量子力学期末考试试卷及答案

量子力学期末考试试卷及答案

红色为我认为可能考的题目

一、填空题：

1、 波函数的标准条件：单值、连续性、有限性。 2、 |Ψ（r,t）|^2的物理意义： t时刻粒子出现在r处的概率密度。 3、 一个量的本征值对应多个本征态，这样的态称为 简并。 4、 两个力学量对应的算符 对易，它们具有共同的确定值。 二、简答题：

1、 简述力学量对应的算符必须是线性厄米的。

答：力学量的观测值应为实数，力学量在任何状态下的观测值就是在该状态下的平均值，量子力学中，可观测的力学量所对应的算符必须为厄米算符；量子力学中还必须满足态叠加原理，而要满足态叠加原理，算符必须是线性算符。综上所述，在量子力学中，能和可观测的力学量相对应的算符必然是线性厄米算符。 2、 一个量子态分为本征态和非本征态，这种说法确切吗？

答：不确切。针对某个特定的力学量，对应算符为A，它的本征态对另一个力学量（对应算符为B）就不是它的本征态，它们有各自的本征值，只有两个算符彼此对易，它们才有共同的本征态。

3、 辐射谱线的位置和谱线的强度各决定于什么因素？

答：某一单色光辐射的话可能吸收，也可能受激跃迁。谱线的位置决定于跃迁的频率和跃迁的速度；谱线强度取决于始末态的能量差。 三、证明题。

1 / 6

2、证明概率流密度J不显含时间。 四、计算题。

1

、

2 / 6

第二题： 如果类氢原子的核不是点电荷，而是半径为r0、电荷均匀分布的小球，

计算这种效应对类氢原子基态能量的一级修正。

解：这种分布只对rr0的区域有影响，对rr0的区域无影响。据题意知

HˆU(r)U0(r) 其中U0(r)是不考虑这种效应的势能分布，即 U（ze20r）4

0rU(r)为考虑这种效应后的势能分布，在rr0区域， U(r)Ze24

0r在rr0区域，U(r)可由下式得出， U(r)erEdr

1Ze4r3Ze3r, ( r r0) E40r243r30340r0 Ze 42 0r ( r  r 0) U(r)er0EdrerrEdr

02 Ze2043rdrZe0r0rr4

01r0r2dr Ze22Ze2Ze222283(r0r)(3rr) 0r04830 0r00r0

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(rr0)

Ze2Ze222(3r0r) ( r r0)3ˆ HU(r)U0(r)80r0 40r 0 ( r  r 0 )ˆHˆ(0)2U(r)，可视为一种微扰，由它引起 由于r0很小，所以H022Z一级修正为（基态(0)(Z31/2ar1000a3)e） 0 E(1)(0)*11Hˆ(0)1d 2Z Z3 r03[Ze28(3r22Ze2]ear0a0r)4r23000r04rdr 02Z ∵raar0，故e01。

4 ∴ E(1)1Z4e203r2r2r4)drZe202a33000r0r0(30a0r0rdr Z4e2r50Z4e252233(r0)3r0 0a0r0520a0 Z4e2 2103r0 0a0 2Z4e2 s25a3r0 0第三题 6.2 求自旋角动量在任意方向n(cos,cos,cos)的投影 的本征值和本征函数。

解：在Sˆz 表象，Sˆn的矩阵元为 010i Sˆn210cos10i0cos01cos

22 4 / 6

Sˆn

coscosicosSn cosicoscos2其相应的久期方程：

cos(cosicos)

220 (cosicos)cos 22即：

22222222 0cos(coscos)0444

(利用cos2cos2cos21)



 2 ˆ的本征值为。 所以Sn2 a设对应于的本征函数的矩阵表示为，S(S)1nn 22b coscosicosaaa(cosicos)bc则  cosb2b2cosicos cosicosb 1cos 22**a1(a,b)ab11b由归一化条件得： 222 cosicos2222aa1a1 1cos1cos 1coscosicosa取 ，得 b 22(1cos)

 1cos 2(S)1n cosicos2 2(1cos) 1cos1cosicos01(Sn)02(1cos)12 2

1coscosicos 1122(1cos)22



同理可求得 对应于Sn的本征函数为 2

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1cos21(Sn)2cosicos2(1cos)

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