金融时间序列试卷

《金融时间序列分析》试卷答案

一、填空题（1分*15空=15分）

p，1、、q。 1. xt1xt-12xt2pxtpt1t-1qt-q，1、2、2. 描述性；

3. xtxt1t，0,1,0； 4. 平稳性检验，纯随机性检验；

5. ∇pxt=(1−B)pxt，∇kxt=(1−Bk)xt； 6. 宽平稳，严平稳，宽平稳； 7. 自回归

二、不定项选择题（2分*5题=10分）

1、A C 2、A B D 3、A B 4、A B CD 5、A B D 三、判断并说明理由（2题*5分=10分）

1、如果一个时间序列宽平稳，则它肯定不是严平稳；如果一个时间序列严平稳，则它一定是宽平稳。

答：说法是错误的。（1分）

严平稳是一种条件比较苛刻的平稳性定义，该定义表明，一个序列的所有统计均平稳时，该序列才是平稳的。而宽平稳则是条件宽松的平稳性定义，即只要求序列的二阶矩平稳，则序列就是平稳的。由定义可知，在一般情况下，如果一个时间序列是宽平稳的，则它肯定不是严平稳的；如果一个时间序列是严平稳的，则它一定是宽平稳的。 （2分）

但两种情况各有例外，如多元正态分布，二阶矩包括所有统计性质，所以对于服从多元正态分布的序列，宽平稳也是严平稳；再比如柯西分布不存在二阶矩，因此如果一个序列服从柯西分布，且为严平稳，但却推不出其为宽平稳。确切的说应该是对于存在二阶矩的序列，严平稳才能推出宽平稳。（2分） 2、差分运算的实质是使用自回归的方式提取确定性信息 答：说法是正确的。（5分） 四、简答题：（25分）

1、简述平稳序列的建模步骤（7分） 答：（1）时间序列分析的第一步是获得观察值序列，然后对这个序列进行平稳性检验，对平稳的序列进行纯随机性检验，如果是纯随机序列，分析结束；如果不是纯随机序列，选择模型拟合该序列；

（2）求出该观察值序列的样本自相关系数（ACF）和样本偏自相关系数（PACF）的值。 （3）根据平稳非纯随机序列的自相关图和偏自相关图，选择阶数适当的ARMA（p,d）模型进行拟合； （4）利用一定的方法估计模型中的参数，即模型估计； （5）检验模型的有效性。如果拟合模型通不过检验，转向步骤（2），重新选择模型再拟合。 （6）模型优化。在通过检验的模型中选择相对最有模型，即模型优化； （7）利用相对最优模型对序列未来值进行预测。

2、答：（1）wold分解定理：对于任何一个离散平稳过程{xt}它都可以分解为两个不相关的平稳序列之和，其中一个为确定性的，另一个为随机性的，不妨记作

xtVtt

其中：{Vt}为确定性序列，t为随机序列，tj0jtj （3分）

（2）Cramer分解定理：任何一个时间序列{xt}都可以分解为两部分的叠加：其中一部分是由多项式决定的确定性趋势成分，另一部分是平稳的零均值误差成分，即

xttt （3分）

（3）Wold分解定理说明任何平稳序列都可以分解为确定性序列和随机序列之和。它是现代时间序列分析理论的灵魂，是构造ARMA模型拟合平稳序列的理论基础。 （2分）

（4）Cramer 分解定理是Wold分解定理的理论推广，它说明任何一个序列的波动都可以视为同时受到了确定性影响和随机性影响的综合作用。平稳序列要求这两方面的影响都是稳定的，而非平稳序列产生的机理就在于它所受到的这两方面的影响至少有一方面是不稳定的。 （2分） 3、对时间序列模型的检验包括那些？各自的含义是什么？（8分）

答：对时间序列模型的检验包括参数的显著性检验和模型的有效性检验。（2分）

参数的显著性检验是指模型总体参数是否为0的检验。如果检验结果接受原假设，则相应的总体参数为0，模型中应该去掉该变量；如果检验结果拒绝原假设，则相应的总体参数非0，模型中应该保留该变量。（3分）

模型的有效性检验是指检验模型的有效性。如果模型有效，则拟合残差不应该含有任何信息，即残差为纯随机序列；如果模型拟合不显著，则拟合残差应该残留未被模型提取充分的信息，即非纯随机序列。所以模型的有效性检验等同于对残差进行纯随机性检验。（3分） 五、计算题（20分）

1.判断下列模型的平稳性和可逆性 （1）xt0.7xt-1t0.6t1 解：

10.70.7110.60.《61， 模型平稳、可逆；

（2）xt0.8xt-10.5xt2t0.6t1-1.1t2

20.50.51解：210.80.50.31，所以模型非平稳；

210.50.81.3121.11.11，所以模型不可逆

2、已知某超市月销售额序列可以用以下AR(2)模型拟合（单位：万元/月）：

xt=10+0.4xt−1+0.2xt−2+εt，今年第一季度该超市月销售额分别是：105万元、98万元、101万元，请预测该超市第二季度的每月销售额。（5分） 解：四月份预测值为

x̂t+1=10+0.6xt+0.3xt−1+εt+1 =10+0.6∗101+0.3∗98=100万元/月 （1分）

五月份预测值为：

x̂t+2=10+0.6x̂t+1+0.3xt+εt+2 =10+0.6∗100+0.3∗101=100.3万元/月 （1分）

六月份预测值为：

x̂t+3=10+0.6x̂t+2+0.3x̂t+1+εt+3

=10+0.6∗100.3+0.3∗100=100.18万元/月 （1分）

t~N(0,2)，(B)(10.5B)2。3、已知ARMA（2，3）模型为(B)xt5(B)t，求E(xt)。其中：

（5分）

22解：(B)(10.5B)1B0.25B

该模型为：(B)xt5(B)t

即：(1B0.25B)xtxtxt-10.25xt-25(B)t 则xtxt-10.25xt-25(B)t 所以：μ=1−ϕ

4、使用指数平滑法得到x̃t−1=5, x̃t+1=5.26,，已知序列观察值xt=5.25，xt+1=5.5，求指数平滑系数。（5分）

ϕ0

1−⋯−ϕp

2=1−1+0.25=20 （5分）

5

xtxt(1)~xt15.255(1)50.25（1分） 解：~~xt1xt1(1)~xt5.5(1)(50.25)5.260.250.750.260得10.4,22（2分）

13（舍去）（2分） 5六、分析题（20分）

对某股票连续若干天的收盘价（记{xt}）序列进行分析，请回答以下问题： 1、绘制{xt}的时间序列图，如图1所示，判断该序列是否平稳？（1分) 答：不平稳。

2、绘制{xt}的一阶差分序列{yt}(yt=d(xt))的时序图，如图2，判断该一阶差分序列是否平稳？（1分） 答：平稳。

3、对{yt}序列进行纯随机性检验，结果见图3，请判断{yt}是否为纯随机序列（写出检验步骤）。（5分） 答：（1）H0:ρ1=ρ2=⋯=ρm=0(纯随机序列) H1:∃ρk≠0,∀1≤k≤m(非纯随机序列) （2分）

（2）给定显著性水平α=0.05，计算LB统计量，若LB统计量p值>α，则接受原假设，序列为纯随机序列；若LB统计量p值<α，则拒绝原假设，序列为非纯随机序列。（2分）

由于图3中各阶LB统计量的P值全部小于α，故拒绝原假设，认为{yt}为非纯随机序列。（1分） 4、根据图3，应该给序列{yt}选择什么模型？请说明理由。（4分） 由图3可知，{yt}的自相关系数一阶截尾，因此应该选择MA (1) ；（2分） 偏自相关系数6阶截尾，因此应该选择 AR (6)模型。（2分）

5、图4和图5是对{yt}拟合的两个模型，请写出模型，并对每个模型的参数进行显著性检验。（4分） x̂t=ε̂t−0.98ε̂t−1（1分）

参数θ1的t检验的p值为0，故拒绝原假设，该参数显著非零。（1分） x̂t=−0.99xt−1−0.84xt−2−0.72xt−3−0.75xt−4−0.63xt−5−0.34xt−6+ε̂t（1分） 参数ϕ1、ϕ2、ϕ3、ϕ4、ϕ5、ϕ6的t检验的p值均小于0.05，故拒绝原假设，这些参数均显著非零。（1分）

6、对以上两个模型的残差进行纯随机性检验，发现均为白噪声序列，这说明什么问题？（2分） 答：说明以上两个模型均为有效模型（2分）

7、请选择相对最有模型，并预测下一天的收盘价{xt+1}。（3分） 根据SBC原则，应该选择MA(1)模型作为相对最优模型。（3分）