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2024年新课标I卷高考数学真题(含答案)

来源:年旅网
2024年新课标I卷高考数学真题及答案

本试卷共10页,19小题,满分150分.注意事项:

1.答题前,先将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在试卷和答题卡上,并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.

2.选择题的作答:每小题选出答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.

3.填空题和解答题的作答:用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.4.考试结束后,请将本试卷和答题卡一并上交.

一、选择题:本题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分. 在每小题给出的四个选项中,只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.1. 已知集合A. {1,0}Ax∣5x35,B{3,1,0,2,3}B. {2,3},则AB( )

D.

C. {3,1,0}{1,0,2}2. 若

z1i,则z( )z1B. 1iC. 1iD. 1iA. 1i3. 已知向量a(0,1),b(2,x),若b(b4a),则x( )

A. 2B. 1C. 1

D. 2

4. 已知cos()m,tantan2,则cos()( )

A. 3mB. m3C.

m3D. 3m5. 已知圆柱和圆锥的底面半径相等,侧面积相等,且它们的高均为3,则圆锥的体积为( )A. 23πB. 33πC. 63πD. 93πx22axa,x06. 已知函数为f(x)x,在R上单调递增,则a取值的范围是( )

eln(x1),x0A. (,0]B. [1,0]C. [1,1]D.

[0,)7. 当xÎ[0,2]时,曲线ysinx与y2sin3xA. 3

B. 4

的交点个数为( )6C. 6

D. 8

8. 已知函数为f(x)的定义域为R,f(x)f(x1)f(x2),且当x3时f(x)x,则下列结论中一定正确的是( )A. f(10)100C. f(10)1000B. f(20)1000D. f(20)10000二、选择题:本题共 3 小题,每小题 6 分,共 18 分. 在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求. 全部选对得 6 分,部分选对的得部分分,选对但不全的得部分分,有选错的得0分.

9. 为了解推动出口后的亩收入(单位:万元)情况,从该种植区抽取样本,得到推动出口后亩收入的样本均值x2.1,样本方差s20.01,已知该种植区以往的亩收入X服从正态分布N1.8,0.12(若,假设推动出口后的亩收入Y服从正态分布Nx,s,则( )

2随机变量Z服从正态分布Nu,A. P(X2)0.22,P(Zu)0.8413)

B. P(X2)0.5C. P(Y2)0.510. 设函数f(x)(x1)(x4),则( )A. x3是f(x)的极小值点

C. 当1x2时,4f(2x1)02D. P(Y2)0.8B. 当0x1时,f(x)fx2D. 当1x0时,f(2x)f(x)11. 造型可以做成美丽的丝带,将其看作图中曲线C的一部分.已知C过坐标原点O.且C上的点满足横坐标大于2,到点F(2,0)的距离与到定直线xa(a0)的距离之积为4,则( )

A. a2C. C在第一象限的点的纵坐标的最大值为1

B. 点(22,0)在C上D. 当点x0,y0在C上时,

y04x02三、填空题:本题共 3 小题,每小题 5 分,共 15 分.

x2y212. 设双曲线C:221(a0,b0)的左右焦点分别为F1、F2,过F2作平行于y轴的直

ab线交C于A,B两点,若|F1A|13,|AB|10,则C的离心率为___________.

13. 若曲线yexx在点0,1处的切线也是曲线yln(x1)a的切线,则

a__________.

14. 甲、乙两人各有四张卡片,每张卡片上标有一个数字,甲的卡片上分别标有数字1,3,5,7,乙的卡片上分别标有数字2,4,6,8,两人进行四轮比赛,在每轮比赛中,两人各自从自己持有的卡片中随机选一张,并比较所选卡片上数字的大小,数字大的人得1分,数

字小的人得0分,然后各自弃置此轮所选的卡片(弃置的卡片在此后的轮次中不能使用).则四轮比赛后,甲的总得分不小于2的概率为_________.

四、解答题:本题共 5 小题,共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15. 记ABC内角A、B、C的对边分别为a,b,c,已知sinC2cosB,

a2b2c22ab(1)求B;

(2)若ABC的面积为33,求c.

3x2y216. 已知A(0,3)和P3,为椭圆C:221(ab0)上两点.

2ab(1)求C的离心率;

(2)若过P的直线l交C于另一点B,且ABP的面积为9,求l的方程.

17. 如图,四棱锥PABCD中,PA底面ABCD,PAAC2,BC1,AB3.

(1)若ADPB,证明:AD//平面PBC;

(2)若ADDC,且二面角ACPD的正弦值为42,求AD.718. 已知函数f(x)lnxaxb(x1)32x(1)若b0,且f(x)0,求a的最小值;(2)证明:曲线yf(x)是中心对称图形;

(3)若f(x)2当且仅当1x2,求b的取值范围.

19. 设m为正整数,数列a1,a2,...,a4m2是公差不为0的等差数列,若从中删去两项ai和

ajij后剩余的4m项可被平均分为m组,且每组的4个数都能构成等差数列,则称数

列a1,a2,...,a4m2是i,j可分数列.

(1)写出所有的i,j,1ij6,使数列a1,a2,...,a6是i,j可分数列;(2)当m3时,证明:数列a1,a2,...,a4m2是2,13可分数列;

(3)从1,2,...,4m2中一次任取两个数i和jij,记数列a1,a2,...,a4m2是i,j可分数列的概率为Pm,证明:Pm1.8参

本试卷共10页,19小题,满分150分.注意事项:

1.答题前,先将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在试卷和答题卡上,并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.

2.选择题的作答:每小题选出答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.

3.填空题和解答题的作答:用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.4.考试结束后,请将本试卷和答题卡一并上交.

一、选择题:本题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分. 在每小题给出的四个选项中,只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.1. 已知集合A. {1,0}Ax∣5x35,B{3,1,0,2,3}B. {2,3},则AB( )

D.

C. {3,1,0}{1,0,2}【答案】A【解析】

【分析】化简集合A,由交集的概念即可得解.

3【详解】因为Ax|5x35,B3,1,0,2,3,且注意到1352,

从而AB1,0.故选:A.2. 若

z1i,则z( )z1B. 1iC. 1iD. 1iA. 1i【答案】C【解析】

【分析】由复数四则运算法则直接运算即可求解.【详解】因为故选:C.

3. 已知向量a(0,1),b(2,x),若b(b4a),则x( )A. 2【答案】D【解析】

B. 1C. 1

D. 2

zz111111i,所以z11i.

iz1z1z1【分析】根据向量垂直的坐标运算可求x的值.

【详解】因为bb4a,所以bb4a0,

所以b4ab0即4x24x0,故x2,故选:D.

4. 已知cos()m,tantan2,则cos()( )A. 3m【答案】A【解析】

【分析】根据两角和的余弦可求coscos,sinsin的关系,结合tantan的值可求前者,故可求cos的值.

【详解】因为cosm,所以coscossinsinm,而tantan2,所以sinsin2coscos,故coscos2coscosm即coscosm,从而sinsin2m,故cos3m,故选:A.

5. 已知圆柱和圆锥的底面半径相等,侧面积相等,且它们的高均为3,则圆锥的体积为( )A. 23π【答案】B【解析】

【分析】设圆柱的底面半径为r,根据圆锥和圆柱的侧面积相等可得半径r的方程,求出解后可求圆锥的体积.

B. 33πC. 63πD. 93πB. 2m3C.

m3D. 3m【详解】设圆柱的底面半径为r,则圆锥的母线长为r23,而它们的侧面积相等,所以2πr3πr3r2即233r2,

故r3,故圆锥的体积为13π9333π.故选:B.

6. 已知函数为f(x)x22axa,x0exln(x1),x0,在R上单调递增,则a取值的范围是(A. (,0]B. [1,0]C. [1,1]D.

[0,)【答案】B【解析】

【分析】根据二次函数的性质和分界点的大小关系即可得到不等式组,解出即可.【详解】因为fx在R上单调递增,且x0时,fxexlnx1单调递增,

则需满足2a210,解得1a0,ae0ln1即a的范围是[1,0].故选:B.

7. 当xÎ[0,2]时,曲线ysinx与y2sin3x6的交点个数为( )A. 3B. 4

C. 6

D. 8

【答案】C【解析】

【分析】画出两函数在0,2π上的图象,根据图象即可求解【详解】因为函数ysinx的的最小正周期为T2π,

函数y2sin3xπ2πT的最小正周期为,36π有三个周期的图象, 6所以在x0,2π上函数y2sin3x在坐标系中结合五点法画出两函数图象,如图所示:

由图可知,两函数图象有6个交点.故选:C

8. 已知函数为f(x)的定义域为R,f(x)f(x1)f(x2),且当x3时f(x)x,则下列结论中一定正确的是( )A. f(10)100C. f(10)1000【答案】B【解析】

【分析】代入得到f(1)1,f(2)2,再利用函数性质和不等式的性质,逐渐递推即可判断.

【详解】因为当x3时f(x)x,所以f(1)1,f(2)2,又因为f(x)f(x1)f(x2),

则f(3)f(2)f(1)3,f(4)f(3)f(2)5,

B. f(20)1000D. f(20)10000f(5)f(4)f(3)8,f(6)f(5)f(4)13,f(7)f(6)f(5)21,f(8)f(7)f(6)34,f(9)f(8)f(7)55,f(10)f(9)f(8),

f(11)f(10)f(9)144,f(12)f(11)f(10)233,f(13)f(12)f(11)377f(14)f(13)f(12)610,f(15)f(14)f(13)987,

f(16)f(15)f(14)15971000,则依次下去可知f(20)1000,则B正确;

且无证据表明ACD一定正确.故选:B.

【点睛】关键点点睛:本题的关键是利用f(1)1,f(2)2,再利用题目所给的函数性质

f(x)f(x1)f(x2),代入函数值再结合不等式同向可加性,不断递推即可.

二、选择题:本题共 3 小题,每小题 6 分,共 18 分. 在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求. 全部选对得 6 分,部分选对的得部分分,选对但不全的得部分分,有选错的得0分.

9. 为了解推动出口后的亩收入(单位:万元)情况,从该种植区抽取样本,得到推动出口后亩收入的样本均值x2.1,样本方差s20.01,已知该种植区以往的亩收入X服从正态分布N1.8,0.12(若,假设推动出口后的亩收入Y服从正态分布Nx,s,则( )

2随机变量Z服从正态分布Nu,A. P(X2)0.2C. P(Y2)0.5【答案】BC【解析】

2,P(Zu)0.8413)

B. P(X2)0.5D. P(Y2)0.8【分析】根据正态分布的3原则以及正态分布的对称性即可解出.

2【详解】依题可知,x2.1,s0.01,所以YN2.1,0.1,

故PY2PY2.10.1PY2.10.10.84130.5,C正确,D错误;因为XN1.8,0.1,所以PX2PX1.820.1,

因为PX1.80.10.8413,所以PX1.80.110.84130.15870.2,而PX2PX1.820.1PX1.80.10.2,B正确,A错误,故选:BC.

10. 设函数f(x)(x1)(x4),则( )A. x3是f(x)的极小值点

C. 当1x2时,4f(2x1)0【答案】ACD【解析】

【分析】求出函数fx的导数,得到极值点,即可判断A;利用函数的单调性可判断B;根据函数fx在1,3上的值域即可判断C;直接作差可判断D.【

A

22B. 当0x1时,f(x)fx2D. 当1x0时,f(2x)f(x)为函数

fx的定义域为

R,而

fx2x1x4x13x1x3,

易知当x1,3时,fx0,当x,1或x3,时,fx0函数fx在,1上单调递增,在1,3上单调递减,在3,上单调递增,故x3是函数fx的极小值点,正确;

对B,当0x1时,xxx1x0,所以1xx20,

2而由上可知,函数fx在0,1上单调递增,所以fxfx,错误;

2对C,当1x2时,12x13,而由上可知,函数fx在1,3上单调递减,所以f1f2x1f3,即4f2x10,正确;对

D

2,

2当

1x0时

2,

f(2x)f(x)1x2xx1x4x122x0,

所以f(2x)f(x),正确;

故选:ACD.

11. 造型可以做成美丽的丝带,将其看作图中曲线C的一部分.已知C过坐标原点O.且C上的点满足横坐标大于2,到点F(2,0)的距离与到定直线xa(a0)的距离之积为4,则( )

A. a2C. C在第一象限的点的纵坐标的最大值为1

B. 点(22,0)在C上D. 当点x0,y0在C上时,

y04x02【答案】ABD【解析】

【分析】根据题设将原点代入曲线方程后可求a,故可判断A的正误,结合曲线方程可判断B的正误,利用特例法可判断C的正误,将曲线方程化简后结合不等式的性质可判断D的正误.

【详解】对于A:设曲线上的动点Px,y,则x2且因为曲线过坐标原点,故对于B:又曲线方程为故x22y2xa4,

0222020a4,解得a2,故A正确.

x2y2x24,而x2,

x22y2x24.

当x22,y0时,222222844,

2故22,0在曲线上,故B正确.

2对于C:由曲线的方程可得y16x222x2,取x3,

2则y2115256245,而10,故此时y21,494494494494故C在第一象限内点的纵坐标的最大值大于1,故C错误.

2对于D:当点x0,y0在曲线上时,由C的分析可得y016x022x02216x022,

故44y0,故D正确.x02x02故选:ABD.

【点睛】思路点睛:根据曲线方程讨论曲线的性质,一般需要将曲线方程变形化简后结合不等式的性质等来处理.

三、填空题:本题共 3 小题,每小题 5 分,共 15 分.

x2y212. 设双曲线C:221(a0,b0)的左右焦点分别为F1、F2,过F2作平行于y轴的直

ab线交C于A,B两点,若|F1A|13,|AB|10,则C的离心率为___________.【答案】【解析】

【分析】由题意画出双曲线大致图象,求出AF2,结合双曲线第一定义求出AF1,即可得到a,b,c的值,从而求出离心率.

22xy【详解】由题可知A,B,F2三点横坐标相等,设A在第一象限,将xc代入221ab32b2b22b2b2b2得y,即Ac,,Bc,,故AB10,AF25,

aaaaab2又AF1AF22a,得AF1AF22a2a513,解得a4,代入5得

ab220,

故c2a2b236,,即c6,所以ec63.a42故答案为:

3213. 若曲线yexx在点0,1处的切线也是曲线yln(x1)a的切线,则

a__________.

【答案】ln2【解析】

x【分析】先求出曲线yex在0,1的切线方程,再设曲线ylnx1a的切点为

x,lnx001a,求出y,利用公切线斜率相等求出x0,表示出切线方程,结合两切线

方程相同即可求解.

x【详解】由yex得yex1,y|x0e012,

故曲线yex在0,1处的切线方程为y2x1;

x由ylnx1a得y1,x1设切线与曲线ylnx1a相切的切点为x0,lnx01a,由两曲线有公切线得y11112,解得x0,则切点为,aln,x01222切线方程为y2x11aln2x1aln2,22根据两切线重合,所以aln20,解得aln2.

故答案为:ln214. 甲、乙两人各有四张卡片,每张卡片上标有一个数字,甲的卡片上分别标有数字1,3,5,7,乙的卡片上分别标有数字2,4,6,8,两人进行四轮比赛,在每轮比赛中,两人各自从自己持有的卡片中随机选一张,并比较所选卡片上数字的大小,数字大的人得1分,数字小的人得0分,然后各自弃置此轮所选的卡片(弃置的卡片在此后的轮次中不能使用).则四轮比赛后,甲的总得分不小于2的概率为_________.【答案】2##0.5【解析】

【分析】将每局的得分分别作为随机变量,然后分析其和随机变量即可.【详解】设甲在四轮游戏中的得分分别为X1,X2,X3,X4,四轮的总得分为X.

对于任意一轮,甲乙两人在该轮出示每张牌的概率都均等,其中使得甲获胜的出牌组合有六种,从而甲在该轮获胜的概率PXk1从而EXEX1X2X3X4记pkPXkk0,1,2,3.

如果甲得0分,则组合方式是唯一的:必定是甲出1,3,5,7分别对应乙出2,4,6,8,所以p041633,所以EXkk1,2,3,4.4488433EX.k82k1k111;A4244如果甲得3分,则组合方式也是唯一的:必定是甲出1,3,5,7分别对应乙出8,2,4,6,所以p311.A4244而X的所有可能取值是0,1,2,3,故p0p1p2p31,

p12p23p3EX3.21131111,p12p2,两式相减即得p2,故p2p3.128224221所以甲的总得分不小于2的概率为p2p3.

2所以p1p2故答案为:2.

【点睛】关键点点睛:本题的关键在于将问题转化为随机变量问题,利用期望的可加性得到等量关系,从而避免繁琐的列举.

四、解答题:本题共 5 小题,共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15. 记ABC内角A、B、C的对边分别为a,b,c,已知sinC12cosB,

a2b2c22ab(1)求B;

(2)若ABC的面积为33,求c.【答案】(1)B(2)22【解析】

【分析】(1)由余弦定理、平方关系依次求出cosC,sinC,最后结合已知sinC得cosB的值即可;

(2)首先求出A,B,C,然后由正弦定理可将a,b均用含有c的式子表示,结合三角形面积公式即可列方程求解.【小问1详解】

由余弦定理有a2b2c22abcosC,对比已知a2b2c2π 32cosB2ab,

a2b2c22ab2可得cosC,2ab2ab2因为C0,π,所以sinC0,

22从而sinC1cos2C1,221又因为sinC2cosB,即cosB,

2注意到B0,π,所以Bπ.32【小问2详解】

由(1)可得Bπππ5ππ2C0,π,cosC,,从而C,Aπ,3434122而sinAsin2321625πππ,sin124622224abc5πππ,由正弦定理有sinsinsin1234从而a6231362cc,b2cc,4222由三角形面积公式可知,ABC的面积可表示为

SABC113162332absinCccc,222228332c33,8由已知ABC的面积为33,可得所以c22.3x2y216. 已知A(0,3)和P3,为椭圆C:221(ab0)上两点.

2ab(1)求C的离心率;

(2)若过P的直线l交C于另一点B,且ABP的面积为9,求l的方程.【答案】(1)2

(2)直线l的方程为3x2y60或x2y0.

1【解析】

【分析】(1)代入两点得到关于a,b的方程,解出即可;

(2)方法一:以AP为底,求出三角形的高,即点B到直线AP的距离,再利用平行线距离公式得到平移后的直线方程,联立椭圆方程得到B点坐标,则得到直线l的方程;方法二:同法一得到点B到直线AP的距离,再设Bx0,y0,根据点到直线距离和点在椭圆上得到方程组,解出即可;法三:同法一得到点B到直线AP的距离,利用椭圆的参数方程即可求解;法四:首先验证直线AB斜率不存在的情况,再设直线ykx3,联立椭圆方程,得到点B坐标,再利用点到直线距离公式即可;法五:首先考虑直线PB斜率不存在的情况,再设PB:y3k(x3),利用弦长公式和点到直线的距离公式即可得到答案;法六:设21线法与法五一致,利用水平宽乘铅锤高乘2表达面积即可.【小问1详解】

b3b299由题意得,解得2,9a1241a2b2b291所以e121.

a122【小问2详解】

法一:

kAP311yx3,即x2y60,,则直线的方程为AP22032322x2y2335,由(1)知C:1,AP03312922设点B到直线AP的距离为d,则

d291255,352则将直线AP沿着与AP垂直的方向平移125单位即可,5此时该平行线与椭圆的交点即为点B,设该平行线的方程为:x2yC0,

则C65125,解得C6或C18,5x2y2x3x01当C6时,联立12,解得或93,

y3yx2y602即B0,3或3,3,2当B0,3时,此时kl当B3,33,直线l的方程为yx3,即3x2y60,

22311lkyx,即x2y0,时,此时,直线的方程为l222x2y21当C18时,联立12得2y227y1170,9x2y180272421172070,此时该直线与椭圆无交点.

综上直线l的方程为3x2y60或x2y0.法二:同法一得到直线AP的方程为x2y60,

点B到直线AP的距离d125,5x02y06125x03x0055Bx,y设00,则,解得,3或22y3yx0y00021129即B0,3或3,3,以下同法一.2法三:同法一得到直线AP的方程为x2y60,

点B到直线AP的距离d125,5设B23cos,3sin,其中0,2,则有23cos6sin65125,53coscos0222联立cossin1,解得或,

sin1sin1233,B0,3即或,以下同法一;

2法四:当直线AB的斜率不存在时,此时B0,3,

313SPAB639,符合题意,此时kl,直线l的方程为yx3,即

2223x2y60,

当线AB的斜率存在时,设直线AB的方程为ykx3,

ykx3122联立椭圆方程有x2y2,则4k3x24kx0,其中kkAP,即k,

21129解得x0或x124kk,,,k024k3224k12k2924k12k29,令x,则y,则B224k34k234k234k3同法一得到直线AP的方程为x2y60,

点B到直线AP的距离d125,5324k12k292622则4k34k35此时B3,125,解得k=,

25311lkyx,即x2y0,,则得到此时,直线的方程为l222综上直线l的方程为3x2y60或x2y0.法五:当l的斜率不存在时,l:x3,B3,3,PB3,A到PB距离d3,219339不满足条件.223当l的斜率存在时,设PB:yk(x3),令Px1,y1,Bx2,y2,

2此时SABP3yk(x3)22222,消y可得4k3x24k12kx36k36k270,22xy1129Δ24k12k2244k336k36k270,且kkAP,即k221,227424k212kxx124k232,PBk12xx36k36k27124k23,

x1x2243k213k29k4x1x24k23A到直线PB距离

3kd232k1,SPAB273k343k13k9k12,4924k23k2122k1313或,均满足题意,l:yx或yx3,即3x2y60或x2y0.22223,PB3,A到PB距离d3,2法六:当l的斜率不存在时,l:x3,B3,此时SABP19339不满足条件.223当直线l斜率存在时,设l:yk(x3),

2设l与y轴的交点为Q,令x0,则Q0,3k3,23ykx3k322234kx8k3k联立2,则有x36k36k270,

2223x4y3634kx2238k3kx36k236k270,

2213其中Δ8k23k434k236k236k270,且k,

2236k236k2712k212k9则3xB,,xB2234k34k则S11312k1831AQxPxB3k9k=,解的或,经代入判别式验k222234k22证均满足题意.则直线l为y13x或yx3,即3x2y60或x2y0.2217. 如图,四棱锥PABCD中,PA底面ABCD,PAAC2,BC1,AB3.

(1)若ADPB,证明:AD//平面PBC;

(2)若ADDC,且二面角ACPD的正弦值为42,求AD.7【答案】(1)证明见解析 (2)3【解析】

【分析】(1)先证出AD平面PAB,即可得ADAB,由勾股定理逆定理可得BCAB,从而 AD//BC,再根据线面平行的判定定理即可证出;

(2)过点D作DEAC于E,再过点E作EFCP于F,连接DF,根据三垂线法可

6,再分别用AD知,DFE即为二面角ACPD的平面角,即可求得tanDFE的长度表示出DE,EF,即可解方程求出AD.【小问1详解】

(1)因为PA平面ABCD,而AD平面ABCD,所以PAAD,又ADPB,PBPAP,PB,PA平面PAB,所以AD平面PAB,而AB平面PAB,所以ADAB.

因为BC2AB2AC2,所以BCAB, 根据平面知识可知AD//BC,又AD平面PBC,BC平面PBC,所以AD//平面PBC.【小问2详解】如图所示,过点D作DEAC于E,再过点E作EFCP于F,连接DF,

因为PA平面ABCD,所以平面PAC平面ABCD,而平面PAC平面

ABCDAC,

所以DE平面PAC,又EFCP,所以CP平面DEF,根据二面角的定义可知,DFE即为二面角ACPD的平面角,

即sinDFE42,即tanDFE6.722x4x因为ADDC,设ADx,则CD4x,由等面积法可得,DE,

2又CE4x2x24x244x224x2,而EFC为等腰直角三角形,所以EF,

22x4x226,解得x3,即AD3.故tanDFE4x22218. 已知函数f(x)lnxaxb(x1)32x(1)若b0,且f(x)0,求a的最小值;(2)证明:曲线yf(x)是中心对称图形;

(3)若f(x)2当且仅当1x2,求b的取值范围.【答案】(1)2

(2)证明见解析 (3)b【解析】

【分析】(1)求出fxmin2a后根据f(x)0可求a的最小值;

(2)设Pm,n为yfx图象上任意一点,可证Pm,n关于1,a的对称点为

23Q2m,2an也在函数的图像上,从而可证对称性;

(3)根据题设可判断f12即a2,再根据f(x)2在1,2上恒成立可求得

2b.

3【小问1详解】

b0时,fxln则fxxax,其中x0,2,2x112a,x0,2,x2xx2x22xx因为x2x1,当且仅当x1时等号成立,

2故fxmin2a,而fx0成立,故a20即a2,所以a的最小值为2.,【小问2详解】

fxlnx3axbx1的定义域为0,2,2x设Pm,n为yfx图象上任意一点,

Pm,n关于1,a的对称点为Q2m,2an,

因为Pm,n在yfx图象上,故nln而f2mlnm3ambm1,2m2mm33a2mb2m1lnambm12a,m2mn2a,

所以Q2m,2an也在yfx图象上,

由P的任意性可得yfx图象为中心对称图形,且对称中心为1,a.【小问3详解】

因为fx2当且仅当1x2,故x1为fx2的一个解,所以f12即a2,

先考虑1x2时,fx2恒成立.

x321xbx10在1,2上恒成立,2xt12tbt30在0,1上恒成立,设tx10,1,则ln1tt12tbt3,t0,1,设gtln1t此时fx2即为lnt则gt223bt21t223bt223b1t2,

当b0,3bt223b3b23b20,故gt0恒成立,故gt在0,1上为增函数,

故gtg00即fx2在1,2上恒成立.当2b0时,3bt223b23b0,3故gt0恒成立,故gt在0,1上为增函数,故gtg00即fx2在1,2上恒成立.22当b,则当0t11时,gt033b2故在0,13b上gt为减函数,故gtg00,不合题意,舍;

综上,fx2在1,2上恒成立时b而当b而b2.32时,32时,由上述过程可得gt在0,1递增,故gt0的解为0,1,3即fx2的解为1,2.综上,b2.3【点睛】思路点睛:一个函数不等式成立的充分必要条件就是函数不等式对应的解,而解的端点为函数对一个方程的根或定义域的端点,另外,根据函数不等式的解确定参数范围时,可先由恒成立得到参数的范围,再根据得到的参数的范围重新考虑不等式的解的情况.19. 设m为正整数,数列a1,a2,...,a4m2是公差不为0的等差数列,若从中删去两项ai和

ajij后剩余的4m项可被平均分为m组,且每组的4个数都能构成等差数列,则称数

列a1,a2,...,a4m2是i,j可分数列.

(1)写出所有的i,j,1ij6,使数列a1,a2,...,a6是i,j可分数列;(2)当m3时,证明:数列a1,a2,...,a4m2是2,13可分数列;

(3)从1,2,...,4m2中一次任取两个数i和jij,记数列a1,a2,...,a4m2是i,j可分数列的概率为Pm,证明:Pm1.8【答案】(1)1,2,1,6,5,6 (2)证明见解析 (3)证明见解析【解析】

【分析】(1)直接根据i,j可分数列的定义即可;(2)根据i,j可分数列的定义即可验证结论;

(3)证明使得原数列是i,j可分数列的i,j至少有m1m个,再使用概率的定

2义.

【小问1详解】

首先,我们设数列a1,a2,...,a4m2的公差为d,则d0.

由于一个数列同时加上一个数或者乘以一个非零数后是等差数列,当且仅当该数列是等差数列,

故我们可以对该数列进行适当的变形akaka11k1,2,...,4m2,d,a2,...,a4m2进行相应的讨论即可.kk1,2,...,4m2,然后对a1得到新数列ak换言之,我们可以不妨设akkk1,2,...,4m2,此后的讨论均建立在该假设下进行.回到原题,第1小问相当于从1,2,3,4,5,6中取出两个数i和jij,使得剩下四个数是等差数列.

那么剩下四个数只可能是1,2,3,4,或2,3,4,5,或3,4,5,6.所以所有可能的i,j就是1,2,1,6,5,6.【小问2详解】

由于从数列1,2,...,4m2中取出2和13后,剩余的4m个数可以分为以下两个部分,共m组,使得每组成等差数列:

①1,4,7,10,3,6,9,12,5,8,11,14,共3组;

②15,16,17,18,19,20,21,22,...,4m1,4m,4m1,4m2,共m3组.(如果m30,则忽略②)

故数列1,2,...,4m2是2,13可分数列.【小问3详解】

定义集合A4k1k0,1,2,...,m1,5,9,13,...,4m1,

B4k2k0,1,2,...,m2,6,10,14,...,4m2.

下面证明,对1ij4m2,如果下面两个命题同时成立,则数列1,2,...,4m2一定是i,j可分数列:命题1:iA,jB或iB,jA;命题2:ji3.

我们分两种情况证明这个结论.

第一种情况:如果iA,jB,且ji3.

此时设i4k11,j4k22,k1,k20,1,2,...,m.则由ij可知4k114k22,即k2k11,故k2k1.4此时,由于从数列1,2,...,4m2中取出i4k11和j4k22后,剩余的4m个数可以分为以下三个部分,共m组,使得每组成等差数列:①1,2,3,4,5,6,7,8,...,4k13,4k12,4k11,4k1,共k1组;②

4k12,4k13,4k14,4k15,4k16,4k17,4k18,4k19,...,4k22,4k21,4k2,4k21,共k2k1组;③

4k23,4k24,4k25,4k26,4k27,4k28,4k29,4k210,...,4m1,4m,4m1,4m2,共mk2组.

(如果某一部分的组数为0,则忽略之)故此时数列1,2,...,4m2是i,j可分数列.第二种情况:如果iB,jA,且ji3.

此时设i4k12,j4k21,k1,k20,1,2,...,m.则由ij可知4k124k21,即k2k11,故k2k1.4由于ji3,故4k214k123,从而k2k11,这就意味着k2k12.此时,由于从数列1,2,...,4m2中取出i4k12和j4k21后,剩余的4m个数可以分为以下四个部分,共m组,使得每组成等差数列:

①1,2,3,4,5,6,7,8,...,4k13,4k12,4k11,4k1,共k1组;②4k11,3k1k21,2k12k21,k13k21,

3k1k22,2k12k22,k13k22,4k22,共2组;

③全体4k1p,3k1k2p,2k12k2p,k13k2p,其中p3,4,...,k2k1,共

k2k12组;

4k23,4k24,4k25,4k26,4k27,4k28,4k29,4k210,...,4m1,4m,4m1,4m2,共mk2组.

(如果某一部分的组数为0,则忽略之)

这里对②和③进行一下解释:将③中的每一组作为一个横排,排成一个包含k2k12个行,

4个列的数表以后,4个列分别是下面这些数:

4k13,4k14,...,3k1k2,3k1k23,3k1k24,...,2k12k2,2k12k23,2k12k23,...,k13k2,k13k23,k13k24,...,4k2.

可以看出每列都是连续的若干个整数,它们再取并以后,将取遍4k11,4k12,...,4k22中除开五个集合4k11,4k12,3k1k21,3k1k22,

2k12k21,2k12k22,k13k21,k13k22,4k21,4k22中的十个元

素以外的所有数.

而这十个数中,除开已经去掉的4k12和4k21以外,剩余的八个数恰好就是②中出现的八个数.

这就说明我们给出的分组方式满足要求,故此时数列1,2,...,4m2是i,j可分数列.至此,我们证明了:对1ij4m2,如果前述命题1和命题2同时成立,则数列

1,2,...,4m2一定是i,j可分数列.

然后我们来考虑这样的i,j的个数.

首先,由于AB,A和B各有m1个元素,故满足命题1的i,j总共有m1个;

而如果ji3,假设iA,jB,则可设i4k11,j4k22,代入得

24k224k113.

但这导致k2k11,矛盾,所以iB,jA.2设i4k12,j4k21,k1,k20,1,2,...,m,则4k214k123,即

k2k11.

所以可能的k1,k2恰好就是0,1,1,2,...,m1,m,对应的i,j分别是

2,5,6,9,...,4m2,4m1,总共m个.

所以这m1个满足命题1的i,j中,不满足命题2的恰好有m个.

2这就得到同时满足命题1和命题2的i,j的个数为m1m.

2当我们从1,2,...,4m2中一次任取两个数i和jij时,总的选取方式的个数等于

4m24m122m14m1.

而根据之前的结论,使得数列a1,a2,...,a4m2是i,j可分数列的i,j至少有

m12m个.

所以数列a1,a2,...,a4m2是i,j可分数列的概率Pm一定满足

1122mmmm1mm2m1124Pm2m14m12m14m12m14m222m12m18.

这就证明了结论.

【点睛】关键点点睛:本题的关键在于对新定义数列的理解,只有理解了定义,方可使用定义验证或探究结论.

2

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