浙教版七年级数学下册平行线讲义

第一讲 平行线及其判定 思维导图

重难点分析 重点分析：

1. 在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线，用符号“∥”表示 .

2. “三线八角” ：两条直线被第三条直线所截，构成八个角，称为“三线八角” ，这八个角中， 同位角有四对，内错角有两对，同旁内角有两对 .

3. 平行线的判定方法： （1）根据定义判定； （ 2）三个判定定理：同位角相等，两直线平行；内 错角相等， 两直线平行； 同旁内角互补， 两直线平行；（ 3）平行的传递性； （4）在同一平面内， 垂直于同一条直线的两条直线互相平行 . 难点分析：

1. 平行线必在同一平面内，分别在两个平面内的两条直线，即使不相交，也不一定平行 .

2. 过已知直线外一点， 有且只有一条直线与已知直线平行， 这一性质指出了过直线外一点作这 条直线的平行线的“存在性”和“唯一性” ，要注意“直线外一点”这一条件 .

3. 平行线的判定定理是通过角的关系说明直线的位置关系， 实现了几何条件之间的转化， 应用 定理时要注意正确判断角的位置特征 .

例题精析

例 1、 在同一平面内，下列说法：①过两点有且只有一条直线；②两条不相同的直线有且只有 一个公共点； ③经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线垂直； ④经过直线外一点有且只 有一条直线与已知直线平行，其中正确的个数为（ ）. A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个

思路点拨： 根据直线的性质公理、相交线的定义、垂线的性质、平行公理对各小题分析判断后 即可得解 .

解题过程： ①过两点有且只有一条直线，正确； ②两条不相同的直线若相交则有且只有一个公共点，若平行则没有公共点，故错误； ③经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线垂直，正确； ④经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，正确； 综上所述，正确的有①③④共 3 个. 故选 C.

方法归纳： 本题考查了平行公理、直线的性质、垂线的性质以及相交线的定义，属于基础概念 题，熟记概念是解题的关键 .

易错误区： 两条不相同的直线除了平行外，如果不在同一平面内，也可能没有公共点 . 例 2、 如图，标有角号的 7 个角有 对内错角， 对同位角， 对同旁内角 .

思路点拨： 根据内错角、同位角及同旁内角的定义判断即可求得本题 . 解题过程： 共有 4 对内错角：分别是∠ 1和∠4，∠2 和∠5，∠6 和∠1，∠5和∠7；

2 对同位角：分别是∠ 7 和∠ 1 ，∠ 5 和∠ 6 ； 4对同旁内角：分别是∠ 1和∠5，∠3 和∠ 4，∠ 3和∠ 2，∠ 4和∠ 2. 方法归纳： 三线八角中的某两个角是不是同位角、内错角或同旁内角，完全由这两个角在图形 中的相对位置决定 . 在复杂的图形中判别三类角时，应从角的两边入手，具有上述关系的角必 有两边在同一直线上，此直线即为截线，而另外不在同一直线上的两边，它们所在的直线即为 被截的线 .

易错误区： 同位角的边构成“ F”形，内错角的边构成“ Z”形，同旁内角的边构成“ U”形 . 图形较为复杂，要注意从复杂的图形中分解出基本图形 .

例 3、（1）如图 1，AB，CD，EF 是三条公路， 且 AB⊥EF，CD⊥EF.试判断 AB与 CD的位置关系， 并说明理由；

（2）如图 2，在（1）的条件下，若小路 OM平分∠ EOB，通往加油站 N的岔道 O′N平分∠ CO′ F，试判断 OM与 O′N 的位置关系 .

思路点拨：（1）根据在同一平面内，垂直于同一直线的两条直线互相平行，即可证得 AB∥ CD； （2）可通过构建直线 OM与 O′N 的同位角来得出 OM∥O′ N的结论 . 解题过程：

（1）∵ AB⊥EF，CD⊥ EF，

∴ AB∥ CD（在同一平面内，垂直于同一直线的两条直线互相平行） . （ 2）如图，延长 NO′与 AB交于点 P.

∵OM平分∠ EOB， O′ N平分∠ CO′F， ∴∠ EOM=∠FO′N=45° . ∵∠ FO′ N=∠ EO′ P， ∴∠ EOM=∠EO′P=45° .

∴ OM∥ O′N（同位角相等，两直线平行） .

方法归纳： 本题主要考查了平行线的判定方法 . 解答此类要判定两直线平行的题，可围绕截线 找同位角、内错角和同旁内角 .

易错误区： 第（ 2）题中虽然有∠ EOM与∠ FO′N相等，但它们不是同位角，不能直接用来判定 两直线平行 .

例 4、 如图，∠ ABD和∠ BDC的平分线交E，BE的延长线交 CD于点 F，∠ 1+∠2=90°. 于点

（1）求证： AB∥ CD；

（2）试探究∠ 2 与∠3 的数量关系 .

思路点拨：（1）根据 BE，DE分别平分∠ ABD，∠BDC，且∠ 1+∠2=90°，可得∠ ABD+∠ BDC=180°，

根据同旁内角互补，可得两直线平行； （ 2）根据∠ 1+∠ 2=90°，可得∠ BED=90°，从而可得∠

3+∠FDE=90°，将等角代换，即可得出∠ 3与∠2 的数量关系

（1）证明：∵ BE， DE分别平分∠ ABD，∠ BDC， 解题过

11 ∴∠1= ∠ ABD，∠ 2= ∠BDC.

22 ∵∠ 1+∠2=90°，∴∠ ABD+∠ BDC=180° . ∴ AB∥ CD（同旁内角互补，两直线平

行） . （2）∵ DE平分∠ BDC，∴∠ 2=∠ FDE. ∵∠ 1+∠2=90°，∴∠ BED=∠ DEF=90°. ∴∠ 3+∠ FDE=90°. ∴∠ 2+∠3=90°. 方法归纳： 本题主要考查了角平分线的性质以及平行线的判定， 注意题中各角之间的数量关系 要理清楚 .

易错误区： 第（ 2）题中的数量关系不是等量关系，不要误认为∠ 2=∠3.

例 5、如图 1，已知∠ EAC=90°，∠ 1+∠2=90°，∠ 1=∠ 3，∠ 2=∠4. 求证： （1） DE∥BC；

2）若将图形改变为图 2、图 3，其他条件不变， 1）中的结论是否成立？若成立，请选择一 个图形予以证明；若不成立，

思路点拨：（1）首先证明∠ 1+∠3+∠ 2+∠4=180°，进而证明∠ D+∠B=180°，即可解决问题； （2）在图 2 中，连结 CE，证明∠ AEC+∠ACE+∠3+∠ 4=180°，即可解决问题 . 解题过程：（1）如图 1，∵∠ 1=∠ 3，∠ 2=∠4， ∴∠ 1+∠ 3+∠ 2+∠ 4=2（∠ 1+∠2）. ∵∠ 1+∠ 2=90°，

∴∠ 1+∠ 3+∠ 2+∠4=180°.

∵∠ D+∠ B+∠ 1+∠3+∠2+∠4=360°， ∴∠ D+∠ B=180° .

∴DE∥BC（同旁内角互补，两直线平行） （ 2）成立 . 如图，连结 EC.

∵∠ 1=∠ 3，∠ 2=∠4，且∠ 1+∠2=90°， ∴∠ 3+∠ 4=∠ 1+∠2=90°. ∵∠ EAC=90°，

∴∠ AEC+∠ACE=180° -90 °=90°.

∴∠ AEC+∠ACE+∠3+∠ 4=180°. ∴DE∥BC（同旁内角互补，两直线平行） ∴（ 1）中的结论仍成立 .

图 3 用类似方法可得 DE∥ BC.

方法归纳： 本题考查了平行线的判定问题，解题的关键是灵活运用三角形的内角度数关系（三 角形三个内角和等于 180°），结合平行线的判定定理来分析、判断、解答 易错误图 2 通过连结 EC将∠3 和∠ 4的关系用三角形联系起来是本题

探究提升

例、 三条直线两两相交于三点（如图 1），共有几对 对顶角？几对邻补角？几对同位角？几对内错角？几对同旁内 角？四条直线两两相交呢 （如图 2）？你能发现 n 条直线两两相

交的规律吗？

思路点拨： 解题的关键在于找到每个图形中含有几个三线八角的基本图形， 三条直线两两相交， 共有 3 个三线八角的基本图形；四条直线两两相交有 12 个三线八角的基本图形 .n 条直线中任

选两条有 n

（n 1）

种选法，然后在剩下的（ n-2）条直线中任选一条直线作为截线共有（ n-2 ）

（n 1）（n 2）

2

种选法，所以 n条直线两两相交共有 n

个三线八角的基本图形 .

2

解题过程： 三条直线两两相交于三点，共有 6 对对顶角， 12 对邻补角， 12 对同位角， 6 对内 错角， 6对同旁内角；四条直线两两相交，共有 12 对对顶角， 24对邻补角， 48 对同位角， 24 对内错角， 24 对同旁内角； n 条直线两两相交，共有 nn-1 对对顶角， 2nn-1 对邻补角， 2nn-1 （ n-2 ）对同位角， nn-1 （n-2 ）对内错角， nn-1 （ n-2 ）对同旁内角 .

方法归纳： 对于规律题关键在于找出规律，但在找到规律的同时还需要明确基本图形的特征 . 易错误区： 本题通过分解图形，利用“三线八角”这一基本图形解决问题，仅利用图形找角是 不容易找全的 .

专项训练

拓展训练 A组

1. 如图，

1 题）

A. ①②

2. 如图， 列条件中，能判定 DE∥ AC的是（

②④ ）.

3. 如图，请填写一个你认为恰当的条件： ，使 AB∥ CD. 4. 如图，有下列判断：①∠ A与∠ 1是同位角；②∠ A与∠ B是同旁内角；③∠ 4 与∠ 1是内错 角；④∠ 1与∠3是同位角 .其中正确的是 （填序号） .

（第 8 题）

5. 如图，∠ A=70°， O是 AB上一点，直线 CO与 AB所夹的∠ BOC=82°，当直线 OC绕点 O按逆 时针方向至少旋转 °时， OC∥ AD.

（第 7

6. 如图，已知∠ 1=∠2，∠ BAC=20°，∠

题）

ACF=80°. （ 1）求∠ 2 的度数； （2）FC与 AD平行吗？为什么？ （3）根据以上结论，你能确

定∠

B组

7.在同一平面内，有 l 1，l 2，l 3，l 4四条直线，若 l 1⊥l2，l 2⊥l3， l 3⊥l4， 则（ ） . A.l 1⊥l3， l 2 ⊥l4 B.l

1∥l3， l 2 ⊥l4

C.l

1∥l3， l 1 ⊥l4

D.l

1∥l4， l 2 ⊥l4

8.如图， AB⊥ BC，∠ 1+∠ 2=90°，∠ 2=∠3.求证： BE∥DF.

9. 如图， BD⊥ AC于点 D， EF⊥ AC于点 F，∠ AMD=∠ AGF，∠ 1=∠ 2=35° . （ 1）求∠ GFC的度数； （2）求证： DM∥ BC.

走进重高

1. 【柳州】如图，与∠ 1 是同旁内角的是（ ） .

ABCD，使其拐

角∠ ABC=150°，∠ BCD=30°，则（ ） . A.AB∥BC B.BC∥CD C.AB∥DC D.AB 与 CD相交

3. 【淄博】如图，一个由 4条线段构成的 “鱼”形图案， 找出图中的平行线，并说明理由 .

4.如图，已知点 E，F在直线 AB上，点 G在线段 CD上， ∠GHD.

1）求证： CE∥ GF；

2）试判断∠ AED与∠ D之间的数量关系，并说明理

由；

（第 6 题）

高分夺冠

1. 直线 a，b，c 在同一平面内，①如果 a⊥ b，b⊥c，那么 a∥c；②如果 a∥ b，b∥c，那么 a ∥ c；③如果 a∥b，b⊥c，那么 a⊥ c；④如果 a与b相交， b与c相交，那么 a与 c相交.在 上述四种说法中，正确的有 个.

4.将一副三角尺中的两个直角顶点 C叠放在一起（如图） ，其中∠ A=30°，∠ B=60°，∠ D=∠ E=45°.

1）若∠ BCD=150°，求∠ ACE的度数；

2）试猜想∠ BCD与∠ ACE之间的数量关系，并说明理由；

（3）若按住三角尺 ABC不动，绕顶点 C 转动三角尺 DCE，试探究∠ BCD等于多少度时， CD∥ AB， 并简要说明理由 .

（第 4

题）