2015年中级计量A中期作业题 (1)

中国金融研究中心 龙夕左 214020204181

1、分别从数理和经济的角度，简述对每一条古典假定的含义和作用的理解。

（1）零条件均值假定：E(u|X)0, ui的条件均值为零。其作用是它可以保证估计量的无偏性。

（2）球形扰动假定：Var(u|X)I，随机扰动项的方差-协方差矩阵为同方差且无自相关同时成立时的情况。其作用是保证参数估计的有效性。

（3）外生性假定：E(Xu)0，即解释变量与扰动项不相关，表示随机扰动项中不包含有解释变量的任何信息。其作用是保证参数估计的一致性，这是最重要的也是最基本的假定，若违反了此假定参数估计也变得没有意义。

（4）满秩性条件：Rank(XX)k，含义是解释变量无共线性，作用是为了保证条件期望的唯一性，参数可求解。 （5）正态性条件：u2N(0,2I)，含义是扰动项服从正态分布，主要与统计检验和推断

有关，作用是使得参数服从正态分布，从而对参数进行估计，但在大样本的条件下，根据中心极限定理这个条件是可以放宽的。

2、对线性回归模型YXu，试用最小二乘法和极大似然法估计参数和随机扰动项的方差，并且说明和比较在满足古典假定的条件下，参数与扰动项方差的估计量的性质。

2

2

ˆ(XX)1XY，随机扰动项方差σ2的估计量最小二乘法（OLS）估计的参数β估计量ˆ2ee；

nkˆ(XX)X极大似然估计法（ML）估计的参数β估计量Y，随机扰动项方差σ的估计量ML12

ˆ)(YXˆ)。与OLS的2的估计参数不一样，差别在分母上。在满足古ˆ2(YXMLMLML典假定的条件下，OLS对的估计量是最佳线性无偏估计（BLUE）,对的估计量是一致最小方差无偏估计（UMVUE）。具有线性特性、无偏性和有效性，线性估计量不仅比非线性估计量更为简单，计算更为方便，并且线性估计量比较容易确定其概率分布性质。

ML与OLS对的估计量是一样的，对随机扰动项方差σ的估计量与OLS的估计参数不一样

2

1n2

是对σ的有偏估计，但是一致估计量。

3、说明在一般线性框架下，检验统计量F2

(RSSRRSSU)q的内在含义。

RSSU(nk)在一般线性框架下，检验统计量F(RSSRRSSU)q的内在含义是对多元回归模型

RSSU(nk)Y12X2kXku的统计检验，进行一般的线性假设（原假设），并拟合一个受约

束的回归，用受约束模型的残差平方和与无约束模型的残差平方和之差RSSRRSSU的大小即可来推断原假设是否成立，即参数估计是否具有显著性。

4、简述LR、Wald、LM三大检验的基本原理和思路步骤； LR检验：

基本原理：常适用于线性约束的检验，需要估计有约束和无约束的对数似然值。对大样本来

ˆ,ˆ)lnL(,)说，统计量LR2ln2lnL(22ˆ,ˆ2)是无约束的2(q)，L(2最大似然值，L(,)是有约束条件的最大似然值。具体地，统计量LR如果很大，则应拒

绝原假设，或者说似然比检验的拒绝域为LR12(q)，其中1(q)为卡方分布的1下侧分位数。

2ˆ(XX)1XˆML思路步骤：把Y与ML21ˆ)(YXˆ)代入似然函数得无(YXMLMLnˆ,ˆ2)；检验假设Ho:Rr0；最大化lnL(Rr)，约束的最大似然值L(ˆe，而的带约束的极大似然可得约束条件下的，此时的残差为YXYX**2

估计为2e*e*n2，最后计算约束条件下的最大似然值L(,)；④求得LR，并进行LR

检验。

Wald检验：

基本原理：适用于线性约束和非线性约束检验，只需估计无约束的模型。

思路步骤：Wald检验的一般公式可表述为：对于原假设H0:c()0（是未知参数），

ˆ)'[Varc(ˆ)]1c(ˆ)Wc(LM检验：

2(q)。如果的值大于卡方分布的上侧分位数，则拒绝原假设。

基本原理：适用于线性约束和非线性约束检验，只需估计有约束模型。对于大样本来说，

LMnR222(q)，当nR2(卡方分布的上侧分位数)时，则拒绝原假设。

思路步骤：LM检验方法实际上是从一个较简单的模型开始，检验是否可以增加新变量，第一步就是对简单模型(变量较少)回归，得到残差e*。如果“真实”模型变量很多，则这些变量加入模型应对e*有影响。所以第二步e*对所有变量回归而得到的R的大小就将直接

222决定是否应该增加新变量，即约束Rr是否成立。如果R很大(nR)，则说明新

2增变量对e*有显著影响，即真实模型应含较多变量，或者说对参数的约束(比如某些i为

2220)不成立。如果R较小(nR)，则说明新增变量对e*没有显著影响，真实模型就应

是变量较少的简单模型，即约束条件成立。

5、设定模型为

YXu

其中EuX0， Var(u)E(uu)

模型的扰动项是非球型扰动。此时的普通最小二乘估计量有什么后果？通常用什么方法估计？White 或 Newey-West 修正的作用是什么？

模型的随机扰动项是非球型扰动时，OLS估计量具有下列特点：

1） OLS估计量是无偏且一致的

2） OLS估计量是非有效的。尽管模型的GLS估计量是一个最优的线性无偏估计量。但

是，如果仍然做OLS回归，只能得到线性无偏但非最小方差的估计量。

3） 传统的OLS估计量的标准差不正确，以这些标准差为依据建立起来的传统的t检验

也是无效的。

使用White 或 Newey-West估计。

White 或 Newey-West的修正作用在于：在OLS估计量在非球形扰动时，t值通常是被夸大的，而在White 或 Newey-West给出了估计量方差的真实改进。

在仅存在异方差的情况下White估计量以ei代替未知的i，其中，ei是最初OLS估计的残差。且证明了

22'2ˆ)XX1X2ˆXXX1Var(ˆdiage2,e2,122,e2n

是一个一致估计量。而且不需要对异方差形式作任何假定。此时，通常的t检验和F检验是

渐进有效的。而一般的假设检验也可以用Wald统计量来完成。Newey和West提出了更一般的估计量。在存在未知形式的异方差和自相关时仍然是一致的。

6、什么是内生性问题？它有什么后果？通常采用什么方法检验和修正？简述处理内生性的过程步骤。

内生性问题：外生性假定被违背，即内生性问题。

后果：由此产生的后果为最小二乘的估计量将是不一致的。

方法：通常采用Hausman检验方法来检验，采用工具变量法来修正、估计模型。 步骤：Hausman检验的具体步骤如下：第一，可能的内生变量

Exjui0，解释变量与扰动项相关，模型就会存在

y2对所有外生变量z回归，生

ˆ；第二，将ˆ加入原模型结构方程成残差序列，得到的估计ˆˆey1z111y2y2，

估计该结构方程；第三，如果的t值很小，则接受原假设，表明t较大，则拒绝原假设，表明方法：工具变量法估计模型

是外生的；如果的

ˆy2是内生的。

步骤：第一，需要找到一个可观测的工具变量z，且工具变量满足两个条件：1、z与误差项u不相关，

covz,u0；2、z与内生变量

xk高度相关，或者说z与

xk存在偏相关（即

扣除其他外生变量的影响），即用工具变量z替代内生变量

xk12x2k1xk1z，有0。第二，

xk估计原模型。

7、遗漏变量和无关变量选取的后果是什么？有哪些方法可以检验？ 遗漏变量的后果：

1）如果遗漏变量与解释变量相关，则OLS估计量是有偏且不一致的估计量；

2）如果遗漏变量与解释变量不相关，解释变量的估计量即便满足无偏性和一致性，但是截距项的估计也是有偏的；

3）解释变量方差的估计值与真实的方差有偏； 4）随机扰动项的方差的估计值也是有偏的；

5）与方差相关的检验，包括假设检验、区间估计等都容易导致错误的结论。遗漏变量设定误差的检验方法有多种，如DW检验、拉格朗日乘数（LM）检验、一般性检验（RESET）、豪斯曼（Hausman）检验等。 无关变量选取的后果：

1）参数的OLS估计量是无偏，且为一致性的； 2）随机扰动项的方差的估计仍为无偏估计；

3）通常的区间估计和假设检验程序依然有效；

4）解释变量的估计量将不是有效估计量。对于是否误选无关变量的检验，只要针对变量系数是否为零的假设，用t检验或F检验，对可能误选的无关变量系数作显著性检验即可。 1、误选无关变量的检验（t检验、F检验） ： 基本思想是对无关变量系数的显著性进行检验。

Yi12X2i3X3iKXKiui i1,2,,n

1）t检验：检验Xk是否为无关变量，即检验 H0: k0；H1：k0

ˆ tk~t(nk)

ˆ)se(k若

tt/2(nk)，接受H0； 若tt/2(nk)，拒接H0。

2）F检验是对模型的部分变量是否多余的检验。比如检验X2,X3是否为无关变量，即检验约束条件是否成立。

H0: 230；H1：j(j2,3)不全为零

在H0成立的条件下，用F统计量对假设进行检验。

F(RSS有约束RSS无约束)/mRSS无约束/(nk)~F(m,nk)

其中，RSS表示残差平方和；m表示约束个数，n表示样本容量；k表示非约束模型中被估参数的个数。 若FF(m,n-k)，约束条件成立。若FF(m,n-k)，约束条件不成立。

2、相关解释变量遗漏的检验 1）残差图示法

残差图示法可以初步判断是否有相关变量的遗漏或函数形式的设定偏误。我们曾在考察模型是否存在异方差、自相关时用过该方法。许多情况下，异方差性、自相关性往往是由于模型设定时遗漏了重要的解释变量引起的。

对所设定的模型进行OLS回归，得到估计的残差序列et；做出et与时间t或某解释变量X的散点图，考察et是否有规律在变动，以判断是否遗漏了重要的解释变量或选取了错误的

函数形式。 2）DW检验

DW检验的基本思想是，遗漏的相关变量应包含在随机扰动项中，那么回归所得的残

差序列就会呈现单侧的自相关性，因此可从自相关性的角度检验相关变量的遗漏。从遗漏变量的模型看，可以认为遗漏变量模型是无遗漏变量模型的一个特例，被遗漏变量X3的系数为0。如：正确模型：Yi误设模型：Yi12X2i3X3iui 被称为无约束模型

12X2ii 被称受无约束模型

DW检验的具体步骤：

a) 对回归模型运用OLS法得残差序列

b）设H0:设定的模型无遗漏变量；H1：模型有遗漏变量 按遗漏解释变量的递增次序对残差序列ei进行排序。 3）拉格朗日乘数（LM）检验

拉格朗日乘数（LM）检验的基本思想是，既然模型中遗漏的相关变量包含在随机扰动项中，因此随机扰动项或回归所得的残差序列应与遗漏的相关变量呈现出某种依存关系。那么，我们可以进行残差序列与相关变量的回归，在一定显著水平下若相关变量具有统计显著性，则认为存在遗漏变量形成的设定偏误，若相关变量不具有统计显著性，则认为没有遗漏变量形成的设定误差。 具体步骤如下：

a）对可能存在遗漏变量的设定模型（受约束回归模型）进行回归，得残差序列ei； b）用残差序列ei对全部的解释变量（包括遗漏变量）进行回归，得可决系数

R2；

c）设定H0: 受约束回归模型；H1: 无约束回归模型。大样本情况下，构造检验统计量nR2，nR渐近服从分布

22 d）进行显著性检验的判断：

nR2> 2(m), 则拒绝H0，认为受约束模型不成立，存在遗漏变量（m为约束个数）；

否则接受H0，认为受约束模型成立，无遗漏变量。 8、y对一个常数、x1和x2的多元回归结果如下：

ˆ30.8x10.6x2，R260y600，n30

280011

0246X'X8400612模型满足古典的假设条件，根据这些结果，检验两个斜率之和为1.5的假设。

ˆ30.8x10.6x2可知β=3，β=0.8，β=0.6 解：由y构造原假设H0=β+β=1.5 H1=β+β 1.5 由R602600=（TSS-RSS）/TSS可知RSS=0

令：R=(0,1,1) r=1.5 q=1

ˆr)[R(XX)1R]1(Rˆr)q(R又Fee(nk) 得：F=

F(q,nk)

1.4×1.4 ×1/840×24 =0.028 F(1,27) 0/27 F值非常小，接受原假设，即两个斜率之和应为1.5

9、 1978年-2008年的全国居民消费水平与国民总收入等的数据如下。

年 份 1978 1979 1980 1981 1982 1983 1984 1985 1986 1987 1988 19 1990 1991 1992 1993 国民总收入（GNI） 35.2 4062.6 45.6 48.5 5330.5 5985.6 7243.8 9040.7 10274.4 12050.6 15036.8 17000.9 18718.3 21826.2 26937.3 35260 35.2 4062.6 45.6 41.6 5323.4 5962.7 7208.1 9016 10275.2 12058.6 15042.8 16992.3 18667.8 21781.5 26923.5 35333.9 国内生产总值(GDP) 全国居民消费水平(CT) 184 208 238 2 288 316 361 446 497 565 714 788 833 932 1116 1393 农村居民消费水平(CN) 138 159 178 201 223 250 287 349 378 421 509 9 560 602 688 805 城镇居民消费水平(CC) 405 425 4 521 536 558 618 765 872 998 1311 1466 1596 1840 2262 2924 1994 1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 48108.5 59810.5 70142.5 78060.8 83024.3 88479.2 98000.5 108068.2 119095.7 135174 159586.7 184088.6 213131.7 251481.2 302853.4 48197.9 60793.7 71176.6 773 84402.3 677.1 99214.6 109655.2 120332.7 135822.8 159878.3 183217.5 211923.5 257306 300670 1833 2355 27 3002 3159 3346 3632 3869 4106 4411 4925 63 6138 7081 8181 1038 1313 1626 1722 1730 1766 1860 1969 2062 2103 2301 2560 2847 3265 3730 3852 4931 5532 5823 6109 05 6850 7113 7387 7901 8679 9410 10423 11855 13519 数据来源：中经网统计数据库，http://192.168.30.168:81/

请依据相关的消费-收入理论及上述数据，进行计量经济学建模分析，并对这些过程进行解读。

根据凯恩斯的消费收入理论，总消费是总收入的函数。这一思想用线性函数形式表示为：

CtabYt式中表示Ct总消费，Yt表示总收入，下标t表示时期；a、b为参数。参数b

称为边际消费倾向，其值介于0与1之间。凯恩斯的这个消费函数仅仅以收入来解释消费，被称为绝对收入假说。

为了分析全国居民消费水平与国民总收入的关系，选择“全国居民消费水平”为被解释变量（用Y表示），选择“国民总收入”为解释变量（用X表示）。运用Eviews软件作出全国居民消费水平Y与国民总收入X的散点图，如下：

凯恩斯认为边际消费倾向是递减的，但是许多研究表明长期中边际消费倾向是不变的，而且是稳定的。人是理性的，希望一生中实现效用最大化，所以，人们根据自己一生所能得到的劳动收人与财产来安排一生的消费，以实现人生中各年的消费基本相等。人的一生可以分为工作时期和退休以后两个阶段。他们的消费规律是，在工作时收于消费，有储蓄，这些储蓄作为财产为退休后的消费提供资金。在退休后收入减少，要保持以前的消费水平，就要使用工作时期的储蓄。综合起来，一生的收人与消费相等，并把一生的收人平均分配到各年中，正因为每个人都按一生的收人与财产来安排消费，所以，在长期中平均消费倾向与边际消费倾向相等，而且是相当稳定的。如果每个人都按这种方式决定消费，如果一个社会的人口结构是稳定的，那么，一部分人（工作年龄人口）收入大于消费，另一部分人（退休人口）收人小于消费。社会总消费是每个消费之和，社会边际消费倾向是每个人边际消费倾向的平均数。每个人一生收入与消费比例稳定，从整个社会来看，消费函数就是稳定的。

建立线性回归模型：Yi=β1+β2Xi+ui。

假定所建模型及其中的随机扰动项ui满足各项古典假定，用OLS法估计其参数。用Eviews软件分析得回归结果如下：

Yi =384.0478+0.027955Xi

^ (75.49968)(0.000712)

t=(5.086747)(39.283)

R=0.9815 F=13.197 n=31 DW=0.107836

T检验：针对H0:β2=0，t值大于t0.025(29)=2.045，所以拒绝H0。表明国民总收入对全国居民消费水平确实有显著影响。

异方差检验—White检验：针对H0:不存在异方差，nR=18.07481，远大于在α=0.05的置信水平上的χ（2）=5.9915，所以拒绝H0,即存在异方差。用Eviews软件分析结果如下：

2

2

2

自相关检验： 对样本量为31、一个解释变量的模型、5%的显著水平，查DW统计表可知，dL=1.363,dU=1.496，模型中DW=0.1078362

2

由上可知模型存在异方差和自相关，即存在非球形扰动，故OLS估计量虽然是无偏且一致的，但不是有效的。

Newey-West：

修正后的结果：Yi =384.0478+0.027955Xi

^ (116.9734)(0.001350)

t=(3.2832207)(20.71065)

R=0.9815 F=13.197 n=31

由上表可知，长期边际消费趋势在控制了时间趋势后，大约在0.028，是显著，稳定的。符合对凯恩斯消费收入理论的改进，消费倾向并不是递减的，而是长期不变稳定的。

2