极坐标系概念的设计与思考

“极坐标系概念”的设计与思考

）江一鸣　（浙江省宁波市宁波二中　３１５０００）任伟芳　（浙江省宁波市鄞州区教育局教研室　３１５１００

１　教学片段及反思

创建极坐标系１．１　情境引入，

情境１　问路找人：你的朋友来你学校参观，你在图他到了教学楼后就不知道怎么来找你，你应如书馆等他．

何描述图书馆位置？

生１：如图１，以Ａ为基点，射线Ａ朝Ｂ为参照方向，射线ＡＢ按逆时针转６０°方向走１２０ｍ就到了图书馆．

师：要几个要素确定图书馆的位置？

生２：要三个要素：基；点，教学楼；角度，距离，６０°

图１

生５：由此可以归纳出确定位置的新的方法，描述的距离和角度．如果用在对４两个要点：２号同学的位置刻画——方便、上，更体现出此种描述的优越性—清晰、直观．反思　教师要创造性地理解和使用教材．新课标强

调数学本质与教学内容的联系，在情境引入环节，采用教思考”中的问题作为一个情境引入，突出本节课的材上“

在此基础上增加一个比较典型的情境，情境设计从立意．

校园到教室，由远到近说明极坐标系应用广泛，随处可见．将情境问题系列化，层层推进设问，使情境引入不是为了引入而引入，在将实际问题数学化过程中体现了数学本质．情通过类比建立直角境都与学生熟知的直角坐标系相关联，

坐标系的思想启发创建极坐标系，学生座位由方形换成环——极坐标系思想．形，亲身感受刻画点位置的新方法—

类比直角坐标系１．２　巩固知识，探索　（分７个小组

进行讨论）在座位示意图建立如图４所示的极坐中，

标系，讨论以下问题：①π，（，π（），２，）２＋２π４４ππ），（）（２，＋４２，－２ππ４４

表示的点有什么关系？②直角坐标系中的点有这个

问题吗？③极坐标不唯一是怎么引起的？④同一个点能否写出统一表达式？⑤怎样规定能使点的表示方法唯一？⑥说出你所在位置的点的极坐标．

小组代表展示：由终边相同的角的定义可知，上述极坐标表示同一个点，即７号同学．说明已知点的极坐标不π（）（唯一，２，＋２ｋｋ∈Ｚ）都表示７号同学这个点．π

４

师：比较直角坐标系与极坐标系，并完成表１．师：如图４所示，请在极坐标系中满足θ＝π（∈Ｒ）

４ρ（的同学站起来，请极坐标系中满足ρ＝２的同学站θ∈Ｒ）

图２　　　　　　　　　图３

师：如果选择１号为基点，你会怎么描述７号和４６号所在的确切位置呢？

生３：用建直角坐标系的方法，可以得到７号和４６号的坐标．

，生４：在１号北偏东４距离１号两个单位７号同学“５°，，长度处”在１号北偏西４距离１号五个单位４６号同学“５°长度处”．

起来．

反思　这节课的教学设计改变了教材中仅仅对内容

采用结合学生的座位，由浅入深层层推进，从而突的介绍，

破学生理解极坐标不唯一的难点．学生身临其境，教学过程流畅自然．学生从座位上站起来表示直线和圆的形状，感受极坐标系不仅仅只有定点功能，还高于定点，能表示数学对象（图形）功能．在部分学生站起与坐下的活动中，学生学习兴趣高涨，真切感受到极坐标系概念的含义．用表格形式对极坐标系与直角坐标系进行比较，通过探索、

１２０ｍ．

师：如果用建立直角坐标系方法，以Ａ为原点，ＡＢ所在直线为ｘ轴，你告诉你的朋友，我在Ｃ（处，他６０，６０３）　槡找到你方便吗？

生众：不方便．

情境２　调换座位：今天我们选修课教室里没有课桌设计一个有趣的活动．活动规则如下：把同学们只有凳子，

并且将两两同学间的距离理想地等距化，看做一个个点，

）得到一个座位平面示意图（如图２按如图２建立直角坐．标系，请几位同学回答：Ｄ两位同学的坐标？①Ｃ，②找到）和（），目标（说出该位置同学的名字．３，２３－２，

调整座位分布：同学们按学号１至４８号按如图３所示换好座位．平面中以学号１号为圆心，圆半径依次为１，２，３，４，５长度单位依次坐好．

图４

·３０１３年第１１期８·　　　　　　　　　　　　　　　中学数学月刊　　　　　　　　　　　２

设问等形式与学生互动，既体现学生是学习主体的新课程又揭示了极坐标系的数学本质．在下面生本课堂的理念，

类比定位方式点表示形式与平面内点的对应关系

数学本质简单的轨迹方程

平面直角坐标系

两个距离

（（ｘ，ｘ，ｙ）ｙ∈Ｒ）

（点Ｐ（ｘ，ｘ，ｙ）ｙ∈Ｒ）与坐标系的点一一对应两直线相交确定点位置

２２

如①ｙ＝ｘ，②ｘ＋ｙ＝４

拓展知识环节，特意设计了坐标从一维、二维到ｎ维的拓加强了知识之间的纵向联系，促进学生知识的内化．展，表１

极坐标系角度和距离

（）（θθ∈Ｒ）ρ，ρ≥０，

）除极点外一一对应０，２θ∈［πρ＞０，

圆与射线相交确定点位置

，（如①θ＝π（②ρ＝２θ∈Ｒ）∈Ｒ）

４ρ数学欣赏１．３　拓展知识，

师：我们发现直角坐标系与极坐标系上的点表示的坐）都是二维坐标，有没有一维坐标和标（ｘ，θｙ）和（ρ，坐标呢？

生８：数轴上的点的坐标是一维坐标，空间直角坐标系上的点的坐标是三维坐标．

师：除了空间直角坐标系是三维的，接下来我们还会学到柱坐标系和球坐标系也是三维坐标，空间再加上时间以后大学里还会学到ｎ维有序数对．可以得到四维坐标，

师：大家知道，直角坐标系中已知两点坐标可以求两点之间距离，同样我们可以推测：在极坐标系中，Ｏ为极，，已知点Ａ（则｜Ａ点，Ｂ（Ｂ｜＝？θθ１，１）２，２）ρρ生９：在△ＡＯＢ中，由余弦定理得｜ＡＢ｜

２２

（ｃｏｓ．＝槡θθ１＋２－２１２１－２）ρρρρ师：公式证明还需要分类讨论，留给大家课外研究．极

反思　本节课的小结通过小组合作形式写一段关于

提高了学生口头表达和书写能力，以及极坐标系的自述，

用自述作为小结生动有趣，能对知识的归纳与想象能力．

激发学生学习热情；明白易懂，帮助学生知识梳理；说写结提高学生综合素质；以人为本，张扬学生学习个性．耐合，

人寻味的结尾回味无穷，能使学生达到课已尽而意无穷的境界．

２　几点思考

２．１　正确把握极坐标系的数学本质

本节课学生的座位先排成方形，建立直角坐标系后，说出自己各自的坐标．接着，把学生座位换成圆形，以某同一条绑有箭头的塑料绳作为极轴，每个同学都学为极点，

有了极坐标．请极坐标系中满足θ＝π（的同学站∈Ｒ）

４ρ（，起来，请满足ρ＝２的同学站起来，这样“玩坐标”θ∈Ｒ），用坐标表示“数学对象”才是坐标系的数学价值所在．极坐标系的价值，可以源于定位，但一定要高于定位，这在极坐标系第一课时就应该而且也可以做到．２．２　要凸显极坐标系是连接数和形的桥梁作用

极坐标系的作用是联通数形的桥梁．数学中的坐标系的价值，在于能借助点的坐标进行数算，研究几何性质．这才是坐标系教学的核心所在．无论从认知的要求还是从情感的培育来看，我们都不宜停留在经纬度确定位置的“地理学”范围，必须延伸到数学本质，即了解“用可以计算的代数方法表示几何图形”的主旨．本节课在知识拓展环节，设计了在极坐标系下两点之间的距离公式，目的在于在建立极坐标系后，我们可以通过“算”知道距离．

关注学生的评价２．３　引入数学欣赏环节，

针对选修课旨在提升爱好数学者的各种能力，并立志在数学方向上有所发展的学生来说，用一般数学课的教学模式进行教学设计显然是不够的．本节课引入了数学欣赏环节，使学生通过感悟数学美，激发学习数学的热情，开阔了学生的视野，让学生对数学产生浓厚的兴趣．这节改变了课堂模式的选修课效果如何？最终还是要看学生的评“课后学生感言：这节课给我很不一样的感觉，没想到价．

；“数学课还可以这样上”原来笛卡尔还有这样的故事，数；“这次座位调换和设计挺有意学家写情书这么与众不同”

；“思的，使我理解了极坐标系的概念”很想知道还有哪些漂亮的曲线”此时我觉得我的教学目的达到了．．

，坐标系的方程可以表示数学对象（图象）如刚才讲的简单（，图形直线θ＝π（和圆ρ＝２下面我们欣θ∈Ｒ）∈Ｒ）

４ρ赏阿基米德螺线、笛卡尔最后一份情书中的心形线和玫瑰图（图略）．

反思　本节课特别设计了数学欣赏环节．数学中蕴藏着丰富的美学元素，了解这些有助于我们改变对数学的认识．新课程要求数学教学体现数学的文化价值、美学价值，帮助学生逐步形成正确的数学观．陈省身先生的“数学需要欣赏，数学需要应用”这句话要在我们的课堂教学中得到落实．

盘点新知１．４　自述小结，

学生自述展示：大家好，我是极坐标系，我已经出生我有一个极点和极轴，直角坐标系是我的兄３００多年了．

我们有一样的地方和不同的地方．我们的坐标都是一弟，

组有序实数对，直角坐标系是横坐标和纵坐标，我是距离我与直角坐标系最大的不同就是我的点与坐标不和角度．

是一一对应的，同一个点我可以有无数的坐标，但是如果），限定在［那么除极点外就能实现点与坐标的一一０，２π对应了．我的应用十分广泛，包括数学、物理、工程、航海以及机器人等领域．在两点间的关系用夹角和距离很容易表示时，我便显得尤为有用；而在平面直角坐标系中，这样的关系就只能使用三角函数来表示．我的作用正如阿基米德“”若我有极点所言：给我一个支点，我能把地球翘起来．和极轴单位长度、角度的正方向我就能刻画整个平面．