反比例函数压轴难题

反比例函数压轴难题

集团标准化小组：[VVOPPT-JOPP28-JPPTL98-LOPPNN]

中考压轴题反比例函数

一．解答题（共30小题）

1．（2015?邵阳）如图，已知直线y=x+k和双曲线y=（1）当k=1时，求A、B两点的坐标； （2）当k=2时，求△AOB的面积；

（3）当k=1时，△OAB的面积记为S1，当k=2时，△OAB的面积记为S2，…，依此类推，当k=n时，△OAB的面积记为Sn，若S1+S2+…+Sn=

，求n的值．

（k为正整数）交于A，B两点．

2．（2015?宁波）如图1，点P为∠MON的平分线上一点，以P为顶点的角的两边分别与射线OM，ON交于A，B两点，如果∠APB绕点P旋转时始终满足OA?OB=OP，我们就把∠APB叫做∠MON的智慧角．

（1）如图2，已知∠MON=90°，点P为∠MON的平分线上一点，以P为顶点的角的两边分别与射线OM，ON交于A，B两点，且∠APB=135°．求证：∠APB是∠MON的智慧角．

（2）如图1，已知∠MON=α（0°＜α＜90°），OP=2．若∠APB是∠MON的智慧角，连结AB，用含α的式子分别表示∠APB的度数和△AOB的面积．

（3）如图3，C是函数y=（x＞0）图象上的一个动点，过C的直线CD分别交x轴和y轴于A，B两点，且满足BC=2CA，请求出∠AOB的智慧角∠APB的顶点P的坐标．

3．（2015?梅州）如图，过原点的直线y=k1x和y=k2x与反比例函数y=的图象分别交于两点A，C和B，D，连接AB，BC，CD，DA．

（1）四边形ABCD一定是 四边形；（直接填写结果）

（2）四边形ABCD可能是矩形吗若可能，试求此时k1，k2之间的关系式；若不能，说明理由； （3）设P（x1，y1），Q（x2，y2）（x2＞x1＞0）是函数y=图象上的任意两点，a=断a，b的大小关系，并说明理由．

4．（2015?黄石）已知双曲线y=（x＞0），直线l1：y﹣

=k（x﹣

）（k＜0）过定点F且与双曲线交于．

，b=

，试判

2

A，B两点，设A（x1，y1），B（x2，y2）（x1＜x2），直线l2：y=﹣x+（1）若k=﹣1，求△OAB的面积S； （2）若AB=

，求k的值；

（3）设N（0，2），P在双曲线上，M在直线l2上且PM∥x轴，求PM+PN最小值，并求PM+PN取得最小值时P的坐标．（参考公式：在平面直角坐标系中，若A（x1，y1），B（x2，y2）则A，B两点间的距离为AB=

）

5．（2015?威海）如图1，直线y=k1x与反比例函数y=（k≠0）的图象交于点A，B，直线y=k2x与反比例函数y=的图象交于点C，D，且k1?k2≠0，k1≠k2，顺次连接A，D，B，C，AD，BC分别交x轴于点F，H，交y轴于点E，G，连接FG，EH．

（1）四边形ADBC的形状是 ；

（2）如图2，若点A的坐标为（2，4），四边形AEHC是正方形，则k2= ； （3）如图3，若四边形EFGH为正方形，点A的坐标为（2，6），求点C的坐标；

（4）判断：随着k1、k2取值的变化，四边形ADBC能否为正方形若能，求点A的坐标；若不能，请简要说明理由．

6．（2015?咸宁）如图1，已知直线y=x+3与x轴交于点A，与y轴交于点B，将直线在x轴下方的部分沿x轴翻折，得到一个新函数的图象（图中的“V形折线”）．

（1）类比研究函数图象的方法，请列举新函数的两条性质，并求新函数的解析式；

（2）如图2，双曲线y=与新函数的图象交于点C（1，a），点D是线段AC上一动点（不包括端点），过点D作x轴的平行线，与新函数图象交于另一点E，与双曲线交于点P． ①试求△PAD的面积的最大值；

②探索：在点D运动的过程中，四边形PAEC能否为平行四边形若能，求出此时点D的坐标；若不能，请说明理由．

7．（2015?常州）如图，反比例函数y=的图象与一次函数y=x的图象交于点A、B，点B的横坐标是4．点P是第一象限内反比例函数图象上的动点，且在直线AB的上方． （1）若点P的坐标是（1，4），直接写出k的值和△PAB的面积；

（2）设直线PA、PB与x轴分别交于点M、N，求证：△PMN是等腰三角形；

（3）设点Q是反比例函数图象上位于P、B之间的动点（与点P、B不重合），连接AQ、BQ，比较∠PAQ与∠PBQ的大小，并说明理由．

8．（2015?玉林）已知：一次函数y=﹣2x+10的图象与反比例函数y=（k＞0）的图象相交于A，B两点（A在B的右侧）．

（1）当A（4，2）时，求反比例函数的解析式及B点的坐标；

（2）在（1）的条件下，反比例函数图象的另一支上是否存在一点P，使△PAB是以AB为直角边的直角三角形若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．

（3）当A（a，﹣2a+10），B（b，﹣2b+10）时，直线OA与此反比例函数图象的另一支交于另一点C，连接BC交y轴于点D．若

=，求△ABC的面积．

9．（2015?漳州）理解：数学兴趣小组在探究如何求tan15°的值，经过思考、讨论、交流，得到以下思路： 思路一 如图1，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠ABC=30°，延长CB至点D，使BD=BA，连接AD．设AC=1，则BD=BA=2，BC=

．tanD=tan15°=

=

=2﹣

．

思路二 利用科普书上的和（差）角正切公式：tan（α±β）=．假设α=60°，β=45°代

入差角正切公式：tan15°=tan（60°﹣45°）===2﹣．

思路三 在顶角为30°的等腰三角形中，作腰上的高也可以… 思路四 …

请解决下列问题（上述思路仅供参考）． （1）类比：求出tan75°的值；

（2）应用：如图2，某电视塔建在一座小山上，山高BC为30米，在地平面上有一点A，测得A，C两点间距离为60米，从A测得电视塔的视角（∠CAD）为45°，求这座电视塔CD的高度；

（3）拓展：如图3，直线y=x﹣1与双曲线y=交于A，B两点，与y轴交于点C，将直线AB绕点C旋转45°后，是否仍与双曲线相交若能，求出交点P的坐标；若不能，请说明理由．

10．（2014?枣庄）如图，一次函数y=ax+b与反比例函数y=的图象交于A、B两点，点A坐标为（m，2），点B坐标为（﹣4，n），OA与x轴正半轴夹角的正切值为，直线AB交y轴于点C，过C作y轴的垂线，交反比例函数图象于点D，连接OD、BD．

（1）求一次函数与反比例函数的解析式； （2）求四边形OCBD的面积．

11．（2014?徐州）如图，将透明三角形纸片PAB的直角顶点P落在第四象限，顶点A、B分别落在反比例函数y=图象的两支上，且PB⊥x于点C，PA⊥y于点D，AB分别与x轴，y轴相交于点E、F．已知B（1，3）． （1）k= ； （2）试说明AE=BF； （3）当四边形ABCD的面积为

时，求点P的坐标．

12．（2014?淮安）如图，点A（1，6）和点M（m，n）都在反比例函数y=（x＞0）的图象上，

（1）k的值为 ；

（2）当m=3，求直线AM的解析式；

（3）当m＞1时，过点M作MP⊥x轴，垂足为P，过点A作AB⊥y轴，垂足为B，试判断直线BP与直线AM的位置关系，并说明理由．

13．（2014?泰州）平面直角坐标系xOy中，点A、B分别在函数y1=（x＞0）与y2=﹣（x＜0）的图象上，A、B的横坐标分别为 a、b．

（1）若AB∥x轴，求△OAB的面积；

（2）若△OAB是以AB为底边的等腰三角形，且a+b≠0，求ab的值；

（3）作边长为3的正方形ACDE，使AC∥x轴，点D在点A的左上方，那么，对大于或等于4的任意实数a，CD边与函数y1=（x＞0）的图象都有交点，请说明理由．

14．（2014?泉州）如图，直线y=﹣x+3与x，y轴分别交于点A，B，与反比例函数的图象交于点P（2，1）． （1）求该反比例函数的关系式；

（2）设PC⊥y轴于点C，点A关于y轴的对称点为A′； ①求△A′BC的周长和sin∠BA′C的值；

②对大于1的常数m，求x轴上的点M的坐标，使得sin∠BMC=．

15．（2014春?慈溪市期末）如图，直线y=﹣x+1与x，y轴分别交于A、B两点，P（a，b）为双曲线y=＞0）上的一动点，PM⊥x轴与M，交线段AB于F，PN⊥y轴于N，交线段AB于E （1）求E、F两点的坐标（用a，b的式子表示）； （2）当a=时，求△EOF的面积．

（3）当P运动且线段PM、PN均与线段AB有交点时，探究： ①BE、EF、FA这三条线段是否能组成一个直角三角形说明理由；

②∠EOF的大小是否会改变若不变，求出∠EOF的度数，若会改变，请说明理由．

（x

16．（2014秋?渝中区校级月考）如图，在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD，E是BC上一点，∠AED=90°，AB=6，SIN∠AEB=，矩形ABCD的点B与O重合，BC在x轴上，现有一张硬纸片△MGN，∠MGN=90°，点M在x轴上，点G在ED上，NG=3，N与E重合．现将△MGN以每秒1个单位的速度沿EB方向在x轴上匀速移动，同时，点P从A点出发，以每秒1个单位的速度沿AD方向向点D匀速移动，点Q为直线GN与线段AE的交点，连接QP，当点P到达终点D时，△MGN和点P同时停止运动，设运动时间x秒． （1）若反比例函数的图象经过点D，求该反比例函数的解析式．

（2）在整个运动过程中，设△MGN与△ABE重叠部分的面积为y，求y与x的函数关系式，并写出x的取值范围．

（3）在整个运动过程中，是否存在点P，使△APQ为等腰三角形，若存在，求出x的值，若不存在，说明理由．

17．（2013?湖州）如图①，O为坐标原点，点B在x轴的正半轴上，四边形OACB是平行四边形，sin∠AOB=，反比例函数y=（k＞0）在第一象限内的图象经过点A，与BC交于点F．

（1）若OA=10，求反比例函数解析式；

（2）若点F为BC的中点，且△AOF的面积S=12，求OA的长和点C的坐标；

（3）在（2）中的条件下，过点F作EF∥OB，交OA于点E（如图②），点P为直线EF上的一个动点，连接PA，PO．是否存在这样的点P，使以P、O、A为顶点的三角形是直角三角形若存在，请直接写出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．

18．（2013?镇江）通过对苏科版八（下）教材一道习题的探索研究，我们知道：一次函数y=x﹣1的图象可以由正比例函数y=x的图象向右平移1个单位长度得到类似的，函数

的图象是由反比例函数

的图象向左平移2个单位长度得到．灵活运用这一知识解决问题．如图，已知反比例函数

的图象C与正比例函数y=ax（a≠0）的图象l相交于点A（2，2）和点B． （1）写出点B的坐标，并求a的值； （2）将函数

的图象和直线AB同时向右平移n（n＞0）个单位长度，得到的图象分别记为C′和l′，已知

图象C′经过点M（2，4）． ①求n的值；

②分别写出平移后的两个图象C′和l′对应的函数关系式； ③直接写出不等式

的解集．

19．（2013?义乌市）如图1所示，已知y=（x＞0）图象上一点P，PA⊥x轴于点A（a，0），点B坐标为（0，b）（b＞0），动点M是y轴正半轴上B点上方的点，动点N在射线AP上，过点B作AB的垂线，交射线AP于点D，交直线MN于点Q连接AQ，取AQ的中点为C． （1）如图2，连接BP，求△PAB的面积；

（2）当点Q在线段BD上时，若四边形BQNC是菱形，面积为2，求此时P点的坐标；

（3）当点Q在射线BD上时，且a=3，b=1，若以点B，C，N，Q为顶点的四边形是平行四边形，求这个平行四边形的周长．

20．（2013?盐城模拟）如图1，已知点A（a，0），B（0，b），且a、b满足的边AD与y轴交于点E，且E为AD中点，双曲线（1）求k的值；

，?ABCD

经过C、D两点．

（2）点P在双曲线上，点Q在y轴上，若以点A、B、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，试求满足要求

的所有点P、Q的坐标；

（3）以线段AB为对角线作正方形AFBH（如图3），点T是边AF上一动点，M是HT的中点，MN⊥HT，交AB于N，当T在AF上运动时，证明．

21．（2013?成都模拟）在平面直角坐标系中，函数y=（m＞0）的图象经过点A（1，4）、B（a，b），其中a＞1．过点A作x轴的垂线，垂足为C；过点B作y轴的垂线，垂足为D，AC与BD相交于点M，连接AB、AD、BC、CD．

（1）求m的值； （2）求证：CD∥AB；

（3）当AD=BC时，求直线AB的函数解析式．

22．（2013?柳州模拟）如图，在平面直角坐标系中，直线y=kx和双曲线

在第一象限相交于点A（1，

的值是否发生改变若改变，求出其变化范围；若不改变，请求出其值，并给出你的

2），点B在y轴上，且AB⊥y轴．有一动点P从原点出发沿y轴以每秒1个单位的速度向y轴的正方向运动，运动时间为t秒（t＞0），过点P作PD⊥y轴，交直线OA于点C，交双曲线于点D． （1）求直线y=kx和双曲线

的函数关系式；

（2）设四边形CDAB的面积为S，当P在线段OB上运动时（P不与B点重合），求S与t之间的函数关系式； （3）在图中第一象限的双曲线上是否存在点Q，使以A、B、C、Q四点为顶点的四边形是平行四边形若存在，请求出此时t的值和Q点的坐标；若不存在，请说明理由．

23．（2013秋?江岸区校级月考）如图，一次函数y=ax+b与反比例函数y=（x＞0）的图象交于点A、B，与x、y轴交于C、D，且满足（1）求反比例函数解析式； （2）当AB=BC时，求b的值；

（3）如图2，当b=2时，连OA，将OA绕点O逆时针旋转60°，使点A与点P重合，以点P为顶点作∠MPN=60°，分别交直线AB和x轴于点M、N，求证：PM平分∠AMN．

24．（2012?北海）如图，在平面直角坐标系中有Rt△ABC，∠A=90°，AB=AC，A（﹣2，0）、B（0，1）、C（d，2）．

（1）求d的值；

（2）将△ABC沿x轴的正方向平移，在第一象限内B、C两点的对应点B′、C′正好落在某反比例函数图象上．请求出这个反比例函数和此时的直线B′C′的解析式；

（3）在（2）的条件下，直线BC交y轴于点G．问是否存在x轴上的点M和反比例函数图象上的点P，使得四边形PGMC′是平行四边形如果存在，请求出点M和点P的坐标；如果不存在，请说明理由． 25．（2012?泰州）如图，已知一次函数y1=kx+b图象与x轴相交于点A，与反比例函数（﹣1，5）、C（，d）两点．点P（m，n）是一次函数y1=kx+b的图象上的动点． （1）求k、b的值；

（2）设﹣1＜m＜，过点P作x轴的平行线与函数

的图象相交于点D．试问△PAD的面积是否存在最大值

的图象相交于B

+（a+

）=0．

2

若存在，请求出面积的最大值及此时点P的坐标；若不存在，请说明理由；

（3）设m=1﹣a，如果在两个实数m与n之间（不包括m和n）有且只有一个整数，求实数a的取值范围． 26．（2012?淄博）如图，正方形AOCB的边长为4，反比例函数的图象过点E（3，4）． （1）求反比例函数的解析式；

（2）反比例函数的图象与线段BC交于点D，直线

过点D，与线段AB相交于点F，求点F的坐标；

（3）连接OF，OE，探究∠AOF与∠EOC的数量关系，并证明． 27．（2012?广安模拟）如图所示，在同一直角坐标系xOy中，有双曲线且点A（2，5），点B（﹣6，n）在双曲线的图象上

（1）求y1和y2的解析式；

（2）若y3与直线x=4交于双曲线，且y3∥y2，求y3的解析式； （3）直接写出

的解集．

（k为常数）与直线l相交于A、B两点，第一象限内的点

，直线y2=k2x+b1，y3=k3x+b2，

28．（2012?南安市质检）如图，已知双曲线M（点M在A的左侧）是双曲线（1）若直线l的解析式为

上的一动点，设直线AM、BM分别与y轴交于P、Q两点． ，A点的坐标为（a，1），

①求a、k的值；②当AM=2MP时，求点P的坐标． （2）若AM=m?MP，BM=n?MQ，求m﹣n的值．

29．（2012?西湖区一模）如图，在平面直角坐标系中，点A，B坐标分别为（8，4），（0，4），点C，D在x轴上，C（t，0），D（t+3，0）（0＜t≤5），过点D作x轴的垂线交线段AB于点E，交OA于点G，连接CE交OA于点F

（1）请用含t的代数式表示线段AE与EF的长； （2）若当△EFG的面积为

时，点G恰在

的图象上，求k的值；

的图象上，以A，C，Q，R为顶点的四边形是平行

（3）若存在点Q（0，2t）与点R，其中点R在（2）中的四边形，求R点的坐标．

30．（2012?城厢区校级模拟）已知：C为反比例函数

上一动点，过点C作直线l⊥x轴

于A点，连接OC，过C点作CD⊥OC交曲线于点D（D在C右侧），连接OD，过D点作DB∥x轴交直线l于B点，S△AOC=4． （1）求k的值；

（2）当OA=4时，在直线l上是否存在异于C的点P，使△OPD为直角三角形若存在，请求出P点坐标；若不存在，请说明理由；

（3）把△BCD沿CD翻折，当B点恰好落在OD上时，四边形OCBD的面积是否随着点C的运动而发生变化若不变，请求出其面积；若变化，请说明理由．

中考压轴题反比例函数

参

一．解答题（共30小题）

1． ； 2． ； 3．平行；

4． ； 5．平行四边形； ； 6． ；

7． ； 8． ； 9． ； 10． ； 11．3； 12．6；

13． ； 14． ； 15． ； 16． ； 17． ； 18． ；19． ； 20． ； 21． ； 22． ； 23． ； 24． ；25． ； 26． ； 27． ； 28． ； 29． ； 30． ；