“求两线段长度值和最小”问题全解析

求两线段长度值和最小”问题全解析

一、在三角形背景下探求线段和的最小值

1.1 在锐角三角形中探求线段和的最小值

例1 如图1，在锐角三角形ABC中，AB=4,∠BAC=45°，∠BAC的平分线交BC

于点D，M,N分别是AD和AB上的动点，则BM+MN的最小值为 ．

1.2在等边三角形中探求线段和的最小值

例2（2010 山东滨州）如图4所示，等边△ABC的边长为6,AD是BC边上的中线,M是AD上的动点,E是AC边上一点.若AE=2,EM+CM的最小值为 .

二、在四边形背景下探求线段和的最小值

2.1在直角梯形中探求线段和的最小值

例3（2010江苏扬州）如图3，在直角梯形ABCD中，∠ABC＝90°，AD∥BC，AD＝4，AB＝5，BC＝6，点P是AB上一个动点，当PC＋PD的和最小时，PB的长为__________．

2.2在等腰梯形中探求线段和的最小值

例4 如图4，等腰梯形ABCD中，AB=AD=CD=1，∠ABC=60°，P是上底，下底中点EF直线上的一点，则PA+PB的最小值为 ．

2.3在菱形中探求线段和的最小值

例5 如图5菱形ABCD中，AB=2，∠BAD=60°，E是AB的中点，P是对角线AC

上的一个动点，则PE+PB的最小值为 ．

2.4在正方形中探求线段和的最小值

例6 如图6所示，已知正方形ABCD的边长为8，点M在DC上，且DM=2，N是AC上的一个动点，则DN+MN的最小值为 ．

例7（2009?达州）如图7，在边长为2cm的正方形ABCD中，点Q为BC边的中点，点P为对角线AC上一动点，连接PB、PQ，则△PBQ周长的最小值为 cm．（结果不取近似值）．

三、在圆背景下探求线段和的最小值

例8（2010年荆门）如图8，MN是半径为1的⊙O的直径，点A在⊙O上，∠AMN＝30°，B为AN弧的中点，P是直径MN上一动点，则PA＋PB的最小值为( )

(A)2 (B) (C)1 (D)2

四、在反比例函数图象背景下探求线段和的最小值

例9（2010山东济宁）如图9，正比例函数y=x的图象与反比例函数y=（k≠0）在第一象限的图象交于A点，过A点作x轴的垂线，垂足为M，已知三角形OAM的面积为1.

（1）求反比例函数的解析式；

（2）如果B为反比例函数在第一象限图象上的点（点B与点A不重合），且B点的横坐标为1，在x轴上求一点P，使PA+PB最小.

五、在二次函数背景下探求线段和的最小值

例10（2010年玉溪改编）如图10，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（1，△AOB的面积是

.

） ，

（1）求点B的坐标；（2）求过点A、O、B的抛物线的解析式；

（3）在（2）中抛物线的对称轴上是否存在点C，使△AOC的周长最小？若存在，求出点C的 坐标；若不存在，请说明理由；

六、在平面直角坐标系背景下探求线段和的最小值

例11（2010年天津）如图11，在平面直角坐标系中，矩形的顶点O在坐标原

点，顶点A、B分别在x轴、y轴的正半轴上，OA=3，OB=4，D为边OB的中点.

若E为边OA上的一个动点，当△CDE的周长最小时，求点E的坐标；

分析：本题的最大亮点是将一个动点求最小值和两个动点求最小值问题糅合在一起，并很好的运用到平面直角坐标系中．