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数学八年级下学期《期末检测试题》有答案

来源：年旅网

人教版数学八年级下学期

期末测试卷

学校________ 班级________ 姓名________ 成绩________

一．选择题（共12小题）

1．下列二次根式中属于最简二次根式的是（） A ．

B ．

C ．

D ．

2．下列计算正确的是（） A ．

B ．

＝

C ．

D ．

＝2

3．如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形A ，B ，C ，D 的面积分别为6，10，4，6，则最大正方形E的面积是（）

A ．94 4．若二次根式（） A ．﹣7

B ．26 C ．22

+2＝

D ．16

有正数解，则符合条件的整数m的和是

有意义，且关于x的分式方程

B ．﹣6 C ．﹣5 D ．﹣4

5．如图，有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池正有一根芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇拉向水池边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面，求水的深度是（）尺．

A ．8 B ．10 C ．13 D ．12

6．如图，设正方体A B C D ﹣A 1B 1C 1D 1的棱长为1，黑、白两个甲壳虫同时从点A 出发，以相同的速度分别沿棱向前爬行，黑甲壳虫爬行的路线是A A 1→A 1D 1→…，白甲壳虫爬行的路线是A B →B B

1→…，并且都遵循如下规则:所爬行的第

n+2与第n条棱所在的直线必须是既不平行也不相交（其中n

是正整数）．那么当黑、白两个甲壳虫各爬行完第2021条棱分别停止在所到的正方体顶点处时，它们之间的距离是（）

A ．0 B ． C ． D ．1

7．如图，四边形A B C D 的对角线A C ，B D 交于点O，则不能判断四边形A B C D 是平行四边形的是（）

A ．∠A B C ＝∠A D C ，A D ∥B C C ．∠A B D ＝∠B D C ，OA ＝OC

B ．∠A B D ＝∠B D C ，∠B A D ＝∠D C B D ．∠A B C ＝∠A D C ，A B ＝C D

8．如图，菱形中，对角线、B D 交于点O，E为A D 边中点，菱形A B C D 的面积为24，OA ＝3，则OE的长等于（）

A ． B ． C ．5 D ．

9．小明同学分5次测得某条线段的长度为4.9C m，5.0C m，5.0C m，5.1C m，5.2C m，记录时把最后一个数据5.2C m错写成了5.1C m，则这组数据的以下统计量不受影响的是（） A ．平均数

B ．方差

C ．众数

D ．中位数

10．甲、乙两车在同一直线上从A 地驶向B 地，并以各自的速度匀速行驶，甲车比乙车早出发2h，并且甲车途中休息了0.5h，如图是甲、乙两车离开A 地的距离ykm与甲车行驶时间xh的函数图象．波波同学根据图文信息，解读出以下结论: ①乙车速度是80km/h; ②m的值为1; ③A 的值为40;

④乙车比甲车早h到达B 地．其中正确结论的个数有（）

A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个

11．3）如图，一次函数y＝2x和y＝A x+4的图象相交于点A （m，，则不等式0＜2x＜A x+4的解集是（）

A ．0＜x＜3 B ．＜x＜6 C ．＜x＜4 D ．0＜x＜

12．如图，平面直角坐标系中，已知直线y＝x上一点P（1，1），C 为y轴上一点，连接PC ，线段PC 绕点P顺时针旋转90°至线段PD ，过点D 作直线A B ⊥x轴，垂足为B ，直线A B 与直线y＝x交于点A ，且B D ＝2A D ，连接C D ，直线C D 与直线y＝x交于点Q，则点Q的坐标为（）

A ．（，） B ．（3，3） C ．（，） D ．（，）

二．填空题（共6小题） 13．计算:

14．一个长方形的长和面积分别是

＝．和4

，则这个长方形的宽为．

15．开学前，根据学校防疫要求，小明同学连续14天进行了体温测量，结果统计如下表:

体温（℃）天数（天）

36.3 2

36.4 3

36.5 3

36.6 4

36.7 1

36.8 1

这组体温数据的中位数是 ℃．

16．如图，在Rt△A B C 中，∠B A C ＝90°，B A ＝5，A C ＝8，D 是斜边B C 上的一个动点，过点D 分D N⊥A C 于点N，别作D M⊥A B 于点M，连接MN，则线段MN长的最小值为．

17．如图，圆柱形玻璃杯，高为11C m，底面周长为18C m，在杯内离杯底3C m的点C 处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿4C m与蜂蜜相对的点A 处，则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为 C m．

18．在平面直角坐标系中，A （2，0）、B （0，3），过点B 作直线∥x轴，点P（A ，3）是直线上的动点，以A P为边在A P右侧作等腰Rt△A PQ，∠A PQ＝Rt∠，直线A Q交y轴于点C ．（1）当A ＝1时，则点Q的坐标为 ;

A Q+B Q的值最小为．（2）当点P在直线上运动时，点Q也随之运动．当A ＝时，

三．解答题（共7小题） 19．计算: （1）

; +|

﹣3|+

．

（2）（﹣1）2+

20．在世园会开幕一周年之际，延庆区围绕”践行‘两山’理论，聚力冬奥筹办，建设美丽延庆”主题，同筑生态文明．近年来，在延庆区的积极治理下，空气质量得到极大改善．如图是根据延庆区环境保护局公布的2014～2020年各年的全年空气质量优良天数绘制的折线统计图．请结合统计图解答下列问题:

（1）2020年比2016年的全年空气质量优良天数增加了天; （2）这七年的全年空气质量优良天数的中位数是 ;

（3）在生态环境部2月25日举行的例行新闻发布会上透露，”十四五”空气质量改善目标指标设置仍然坚持PM和优良天数两个指标;其中，全国优良天数达标指标将提升至87.5%．截止到3月31日，延庆区2021年空气质量优良天数如下:

月份优良天数/天

1月（31天）

2月（28天）

3月（31天）

①该小区2021年1月1日至3月31日的空气质量优良天数的平均数约为．

②试根据以上信息预测延庆区2021年（共365天）全年空气质量优良天数能否达标?达标的天数约为多少天?

21．生活经验表明，靠墙摆放梯子时，若梯子底端离墙的距离约为梯子长度的，则梯子比较稳定，如图1，A B 为一长度为6米的梯子．

（1）当梯子稳定摆放时，它的顶端能达到5.7米高的墙头吗? （2）如图2，若梯子底端向左滑动（3

﹣2）米，那么梯子顶端将下滑多少米?

22．从甲地到乙地，先是一段上坡路，然后是一段平路，小明骑车从甲地出发，到达乙地后休息一段时间，然后原路返回甲地．假设小明骑车在上坡、平路、下坡时分别保持匀速前进，已知小明骑车上坡的速度比平路上的速度每小时少5km，下坡的速度比在平路上的速度每小时多5km，设小明出发xh后，到达离乙地ykm的地方，图中的折线A B C D EF表示y与x之间的函数关系．（1）小明骑车在平路上的速度为 km/h，他在乙地休息了 h．（2）分别求线段A B 、EF所对应的函数关系式．

（3）从甲地到乙地经过丙地，如果小明两次经过丙地的时间间隔为0.85h，求丙地与甲地之间的路程．

23．某公司组织30辆汽车装运A 、B 、C 三种产品共125吨到外地销售，规定每辆汽车只装运一种产品，C 两种产品且必须装满;装运每种产品的汽车不少于4辆;同时装运的B 种产品的重量不超过装运的A 、重量和．

（1）设用x辆汽车装运A 种产品，用y辆汽车装运B 种产品，根据下表提供的信息，求y与x之间的函数关系式并写出自变量的x取值范围．

产品品种每辆汽车装运量（吨）每吨产品获利（万元）

A 5 0.6

B 4 0.7

C 3 0.8

（2）设此次外销活动的利润为Q（万元），求Q与x之间的函数关系式，并求出怎样装运才能获得最大利润．

（3）由于市场行情的变化，将A 、C 两种产品每吨售价提高A 万元（0.01≤A ≤0.03），其他条件不变，求销售这批产品获得最大利润的方案．

24．阅读理解，我们把依次连接任意一个四边形各边中点得到的四边形叫中点四边形，如图1，在四边形A B C D 中，E，F，G，H分别是边A B ，B C ，C D ，D A 的中点，依次连接各边中点得到中点四边形EFGH．

（1）这个中点四边形EFGH的形状是 ;

（2）如图2，在四边形A B C D 中，点M在A B 上且△A MD 和△MC B 为等边三角形，E、F、G、H分别为A B 、B C 、C D 、A D 的中点，试判断四边形EFGH的形状并证明．

25．综合与实践问题情境

综合与实践课上，老师让同学们以”正方形纸片的折叠”为主题开展数学活动，下面是”团结”小组的折纸过程: 动手操作

步骤一:将正方形纸片A B C D （边长为4C m）对折，使得点A 与点D 重合，折痕为EF，再将纸片A B C D 展开，得到图1．

步骤二:将图1中的纸片A B C D 的右上角沿着C E折叠，使点D 落到点G的位置，连接EG，C G，得到图2．

步骤三:在图2的基础上，延长EG与边A B 交于点H，得到图3．

问题解决

（1）在图3中，连接HC ，则∠EC H的度数为，

的值为（不必说明理由）．

（2）爱动脑筋的”勤奋”小组，在图3的基础上延长C G与边A B 交于点M，如图4，试猜想A M与B M之间的数量关系，并说明理由．

”创新”小组受”勤奋”小组的启发，（3）将图4中的正方形A B C D 纸片过点G折叠，使点A 落在边A D 上，然后再将正方形纸片A B C D 展开，折痕PQ分别与边A D ，B C 交于点P，Q，求A P的长．

参

一．选择题（共12小题）

1．下列二次根式中属于最简二次根式的是（） A ．

B ．＝2

C ．

D ．

【解答】解:A ．题意; B ．C ．D ．故选:D ．

，被开方数中含有能开得尽方的因式，不是最简二次根式，故本选项不符合

＝6，被开方数中含有能开得尽方的因式，不是最简二次根式，故本选项不符合题意; ，被开方数中含有分母，不是最简二次根式，故本选项不符合题意;

是最简二次根式，故本选项符合题意;

2．下列计算正确的是（） A ．

B ．

＝

C ．

D ．

＝2

【解答】解:A 、原式＝2B 、

与

，所以A 选项的计算错误;

不能合并，所以B 选项的计算错误;

＝

，所以C 选项的计算错误;

C 、原式＝D 、原式＝故选:D ．

＝2，所以D 选项的计算正确．

A ．94 B ．26 C ．22 D ．16

【解答】解:根据勾股定理的几何意义，可得A 、B 的面积和为S1，C 、D 的面积和为S2，S1+S2＝S3，

即S3＝6+10+4+6＝26．故选:B ． 4．若二次根式（） A ．﹣7

B ．﹣6

C ．﹣5

D ．﹣4

有意义，且关于x的分式方程

+2＝

有正数解，则符合条件的整数m的和是

【解答】解:去分母得，﹣m+2（x﹣1）＝3，解得，x＝

，

+2＝

有正数解，

∵关于x的分式方程∴

＞0，

∴m＞﹣5，

又∵x＝1是增根，当x＝1时，∴m≠﹣3， ∵

有意义，

＝1，即m＝﹣3

∴2﹣m≥0， ∴m≤2，

因此﹣5＜m≤2且m≠﹣3， ∵m为整数，

∴m可以为﹣4，﹣2，﹣1，0，1，2，其和为﹣4，故选:D ．

A ．8 B ．10 C ．13 D ．12

【解答】解:设水深x尺，则芦苇长（x+1）尺，由勾股定理得:52+x2＝（x+1）2，解得:x＝12，

答:水的深度是12尺，故选:D ．

1→…，并且都遵循如下规则:所爬行的第

n+2与第n条棱所在的直线必须是既不平行也不相交（其中n

是正整数）．那么当黑、白两个甲壳虫各爬行完第2021条棱分别停止在所到的正方体顶点处时，它们之间的距离是（）

A ．0 B ． C ． D ．1

【解答】解:根据题意可知黑甲壳虫爬行一圈的路线是A A 1→A 1D 1→D 1C 1→C 1C →C B →B A ，回到起点．

白甲壳虫爬行一圈的路线是A B →B B 1→B 1C 1→C 1D 1→D 1A 1→A 1A ．因此可以判断两个甲壳虫爬行一圈都是6条棱， 6＝336…5，因为2021÷

所以黑、白两个甲壳虫各爬行完第2021条棱分别停止的点是B ，A 1，根据勾股定理，得它们之间的距离是故选:B ．

＝，

7．如图，四边形A B C D 的对角线A C ，B D 交于点O，则不能判断四边形A B C D 是平行四边形的是（）

A ．∠A B C ＝∠A D C ，A D ∥B C C ．∠A B D ＝∠B D C ，OA ＝OC 【解答】解:A 、∵A D ∥B C ， ∴∠A B C +∠B A D ＝180°， ∵∠A B C ＝∠A D C ， ∴∠A D C +∠B A D ＝180°， ∴A B ∥C D ，

B ．∠A B D ＝∠B D C ，∠B A D ＝∠D C B D ．∠A B C ＝∠A D C ，A B ＝C D

∴四边形A B C D 是平行四边形，故此选项不合题意; B 、∵∠A B D ＝∠B D C ，∠B A D ＝∠D C B ， ∴∠A D B ＝∠C B D ， ∴A D ∥C B ， ∵∠A B D ＝∠B D C ， ∴A B ∥C D ，

∴四边形A B C D 是平行四边形，故此选项不合题意; C 、∵∠A B D ＝∠B D C ，OA ＝OC ，又∠A OB ＝∠C OD ，

∴△A OB ≌△C OD （A A S）， ∴D O＝B O，

∴四边形A B C D 是平行四边形，故此选项不合题意;

D 、∠A B C ＝∠A D C ，A B ＝C D 不能判断四边形A B C D 是平行四边形，故此选项符合题意; 故选:D ．

8．如图，菱形中，对角线、B D 交于点O，E为A D 边中点，菱形A B C D 的面积为24，OA ＝3，则

OE的长等于（）

A ． B ． C ．5 D ．

【解答】解:∵菱形的对角线、B D 交于点O，OA ＝3， ∴A C ＝2A O＝6，

∵菱形A B C D 的面积为24， ∴

＝24，

∴B D ＝8，D O＝4，又∵A C ⊥B D ， ∴A D ＝

＝

＝5，

又∵E为A D 边中点， ∴OE＝A D ＝，故选:A ．

B ．方差

C ．众数

D ．中位数

＝5.04，

【解答】解:原数据4.9、5.0、5.0、5.1、5.2的平均数为

[（4.9﹣5.04）2+2×众数为5.0、中位数为5.0，方差为×（5.0﹣5.04）2+（5.1﹣5.04）2+（5.2﹣5.04）

＝0.0104，

＝5.02，

新数据4.9、5.0、5.0、5.1、5.1的平均数为

2]0.0056 [（4.9﹣5.02）2+2×众数为5.0和5.1，中位数为5.0，方差为×（5.0﹣5.02）2+2×（5.1﹣5.02）＝，

∴这组数据的平均数、众数、方差均发生变化，其中位数没有变化，故选:D ．

10．甲、乙两车在同一直线上从A 地驶向B 地，并以各自的速度匀速行驶，甲车比乙车早出发2h，并且甲车途中休息了0.5h，如图是甲、乙两车离开A 地的距离ykm与甲车行驶时间xh的函数图象．波波同

学根据图文信息，解读出以下结论: ①乙车速度是80km/h; ②m的值为1; ③A 的值为40;

④乙车比甲车早h到达B 地．其中正确结论的个数有（）

A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个

【解答】解:120÷（3.5﹣2）＝80km/h（千米/小时），即乙车速度是80km/h，故①正确; 由题意，得m＝1.5﹣0.5＝1．故②正确; 120÷（3.5﹣0.5）＝40（km/h），则A ＝40，故③正确;

设甲车休息之后行驶路程y（km）与时间x（h）的函数关系式为y＝kx+B ，由题意，得解得

，

∴y＝40x﹣20，

根据图形得知:甲、乙两车中先到达B 地的是乙车，把y＝260代入y＝40x﹣20得，x＝7， ∵乙车的行驶速度:80km/h，

80＝3.25（h）， ∴乙车的行驶260km需要260÷

∴7﹣（2+3.25）＝（h），

∴乙车比甲车早h到达B 地．故④错误，综上所述，正确结论的有①②③，共3个．故选:C ．

11．3）如图，一次函数y＝2x和y＝A x+4的图象相交于点A （m，，则不等式0＜2x＜A x+4的解集是（）

A ．0＜x＜3 B ．＜x＜6 C ．＜x＜4 D ．0＜x＜

【解答】解:∵函数y＝2x过点A （m，3）， ∴2m＝3，解得:m＝， ∴A （，3），

∴不等式0＜2x＜A x+4的解集为0＜x＜．故选:D ．

A ．（，） B ．（3，3） C ．（，） D ．（，）

【解答】解:过P作MN⊥y轴，交y轴于M，交A B 于N，过D 作D H⊥y轴，交y轴于H， ∠C MP＝∠D NP＝∠C PD ＝90°，

∴∠MC P+∠C PM＝90°，∠MPC +∠D PN＝90°， ∴∠MC P＝∠D PN， ∵P（1，1），

∴OM＝B N＝1，PM＝1，在△MC P和△NPD 中，

∴△MC P≌△NPD （A A S）， ∴D N＝PM，PN＝C M， ∵B D ＝2A D ，

∴设A D ＝A ，B D ＝2A ， ∵P（1，1）， ∴D N＝2A ﹣1，则2A ﹣1＝1， A ＝1，即B D ＝2． ∵直线y＝x， ∴A B ＝OB ＝3，

在Rt△D NP中，由勾股定理得:PC ＝PD ＝在Rt△MC P中，由勾股定理得:C M＝则C 的坐标是（0，3），设直线C D 的解析式是y＝kx+3，把D （3，2）代入得:k＝﹣，即直线C D 的解析式是y＝﹣x+3，

＝2，

＝

，

即方程组得:，

即Q的坐标是（，）．故选:D ．

二．填空题（共6小题） 13．计算:

【解答】解:原式＝[（2+＝（﹣1）2021 ＝﹣1．故答案为:﹣1．

14．一个长方形的长和面积分别是

和4

，则这个长方形的宽为 2＝

＝

＝2

，

．

）（2﹣

＝ ﹣1 ．）]2021

【解答】解:由题意知:长方形的宽为:故答案为:2

．

15．开学前，根据学校防疫要求，小明同学连续14天进行了体温测量，结果统计如下表:

体温（℃）天数（天）

36.3 2

36.4 3

36.5 3

36.6 4

36.7 1

36.8 1

这组体温数据的中位数是 36.5 ℃．

【解答】解:∵共有14个数据，其中位数是第7、8个数据的平均数，而第7、8个数据均为36.5， ∴这组体温数据的中位数是故答案为:36.5．

16．如图，在Rt△A B C 中，∠B A C ＝90°，B A ＝5，A C ＝8，D 是斜边B C 上的一个动点，过点D 分别作D M⊥A B 于点M，D N⊥A C 于点N，连接MN，则线段MN长的最小值为

．

＝36.5（℃），

【解答】解:∵∠B A C ＝90°，且B A ＝5，A C ＝8， ∴B C ＝

＝

，

∵D M⊥A B ，D N⊥A C ，

∴∠D MA ＝∠D NA ＝∠B A C ＝90°， ∴四边形D MA N是矩形， ∴MN＝A D ，

∴当A D ⊥B C 时，A D 的值最小，

A C ＝B C ×A D ，此时，△A B C 的面积＝A B ×∴A D ＝∴MN的最小值为故答案为:

．＝

＝，

，

17．如图，圆柱形玻璃杯，高为11C m，底面周长为18C m，在杯内离杯底3C m的点C 处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿4C m与蜂蜜相对的点A 处，则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为 15 C m．

【解答】解:如图，将杯子侧面展开，作A 关于EF的对称点A ′，连接A ′C ，则A ′C 即为最短距离， ∵底面周长为18C m， ∴A 'D ＝9C m， ∴A ′C 2＝A ′D 2+C D 2，

＝92+122，＝225，

∴C A ′＝15C m，

答:蚂蚁到达蜂蜜的最短距离的是15C m; 故答案为15．

18．在平面直角坐标系中，A （2，0）、B （0，3），过点B 作直线∥x轴，点P（A ，3）是直线上的动点，以A P为边在A P右侧作等腰Rt△A PQ，∠A PQ＝Rt∠，直线A Q交y轴于点C ．（1）当A ＝1时，则点Q的坐标为（4，4） ; （2）当点P在直线上运动时，点Q也随之运动．当A ＝

时，A Q+B Q的值最小为

．

【解答】解:（1）过点P作PE⊥OA ，垂足为E，过点Q作QF⊥B P，垂足为F，如图1． ∵B P∥OA ，PE⊥OA ，∴∠EPF＝∠PEO＝90°． ∵∠A PQ＝90°，∴∠EPA ＝∠FPQ＝90°﹣∠A PF．在△PEA 和△PFQ中，

∴△PEA ≌△PFQ． ∴PE＝PF，EA ＝QF．

∵A ＝1，∴P（1，3）．∴OE＝B P＝1，PE＝3． ∵A （2，0），∴OA ＝2，∴EA ＝1．∴PF＝3，QF＝1． ∴点Q的坐标为（4，4）．

（2）若点P的坐标为（A ，3），则PF＝PE＝3，QF＝A E＝|2﹣A |． ∴点Q的坐标为（A +3，5﹣A ）．

∵无论A 为何值，点Q的坐标（A +3，5﹣A ）都满足一次函数解析式y＝﹣x+8， ∴点Q始终在直线y＝﹣x+8上运动．

设直线y＝﹣x+8与x轴、y轴分别交于点M、N，如图2所示．当x＝0时y＝8，当y＝0时x＝8．∴OM＝ON＝8． ∵∠A OB ＝90°，∴∠OMN＝45°．

过点A 关于直线MN作对称点A ′，连A ′Q、A ′M，则A ′Q＝A Q，A ′M＝A M＝6，∠A ′MN＝∠A MN＝45°．

∴∠A ′MA ＝90°，A Q+B Q＝A ′Q+B Q．根据两点之间线段最短可知: 当A ′、Q、B 三点共线时，A Q+B Q＝A ′Q+B Q最短，最小值为A ′B 长．设直线B P与A ′M相交于点H，则B H⊥A ′M．

在Rt△A ′HB 中，∠A ′HB ＝90，B H＝OM＝8，A ′H＝A ′M﹣MH＝6﹣3＝3， ∴A ′B ＝

＝

．

当A ′、Q、B 三点共线时， ∵B N∥A ′M，∴△B QN～△A ′QM．根据相似三角形对应高的比等于相似比可得:

＝

，解得xQ＝

．

∴A +3＝∴当A ＝

．∴A ＝．

．

时，A Q+B Q的值最小为

、

．

故答案为:（4，4）、

三．解答题（共7小题） 19．计算: （1）

; +|+

﹣3|++4

．

（2）（﹣1）2+【解答】解:（1）＝3﹣2+＝3﹣2+2 ＝3．

（2）（﹣1）2+＝1+4+3﹣＝10﹣

．

+|﹣3|+

（1）2020年比2016年的全年空气质量优良天数增加了 37 天; （2）这七年的全年空气质量优良天数的中位数是 265 ;

月份优良天数/天

1月（31天）

2月（28天）

3月（31天）

①该小区2021年1月1日至3月31日的空气质量优良天数的平均数约为 27 ．

②试根据以上信息预测延庆区2021年（共365天）全年空气质量优良天数能否达标?达标的天数约为多少天?

【解答】解:（1）由折线统计图得: 2020年全年空气质量优良天数为297天， 2016年全年空气质量优良天数为260天， ∴297﹣260＝37（天）．故答案为:37．

（2）将七年的数据按照从大到小顺序排列如下: 300、297、280、265、260、255、235， ∴中位数为265．故答案为:265．（3）①故答案为:27．

＝27（天）．

②

88.8%＞87.5%， ∴能够达标．

12＝324（天）．达标天数为:27×

21．生活经验表明，靠墙摆放梯子时，若梯子底端离墙的距离约为梯子长度的，则梯子比较稳定，如图1，A B 为一长度为6米的梯子．

（1）当梯子稳定摆放时，它的顶端能达到5.7米高的墙头吗? （2）如图2，若梯子底端向左滑动（3

﹣2）米，那么梯子顶端将下滑多少米?

【解答】解:（1）设梯子放平稳时，可以到达x米高的墙头，得 x2＝62﹣（6×）2．解得:x＝﹣4

或x＝4

，

∵5.72＝32.49＞32，

∴它的顶端不能到达5.7米高的墙头．（2）∵梯子底端向左滑动（3∴OD ＝OB +B D ＝6×+3∴OC ＝

＝3

﹣2）米， ﹣2＝3

米，

米， ﹣3米．

＝

m．

∴A C ＝A O﹣C O＝4答:梯子的顶端将下滑动

（2）分别求线段A B 、EF所对应的函数关系式．

（3）从甲地到乙地经过丙地，如果小明两次经过丙地的时间间隔为0.85h，求丙地与甲地之间的路程．

0.2＝10（km/h），【解答】解:（1）小明骑车上坡的速度为:（6.5﹣4.5）÷小明平路上的速度为:10+5＝15（km/h），小明下坡的速度为:15+5＝20（km/h）， 15）＝0.6h，小明平路上所用的时间为:2（4.5÷

20＝0.1h 小明下坡所用的时间为:（6.5﹣4.5）÷

所以小明在乙地休息了:1﹣0.1﹣0.6﹣0.2＝0.1（h）．故答案为:15，0.1;

（2）由题意可知:上坡的速度为10km/h，下坡的速度为20km/h，所以线段A B 所对应的函数关系式为:y＝6.5﹣10x，即y＝﹣10x+6.5（0≤x≤0.2）．

线段EF所对应的函数关系式为y＝4.5+20（x﹣0.9）．即y＝20x﹣13.5（0.9≤x≤1）．

（3）由题意可知:小明第一次经过丙地在A B 段，第二次经过丙地在EF段，设小明出发A 小时第一次经过丙地，

则小明出发后（A +0.85）小时第二次经过丙地， 6.5﹣10A ＝20（A +0.85）﹣13.5 解得:A ＝

．

＝1（千米）．

答:丙地与甲地之间的路程为1千米．

（1）设用x辆汽车装运A 种产品，用y辆汽车装运B 种产品，根据下表提供的信息，求y与x之间的

函数关系式并写出自变量的x取值范围．

产品品种每辆汽车装运量（吨）每吨产品获利（万元）

A 5 0.6

B 4 0.7

C 3 0.8

（2）设此次外销活动的利润为Q（万元），求Q与x之间的函数关系式，并求出怎样装运才能获得最大利润．

（3）由于市场行情的变化，将A 、C 两种产品每吨售价提高A 万元（0.01≤A ≤0.03），其他条件不变，求销售这批产品获得最大利润的方案．

【解答】解:（1）由题意得，化简得，

即y与x之间的函数关系式为y＝35﹣2x（15≥x≥10）;

0.6x+4•0.7y+3×0.8（30﹣x﹣y）＝86﹣0.2x，（2）由题意得:Q＝5×

当x＝10（台）时，Q最大，此时Q的最大值为84（万元）;

即装运A 、B 、C 货物的车辆分别为10台、15台、5台时，可以获得最大利润84万元;

（3）设此时外销活动的利润为Q′（万元），

0.7y+3×由题意得:Q′＝5x（0.6+A ）+4×（30﹣x﹣y）（0.8+A ）＝86﹣0.2x+8A x﹣15A ＝（﹣0.2+8A ）x+86﹣15A （15≥x≥10），

0.01＝85.85（万元）．当﹣0.2+8A ＝0时，最大利润＝86﹣15×

当﹣0.2+8A ＞0时，最大利润＝（﹣0.2+8A ）15+86﹣15A ＝（83+105A ）万元当﹣0.2+8A ＜0时，最大利润＝（﹣0.2+8A ）10+86﹣15A ＝（84+65A ）万元．

（1）这个中点四边形EFGH的形状是平行四边形 ;

（2）如图2，在四边形A B C D 中，点M在A B 上且△A MD 和△MC B 为等边三角形，E、F、G、H

分别为A B 、B C 、C D 、A D 的中点，试判断四边形EFGH的形状并证明．

【解答】解:（1）中点四边形EFGH是平行四边形; 理由如下:连接A C ，如图1所示:

∵E，F，G，H分别是边A B ，B C ，C D ，D A 的中点， ∴EF是△A B C 的中位线，GH是△A C D 的中位线， ∴EF∥A C ，EF＝A C ，GH∥A C ，GH＝A C ， ∴EF∥GH，EF＝GH， ∴四边形EFGH是平行四边形; 故答案为:平行四边形;

（2）四边形EFGH为菱形．理由如下: 连接A C 与B D ，如图2所示: ∵△A MD 和△MC B 为等边三角形，

∴A M＝D M，∠A MD ＝∠C MB ＝60°，C M＝B M， ∴∠A MC ＝∠D MB ，在△A MC 和△D MB 中，

，

∴△A MC ≌△D MB （SA S）， ∴A C ＝D B ，

∵E，F，G，H分别是边A B ，B C ，C D ，D A 的中点，

∴EF是△A B C 的中位线，GH是△A C D 的中位线，HE是△A B D 的中位线， ∴EF∥A C ，EF＝A C ，GH∥A C ，GH＝A C ，HE＝D B ， ∴EF∥GH，EF＝GH， ∴四边形EFGH是平行四边形;

∵A C ＝D B ， ∴EF＝HE，

∴四边形EFGH为菱形．

25．综合与实践问题情境

综合与实践课上，老师让同学们以”正方形纸片的折叠”为主题开展数学活动，下面是”团结”小组的折纸过程: 动手操作

步骤一:将正方形纸片A B C D （边长为4C m）对折，使得点A 与点D 重合，折痕为EF，再将纸片A B C D 展开，得到图1．

步骤二:将图1中的纸片A B C D 的右上角沿着C E折叠，使点D 落到点G的位置，连接EG，C G，得到图2．

步骤三:在图2的基础上，延长EG与边A B 交于点H，得到图3．

问题解决

（1）在图3中，连接HC ，则∠EC H的度数为 45° ，

的值为

（不必说明理由）．

（2）爱动脑筋的”勤奋”小组，在图3的基础上延长C G与边A B 交于点M，如图4，试猜想A M与B M之间的数量关系，并说明理由．

”创新”小组受”勤奋”小组的启发，（3）将图4中的正方形A B C D 纸片过点G折叠，使点A 落在边A D 上，然后再将正方形纸片A B C D 展开，折痕PQ分别与边A D ，B C 交于点P，Q，求A P的长．【解答】解:（1）如图3中，

∵四边形A B C D 是正方形，

∴B C ＝C D ＝A B ＝B D ，∠B ＝∠D ＝∠B C D ＝∠A ＝90°

由翻折的性质可知，∠D ＝∠C GE＝90°，C D ＝C G，EG＝ED ，∠EC D ＝∠EC G， ∴C B ＝C G，

∵∠B ＝∠C GE＝90°，C H＝C H， ∴Rt△C HG≌Rt△C HB （HL）， ∴HB ＝HG，∠HC G＝∠HC B ，

∴∠EC H＝∠EC G+∠GC H＝（∠D C G+∠B C G）＝45°， ∵正方形纸片A B C D 的边长为4．则A E＝D E＝EG＝2．设B H＝x，则EH＝EG+GH＝2+x，A H＝4﹣x，在Rt△A EH中，根据勾股定理得A M2+A P2＝MP2． ∴（2）2+（4﹣x）2＝（2+x）2，解得x＝，

∴B H＝，A H＝， ∴

＝

故答案为:．

（2）结论:

＝．

理由:如图4中，连接QM，D 'M．

由折叠知，ED ＝EG，A E＝ED ， ∴EA ＝EG，

∵EM＝EM，∠A ＝∠EGM＝90°∴Rt△EMA ≌Rt△EMG（HL）， ∴A M＝MG，设A M＝MG＝y，

则MH＝A H﹣A M＝﹣y．

在Rt△MGH中，根据勾股定理得MG2+GH2＝MH2． ∵B H＝GH＝，

∴y2+（）2＝（﹣y）2，解得y＝1

∴A M＝1，B M＝3， ∴

（3）如图5中，

＝．

∵PG∥A H，

∴＝，即＝，

解得A P＝．

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