平行四边形典型例题

GB8878185555334563BT9125XW

创作編号丄 创作肴：凤呜大王*

平行四边形典型例题

1.已知如图12-1-19,所示口ABCD的对角线AC、BD相交于点6 OE 上AD于E, OF丄BC于F.

求证：四边形AECF是平行四边形 错证：^EAAOE和厶COF中

VOE丄AD, OF丄BC A ZAEO=ZCFO=90°

・.•四边形ABCD为平行四边形

•••OA=OC, AD〃BC ••• ZEAC=ZACF ••• AAOE^ACOF (AAS)

••• OF=OE

・••四边形AECF是平行四边形

错误分析：上而证明由OF=OE, OA=OC不能说明EF与AC互相平分，因为原题设 中没有说明E、O、F三点共线，因此先证E、O、F三点共线・ 正确证明：在AAOE和ACOF中

VOE丄 AD OF丄 BC ZAEO= ZCFO=90°

•••四边形ABCD为平行四边形

•••OA=OC, AD〃BC ••• ZEAC=ZACF ••• △ A0E9 ACOF (AAS)

:. OF= OE

又•••AD〃BC, OE丄AD, OF丄BC

・・.E、O、F三点共线

.・.四边形AECF是平行四边形

2.

如图12・1・22所示，现有一块等腰直角三角形的铁板，通过切割焊接成一个含有 45°角的平行四边形，请你设计一种最简单的方案，并证明你的方案确实得到的是一 个符合条件的平行四边形.

分析：运用三角形全等，平行四边形的识别方法来解答，在证明时不要忽略证明F, E, D共线.

解：取AC、BC的中点E、D连结ED,则沿ED切割下来，如图使点E不变，点C 与点A重合，再焊接上去最简单.

证明：在 RtZXABC 中 VAC = BC AZB=45° 又TE、D分别为AC、BC的中点

A EC = DC A ZCED=ZCDE=45°

.\\ZAEF=ZCED=45° A ZAEF+ZAED=ZCED+ZAED= 180° •••F、E、D 在一条直线上 VZEAF=ZC=90° AAF^CD

又VAF=CD=DB •••四边形AFDB是平行四边形，且ZB=45°

3.

如图12-1-23,在口ABCD的对角线上取两点E、F,且BF=DE,请至少用两种不 同的方法证明四边形AECF是平行四边形.并指岀哪种方法最简便.

图 12-1 -23

分析：可证两组对边分別相等，也可证对角线互相平分.

证明方法（一） 在△ABF和△ CDE 中，AB=CD, BF=DE, ZABF=ZCDE・

AAABF^ACDE .\\AF=CE

同理可证AE=CF,故四边形AECF是平行四边形 方法（二） 连AC交BD于0

在GABCD 中，OA=OC, OB=OD

VBF=DE AOE=OF •••四边形AECF为平行四边形 4.

如果一块木板两边是线段，把两把曲尺的一边紧靠木板边缘，再看木板另一边缘 对曲尺另一边上的刻度是否相等，就可以判断木板的两个边缘是否平行，这是为什 么？ 分析：这是一道生活实践题，运用数学知识来解决和分析一些生活实践问题，此题就 是运用平行四边形的识別方法来判断两边是否平行.

解：如果曲尺的刻度相等，则木板的两个边缘就平行，因为，两把曲尺与木板的两个 边缘构成一个四边形，当曲尺的刻度相等，则四边形中就有一组对边平行且相等，所 以四边形为平行四边形，则木板的两边缘平行・

如果曲尺的刻度不相等，则木板的两个边缘就不平行，因为曲尺与木板边缘构成的四 边形不是平行四边形.

5.

已知如图12-1-4所示，口ABCD中，AB的延长线上取一点E,使BE=AB,在 CE上取一点M使CM=CD,连结DM并延长交AE的延长线于点F 求证:BD = BF

09 12-1 -4

分析：由于BD, BF是ABDF的两边，所以要证BD = BF,可由证Z\\BDF中ZBDF =ZF入手，易知ZF= ZCDM=ZCMD= ZEMF,故只要证BD〃CE,由此由证法 一又注意到 BF=BE+EF,易知 BE=AB=CD=CM, EF=EM,故 BF=CE,从而只 要证BD=CE,由此有证法二.

证法（一）：•••四边形ABCD为平行四边形AABTTCD

又TE点在AB延长线上，且BE=AB ••.ABTFCD

•••四边形 BECD 是平行四形•••BD〃CE Z. ZBDF=ZEMF

I ZEMF= ZCMD ••• ZBDF= ZCMD

又 VCM=CD ••• ZCMD=ZCDM :. ZBDF=ZCDM

创作編号上

GB8878185555334563BT9125XW 创作者：凤呜大王*

•••AF〃CD A ZCDM=ZF ABDF=ZF

即 BD=BF

证法（二）：•••四边形ABCD为平行四边形.\\ABTTCD 又TE点在AB延长线上且BE=AB Z.BETTCD •••四边形BECD是平行四边形•••BD=CE, BE=CD 又••• ZEMF=ZCMD. CD=CM :. ZCMD=ZCDM

AZEMF=ZCDM VBE//CD AZF=ZEMF AEF=EM ABF=BE+EF=CD+EM=CM+EM=CE=BD

即 BF=BD

习题精选

一、填空题

1. 过口ABCD的顶点A、C分别作对角线BD的垂直线，垂足为E、F,

则四边形AECF是 ________________________ .

2. 延长AABC的中线AD到E,使DE=AD 则四边形ABEC

是 _________________ 四边形.

3. 在四边形ABCD中ZA=50°欲使四边形为平行四边形，则Z B二 ___________________________ , ZC= _______________________________________ , Z D=_____________________________________ .

4. 在四边形中，任意相邻两个内角互补，则这个四边形

是 _________________ 四边形.

5. 如图 12-1-29,在口ABCD 中，E、F 为 AB、CD 的中点，连结 DE、EF、 BF则图有

_____________________ 个平行四边形.

6.在6BCD中连结BD作AE丄BD, CF丄BD,垂足分别为E、F,连结 CE、AF,点 P、Q 在线段 BD 上，且 BP = DQ,连结 AP、CP、AQ、CQ, MN 分别 交AB、CD于M、N连结AM、CM、NA、NC,那么图中平行四边形（除6BCD 外）

有 ______________________ 个，它们是 __________________ .

二、

判断题

） ） ） ）

）

）

1. 平行四边形的对边分别相等（ 2. 平行四边形的对角线相等（ 3. 平行四边形的邻角互补（ 4. 平行四边形的对角相等（

5. 平行四边形的对角线互相平分一组对角（

6. 对角线平分平行四边形的四个三角形的面积相等（

三、

1.

选择题

能判断四边形是平行四边形的条件是（

A. 一组对边平行，另一组对边相等

B. 一组对边平行，一组对角相等 C. 一组对边平行，一组邻角互补 D. 一组对边相等，一组邻角相等

2. 能确定平行四边形的大小和形状的条件是（ A. 已知平行四边形的两邻边 B. 已知平行四边形的两邻角 C. 已知平形四边形的两对角线 D. 已知平行四边形的两边及夹角

3. 平行四边形一边为32,则它的两条对角线长不可能为（ A. 20 和 18

B. 40 和 50

C. 60 和 30

D. 32 和 50

4. 如图12-1-30所示，已知口ABCD的对角线的交点是0,直线EF过0

）

）

点且平行于BC,直线GH过0且平行AB,则图中有（

A. 5 个 B. 6 个 C. 7 个 D. 10 个 5. 能判定四边形为平行四边形的是（ A. 一组对角相

）个平行四边形.

）

等

B.

两条对角线互相垂直

C.

两条对角线互相平

D. 一对邻角

分 互补

6. A.

以下结论正确的是（ ）

对角线相等，且一组对角也相等的四边形是平行四边形.

B. —边长为5,两条对角线分别是4和6的四边形是平行四边形. C. 一组对边平行，且一组对角相等的四边形是平行四边形. D. 对角线相等的四边形是平行四边形.

7.在OABCD中，点E、F分别在边BC、AD上，如果点E, F分别由下 列各种情况得到的，那么四边形AECF不一定是平行四边形的是（ ）

A. AE、CF 分别平分 ZDAB、ZBCD B. AE, CF 使ZBEA=ZCFD C. E、F分别是BC、AD的中点

3 2

D. BE=5BC, AF= 5 AD

8. 6BCD对角线交点为0, A0BC的周长为59cm,且AD = 28cm,两对 角线之差为14cm,则对角线长为（ ）

A- 12cm 和 9cm

B. 24cm 和 38cm

C. 8. 5cm 和

22. 5cm

• 15. 5cm 和 29. 5cm

四、解答题

1・如图12-1-31所示，在口ABCD中，AE平分ZBAD, CF平分ZBCD, 四边形AECF是平行四边形吗？

如图12-1-32所示，四边形ABCD中ZB=ZD, Z1 = Z2,则四边 形ABCD

是平行四边形吗？为什么？

2.

3-如图12-1-33所示，四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点0, E、 F分别是0D、0B上一点，若ZECD=ZFAB, EC=AF,则四边形AECF是平行 四边形

吗？为什么？

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n

创作編号上C

创作肴：凤呜大王*

于D,4.如图12-1-34所示, 四边

5.如图12-1-35所示，AABC中DE在BC边上，N、M在AB、与 DM 互相平分，MD〃AB, NE/7AC 求证：BD=DE=CE

图 12-1

五、证明题

-35

AC上, 且 EN

1.已知：如图12-1-18,在6BCD中，E、F是对角线BD上的两点, 且 BE二DF.

求证：(1) AE=CF

(2) AE//CF

已知：如图12-1-19,四边形ABCD为平行四边形，E、F是直线BD 延

长线上的两点，且DE=BF,求证AE = CF

2.

参 一、 填空题

1. 平行四边形 点拨：由一组对边平行且相等，即可判断 2. 平行四边形 3. 130° , 50° , 130°

4. 平行四边形点拨：由题意可得两组对边分别平行 5. 4 个 点拨： 6BCD, 6DFE, 口EFCB, DEDFB 6. 3 个 6ECF, 6PCQ, 口AMCN

二、 判断题

1. V 3. V

2. 4.

X点拨：对角线不一定相等，但互相平分

J

6. V

5. X点拨：对角线不平分一组对角，只是自己互相平分

三、选择题

1. B 2. D 3. A 4. D 5. C 6. C 7. B 8. B

四、 解答题

1. 解：四边形AECF是平行四边形

点拨：由6BCD 知ZBCD=ZBAD, 乂 AE 平分ZBAD, CF 平分ZBCD, 故ZEAF=ZECF, 乂ZAF〃EC,故ZAEC+ZEAF=180° ,即 ZAEC+ZECF = 180° ,所以AE〃CF,故四边形AECF是平行四边形.

2. 解：四边形ABCD是平行四边形

由Z1 = Z2 得 DC〃AB,所以ZD+ZDAB=180° , 乂ZB=ZD,所以Z DAB+ZB=180° ,所以AD/7BC,即四边形ABCD为平行四边形.

3. 解：是平行四边形

点拨：AB〃CD,故ZACD=ZCAB,又ZECD=ZFAB,故ZACD-ZECD = ZCAB-ZFAB,即 ZACE=ZCAF,所以 CE二AF, CE=AF,故 AFCE 是平行四边 形.

4. 证明：VBD1AD A ZBDA=90° V ZDBC = 90° , DC=AB, DB=DB AAADB^ACBD AAD=BC

・•・四边形ABCD

是平行四边形

5. 证明：TNE, MD互相平分

・•・四边形MNDE

为平行四边形

・・・MN®E

乂・.・MD〃AB, NE/7AC 四边形MNBD、MNEC为平行四边形

•・・MN=BD, MN=CE ABD=DE=CE

五、 证明题

1.证明：•・•四边形ABCD为平行四边形

AABILDC A ZABE=ZCDF

在 Z\\ABE 和 Z\\CDF 中

「AB=DC （已证） { ZABE=ZCDF （已知） L ZBE=DF （已知）

AAABE^ACDF （SAS） AAE=CF

A ZAEB= ZCFD

・・・ZAED=ZBFC （等角的补角相等） ・・・AE〃CF

2.证明：如图（3）所示

（ 2）

•・•四边形ABCD是平行四边形

・・・AD〃BC, AD=BC AZ1 = Z2

•・・BD是直线 ・・・Z1+Z3 = 18O° , Z2+Z4 = 180°

・・・Z3=Z4

rAD=CB

在AADE 和厶CBF•电I Z3=Z4

DE=BF AAADE^ACBF AAE=CF

创作编号丄

GB8878185555334563BT9125XW