新课标高二数学选修2-2第一章导数及其应用测试题(含答案)

一选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将所选答案写在答题卡上)

1x21．设y，则y'（ ）．

sinx2xsinx(1x2)cosx2xsinx(1x2)cosxA． B． 22sinxsinx2xsinx(1x2)2xsinx(1x2) C． D．

sinxsinx2．设f(x)lnx21，则f'(2)（ ）．

4213A． B． C． D．

55552x3f(x)3．已知f(3)2,f'(3)2，则lim的值为（ ）．

x3x3A．4 B．0 C．8 D．不存在 4．曲线yx3在点(2,8)处的切线方程为（ ）．

A．y6x12 B．y12x16 C．y8x10 D．y2x32

(x2,0)，5．已知函数f(x)ax3bx2cxd的图象与x轴有三个不同交点(0,0),(x1,0)，且f(x)在x1，x2时取得极值，则x1x2的值为（ ）

A．4 B．5 C．6 D．不确定

116．在R上的可导函数f(x)x3ax22bxc，当x(0,1)取得极大值，当x(1,2)取得极

32b2小值，则的取值范围是（ ）．

a1111111A．(,1) B．(,1) C．(,) D．(,)

42242217．函数f(x)ex(sinxcosx)在区间[0,]的值域为（ ）．

22112112A．[,e] B．(,e) C．[1,e2] D．(1,e2)

22228．积分A．

aaa2x2dx（ ）．

1a2 4 B．

1a2 2 C．a2 D．2a2

x2y29．由双曲线221，直线yb,yb围成的图形绕y轴旋转一周所得旋转体的体积为

ab（ ）

8844A．ab2 B．a2b C．a2b D．ab2

333310．由抛物线y22x与直线yx4所围成的图形的面积是（ ）．

3816A．18 B． C． D．16

3311．设底面为等边三角形的直棱柱的体积为V，则其表面积最小时，底面边长为（ ）． Ａ．3V Ｂ．32V Ｃ．34V D．23V

12．某人要剪一个如图所示的实心纸花瓣，纸花瓣的边界由六段全等的正弦曲线弧

ysinx(0x)组成，其中曲线的六个交点正好是一个正六边形的六个顶点，则这个纸花瓣的面积为（ ）．

332332 C．62 D．6 A．6332 B．1222第Ⅱ卷（非选择题，共90分）

二、填空题（每小题5分，共20分。请将答案填在答题卷相应空格上。）

113．曲线yx3在点(a,a3)(a0)处的切线与x轴、直线xa所围成的三角形的面积为，

6则a_________ 。

1314．一点沿直线运动，如果由始点起经过t秒后的位移是St4t32t2，那么速度为零

45的时刻是_______________。

12n15．lim(22)_______________. 222nn1n2nn16．

40(|x1||x3|)dx ____________。

三、解答题：（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） （17）（本小题满分10分） 已知向量a(x2,x1),b(1x,t)，若函数f(x)ab在区间(1,1)上是增函数，求t的取值范围。

（18）（本小题满分12分）设0xa，求函数f(x)3x48x36x224x的最大值和最小值。

（19）（本小题满分12分）已知函数f(x)ax3bx23x在x1处取得极值.

(1)讨论f(1)和f(1)是函数f(x)的极大值还是极小值;(2)过点A(0,16)作曲线yf(x)的切线,

求此切线方程.

（20）（本小题满分12分）用半径为R的圆形铁皮剪出一个圆心角为的扇形，制成一个圆锥形容器，扇形的圆心角多大时，容器的容积最大？

(21) （本小题满分12分） 直线ykx分抛物线yxx2与x轴所围成图形为面积相等的两个部分,求k的值.

1(22) （本小题满分14分）已知函数f(x)lnx,g(x)ax2bx,a0。

2 （1）若b2，且函数h(x)f(x)g(x)存在单调递减区间，求a的取值范围。（2）设函数f(x)的图象C1与函数g(x)的图象C2交于点P,Q，过线段PQ的中点作x轴的垂线分别交C1、C2于点M,N。证明：C1在点M处的切线与C2在点N处的切线不平行。

一、选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分。）

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 B C A B B C A B B A C B

二、填空题：（本大题共4小题，每小题4分，共16分） （13）、 1 （14）、 t0

（15）、

12ln2 （16）

、 10 三、解答题：（本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） （17）（本小题满分10分） 解：由题意知：f(x)x2(1x)t(x1)x3x2txt，则

f'(x)3x22xt ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅ （3分） ∵f(x)在区间(1,1)上是增函数，∴f'(x)0

即t3x22x在区间(1,1)上是恒成立， ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅ （5分）

设g(x)3x22x，则g(x)3(x1)2133，于是有 tg(x)maxg(1)5

∴当t5时，f(x)在区间(1,1)上是增函数 ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅ （8分） 又当t5时， f'(x)3x22x53(x1)23143， 在(1,1)上，有f'(x)0，即t5时，f(x)在区间(1,1)上是增函数 当t5时，显然f(x)在区间(1,1)上不是增函数

∴t5 ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅ （10分）

（18）（本小题满分12分）

解：f'(x)12x324x212x2412(x1)(x1)(x2)

令f'(x)0，得：x11,x21,x32 ┅┅┅┅┅┅┅ （2分） 当x变化时，f'(x),f(x)的变化情况如下表：

x (0,1) 1 (1,2) 2 (2,) f'(x)  0 － 0  f(x) 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增 ∴极大值为f(1)13，极小值为f(2)8 又f(0)0，故最小值为0。 ┅ 最大值与a有关：

（1）当a(0,1)时，f(x)在(0,a)上单调递增，故最大值为：

f(a)3a48a36a224a ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅ （8分） （2）由f(x)13，即：3x48x36x224x130，得：

(x1)2(3x22x13)0，∴x1或x12103 又x0，∴x1或x12103 ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅ （10分） ∴当a[1,12103]时，函数f(x)的最大值为：f(1)13 ┅┅ （12分） （3）当a(12103,)时，函数f(x)的最大值为： f(a)3a48a36a224a ┅┅┅┅┅

（19）（本小题满分14分）

6分） （

解：f'(x)3ax2bx3，依题意， f'(1)f'(1)0，即323a2b30, 解得 a1,b0 ┅┅ （3分）

3a2b30.2 ∴f'(x)x3x，∴f'(x)3x33(x1)(x1)

令f'(x)0，得 x1,x1 若x(,1)(1,)，则f'(x)0 故f(x)在(,1)和(1,)上是增函数； 若x(1，1)，则f'(x)0 故f(x)在(1,1)上是减函数；

所以f(1)2是极大值，f(1)2是极小值。 ┅┅┅┅┅┅┅┅ （6分） （2）曲线方程为yx3x，点A(0,16)不在曲线上。 设切点为M(x0,y0)，则y0x03x0 由f'(x0)3(x01)知，切线方程为

yy03(x01)(xx0) ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅ （9分） 又点A(0,16)在切线上，有16(x03x0)3(x01)(0x0) 化简得 x08，解得 x02

所以切点为M(2,2)，切线方程为 9xy160 ┅┅┅┅┅┅ （12分） （20）（本小题满分12分）

解：设圆锥的底面半径为r，高为h，体积为V，则 由hrR，所以

22233223231111r2h(R2h2)hR2hh3,(0hR) 33333122R ┅┅┅┅┅┅┅ （6分） ∴V'Rh，令V'0得 h333R是函数V的唯一极值点，且为最大值点，从而是最大值点。 易知：h33R时，容积最大。 ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅ （8分） ∴当h336R代入h2r2R2，得 rR 把h3326 由R2r得 326时，容器的容积最大。 ┅┅┅┅┅┅┅ （11分） 即圆心角326时，容器的容积最大。 ┅┅┅┅ （12分） 答：扇形圆心角3 V (21) （本小题满分12分）

ykx2yxxykx 解：解方程组 得：直线分抛物线的交点的横坐标为 2yxx x0和x1k ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅ （4分）

2 抛物线yxx与x轴所围成图形为面积为

S1213112(xx)dx(xx)|0 ┅┅┅┅┅ （6分） 02361 由题设得

1k1kS2 (xx)dxkxdx

0201k(1k)32 (xxkx)dx ┅┅┅┅┅┅┅ （10分）

0634113 又S，所以(1k)，从而得：k1 ┅┅┅┅┅ （12分）

262 (22) （本小题满分14分）

解：（1）b2时，函数h(x)lnx12ax2x，且 21ax22x1h'(x)ax2

xx∵函数h(x)存在单调递减区间，∴h'(x)0有解。 ┅┅┅┅ （2分）

2又∵x0，∴ax2x10 有 x0的解。

22① 当a0时，yax2x1为开口向上的抛物线，ax2x10总有 x0的解;

┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅ （4分）

2② 当a0时，yax2x1为开口向下的抛物线，而ax2x10有 x0的解，

则

2 4a40，且方程ax2x10至少有一正根，此时， 1a0

综上所述，a的取值范围为(1,0)(0,)。 ┅┅┅┅┅┅┅ （7分） （2）设点P(x1,y1),Q(x2,y2)，且0x1x2，则 点M,N的横坐标为x2x1x2， 212C1在点M处的切线斜率为k1|x1x2；

xx2x1x2xx1x22C2在点N处的切线斜率为k2(axb)|a(x1x2)b。 ┅ （9分） 2 假设C1在点M处的切线与C2在点N处的切线平行，则k1k2，即

a(x1x2)2b

x1x222(x2x1)a22(x2x1)b(x2x1)

x1x22a2a2 (x2bx2)(x1bx1)y2y1lnx2lnx1

22x2(21)xx1所以 ln2 ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅ （11分）

xx112x1x2(t1),t1， ① 设t2，则lntx11t则

2(t1),t1，则 1t14(t1)2 h'(t)22t(1t)t(t1)当t1时，h'(t)0，所以h(t)在[1,)上单调递增。

2(t1)故h(t)h(1)0，从而lnt 这与①矛盾，假设不成立，

1t∴C1在点M处的切线与C2在点N处的切线不平行。 ┅┅┅┅ （14分）

令h(t)lnt