一、
填空题
。
。。
1．玻尔的量子化条件为2．德布罗意关系为
3．用来解释光电效应的爱因斯坦公式为4．波函数的统计解释：
_____________________________________
__________________________________________________________5．为率为
6．波函数的标准条件为7．
，
为单位矩阵，则算符
的本征值为__________。
。
为归一化波函数，粒子在
方向、立体角，在半径为
，厚度为。
内出现的几率
的球壳内粒子出现的几
8．自由粒子体系，___________守恒。
__________守恒；中心力场中运动的粒子
9．力学量算符应满足的两个性质是
10．厄密算符的本征函数具有11．设
为归一化的动量表象下的波函数，则
。的物理意义为
。
_______________________________________________。12.
______;
_______;
有共同本征函数完全系，则
_________。
___。
28．如两力学量算符
13．坐标和动量的测不准关系是____________________________。
_______________________。
____________________。
的取值范围分别
14．在定态条件下，守恒的力学量是15．隧道效应是指
__________________________________________。
16．量子力学中，原子的轨道半径实际是指17．为
。
为氢原子的波函数，
18．对氢原子，不考虑电子的自旋，能级的简并度为旋与轨道角动量的耦合时，能级的简并度为耦合，能级的简并度为19．设体系的状态波函数为
，如在该状态下测量力学量
。
，考虑自旋但不考虑自
，如再考虑自旋与轨道角动量的
有确定的值，则力学量算
符与态矢量的关系为__________。
20．力学量算符在态下的平均值可写为的条件为
____________________________。21．量子力学中的态是希尔伯特空间的
____________；算符是希尔伯特空间的
____________。
21．设粒子处于态，为归一化波函数，为球谐函数，则系
数c的取值为
，
本征值为
，
出现的几率为
的可能值为
。
22．原子跃迁的选择定则为
23．自旋角动量与自旋磁矩的关系为24．
为泡利算符，则
。
，
。
，
。
25．为自旋算符，则
。
，，
26．乌伦贝克和哥德斯密脱关于自旋的两个基本假设是_______________________________。27．轨道磁矩与轨道角动量的关系是______________。
27．费米子所组成的全同粒子体系的波函数具有玻色子所组成的全同粒子体系的波函数具有
________________________，
______________;自旋磁矩与自旋角动量的关系是
______________,_________。
27．考虑自旋后，波函数在自旋空间表示为（已归一化），则在态
下，自旋算符求平均的结果可表示为
对自旋的平均可表示为
______________________。
_______________；对坐标和自旋同时
27．考虑自旋后，波函数在自旋空间表示为（已归一化），则
的意义为_____________________；
_________________。
二、
计算题
1．在和的共同表象中，算符和的矩阵分别为
，
求它们的本征值和归一化本征函数，并将矩阵2．一维运动粒子的状态是
和
。对角化。
其中
（1）粒子动量的几率分布函数；（
，求
2）粒子的平均动量。
（利用公式）
3．设在表象中，的矩阵表示为
其中，试用微扰论求能级二级修正。（10分）
4．在自旋态5．
中，求。（10分）
也是厄密算符的条件是
对易。
各是厄密算符。试证明，
6．在动量表象中角动量7．求自旋角动量在
的矩阵元和的矩阵元。方向的投影
的本征值和所属的本征函数。
8．转动惯量为
，电偶极矩为
的空间转子处在均匀电场
10分）
中，如果电场很小，用微扰论求转子基态能量的二级修正。（
（基态波函数，利用公式
）
9．证明下列关系式：1．
，
2.
3. , 4.
(其中为角动量算符，，为泡利算符，为动量算符)
10．设均动能。11．
时，粒子的状态为，求此时粒子的平均动量和平
为厄密算符，（为单位算符），。（1）求算符
的本征值；（2）在A表象下求算符的矩阵表示。
12．已知体系的哈密顿量化本征矢量。（13．一质量为
，试求出（1）体系能量本征值及相应的归一
2）将H对角化，并给出对角化的么正变换矩阵。m的粒子在一维无限深势阱中运动，
， b为小量，用微扰法求粒子的能级（近似到一级）。
14．证明下列算符的对易关系。1．
；
2. ()
3.证明：
设算符与它们的对易式对易，即：，
15．设有两个电子，自旋态分别
，，证明两个电子处于自旋单态（）及三重态
（）的几率分别为：（20分）。
16．求自旋角动量在的本征值和所属的本征函数（
20分）。
方向的投影
17．由任意一对已归一化的共轭右矢和左矢构成的投影算符。试证明（1）
是厄密算符；（2）有；（3）的本征值为0和1（20分）。
18．设在表象中，的矩阵表示为
24分）：
，其中，试用微
扰论求能级二级修正（14分）。
19．证明下列算符的对易关系（ 1．
2. 3.
设算符
(
与它们的对易式
)
对易，即：
，证明：
20．一体系由三个全同的玻色子组成，玻色子之间无相互作用。玻色子只有
两个可能的单粒子态。问体系可能的状态有几个？它们的波函数怎样用单粒子波函数构成？21．求证在均值为
的共同本征态下，角动量沿与。
z轴成
角的方向
的分量
的平
22．证明如算符有共同的本征函数完备集，则对易。
23．求三
问答题
及的本征值和所属的本征函数。
1．电子在均匀电场中运动，哈密顿量为，试判断
各量中哪些是守恒量，为什么？2．3．式？4．5．6．7．
什么是全同性原理和泡利不相容原理，二者是什么关系？表明电子有自旋的实验事实有哪些？自旋有什么特征？乌伦贝克关于自旋的的基本假设是什么？
什么是塞曼效应，对简单塞曼效应，没有外磁场时的一条谱线在外磁场中为几条？经典的波和量子力学中的几率波有什么本质区别？
量子力学中的力学量用什么算符表示？为什么？力学量算符在自身表象中的矩阵是什么形
8．少？9．
什么是光谱的精细结构？产生精细结构的原因是什么？考虑精细结构后能级的简并度是多什么是斯塔克效应？
10．不同表象之间的变换是一种什么变换？在不同表象中不变的量有哪些？
11．量子力学中如何判断一个力学量是否是守恒量，量子力学中的守恒量和经典力学的守恒量定义有什么不同？
12．什么是定态？定态有什么性质？
13．量子力学中的守恒量是如何定义的？守恒量有什么性质？14．简述力学量与力学量算符的关系？
15．轨道角动量和自旋角动量有什么区别和联系？16．简述量子力学的五个基本假设。
17．简述量子力学中的态叠加原理，它反映了什么？18．什么是光电效应？光电效应有什么规律？
19．什么是光电效应？爱因斯坦是如何解释光电效应的。
20．简述波尔的原子理论，为什么说玻尔的原子理论是半经典半量子的。21．简述波函数的统计解释，为什么说波函数可以完全描述微观体系的状态。22．能量的本征态的叠加还是能量本征态吗？为什么23．原子的轨道半径在量子力学中是如何解释的？
？
习题2
1.1924年，德布洛意提出物质波概念，认为任何实物粒子，如电子、质子等，也具有波动性，对于具有一定动量
p的自由粒子，满足德布洛意关系：
150
_____________________________
2. 假设电子由静止被伏电压加速，求加速后电子的的物质波波长：
_____________________________ 3.
计算1K时，
C60团簇（由
60个C原子构成的足球状分子）热运动所对应的物质波波长
_____________________________ 4. 计算对易式数.
5. 如果算符
[p?x,f(x)]和[x,f(p?x)]，其中p?x为动量算符的
x分量，f(x)为坐标的x函
?、?满足关系式
2??
????
1，求证
(1)
?2??3?
2?
2?3
(2)
6. 设波函数
3??
(x)sinx，求[(?Lz
ddx
x]
2
[x
ddx
]
2
?
7. 求角动量能量算符
i
的本证值和本征态
8. 试求算符
?F
ie
ix
ddx
的本征函数
E是非简并的
9. 证明一维束缚定态方程的能量
10. 在一维势场中运动的粒子，势能对原点对称：有确定的宇称
11. 一粒子在一维势场
U(x)U(x)，证明粒子的定态波函数具
，x
U(x)
0，0，x
12. 设t=0时，粒子的状态为
0xa
a
中运动，求粒子的能级和对应的波函数
(x)A[sinkx
2
12
coskx]
求此时粒子的动量期望值和动能期望值13. 一维运动粒子的状态是
(x)
其中 (1) (2)
Axe0,
x
,当x
当x
00
0，求：
粒子动量的几率分布函数；粒子的动量期望值。
14. 在一维无限深势阱中运动的粒子，势阱的宽度为
a
，如果粒子的状态由波函数
.
(x)Ax(ax)描写，A为归一化常数，求粒子的几率分布和能量的期望值[0,a]的一维无限深势阱中状态用函数
4a
xa
15.设粒子处于范围在
(x)sincos
2
xa
，求
粒子能量的可能测量值及相应的几率16. 设氢原子处在
(r,,)
1a0e
3
r
e
a0
的态（
a0为第一玻尔轨道半径）
，求
2
(1)
r的平均值；(2)势能
r
的平均值
17.质量为
m的一个粒子在边长为
0,x
a的立方盒子中运动，粒子所受势能
0,a;z
0,a
V(x,y,z)由下式给
出：
V(x,y,z)
0,a;y
；试写出定态薛定谔方程，并求系
,others
13
23
23
统能量本征值和归一化波函数；18. 氢原子处于态
（1）
r,,
R43Y31R41Y10R41Y11中，问
r,,r,,
是否为能量的本征态？若是，写出其本征值。若不是，说明理由；
（2）在中，测角动量平方的结果有几种可能值？相应几率为多少
19. 在一维谐振子能量表象中写出坐标20. 在t=0时，自由粒子波函数为
x和动量p的矩阵表示
b2sinbx
x,0
xx
2b2b
0
(1)
[
给出在该态中粒子动量的可能测得值及相应的几率振幅；
14
(b)
12
(2i)sin
2px
2b
2
b(b)p
2x
]
(2) 求出几率最大的动量值；
px
b
(b)dpx
2
(3) 求出发现粒子在
b
bdpx区间中的几率；
[
1b
dpx]
21. 设一体系未受微扰作用时有两个能级：
E01及E02，现在受到微扰
?的作用，微扰矩阵元H
为
H12H21a，H11
(0
x
H22
b；a、b都是实数。用微扰公式求能量至二级修正值
22. 一维无限深势阱
a)中的粒子受到微扰
xa
xa)
)
a2
2
H(x)
(0(a2
xx
)
2(1a)
作用，试求基态能级的一级修正。
(
12
2
2
23. 具有电荷为q的离子，在其平衡位置附近作一维简谐振动，在光的照射下发生跃迁。设入射光的能量为
I()。其波长较长，求：
12
①原来处于基态的离子，单位时间内跃迁到第一激发态的几率。②讨论跃迁
的选择定则。
m1
t
0时处于基态，
t
0时处于弱电场
0
24. 电荷e的谐振子，在
e
t/
之中(为常
数)，试求谐振子处于第一激发态的几率。25.质量为m的粒子处于位势
Vx,y,z
00xa,0y其他
a和0za
中。假设它又经受微扰26. 用试探波函数
?H
x/a
bxy，试求第一激发态能量的一级修正。
(x)
e
，
估计一维谐振子基态能量和波函数
27.设粒子在一维空间中运动，其哈密顿量为
H，它在H0表象中的表示为
?H
E0E
EE0
，
A.求
H的本征值和本征态；
E12
1
E011
E，
u
1
1
21
E
E0
E, u
B.若
t=0时，粒子处于
，它在
?0表象中的表示为H
10
。试求出t > 0时的粒子波
函数；
e
iE0t
cosEtisinEt
28. 一个电荷为的一维谐振子受到弱电场的作用，利用微扰理论求能量至二级修正值并与其精确结果比较
?是电子的自旋算符，求28. 若S
(1)
?yS?xS?zS?xS?x=? S
(2)
?S??S
12
的粒子组成的系统由等效哈密顿算符
29. 二个自旋
?H
A(S1zS2z)BS1S2
描述，其中
S1,S2
是二个自旋，
S1z,S2z是他们的分量，
A,B为常数，求系统的所有能级
30. 一体系由三个全同的玻色子组成，玻色子之间无相互作用。玻色子只有两个可能的单粒子态。问体系可能的状态有几个？它们的波函数怎样用单粒子波函数构成？31.一量子体系的哈密顿算符
?H
?0H
0
?,在H?0表象中H
k00
000
4?H
k
020
1，
0
01
，
0
?H
k0
0
其中常数
（1）用微扰法求体系的能级，精确到二级近似；（2）求出体系能量的精确解，并与（
1）式结果比较
南京大学1998年硕士研究生考试试题——量子力学
x
(一) 20分有半壁无限高势垒的一维阱
0x
aa
Vx0V0
0x
在
E
V0的情形下，该系统是否总存在一个束缚态？如果回答是否定的，那么系统中至
少有一个束缚态的存在的充要条件是什么？
（二）20分一个取向用角坐标
和
确定的转子，作受碍转动，用下述哈密顿量描述：
2?B，L是角动量平方
?H2
?AL
B
2
cos2
，式中A和B均为常数，且A
算符，试用一级微扰论计算系统的函数。
（三）20分求在一维无限深势阱中，处于
p能级（l1）的，并标出微扰后的零级近似波
n
x
态时的粒子的动量分布几率
n
p
2
。
（四）20分试判断下列诸等式的正误，如果等式不能成立，试写出正确的结果：（1）
e
?i?p
e
??xj
e
?i?x??pj
1
i2
？式中
i?和?j分别是x和y方向的单位矢量。
（2）
?x,p?xfx?p?xp
i
'
?pxf(x)
？式中
?xp
i
n
x
，
（3）系统的哈密顿算符为
2?pn
?H
?p2
2
Vr
，设
r
是归一化的束缚态波函数，则
有：
1
n
22
n
rVr
n
？
（五）20分碱金属原子处在
z方向的外磁场
B中，微扰哈密顿为
?1
H
，
?lsH?BH
，其中
?lsH
12
2
1dVc
2
rdr
LS
，
HB
eB2c
LZ2SZ
当外磁场很弱时，那些力学量算符是运动积分（守恒量）数，能使微扰计算比较简单，为什么？
，应取什么样的零级近似波函
注：
Ylm
x；
2l1l
4l
1
x
21/2
m!m!
12
P
31
ml
cos
x
21/2
e
x
im
PP
22
01
x
P
2
11
x
；
P
x
x31x
南京大学1999年硕士研究生考试试题—— (20分)一、 t＝0时，粒子的状态为
量子力学专业: 理论物理、粒子物理与原子核物理
(x)A[sinkx]，求此时动量的可能测值和相应的
2
几率，并计算动量的平均值。
二、粒子被约束在半径为(20分) (a)
r的圆周上运动
设立“路障”进一步粒子在
0
0
0
0
的一段圆弧上运动：
V()
0(0(
)
2)
求解粒子的能量本征值和本征函数。
(10分) (b)
设粒子处在情形
(a)的基态，求突然撤去“路障”后，粒子仍然处于最
?
低能量态的几率是多少
(20分)三、边长为 a的刚性立方势箱中的电子，具有能量
3
22
2
ma
，如微扰哈密顿
H1bxy，试求对能量的一级修正
(式中
b为常数)。
ASy+BSz的本征函数和本
(15分) 四、对自旋为1／2的粒子，Sy和 Sz是自旋角动量算符，求
征值(A和B是实常数)。
(15分)
五、已知t=0时，一维自由粒子波函数在坐标表象和动量表象的表示分别是
2
(x)Nxexp(x)exp(ip0x/h)；
式中
(p)c(p
p0)exp[b(pp0)]
2
N、、c、b和p0都是已知实常数．试求
t=0和t>0时粒子坐标和动量的平均
值,
x
t0
?
p
t0
?，（
0
?A
表示力学量算符
2
?的平均值）。A
*
xe
2ax
dx
1
4a
a
m
南京大学2000年硕士研究生入学考试试题——
12
x
量子力学专业:理论物理,凝聚态物理,光学等
22
一. 一维谐振子处在
(x)
1/2
e
状态, , 求:
分) 分) 分)
(1) 势能的平均值 (7(2) 动能的几率分布函数
(7
(3) 动能的平均值 (7
提示:
e
(xi)2
dx
x
0xx
aa中运动
,求,
二. 质量为m的粒子在一维势场
V(x)0V0
0
(1) 决定束缚态能级的方程式(2) 至少存在一个束缚态的条件
(15 (5
分) 分)
三. 质量为m的粒子在一维势场
V(x)
x0,0
x
分)
xa
a
cx
. (20
中运动,其中
c是小
的实常数，试用微扰论求准到四.
两个自旋
c一次方的基态能量
12
的非全同粒子系的哈密顿量
?Hs
求
??
J[S(1)S(2)]
. (20
J0
分)
?s的能量本征值和相应的简并度H
五．(1) 设氢原子处于沿z方向的均匀静磁场
B中, 不考虑自旋,在弱磁场情形下求
分)
n=2能级
的情况. (10(2) 如果沿
z方向不仅有均匀静磁场
B,还有均匀静电场E, 再用微扰论求
分)
n=2能级的
情况. (9
提示: 南京大学光学等一、有一质量为
的粒子处于长度为
a的一维无限深势阱中
200z2103a
专业：理论物理、、凝聚态物理、
2001年硕士研究生入学考试试题———量子力学
Vx
,x0,0
0;xx
a
a
，在t=0
时刻，粒子的状态由波函数
1.2.3.4.
归一化常数
A;
x
0,xAx(a
0;xx),0
ax
a
描述。求：（20分）
粒子能量的平均值；
t=0时刻，粒子能量的几率分布；人艺t>0时刻的波函数的级数表达式。
提示：
n1,3,5
1n
4
4
96
V0,x0,x
00
的一维系统，其中
二、考虑势能为
Vx
V0
为正常数。若一能量为E的粒子从
x
处入射，其透射系数和反射系数各为多少？考虑
的粒子，在一维谐振子势场
E的所有可能值。（20分）
三、有一质量为
Vx
12
2
x中运动。在动能
2
T
p
2
2
的非
相对论极限下，基态能
E0
12
，基态波函数为
0
1
x
1c
2
4
exp
2
x
2
。
考虑T与p的关系的相对论修正，计算基态能级的移动
E至
阶。（c为光速）（20分）
四、氯化钠晶体中有些负离子空穴，每个空穴束缚一个电子。可将这些电子看成束缚在一个尺度为晶格常数的三维无限深势阱中。晶体处于室温，试粗略地估计被这些电子强烈吸收的电磁波的最长的波长。
（20分）
提示：电子质量
五、考虑自旋
mc
2
0
0.511MeV,c
197MeVfm，晶格常数a
1A
S
1
2
的系统，
1．求算符
?T
?y
AS?z的本征值和归一化本征波函数；BS
?的某一个本征态上，求此时测量T
（A、B为实常数）
2．若此时系统正处在
?y结果为S
2
的几率。（20
分）
南京大学2002年硕士研究生入学考试试题———量子力学
一、一维自由粒子的状态由波函数
动能平均值。（20分）二、粒子被约束在半径为
xsinkx
2
12
coskx描述。求粒子的动量平均值和
r的圆周上运动
1）设立“路障”进一步粒子在
0
0
的一段圆弧上运动，即
V
0,0,
0
0
2
，求解粒子的能量本征值和本征函数；
，问撤去“路障”后，粒子仍然处在分）提示：在柱坐标系下
2）设粒子处在上述情形的基态，现突然撤去“路障”
最低能量态的几率是多少？（20
2
u
1u1
2
2
u
2
2
u
2
z
三、设算符
?N
?,a??a?且aa
1
1，证明：如果
也是
是
?的本征函数，对应的本征值为N
1，而波函数
，那么，波函数
?a
?的本征函数，对应的本征值为N
1。（20分）
2
?a
也是
?的本征函数，对应的本征值为N
四、一个粒子在二维无限深势阱
Vx
0,0x,ya
中运动，设加上微扰
,elsewhere
H1xy
0x,ya
，求基态和第一激发态的一阶能量修正（20分）
五、若电子处于
分）
?的本征态，试证在此态中，Sz?取值为
Sy
量子力学专
2
业:
或
2
的几率各为
12
。（20
南京大学2003年硕士研究生入学考试试题——一、一个质量为
的粒子处于一维谐振子势
理论物理,凝聚态物理
为谐振子的本征振动
Vx
12
2
x中运动，
2
频率。如果
t0时，该粒子处于态
x,0
13
0
xc
2
x
，其中
0
x
和
2
x
分别为一维谐振子的基态和第二激发态的能量本征波函数，
c为待定常数且
c
1）2）3）4）
0。
根据归一化条件，求待定常数求t时刻粒子所处的状态
（5分）c；
x,t
；（5分）
（10分）
求测量粒子的能量所能得到的可能值和测到这些值的几率；求粒子能量的平均值；
（5分）
5）若在
t
时刻，粒子所处的势场突然变为
V
'
x
13
2
x，求粒子在
2
时刻处于
新的势场
二、一根长为内摆动，
Vx
'
的第一激发态的几率。（5分）
l的无质量的绳子一端固定，另一端系质点
（10分）（10分）
m。在重力作用下，质点在竖直平面
1）写出质点运动的哈密顿量；2）在小角近似下求系统的能级；
3）求由于小角近似的误差而产生的基态能量的最低阶修正。提示：质量为
（10分）
m
12
，本征频率为
2
2
的一维谐振子的基态波函数为
0
xCexp
2
x
，其中
C是归一化常数，
m
；
exp
三、质量为
xdx
。
的粒子从左向右作一维运动，穿越了一个宽度为
a，高度为V0
的一维势垒
Vx
0 |x|a/2V0
|x|a/2
。设粒子的能量
EV0
。试求发生共振透射（即透射系数为
1）的条件。（30分）四、两个自旋为
1/2的粒子组成的系统由哈密顿量
H
AS1zS2z
BS1S2描述，其中S1
z分量，A和B是实
和分别是两个粒子的自旋，而常数。求该哈密顿量的所有能级。
S1z和S2z则分别是这两个粒子自旋的
（30分）
五、一个质量为
，带电荷为q的粒子，束缚在宽度为
a
的一维无限深势阱
Vx
0 |x|a/2
|x|a/2
中运动。如果在入射光的照射下，该粒子能在不同能级间发生
（30分）
偶极辐射跃迁，求跃迁的选择规则。六、两个粒子被束缚在一个边长为
abc的长方体盒子中运动，粒子间的相互作用势能为
Vx1,x2
A
x1x2
可以作为微扰，其中
x1和x2分别为两个粒子的坐标，
A的一次方。
（15分）
(即总自旋为
A为实常
数。分别就以下两种情形求体系的最低能量态的能量，要求准至1）两个粒子为自旋为零的全同玻色子；2）两个粒子为自旋为
分）
南京大学2004年硕士研究生入学考试试题——
一、已知电子质量为
，电子电量为(-e)，回答以下问题：
1)一个电子被在宽度为
分）
2)五个电子被在宽度为
1/2的全同费米子，且这两个粒子的自旋平行1)。（15
量子力学
（5
a的一维无限深势阱中运动，请写出该体系的能级公式；a的一维无限深势阱中运动，不考虑电子和电子之间的库仑
（10分）
是谐振子的本征园频率，
相互作用，请写出该体系的基态和第一激发态的能级公式。3)一个电子处于一维谐振子势场
12
2
x中运动，其中
（5分）
2
x是
电子的坐标，请写出该体系的能级公式。
4)如果电子在上题中的一维谐振子势场中运动，并且假定电子恰好处在某个能量本征态
上，求电子的坐标和动量的平均值，这些平均值随时间变化么？（分）
10分）
（10
5)请写出氢原子体系的能级公式和电子的基态波函数，这里假定原子核是不动的；
6)假定氢原子处于基态，求电子势能
分）
二、假定电子的波函数在球坐标体系下写为：
e
2
r
的平均值，其中r是电子的径向坐标。（10
(r,,)
(eisin
cos)g(r)，其中
（10分）
g(r)仅是径向坐标
2）求角动量的
r的函数。1）求角动量平方
2
?L的可能测量值和相应的几率；
?的可能测量值和平均值。（10分）z分量Lz
三、
S代表电子的自旋算符，n(sincos,sinsin,cos)
是纬度，
是经度。
为从原点指向单位球面上
(,)方向上的单位向量，其中
1)
在(S
2
,Sz)表象下求自旋S在n方向上的投影Sn
nS的本征值和相应的本征波函
数。（10分）2)
假定电子处于
Sn的某个本征态，那么测量Sz会得到哪些数值，相应的几率是多少，
测量
Sz的平均值又是多少？（
m，无电荷但自旋为
10分）
四、一个质量为1/2，磁矩为
2
0
s的粒子在一维无限深势阱
V(x)
0;
;
xxx
LL
中运动，其中
0
和L是正常数，x是粒子的坐标，z方向的均匀磁场，其大小为
s是粒子的自旋
x
0的半空
算符。现在考虑在间有一同样大小但沿数，并指出
0的半空间中有一沿
B，而在
x方向的均匀磁场。在弱磁场极限下用微扰论找出体系基态的能级和波函
（微扰只须计算到最低阶，自选空间的波函数在
B能作为弱磁场处理的具体条件。
Pauli表象下写出。）（30分）五、一个质量为中C，
m的无自旋的粒子在三维情形下与一个球对称势
V(r)C(ra)作用，其
C的值最小可
a为正常数，
r是径向坐标，为了保证该体系至少有一个束缚态存在，试问
以取多少？（30分）
m的无自旋的粒子受到中心势
六、一个质量为
V(r)
1
的散射，其中a是22
macosh(r/a)e
ikx
2
常数。已知方程粒子能量为一、问答题
dydx
2
2
ky
2
2coshx
2
y
0有解y
(tanhxik)，在低能极限下，求
E时，s分波的散射截面及其角分布。（30分）
量子力学
南京大学2005年硕士研究生入学考试试题——
1、试述量子态的叠加原理。
（5分）
讨论自由粒子的波函数是否一定是平面波？问什么？（2、为什么波函数
5分）
(x,t)必定是复数？（
5分）
5分）
一维定态薛定谔方程的解
(x)是否也必定是复数？（
3、以下的波函数是否代表同一个量子态，并说明为什么：（1）、
(x,t)和e
i
(x,t)，其中
是实常数；（5分）
（2）、
4 5
(x,t)和e
i(z)
(x,t)，其中
(x)是实函数。（5分）
10分）
10分）
、为什么力学量算符
?应是线性厄米算符？（A
、为什么全同粒子的波函数对于粒子的交换应是对称或反对称的？（
二、质量为的粒子在一维无穷深势阱中运动，
V(x)
（20分）
0;1;
xx
aa
其中
a是正实数，求解定态薛定谔方程。
1
三、质量为
的粒子在一维势场中运动，势能为：
2
V(x)
2
x; x; x
2
00
，
其中x>0区V(x)为谐振子势能，求解基态的能量和归一化的波函数。四、设质子是半径为
R的薄球壳，其电荷
（20分）
e均匀分布在球壳表面上。对于氢原子，以电子所受
势能偏离质子为点粒子模型时的值为微扰，求氢原子第一激发态能量的一级修正分公式列出后不必计算）五、中子有内禀磁矩：
。（20分）
E2
(1)
（积
?M
e?
S，其中g=1.9，M为中子质量。当自旋在gMc
x<0区没有磁场而在
z方向向上极
化的中子束，沿x轴作一维运动时，在x>0区域存在恒定磁场
（20分）
B，其
方向沿z方向。若能量
Eg
eB2Mc
，求解中子的一维散射运动。
六、求两个关在一维无穷深势阱
V(x)d(x1
0;0xaa
; xx2)(d
0,x
（
a为正常数）
中，并以接触势
U(x1,x2)1)相互作用的全同中子系统的零级近似
（20分）
归一化波函数（考虑自旋态），并以接触势为微扰，求准到一次方的基态能量。
南京大学1998年硕士研究生考试试题——量子力学
x
(一) 20分有半壁无限高势垒的一维阱
0x
aa
Vx0V0
0x
在
E
V0的情形下，该系统是否总存在一个束缚态？如果回答是否定的，那么系统中至
少有一个束缚态的存在的充要条件是什么？
（二）20分一个取向用角坐标
和
确定的转子，作受碍转动，用下述哈密顿量描述：
2?B，L是角动量平方
?H2
?AL
B
2
cos2
，式中A和B均为常数，且A
算符，试用一级微扰论计算系统的函数。
（三）20分求在一维无限深势阱中，处于
p能级（l1）的，并标出微扰后的零级近似波
n
x
态时的粒子的动量分布几率
n
p
2
。
（四）20分试判断下列诸等式的正误，如果等式不能成立，试写出正确的结果：（1）
e
?i?p
e
??xj
e
?i?x??pj
1
i2
？式中
i?和?j分别是x和y方向的单位矢量。
（2）
?x,p?xfx?p?xp
i
'
?pxf(x)
？式中
?xp
ix
，
（3）系统的哈密顿算符为
2?pn
?H
?p2
2
Vr
，设
n
r
是归一化的束缚态波函数，则
有：
1
n
22
n
rVr
n
？
（五）20分碱金属原子处在
z方向的外磁场
B中，微扰哈密顿为
?1
H
，
?lsH?BH
，其中
?lsH
12
2
1dVc
2
rdr
LS
，
HB
eB2c
LZ2SZ
当外磁场很弱时，那些力学量算符是运动积分（守恒量）数，能使微扰计算比较简单，为什么？
，应取什么样的零级近似波函
注：
Ylm
x；
2l1l
4l
1
x
21/2
m!
m!P
12
ml
cos
x
21/2
e
x
im
PP
22
01
x
P
2
11
x
；
P
x
31
x31x
南京大学1999年硕士研究生考试试题—— (20分)一、 t＝0时，粒子的状态为
量子力学专业: 理论物理、粒子物理与原子核物理
(x)A[sinkx]，求此时动量的可能测值和相应的
2
几率，并计算动量的平均值。
二、粒子被约束在半径为(20分) (a)
r的圆周上运动
设立“路障”进一步粒子在
0
0
0
0
的一段圆弧上运动：
V()
0(0(
)
2)
求解粒子的能量本征值和本征函数。
(10分) (b)
设粒子处在情形
(a)的基态，求突然撤去“路障”后，粒子仍然处于最
?
低能量态的几率是多少
(20分)三、边长为 a的刚性立方势箱中的电子，具有能量
3
22
2
ma
，如微扰哈密顿
H1bxy，试求对能量的一级修正
(式中
b为常数)。
ASy+BSz的本征函数和本
(15分) 四、对自旋为1／2的粒子，Sy和 Sz是自旋角动量算符，求
征值(A和B是实常数)。
(15分)
五、已知t=0时，一维自由粒子波函数在坐标表象和动量表象的表示分别是
2
(x)Nxexp(x)exp(ip0x/h)；
式中
(p)c(p
p0)exp[b(p
2
)p0]
N、、c、b和p0都是已知实常数．试求
t=0和t>0时粒子坐标和动量的平均
值,
x
t0
?
p
t0
?，（
0
?A
表示力学量算符
ax
2
?的平均值）。A
*
xe
2
dx
1
4a
a
m
南京大学2000年硕士研究生入学考试试题——
12
x
量子力学专业:理论物理,凝聚态物理,光学等
22
五. 一维谐振子处在
(x)
1/2
e
状态, , 求:
分) 分) 分)
(1) 势能的平均值 (7(2) 动能的几率分布函数
(7
(3) 动能的平均值 (7
提示:
e
(xi)2
dx
x
0xx
a
分) 分)
六. 质量为m的粒子在一维势场
V(x)0V0
0a中运动
,求,
(1) 决定束缚态能级的方程式(2) 至少存在一个束缚态的条件
(15 (5
七. 质量为m的粒子在一维势场
V(x)
x0,0
x
分)
xa
a
cx
. (20
中运动,其中
c是小
的实常数，试用微扰论求准到八.
两个自旋
c一次方的基态能量
12
的非全同粒子系的哈密顿量
?sH
求
??
J[S(1)S(2)]
. (20
J0
分)
?s的能量本征值和相应的简并度H
五．(1) 设氢原子处于沿z方向的均匀静磁场
B中, 不考虑自旋,在弱磁场情形下求
分)
n=2能级
的情况. (10(2) 如果沿
z方向不仅有均匀静磁场
B,还有均匀静电场E, 再用微扰论求
分)
n=2能级的
情况. (9
提示: 南京大学光学等一、有一质量为
的粒子处于长度为
a的一维无限深势阱中
200z2103a
专业：理论物理、、凝聚态物理、
2001年硕士研究生入学考试试题———量子力学
Vx
,x0,0
0;xx
a
a
，在t=0
时刻，粒子的状态由波函数
5.6.7.8.
归一化常数
A;
x
0,xAx(a
0;xx),0
ax
a
描述。求：
（20分）
粒子能量的平均值；
t=0时刻，粒子能量的几率分布；人艺t>0时刻的波函数的级数表达式。
提示：
n1,3,5
1n
4
4
96
V0,x0,x
00
的一维系统，其中
二、考虑势能为
Vx
V0
为正常数。若一能量为E的粒子从
x
处入射，其透射系数和反射系数各为多少？考虑
的粒子，在一维谐振子势场
E的所有可能值。（20分）
三、有一质量为
Vx
12
2
x中运动。在动能
1
2
T
p2
2
的非
相对论极限下，基态能
E0
12
，基态波函数为
0
x
1c
2
4
exp
2
x
2
。
考虑T与p的关系的相对论修正，计算基态能级的移动
E至
阶。（c为光速）（20分）
四、氯化钠晶体中有些负离子空穴，每个空穴束缚一个电子。可将这些电子看成束缚在一个尺度为晶格常数的三维无限深势阱中。晶体处于室温，试粗略地估计被这些电子强烈吸收的电磁波的最长的波长。
（20分）
提示：电子质量
五、考虑自旋
mc
2
0
0.511MeV,c
197MeVfm，晶格常数a
1A
S
12
的系统，
3．求算符
?T
?y
AS?z的本征值和归一化本征波函数；BS
?的某一个本征态上，求此时测量T
（A、B为实常数）
4．若此时系统正处在
?y结果为S
2
的几率。（20
分）
南京大学2002年硕士研究生入学考试试题———量子力学
六、一维自由粒子的状态由波函数
动能平均值。（20分）七、粒子被约束在半径为
xsinkx
2
1
coskx描述。求粒子的动量平均值和2
r的圆周上运动
3）设立“路障”进一步粒子在
0
0
的一段圆弧上运动，即
V
0,0,
0
0
2
，求解粒子的能量本征值和本征函数；
4）设粒子处在上述情形的基态，现突然撤去“路障”
最低能量态的几率是多少？（20
2
，问撤去“路障”后，粒子仍然处在分）提示：在柱坐标系下
u
1u1
2
2
u
2
2
u
2
z
八、设算符
?N
?a?且a
1
?,a?a
?a
也是
1，证明：如果
是
?的本征函数，对应的本征值为N
1，而波函数
，那么，波函数
?的本征函数，对应的本征值为N
1。（20分）
2
?a
也是
?的本征函数，对应的本征值为N
九、一个粒子在二维无限深势阱
Vx
0,0x,ya
中运动，设加上微扰
,elsewhere
H1
xy
0x,ya
，求基态和第一激发态的一阶能量修正（20分）
十、若电子处于
分）
?z的本征态，试证在此态中，
S?y取值为S
量子力学专
2
业:
或
2
的几率各为
12
。（20
南京大学2003年硕士研究生入学考试试题——一、一个质量为
的粒子处于一维谐振子势
理论物理,凝聚态物理
为谐振子的本征振动
Vx
12
2
x中运动，
2
频率。如果
t0时，该粒子处于态
x,0
13
0
xc
2
x
，其中
0
x
和
2
x
分别为一维谐振子的基态和第二激发态的能量本征波函数，
c为待定常数且
c
6）7）8）9）
0。
根据归一化条件，求待定常数求t时刻粒子所处的状态
（5分）c；
x,t
；（5分）
（10分）
求测量粒子的能量所能得到的可能值和测到这些值的几率；求粒子能量的平均值；
（5分）
10）若在t
新的势场
二、一根长为内摆动，
时刻，粒子所处的势场突然变为
V
'
x
13
2
x，求粒子在
2
时刻处于
Vx
'
的第一激发态的几率。（5分）
l的无质量的绳子一端固定，另一端系质点
（10分）
m。在重力作用下，质点在竖直平面
4）写出质点运动的哈密顿量；
5）在小角近似下求系统的能级；提示：质量为
（10分）
（10分）
的一维谐振子的基态波函数为
6）求由于小角近似的误差而产生的基态能量的最低阶修正。
m
12
，本征频率为
2
2
0
xCexp
2
x
，其中
C是归一化常数，
m
；
exp
三、质量为
xdx
。
的粒子从左向右作一维运动，穿越了一个宽度为
a，高度为V0
的一维势垒
Vx
0 |x|a/2V0
|x|a/2
。设粒子的能量
EV0
。试求发生共振透射（即透射系数为
1）的条件。（30分）四、两个自旋为
1/2的粒子组成的系统由哈密顿量
H
AS1zS2z
BS1S2描述，其中S1
z分量，A和B是实
和分别是两个粒子的自旋，而常数。求该哈密顿量的所有能级。五、一个质量为
S1z和S2z则分别是这两个粒子自旋的
（30分）
，带电荷为q的粒子，束缚在宽度为
a
的一维无限深势阱
Vx
0 |x|a/2
|x|a/2
中运动。如果在入射光的照射下，该粒子能在不同能级间发生
偶极辐射跃迁，求跃迁的选择规则。六、两个粒子被束缚在一个边长为
（30分）
abc的长方体盒子中运动，粒子间的相互作用势能为
Vx1,x2
A
x1x2
可以作为微扰，其中
x1和x2分别为两个粒子的坐标，
A的一次方。
(即总自旋为
（15分）
A为实常
数。分别就以下两种情形求体系的最低能量态的能量，要求准至3）两个粒子为自旋为零的全同玻色子；4）两个粒子为自旋为
分）
南京大学2004年硕士研究生入学考试试题——
一、已知电子质量为
，电子电量为(-e)，回答以下问题：
1/2的全同费米子，且这两个粒子的自旋平行
1)。（15
量子力学
7)一个电子被在宽度为
分）
8)五个电子被在宽度为
a的一维无限深势阱中运动，请写出该体系的能级公式；a的一维无限深势阱中运动，不考虑电子和电子之间的库仑
（10分）
是谐振子的本征园频率，
（5
相互作用，请写出该体系的基态和第一激发态的能级公式。9)一个电子处于一维谐振子势场
12
2
x中运动，其中
（5分）
2
x是
电子的坐标，请写出该体系的能级公式。
10)如果电子在上题中的一维谐振子势场中运动，并且假定电子恰好处在某个能量本征态
上，求电子的坐标和动量的平均值，这些平均值随时间变化么？（
10分）
（10
11)请写出氢原子体系的能级公式和电子的基态波函数，这里假定原子核是不动的；
分）
12)假定氢原子处于基态，求电子势能
e
2
r
分）
二、假定电子的波函数在球坐标体系下写为：
的平均值，其中r是电子的径向坐标。（10
(r,,)
(eisin
cos)g(r)，其中
（10分）
g(r)仅是径向坐标
2）求角动量的
r的函数。1）求角动量平方
?2的可能测量值和相应的几率；L
?的可能测量值和平均值。（10分）z分量Lz
三、
S代表电子的自旋算符，n(sincos,sinsin,cos)
是纬度，
是经度。
为从原点指向单位球面上
(,)方向上的单位向量，其中
3)
在(S
2
,Sz)表象下求自旋S在n方向上的投影Sn
nS的本征值和相应的本征波函
数。（10分）4)
假定电子处于
Sn的某个本征态，那么测量
10分）
Sz会得到哪些数值，相应的几率是多少，
测量
Sz的平均值又是多少？（
m，无电荷但自旋为
四、一个质量为1/2，磁矩为
2
0
s的粒子在一维无限深势阱
V(x)
0;
;
xxx
LL
中运动，其中
0
和L是正常数，x是粒子的坐标，z方向的均匀磁场，其大小为
s是粒子的自旋
x
0的半空
算符。现在考虑在间有一同样大小但沿数，并指出
0的半空间中有一沿
B，而在
x方向的均匀磁场。在弱磁场极限下用微扰论找出体系基态的能级和波函
（微扰只须计算到最低阶，自选空间的波函数在
B能作为弱磁场处理的具体条件。
Pauli表象下写出。）（30分）五、一个质量为中C，
m的无自旋的粒子在三维情形下与一个球对称势
V(r)C(ra)作用，其
C的值最小可
a为正常数，
r是径向坐标，为了保证该体系至少有一个束缚态存在，试问
以取多少？（30分）
2
六、一个质量为m的无自旋的粒子受到中心势
V(r)
1
2
2
macosh(r/a)e
ikx
的散射，其中
a是
常数。已知方程粒子能量为
dydx
2
2
ky
2
2coshx
2
y
0有解y(tanhxik)，在低能极限下，求
E时，s分波的散射截面及其角分布。（30分）
量子力学
南京大学2005年硕士研究生入学考试试题——
一、问答题
1、试述量子态的叠加原理。（5分）
5分）
讨论自由粒子的波函数是否一定是平面波？问什么？（2、为什么波函数
(x,t)必定是复数？（
5分）
5分）
一维定态薛定谔方程的解
(x)是否也必定是复数？（
3、以下的波函数是否代表同一个量子态，并说明为什么：（1）、
(x,t)和(x,t)和
e
i
(x,t)，其中
是实常数；（5分）
（2）、
4 5
e
i(z)
(x,t)，其中
(x)是实函数。（5分）
10分）
10分）
、为什么力学量算符
?应是线性厄米算符？（A
、为什么全同粒子的波函数对于粒子的交换应是对称或反对称的？（
的粒子在一维无穷深势阱中运动，
二、质量为
V(x)
（20分）
0;1;
xx
aa
其中
a是正实数，求解定态薛定谔方程。
1
三、质量为
的粒子在一维势场中运动，势能为：
2
V(x)
2
x; x; x
2
00
，
其中x>0区V(x)为谐振子势能，求解基态的能量和归一化的波函数。四、设质子是半径为
R的薄球壳，其电荷
（20分）
e均匀分布在球壳表面上。对于氢原子，以电子所受
势能偏离质子为点粒子模型时的值为微扰，求氢原子第一激发态能量的一级修正分公式列出后不必计算）五、中子有内禀磁矩：
。（20分）
E
(1)
2（积
?M
e?
S，其中g=1.9，M为中子质量。当自旋在gMc
x<0区没有磁场而在
z方向向上极
化的中子束，沿x轴作一维运动时，在x>0区域存在恒定磁场
（20分）
B，其
方向沿z方向。若能量
Eg
eB2Mc
，求解中子的一维散射运动。
六、求两个关在一维无穷深势阱
V(x)d(x1
0;0xaa
; xx2)(d
0,x
（
a为正常数）
中，并以接触势
U(x1,x2)
1)相互作用的全同中子系统的零级近似
（20分）
归一化波函数（考虑自旋态）可能会有用的公式：薛定谔方程：
，并以接触势为微扰，求准到一次方的基态能量。
2003——2004学年度第一学期
北京科技大学
?H
i
t
2
一维定态薛定谔方程：
d
22
2mdx
x
VxxEx
动量算符：
?p
i
高斯积分：
e
x
2
dx
一。[30分]一维无限深方势阱：质量为
m的粒子在一维无限深方势阱中运动，势阱可表示为：
Vx
0;x;x
n
0,a0,x
a
1[10分]求解能量本征值
En和归一化的本征函数
x,0
1
(x)；
(x)
(x)，求t时刻该粒子的波函
2若已知
t0时，该粒子状态为：
2
12
数；
3。[5分]求t时刻测量到粒子的能量分别为4。[10分]求t时刻粒子的平均能量
E1和E2的几率是多少？
E和平均位置x。
2
n
解：1）
a
2
sin
222
nxa
En
2）
n
2ma
n
iEnt
n
x,t
xex,t
12
1
iE1t
iE2t
2
t时刻的波函数：
3）[5分]
(x)e(x)e
2
t时刻测量到粒子的能量为
E1的几率是：
2
1
x,t
2
x,t12
均
能
12
t
4
时刻测量到粒子的能量为
）
[10
E2的几率是：
分
]
x,t
平
x,t
量：
E
?x,tE
x,tx,ti
t
x,t
E1
2
E2
5
222
4ma
平均位置：
xx,txx,t
a2
16a9
2
cos
E1E2t
二。[30分]一维线性谐振子：
质量为
m的粒子在一维线性谐振子势：
?
V(x)
m
2
x
2
2
?
中运动。按占有数表象，哈密顿可写
为：
Haa
12
?是湮灭算符，a。这里a?是产生算符：
a
?
m2m2
xx
imim
pp
a
已知一维线性谐振子基态波函数为：1。[10分]利用产生算符性质：
?am
?
0
1
4
x
mx22
1
x
，求线性谐振子第一激发态在坐标表象下的
波函数：
1
x
；（
0
xex
）
2。[10分]假设粒子处在基态
0
，突然改变一维线性谐振子的“振动频率”为
2
，
粒子新的基态能是多少？新的基态波函数是什么？
3。[10分]假设这时粒子波函数仍然保持不变（
x
m
1
4
e
mx2
2
），此时测量粒子能
量，发现粒子能量取新的基态能的几率是多少？
解：1）
1
xa
?
0
x
m2x
im
2
x
imexp
p
m
1
4
mx2
e
2
利用：
x
x,p
didx
xddx
2
2
，
x
2
0
1/4
2
exp
，其中：
m
1
xa
?
0
2
1/42
x
didxx
2
1/4
2
x
2
2
2x2
3/21/4
x
1
2
exp
1
1/4
2
d2
dx
2
2
1/4
exp
2
x
2
2x
exp
x
2
2
2
x2
exp
1
1/4
2
2
2
0
xexp
x
2
2
2
3/21/4
xexp
x
2
2
2xx
2）新基态能：
E0
2
新基态波函数：
0
x
m
14
e
mx2
2
2m
14
mx
2
e
2
3）测量粒子能量取新基态能的几率：
w
0
x
2
2
1/4
23
223
0.9428
三。[40分]两电子波函数：
考虑两个电子组成的系统。它们空间部分波函数在交换电子空间部分坐标时可以是对称的或是反对称的。由于电子是费米子，整体波函数在交换全部坐标变量（包括空间部分和自旋部分）时必须是反对称的。
1。[15分]假设空间部分波函数是反对称的，求对应自旋部分波函数。总自旋算符定义为：
S
s1s2。求：S
2
和Sz的本征值；
2。[15分]假设空间部分波函数是对称的，求对应自旋部分波函数，3。[10分]假设两电子系统哈密顿量为：的能量。
解：1）[15分]自旋三重态（spin triplet空间部分波函数是反对称的，自旋部分应对称：
）
S
2
和
Sz的本征值；
H
Js1s2，分别针对（
1）（2）两种情形，求系统
s
12
对应总自旋平方
S本征值为：2
2
2
对应总自旋第三分量
Sz本征值分别为：
1
A
,,0
2）自旋单态空间部分波函数是对称的，自旋部分应反对称：
2
对应总自旋平方
S本征值为：0
2
对应总自旋第三分量
Sz本征值分别为：Js1s2，利用：s1s2
2
0
2
21
2
3）哈密顿：
H
Sss2
2
2
2
3
22
4针对自旋三重态：s1s2
232
02
4针对自旋单态：s1s2
2
434
2
，对应能量：
ET
J43J4
2
，对应能量：
ES
2
量子力学考研模拟题参
i
(prEt)
一、1、描写自由粒子的平面波称为德布罗意波；其表达式：
Ae
2、定态：定态是能量取确定值的状态。性质：定态之下不显含时间的力学量的取值几率和平均值不随时间改变。
3、全同费米子的波函数是反对称波函数。两个费米子组成的全同粒子体系的波函数为：
1
A
2
1
(q1)
2
(q2)
2x
1
(q2)
2
(q1)
。
4、
?xi(p
2x
2x
2x
?)xp
2x
=
?,x]ip?x[p?x,x]i[p?x,x]p?xi[p
?x，2p
因为
?xp
是厄密算符，所以
?xi(p
5、设示
?)是厄密算符。xp
?的对易关系F?G??和GF
?和k在态?、GF
?F?G
k
2
中的平均值，令
?，k是一个算符或普通的数。以
ikF
?G?G，?F?F，GF
、
G和k依次表
22
??(F)(G)
则有
4，这个关系式称为测不准关系。
x
p?x
2
1，因为在A表象中，算符
坐标
?x之间的测不准关系为：x和动量p
2?二、解1、由于A?的本征值是1，所以算符A
?的矩阵是：A
?的矩阵是对A
?(A)Ab12b22
10
01
角矩阵，所以，在A表象中算符
设在A表象中算符
?的矩阵是B
?(A)B0b21b120
b120
b11b21
，利用
?B?B?A?0得：b11A
1
，
b22
0；
0
由于
b1200
1b12
b12b21
0
0
1b0
*12
0b21b12
1b
*12
?B
2
1，所以
b21
b12
1
b21；由于B?是
厄密算符，
?B?，B
b
*
12
b12
令
b12
e
i
，其中为任意实常数，得
?在A表象中的矩阵表示式为：B
?(A)Be
i
0e
i
e
i
0
2、类似地，可求出在B表象中算符
?的矩阵表示为：A
?(B)A
0e
i
0e
ii
0
在B表象中算符
e
i
?的本征方程为：A
e
i
0
，即
e
ee
ii
i
i
00
和
不同时为零的条件是上述方程的系数行列式为零，即
ee
0
1
A
2
10
1
e
i
A
1
，对
e
i
对
1有：
2
1
1有：
2
1
1
所以，在B表象中算符
e
i
1
和
e
i
?的本征值是A
1，本征函数为
2
11
2
i
11
e
i
e
3、类似地，在从A表象到
A表象中算符
?的本征值是B
1，本征函数为
2
1
和
2
1
B表象的幺正变换矩阵就是将算符
i
?在A表象中的本征函数按列排成的矩阵，即B
S
12
ee
i
11
En
e1
2
2a0n
2s
(n1,2,3)
三、解：
nlm
已知氢原子的本征解为：
(r,,)
Rnl(r)Ylm(,)，将cnlm(0)
nlm
(r,0)向氢原子的本征态展开，
，不为零的展开系数只有三个，即
1、
(r,0)=nlm
12，
(r,,)
12，
c211(0)
1
2，显然，题中所给的状态并未归一化，容
c210(0)
c310(0)
易求出归一化常数为：
451
，于是归一化的展开系数为：
c210(0)
14
25
5，
c310(0)
15
25
12
35，
4525
c211(0)
，
12
4525
（1）能量的取值几率
W(E2,0)25E3
2
W(E3,0)
25，
E
平均值为：
35
E2
2?（2）L取值几率只有：W(2
,0)
1，平均值L?2
15
25
35，
2
W(
2
?L（3）z的取值几率为：
2、t
W(0,0),0)
25，平均值
iEnt)
?zL
25
0时体系的波函数为：
210
(r,t)=nlm
211
cnlm(0)
nlm
(r,,)exp(i2
5E2t)
310
[c210(0)1[5
210
(r,,)
25
c211(0)
211
(r,,)]exp(
iE2t)
c310(0)
310
(r,,)exp(iE3t)
t
i
E3t)
(r,,)(r,,)]exp((r,,)exp(
?2?LEL由于、和z皆为守恒量，所以它们的取值几率和平均值均不随时间改变，与
结果是一样的。
0时的
?的本征值是方程
四、解：（1）H
10
C0
结果：
?det(H
(C
2
I)
0的根
)(
2
C30
C
002
4
3
C)
2
C
2，
21C
2
，这是
?的精确解。H
（2）根据题意，体系能级的二级修正可写为：由题设可知：能量的一级修正为：
EnE
(0)n
E
(1)n
E
(2)n
H11
0，H22
0，H33
2
C
C2
2
E
对于二级修正，有：
(2)1
H12H21(0)(0)E1E2
C
2
H13H31
(0)(0)E1E3
03(2)
E121
C
C0
131(2)C
22
E
E
(2)2
H21H12E
E
(0)2
H23H32E
(0)2
E
(0)1
E
(0)3
31
0
2
E2
3)
C
2
(2)3
H31H13
(0)3
H32H23E
(0)3
E
(0)1
E
(0)2
所以，
将
21C
1
2
2
展开：
1C1
1212121212
2
2，12
(1C
2
2
2，E3
2C
3
12
C
2
C
2
，
2
，
(C
1
1)（3）对比可知，根据微扰公式求得
i(i(i(i(i2i2i2)i2)))1212
0
1212
120
，
的能量二级修正值，与精确求解的结果是吻合的。
S
五、解：
12121212
SxSxSxSx
12121212
iSyiSyiSyiSy
2222
2121212
SSS
12
1
所以
10
12
和
12
S12，
01
12
的结果是
S
12
和
S
0
分别作用于
Sz的本征态
12，
S
2
S
S
，
12
0
结果表明：称
S
为自旋升算符是合理的，因为它将
z方向的自旋从
2增加到
和
2。同样，
Sz的一
2降到称S为自旋降算符，因为它将z方向的自旋从
个本征态跳跃到另一个本征态，它们在自旋的计算中是非常有用的。
2。S
S
容许我们从
科目代码及名称：
量子力学2011年硕士研究生入学考试试题
A 适用专业：理论物理
凝聚态物理
619 （请考生在答题纸上答题，在此试题纸上答题无效）
1.（20分）简述题：
（1）简述波函数
（2）
2．（30分）一维无限深势阱
(x,y,z,t)的统计解释；
简述量子态叠加原理。
U(x)
， (x0， (0
0或xx
a)
a)2
nxa
中运动的粒子的能量本征函数为
n
a0
sin (x
(0
0或xx
a)
a)
，相应的能量本征值为
22
En
(x)
n
2
2
2a
(n1, 2,
xasin
2xa
)。若粒子初始状态的波函数为
，求：（1）归一化常数
A; （2）粒子能量的可能取值；
（3）粒子能量的
Acos
平均值。
3. （30分）已知角动量算符关系式
的对易关系
?2
l
2?lx2?ly2?lz，以及角动量各分量间
[l?,l?]
xyz时等于
xyz
il?,,,
1，即
xyz
x,y,z
，其中Levi-Civita符号
在下标为
1，当任何两个相邻下标交换位置时
0，
改变正负号，例如：
xzy，有两个下标相同时为
第 1 页，共 3 页
例如：
xxz
0。请证明：
2??[l,l]
0,
?Hn
x,y,z。
a?a?n
12
?
12
4. （30分）一维线性谐振子的哈密顿算符可表示为
,
其本征方程为
算符
?nH
与消灭算符
?
?a?a
?
12
n,
其中产生
?a
?
?满足以下关系式：a
?,a?]1,a?n[a
?x
12
?a?,a
?
nn1,
?p
1i2
?na
?
?
n1n1
且与坐标算符及动量算符之间满足如下关系：
?a?a
。
能量本征态之间满足正交归一性关系请计算以下算符矩阵元：
nn
2
nn。
?n;nH
5. （20分）若函数展开式：
?n;nx
fx
?n.nx
存在任意阶导数，则相应的算符函数可有以下泰勒
f(A)
n0
f
(n)
(0)
1
n!
z
A
n
其中上标
(n)
表示n阶导数。已知
01，
0
cosx
n0
x2n!
1
n
2n
,
sinx
e
i
z
1
n0
n
2n
x1!
2n1
,
x
z
,
sin
i
。请证明：
cosi
l?z
为常数
，求
6. （20分）角动量z分量算符为示：体系的状态在绕
z轴旋转
l?z
的本征态和本征值（提
2
后保持不变）。
因篇幅问题不能全部显示，请点此查看更多更全内容
Copyright © 2019- oldu.cn 版权所有 浙ICP备2024123271号-1
违法及侵权请联系：TEL:199 1889 7713 E-MAIL:2724546146@qq.com
本站由北京市万商天勤律师事务所王兴未律师提供法律服务