2020-2021学年广西南宁市兴宁区三美学校八年级(上)第一次月考数学试卷(解析版)

次月考数学试卷

一、选择题（共12小题，每小题3分，共36分） 1．下列图形中具有稳定性的是（ ）

A． B．

C． D．

2．下列说法中，错误的是（ ） A．全等三角形对应角相等 B．全等三角形对应边相等 C．全等三角形的面积相等 D．面积相等的两个三角形一定全等

3．如图，AD是△ABC的中线，则下列结论正确的是（ ）

A．AD⊥BC B．∠BAD＝∠CAD C．AB＝AC D．BD＝CD

4．以下列各组线段的长度为边，能组成三角形的是（ ） A．2，3，6

B．10，10，1

C．4，5，1

D．4，6，11

5．下列命题，是假命题的为（ ） A．对顶角相等 C．垂线段最短

B．同位角相等 D．负数没有平方根

6．如图，△ABC≌△DEF，BC＝7，EC＝4，则CF的长为（ ）

A．2 B．3 C．5 D．7

7．如图，若要用“HL”证明Rt△ABC≌Rt△ABD，则还需补充条件（ ）

A．∠BAC＝∠BAD C．∠ABC＝∠ABD

B．AC＝AD

D．以上都不正确

8．如图，已知AE＝AC，∠C＝∠E，下列条件中，无法判定△ABC≌△ADE的是（ ）

A．∠B＝∠D B．BC＝DE C．∠1＝∠2 D．AB＝AD

9．内角和为1800°的多边形是（ ） A．十二边形

B．十边形

C．八边形

D．七边形

10．工人师傅常用角尺平分一个任意角，具体做法如下：如图，已知∠AOB是一个任意角，在边OA，OB上分别取OM＝ON，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与点M，N重合，则过角尺顶点C的射线OC便是∠AOB角平分线．在证明△MOC≌△NOC时运用的判定定理是（ ）

A．SSS B．SAS C．ASA D．AAS

11．如图，点O在△ABC内，且到三边的距离相等．若∠A＝40°，则∠BOC等于（ ）

A．110° B．115° C．125° D．130°

12．如图，在△ABC中，AD⊥BC，CE⊥AB，垂足分别为D、E，AD、CE交于点H，已知EH＝EB＝3，AE＝4，则CH的长是（ ）

A．4 B．5 C．1 D．2

二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）

13．在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝50°，则∠B＝ ． 14．正六边形的外角和是 ．

15．如图，在△ABC中，∠A＝30°，∠B＝50°，CD平分∠ACB，则∠ADC的度数是 ．

16．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，若AB＝5，DC＝2，则△ABD的面积为 ．

17．设a，b，c为△ABC的三边，化简|a﹣b+c|﹣|a+b﹣c|﹣|a﹣b﹣c|＝ ． 18．如图，在△ABC中，∠A＝a．∠ABC与∠ACD的平分线交于点A1，得∠A1；∠A1BC与∠A1CD的平分线相交于点A2，得∠A2；…；∠A6BC与∠A6CD的平分线相交于点A7，

得∠A7．则∠A7＝ ．

三、解答题（本大题共8小题，共66分） 19．计算：|﹣2|+（4﹣7）÷

．

20．如图，△ABC中，AD⊥BC，垂足为D，AE平分∠BAC，∠C＝70°，∠DAE＝15°，求∠B的度数．

21．如图，已知点E，D，A，B在一条直线上，BC∥EF，∠C＝∠F，AD＝1，AE＝2.5，AB＝1.5．

（1）试说明：△ABC≌△DEF．

（2）判断DF与AC的位置关系，并说明理由．

22．已知：BE⊥CD，BE＝DE，EC＝EA． 求证：（1）△BEC≌△DEA； （2）DF⊥BC．

23．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，∠C＝90°，DE⊥AB于点E，点F在AC上，BD＝DF．

（1）求证：CF＝EB．

（2）若AB＝12，AF＝8，求CF的长．

24．为进一步提升摩托车、电动自行车骑乘人员和汽车驾乘人员安全防护水平，交通管理局部署在全国开展“一盔一带”安全守护行动．某商店销售A，B两种头盔，批发价和零售价格如下表所示：

名称 批发价（元/个） 零售价（元/个） 请解答下列问题．

（1）第一次，该商店批发A，B两种头盔共100个，用去4600元钱，求A，B两种头盔各批发了多少个？

（2）第二次，该商店用6900元钱仍然批发这两种头盔（批发价和零售价不变），要想将第二次批发的两种头盔全部售完后，所获利润率不低于30%，则该超市第二次至少批发A种头盔多少个？

25．如图，在△ABC中，AB＝AC＝2，∠B＝40°，点D在线段BC上运动（不与点B，C重合），连接AD，作∠ADE＝40°，DE交边AC于点E．

（1）当∠BDA＝115°时，∠BAD＝ °，∠DEC＝ °．点D从点B向点C运动时，∠BDA逐渐变 （填“大”或“小”）． （2）当DC等于多少时，△ABD≌△DCE？请说明理由．

A种头盔 60 80

B种头盔 40 50

26．（1）感知：如图1，AD平分∠BAC，∠B+∠C＝180°，∠B＝90°，易知DB，DC数量关系为： ．

（2）探究：如图2，AD平分∠BAC，∠ABD+∠ACD＝180°，∠ABD＜90°，（1）中的结论是否成立？请作出判断并给予证明．

（3）应用：如图3，在四边形ABCD中，DB＝DC，∠ABD+∠ACD＝180°，∠ABD＜90°，DE⊥AB于点E，试判断AB，AC，BE的数量关系，并说明理由．

参

一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分） 1．下列图形中具有稳定性的是（ ）

A． B．

C． D．

解：A、对角线两侧是四边形，不具有稳定性，故本选项错误； B、对角线两侧是三角形，具有稳定性，故本选项正确； C、对角线下方是四边形，不具有稳定性，故本选项错误； D、对角线两侧是四边形，不具有稳定性，故本选项错误． 故选：B．

2．下列说法中，错误的是（ ） A．全等三角形对应角相等 B．全等三角形对应边相等 C．全等三角形的面积相等 D．面积相等的两个三角形一定全等 解：A、全等三角形对应角相等，说法正确； B、全等三角形对应边相等，说法正确； C、全等三角形的面积相等，说法正确；

D、面积相等的两个三角形一定全等，说法错误，例如一边长为6，这边上的高为3和一边长为3，这边上的高为6的两个三角形，面积相等，却不全等； 故选：D．

3．如图，AD是△ABC的中线，则下列结论正确的是（ ）

A．AD⊥BC B．∠BAD＝∠CAD C．AB＝AC D．BD＝CD

解：∵AD是△ABC的中线， ∴BD＝DC， 故选：D．

4．以下列各组线段的长度为边，能组成三角形的是（ ） A．2，3，6

B．10，10，1

C．4，5，1

D．4，6，11

解：A、2+3＜6，不能组成三角形； B、1+10＞10，能组成三角形； C、1+4＝5，不能组成三角形； D、4+6＜11，不能组成三角形． 故选：B．

5．下列命题，是假命题的为（ ） A．对顶角相等 C．垂线段最短

B．同位角相等 D．负数没有平方根

解：A、对顶角相等，正确，为真命题，不符合题意；

B、两直线平行，同位角相等，故原命题错误，为假命题，符合题意； C、垂线段最短，正确，是真命题，不符合题意； D、负数没有平方根，正确，是真命题，不符合题意； 故选：B．

6．如图，△ABC≌△DEF，BC＝7，EC＝4，则CF的长为（ ）

A．2 B．3 C．5 D．7

解：∵△ABC≌△DEF， ∴EF＝BC＝7， ∵EC＝4， ∴CF＝3， 故选：B．

7．如图，若要用“HL”证明Rt△ABC≌Rt△ABD，则还需补充条件（ ）

A．∠BAC＝∠BAD C．∠ABC＝∠ABD

B．AC＝AD

D．以上都不正确

解：若要用“HL”证明Rt△ABC≌Rt△ABD，则还需补充条件AC＝AD或BC＝BD， 故选：B．

8．如图，已知AE＝AC，∠C＝∠E，下列条件中，无法判定△ABC≌△ADE的是（ ）

A．∠B＝∠D B．BC＝DE C．∠1＝∠2 D．AB＝AD

解：A、添加∠B＝∠D，由“AAS”可证△ABC≌△ADE，故选项A不合题意； B、添加BC＝DE，由“SAS”可证△ABC≌△ADE，故选项B不合题意； C、添加∠1＝∠2，由“ASA”可证△ABC≌△ADE，故选项C不合题意； D、添加AB＝AD，不能证明△ABC≌△ADE，故选项D符合题意； 故选：D．

9．内角和为1800°的多边形是（ ） A．十二边形

B．十边形

C．八边形

D．七边形

解：设这个多边形是n边形， 根据题意得：（n﹣2）×180＝1800， 解得：n＝12．

故这个多边形是十二边形． 故选：A．

10．工人师傅常用角尺平分一个任意角，具体做法如下：如图，已知∠AOB是一个任意角，

在边OA，OB上分别取OM＝ON，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与点M，N重合，则过角尺顶点C的射线OC便是∠AOB角平分线．在证明△MOC≌△NOC时运用的判定定理是（ ）

A．SSS B．SAS

，

C．ASA D．AAS

解：∵在△ONC和△OMC中∴△MOC≌△NOC（SSS）， ∴∠BOC＝∠AOC， 故选：A．

11．如图，点O在△ABC内，且到三边的距离相等．若∠A＝40°，则∠BOC等于（ ）

A．110° B．115° C．125° D．130°

解：∵O到三角形三边距离相等，

∴O是△ABC的内心，即三条角平分线交点， ∴AO，BO，CO都是角平分线，

∴∠CBO＝∠ABO＝∠ABC，∠BCO＝∠ACO＝∠ACB， ∵∠ABC+∠ACB＝180°﹣40°＝140°， ∴∠OBC+∠OCB＝70°， ∴∠BOC＝180°﹣70°＝110°， 故选：A．

12．如图，在△ABC中，AD⊥BC，CE⊥AB，垂足分别为D、E，AD、CE交于点H，已知

EH＝EB＝3，AE＝4，则CH的长是（ ）

A．4 B．5 C．1 D．2

解：∵AD⊥BC，CE⊥AB， ∴∠ADB＝∠AEH＝90°， ∵∠AHE＝∠CHD， ∴∠BAD＝∠BCE， ∵在△HEA和△BEC中，

，

∴△HEA≌△BEC（AAS）， ∴AE＝EC＝4，

则CH＝EC﹣EH＝AE﹣EH＝4﹣3＝1． 故选：C．

二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）

13．在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝50°，则∠B＝ 40° ． 解：∵Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝50°， ∴∠A+∠B＝90°（直角三角形的两个锐角互余）， ∴∠B＝40°． 故答案为：40°．

14．正六边形的外角和是 360° ． 解：六边形的外角和是360°． 故答案为：360°．

15．如图，在△ABC中，∠A＝30°，∠B＝50°，CD平分∠ACB，则∠ADC的度数是 100° ．

解：∵∠A＝30°，∠B＝50°，∠A+∠B+∠ACB＝180°， ∴∠ACB＝180°﹣30°﹣50°＝100°， ∵CD平分∠ACB，

∴∠BCD＝∠ACB＝×100°＝50°， ∴∠ADC＝∠BCD+∠B＝50°+50°＝100°， 故答案为：100°．

16．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，若AB＝5，DC＝2，则△ABD的面积为 5 ．

解：作DH⊥AB于H，如图，

∵AD平分∠BAC，DH⊥AB，DC⊥AC， ∴DH＝DC＝2，

∴△ABD的面积＝×5×2＝5． 故答案为5．

17．设a，b，c为△ABC的三边，化简|a﹣b+c|﹣|a+b﹣c|﹣|a﹣b﹣c|＝ a﹣3b+c ． 解：∵a，b，c为△ABC的三边， ∴a﹣b+c＞0，a+b﹣c＞0，a﹣b﹣c＜0，

∴|a﹣b+c|﹣|a+b﹣c|﹣|a﹣b﹣c|＝a﹣b+c﹣（a+b﹣c）+（a﹣b﹣c） ＝a﹣b+c﹣a﹣b+c+a﹣b﹣c ＝a﹣3b+c． 故答案为：a﹣3b+c．

18．如图，在△ABC中，∠A＝a．∠ABC与∠ACD的平分线交于点A1，得∠A1；∠A1BC与∠A1CD的平分线相交于点A2，得∠A2；…；∠A6BC与∠A6CD的平分线相交于点A7，得∠A7．则∠A7＝

．

解：根据题意得 ∠ACD＝∠A+∠ABC．

∵∠ABC与∠ACD的平分线交于点A1， ∴a+∠ABC＝∠A1+∠ABC，即∠A1＝a． 依此类推得，∠A2＝故填

．

a；…∠A7＝

a＝

．

三、解答题（本大题共8小题，共66分） 19．计算：|﹣2|+（4﹣7）÷解：|﹣2|+（4﹣7）÷＝2+（﹣3）×+3 ＝2﹣2+3 ＝3．

20．如图，△ABC中，AD⊥BC，垂足为D，AE平分∠BAC，∠C＝70°，∠DAE＝15°，求∠B的度数．

．

解：∵AD⊥BC， ∴∠ADC＝90°， ∵∠C＝70°，

∴∠CAD＝180°﹣∠ADC﹣∠C＝180°﹣90°﹣70°＝20°， ∵∠DAE＝15°，

∴∠CAE＝∠DAE+∠CAD＝15°+20°＝35°， ∵AE平分∠BAC， ∴∠BAC＝2∠EAC＝70°，

∴∠B＝180°﹣∠BAC﹣∠C＝180°﹣70°﹣70°＝40°．

21．如图，已知点E，D，A，B在一条直线上，BC∥EF，∠C＝∠F，AD＝1，AE＝2.5，AB＝1.5．

（1）试说明：△ABC≌△DEF．

（2）判断DF与AC的位置关系，并说明理由．

【解答】（1）证明：∵BC∥EF， ∴∠B＝∠E， ∵AD＝1，AE＝2.5，

∴DE＝AE﹣AD＝2.5﹣1＝1.5， ∵AB＝1.5， ∴AB＝DE， ∵∠C＝∠F，

∴△ABC≌△DEF（AAS）； （2）DF∥AC．

∵△ABC≌△DEF， ∴∠BAC＝∠EDF，

∵∠BAC+∠DAC＝∠EDF+∠ADF＝180°， ∴∠DAC＝∠ADF， ∴DF∥AC．

22．已知：BE⊥CD，BE＝DE，EC＝EA． 求证：（1）△BEC≌△DEA； （2）DF⊥BC．

解：（1）证明：∵BE⊥CD， ∴∠BEC＝∠DEA＝90°， 在△BEC和△DEA中，

，

∴△BEC≌△DEA（SAS）； （2）∵△BEC≌△DEA， ∴∠B＝∠D．

∵∠D+∠DAE＝90°，∠DAE＝∠BAF， ∴∠BAF+∠B＝90°． 即DF⊥BC．

23．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，∠C＝90°，DE⊥AB于点E，点F在AC上，BD＝DF．

（1）求证：CF＝EB．

（2）若AB＝12，AF＝8，求CF的长．

【解答】（1）证明：∵AD平分∠BAC，∠C＝90°，DE⊥AB于E， ∴DE＝DC．

在Rt△CDF与Rt△EDB中，

，

∴Rt△CDF≌Rt△EDB（HL）， ∴CF＝EB．

（2）解：设CF＝x，则AE＝12﹣x， ∵AD平分∠BAC，DE⊥AB， ∴CD＝DE．

在Rt△ACD与Rt△AED中，

，

∴Rt△ACD≌Rt△AED（HL）， ∴AC＝AE，即8+x＝12﹣x， 解得x＝2，即CF＝2．

24．为进一步提升摩托车、电动自行车骑乘人员和汽车驾乘人员安全防护水平，交通管理局部署在全国开展“一盔一带”安全守护行动．某商店销售A，B两种头盔，批发价和零售价格如下表所示：

名称

A种头盔

B种头盔

批发价（元/个） 零售价（元/个） 请解答下列问题．

60 80

40 50

（1）第一次，该商店批发A，B两种头盔共100个，用去4600元钱，求A，B两种头盔各批发了多少个？

（2）第二次，该商店用6900元钱仍然批发这两种头盔（批发价和零售价不变），要想将第二次批发的两种头盔全部售完后，所获利润率不低于30%，则该超市第二次至少批发A种头盔多少个？

解：（1）设第一次A种头盔批发了x个，B种头盔批发了y个． 根据题意，得解得

，

，

答：第一次A种头盔批发了30个，B种头盔批发了70个． （2）设第二次批发A种头盔x个，则批发B种头盔由题意，得（80﹣60）x+（50﹣40）×解得x≥69，

答：第二次该商店至少批发69个A种头盔．

25．如图，在△ABC中，AB＝AC＝2，∠B＝40°，点D在线段BC上运动（不与点B，C重合），连接AD，作∠ADE＝40°，DE交边AC于点E．

（1）当∠BDA＝115°时，∠BAD＝ 25 °，∠DEC＝ 115 °．点D从点B向点C运动时，∠BDA逐渐变 小 （填“大”或“小”）． （2）当DC等于多少时，△ABD≌△DCE？请说明理由．

个．

≥6900×30%，

解：（1）∵∠B＝40°，∠BDA＝115°，

∴∠BAD＝180°﹣∠B﹣∠BDA＝180°﹣115°﹣40°＝25°，

∵AB＝AC， ∴∠C＝∠B＝40°，

∵∠EDC＝180°﹣∠ADB﹣∠ADE＝25°， ∴∠DEC＝180°﹣∠EDC﹣∠C＝115°， 由图形可知，∠BDA逐渐变小， 故答案为：25；115；小；

（2）当DC＝2时，△ABD≌△DCE， 理由：∵∠C＝40°， ∴∠DEC+∠EDC＝140°， ∵∠ADE＝40°，

∴∠ADB+∠EDC＝140°， ∴∠ADB＝∠DEC， 在△ABD和△DCE中，∴△ABD≌△DCE（AAS）．

26．（1）感知：如图1，AD平分∠BAC，∠B+∠C＝180°，∠B＝90°，易知DB，DC数量关系为： BD＝CD ．

（2）探究：如图2，AD平分∠BAC，∠ABD+∠ACD＝180°，∠ABD＜90°，（1）中的结论是否成立？请作出判断并给予证明．

（3）应用：如图3，在四边形ABCD中，DB＝DC，∠ABD+∠ACD＝180°，∠ABD＜90°，DE⊥AB于点E，试判断AB，AC，BE的数量关系，并说明理由．

，

解：（1）结论：DB＝DC．

理由：∵∠B+∠C＝180°，∠B＝90°， ∴∠B＝∠C＝90°，

∵∠DAC＝∠DAB，AD＝AD， ∴△ADC≌△ADB．

∴BD＝CD． 故答案为BD＝CD．

（2）结论成立．

理由：如图②中，作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F．

∵DA平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC， ∴DE＝DF，

∵∠ABD+∠ACD＝180°，∠ACD+∠FCD＝180°， ∴∠B＝∠FCD， 在△DFC和△EDB中，

，

∴△DFC≌△DEB， ∴DC＝DB．

（3）结论：AB＝AC+2BE．

理由：如图③中，连接AD．作DF⊥AC于F．

∵∠B+∠ACD＝180°，∠ACD+∠FCD＝180°， ∴∠B＝∠FCD， 在△DFC和△DEB中，

，

∴△DFC≌△DEB（AAS）， ∴DF＝DE，CF＝BE， 在Rt△ADF和Rt△ADE中，

，

∴Rt△ADF≌Rt△ADE（HL）， ∴AF＝AE，

∴AB＝AE+BE＝AC+CF+BE＝AC+2BE．