說來也怪，河水果然從此不再氾濫了．這個神奇的圖案叫做“幻方”，由於它有3行3列，所以叫做“三階幻方”，這個相等的和叫做“幻和”．“洛書”就是幻和為15的三階幻方．如下圖：

4351276

我國北周時期的數學家甄鸞在《算數記遺》裏有一段注解：“九宮者，二四為肩，六八為足，左三右七，戴九履一，五居．”這段文字說明了九

個數字的排列情況，可見幻方在我國歷史悠久．三階幻方又叫做九宮圖，九宮圖的幻方民間歌謠是這樣的：“四海三山八仙洞，九龍五子一枝連；二七六郎賞月半，周圍十五月團圓．”幻方的種類還很多，這節課我們將學習認識瞭解它們．

二、幻方定義

幻方是指橫行、豎列、對角線上數的和都相等的數的方陣，具有這一性質的33的數陣稱作三階幻方，44的數陣稱作四階幻方，55的稱作五階幻方……如圖為三階幻方、四階幻方的標準式樣，

18341596721561031471124951612813 三、解決這幻方常用的方法

⑴適用於所有奇數階幻方的填法有羅伯法．口訣是：一居上行正，後數依次右上連．上出框時往下填，右出框時往左填．排重便在下格填，右上排重一個樣．

⑵適用於三階幻方的三大法則有： ①求幻和： 所有數的和÷行數（或列數）

②求中心數：我們把幻方中對角線交點的數叫“中心數”，中心數＝幻和÷3． ③角上的數=與它不同行、不同列、不同對角線的兩數和÷2． 四、數獨

數獨簡介：（日語：數獨 すうどく）是一種源自18世紀末的瑞士，後在美國發展、並在日本得以發揚光大的數學智力拼圖遊戲。如今數獨的雛型首先於1970年代由美國的一家數學邏輯遊戲雜誌發表，當時名為Number Place。現今流行的數獨於1984年由日本遊戲雜誌《パズル通信ニコリ》發表並得了現時的名稱。數獨本是“獨立的數字”的省略，因為每一個方格都填上一個個位數。 數獨可以簡單的數為：讓行與列及單元格的數字成規律性變換的一類數字謎問題

解題技巧：數獨遊戲中最常規的辦法就是利用每一個空格所在的三個單元中已經出現的數字（大小數獨一個空格只位於兩個單元之內，但是同時多了一個大小關係作為條件）來縮小可選數字的範圍。 總結4個小技巧： 1、

巧選突破口：數獨中未知的空格數目很多，如何尋找突破口呢？首先我們要通過規則的來分析每一個空格的可選數字的個數，然後選擇可選數字最少的方格開始，一般來說，我們會選擇所在行、所在列和所在九宮格中已知數字比較多的方格開始，盡可能確定方格中的數字；而大小數獨中已知的數字往往非常少，這個時候大小關係更加重要，我們除了利用已知數字之外更加需要考慮大小關係的。

2、

相對不確定法：有的時候我們不能確定2個方格中的數字，卻可以確定同一單元其他方格中肯定不會出現什麼數字，這個就是我們說的相對不確定法。舉例說明，A1可以填入1或者2，A2也可以填入1或者2，那麼我們可以確定，1和2必定出現在A1和A2兩者之中，A行其他位置不可能出現1或者2.

3、

相對排除法：某一單元中出現好幾個空格無法確定，但是我們可以通過比較這幾個空格的可選數字進行對比分析來確定它們中的某一個或者幾個空格。舉例說明，A行中已經確定5個數字，還有4個數字（我們假設是1、2、3、4）沒有填入，通過這4個空格所在的其他單元我們知道A1可以填入1、2、3、4，A2可以填入1、3，A3可以填入1、2、3，A4可以填入1、3，這個時候我們可以分析，數字4只能填入A1中，所以A1可以確定填入4，我們就可以不用考慮A1，這樣就可以發現2只能填入A3中，所以A3也能確定，A2和A4可以通過其他辦法進行確定。

4、

假設法：如果找不到能夠確定的空格，我們不妨進行假設，當然，假設也

是原則的，我們不能進行無意義的假設，假設的原則是：如果通過假設一個空格的數字，可以確定和這個空格處在同一個單元內的其他某一個或者某幾個空格的數字，那麼我們就以選擇這樣的空格來假設為佳。舉例說明，B3可以填入1或者2，A3可以填入2或者3，B4可以填入1或者2，這個時候我們就應該假設B3填入2，這樣就可以確定A3填入3，B4填入1，然後以這個為基礎進行推理，如果推出違反規則的情況出現，那麼這個假設就是錯誤的，我們回到假設點重新開始。

例題精講

模組一、構造幻方

【例 1】 33的正方形中，在每個格子裏分別填入1~9的9個數字，要求每行每列及

對角線上的三個數的和相等（請給出至少一種填法）．

【例 2】 33的正方形格子中，在每個格子裏分別填入2~10的9個數字，要求每行每

列及對角線上的三個數的和相等（請給出至少一種填法）．

【例 3】 用

11，13，15，17，19，21，23，25，27編制成一個三階幻方。

【例 4】 如下圖的33的陣列中填入了1~9的自然數，構成大家熟知的

3階幻方．現

在另有一個33 的陣列，請選擇9個不同自然數填入9個方格中，使得其中最大者為20，最小者大於5，且要求橫加、豎加、對角線方式相加的3

個數之和都相等．

4351276

【例 5】 從

1、2、3…20這20個數中選出9個不同的數放入3×3的方格表中，

使得每行、每列、每條對角線上的三個數的和都相等。這個9個數中最多有_______個質數。

【例 6】 請你將1~25這二十五個自然數填入55的空格內使每行、每列、每條對角

線上的五數之和相等．

模組二、幻方性質

【例 7】 將九個數填入下圖的九個空格中，使得任一行、任一列以及兩條對角線上

的三個數之和都等於定數k，則中心方格中的數必為k3．

【例 8】 請編出一個三階幻方，使其幻和為24．

【巩固】 將九個連續自然數填入下圖的九個空格，使每一橫行及每一豎列的三個數

之和都等於60．

1722242016191823

21

【例 9】 將九個數填入下圖的空格中，使得每行、每列以及每條對角線上的三個數

之和都相等，證明：c（ab）2

cabc2d-bdb*a2a-c

【例 10】 在下圖中的A、B、C、D處填上適當的數，使下圖成為一個三階幻方．

AB161215CD2011

【巩固】 在圖的九個方格裏，每行、每列、每條對角線上的三個數的和都相等，則

N= 。

861612N

【巩固】 在下面兩幅圖的每個空格中，填入7個自然數，使得每行、每列、每條對

角線上的三個數之和等於21．

8448

【巩固】 在圖

1所示的和方格表中填入合適的數,使得每行、每列以及每條對角線上

的三個數的和相等。那麼標有“★”的方格內應填入的數是_______.

3☆74

【例 11】 在九宮圖中，第一行第三列的位置上填5，第二行第一列位置上填6，如

下圖．請你在其他方格中填上適當的數，使方陣橫、縱、斜三個方向的三個數之和均為27．

5

6

A6BCF5DG86149451210

E

13

【巩固】 在下圖的空格裏填入七個自然數，使每一行、每一列及每一條對角線上的上

的三個數的和都等於90．

2357

47340233037205713

【巩固】 右圖中有九個空格，要求每個格中填入互不相同的數，使得每行、每列、

每條對角線上的三個數之和都相等。問：圖中左上角的數是多少?

？1913

【巩固】 圖中是一個33幻方，滿足每行、每列及兩條對角線上三數之和都相等，那

麼其中“★”代表的數是__________．

★8102

【巩固】 圖中A______,B______,C______，D______時，它才能構成一個三階幻

方？

AB222523CD1926

【巩固】 在如圖所示的九宮圖中，不同的漢字代表不同的數，每行、每列和兩條對

角線上各數的和相等。已知中＝21，學＝9，歡＝12，則希，望，杯的和是__________ 。

中希受小望欢学杯迎

【例 12】 在下面的44方格中填入0～9中的數字，使得每行每列的和等於每行的右

端及每列的下端所寫的數字．其中，所有的0都已經填好，而且同一行或

者同一列中不允許出現相同的非零數字．則對角線上的四個數字所組成的四位數ABCD是 ．

AB0000C0423017D4720912

【巩固】 方格中的圖形符號“◇”，“○”，“▽”，“☆”代表填入方格中的數，相同

的符號代表相同的數，如圖所示，若第一列，第三列，第二行，第四行的四個數的和分別是36，50，41，37，則第三行的四個數的和為

36◇50△☆41？○○○○☆◇◇○☆

◇◇△◇37【例 13】 將2、4、6、8、12、18、24、36、72填入右邊的九宮格， 使每行每

列及兩條對角線上三數的積都相等．每行的三個數的積是______．

【例 14】 請將1～9這9個數填入右圖3×3表格中，使得第1,2行三數的乘積分

別是70，24，第l,2列三數的乘積分別是 21．72．

70242172