专题训练(一)-平行四边形的证明思路

【题型1】 若已知条件出现在四边形的边上，则应考虑： ①两组对边分别平行的四边形是平行四边形； ②两组对边分别相等的四边形是平行四边形； ③一组对边平行且相等的四边形是平行四边形

1．如图，在▱ABCD中，点E在AB的延长线上，且EC∥BD.求证：四边形BECD是平行四边形．

2．如图，在▱ABCD中，点E，F分别在边AB，CD上，BE＝DF.求证：四边形AECF是平行四边形．

3．如图，在▱ABCD中，分别以AD，BC为边向内作等边△ADE和等边△BCF，连接BE，DF.

求证：四边形BEDF是平行四边形．

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4．如图，DE是△ABC的中位线，延长DE到F，使EF＝DE，连接BF.

(1)求证：BF＝DC；

(2)求证：四边形ABFD是平行四边形．

【题型2】 若已知条件出现在四边形的角上，则应考虑利用“两组对角分别相等的四边形是平行四边形”来证明

5．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠A＝∠C.求证：四边形ABCD是平行四边形．

【题型3】 若已知条件出现在对角线上，则应考虑利用“对角线互相平分的四边形是平行四边形”来证明

6．已知：如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，E是BC的中点，直线AE交DC的延长线于点F.求证：四边形ABFC为平行四边形．

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7．如图，▱ABCD的对角线相交于点O，直线EF经过点O，分别与AB，CD的延长线交于点E，F.

求证：四边形AECF是平行四边形．

8．如图，▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别是OB，OD的中点．求证：四边形AECF是平行四边形．

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平行四边形的证明思路

1．如图，在▱ABCD中，点E在AB的延长线上，且EC∥BD.求证：四边形BECD是平行四边形．

证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD，即BE∥CD. 又∵EC∥BD，

∴四边形BECD是平行四边形．

2．如图，在▱ABCD中，点E，F分别在边AB，CD上，BE＝DF.求证：四边形AECF是平行四边形．

证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD，AB＝CD. ∵BE＝DF，

∴AB－BE＝CD－DF，即AE＝CF. 又∵AE∥CF，

∴四边形AECF是平行四边形．

3．如图，在▱ABCD中，分别以AD，BC为边向内作等边△ADE和等边△BCF，连接BE，DF.求证：四边形BEDF是平行四边形．

证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴CD＝AB，AD＝CB，∠DAB＝∠BCD. 又∵△ADE和△BCF都是等边三角形，

∴DE＝AD＝AE，CF＝BF＝BC，∠DAE＝∠BCF＝60°.

∴BF＝DE，CF＝AE，∠DCF＝∠BCD－∠BCF，∠BAE＝∠DAB－∠DAE，即∠DCF＝∠BAE. 在△DCF和△BAE中， CD＝AB，

∠DCF＝∠BAE， CF＝AE，

∴△DCF≌△BAE(SAS)． ∴DF＝BE.

∴四边形BEDF是平行四边形．

4．(钦州中考)如图，DE是△ABC的中位线，延长DE到F，使EF＝DE，连接BF.

(1)求证：BF＝DC；

(2)求证：四边形ABFD是平行四边形． 证明：(1)∵DE是△ABC的中位线， ∴CE＝BE.

在△DEC和△FEB中，

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CE＝BE，

∠CED＝∠BEF， DE＝FE，∴△DEC≌△FEB. ∴BF＝DC.(SAS)

(2)∵DE是△ABC的中位线， 1∴DE∥AB，且DE＝AB.

2又∵EF＝DE， 1∴DE＝DF.

2∴DF＝AB.

∴四边形ABFD是平行四边形．

类型2 若已知条件出现在四边形的角上，则应考虑利用“两组对角分别相等的四边形是平行四边形”来证明

5．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠A＝∠C.求证：四边形ABCD是平行四边形．

证明：∵AD∥BC， ∴∠A＋∠B＝180°， ∠C＋∠D＝180°. ∵∠A＝∠C， ∴∠B＝∠D.

∴四边形ABCD是平行四边形．

类型3 若已知条件出现在对角线上，则应考虑利用“对角线互相平分的四边形是平行四边形”来证明

6．已知：如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，E是BC的中点，直线AE交DC的延长线于点F.求证：四边形ABFC为平行四边形．

证明：∵AB∥CD， ∴∠BAE＝∠CFE. ∵E是BC的中点， ∴BE＝CE.

在△ABE和△FCE中， ∠BAE＝∠CFE，

∠AEB＝∠FEC， BE＝CE，

∴△ABE≌△FCE(AAS)． ∴AE＝EF.

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又∵BE＝CE，

∴四边形ABFC是平行四边形．

7．如图，▱ABCD的对角线相交于点O，直线EF经过点O，分别与AB，CD的延长线交于点E，F.求证：四边形AECF是平行四边形．

证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OD＝OB，OA＝OC，AB∥CD. ∴∠DFO＝∠BEO，∠FDO＝∠EBO. ∴△FDO≌△EBO.(AAS) ∴OF＝OE.

∴四边形AECF是平行四边形．

8．如图，▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别是OB，OD的中点．求证：四边形AECF是平行四边形．

证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OA＝OC，OB＝OD.

∵点E，F分别是OB，OD的中点， 11

∴OE＝OB，OF＝OD.

22∴OE＝OF.

∴四边形AECF是平行四边形．

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