微积分考试题库(附答案)

考试试卷（一）

一、填空

1．设a,b,c为单位向量，且满足abc0，则abbcca= 2．lime= ，lime= x0x01x1x1，limexx0=

3．设F(x)11x2，且当x1时，F(1)，则F(x) 324．设f(x)x0sint2dt，则f(x)=

ex1,x05．f(x)在x=0处可导，则a ，b

axb,x0二、选择

x22y11．曲线绕x轴旋转一周所得曲面方程为（ ）。

z0 （A）x22y2z21； （B）x22y22z21；

（C）x22y2z21； （D）x22y22z21

x12)=（ ）2．lim(。

xx1 （A）1

1（B）e2x （C）0 （D）e1

3．设函数f(x)具有连续的导数，则[xf(x)f(x)]dx（ ） （A）xf(x)c； （B）xf(x)c； （C）xf(x)c； （D）xf(x)c

4．设f(x)在[a,b]上连续，则在[a,b]上至少有一点，使得（ ） （A）f()0 （B）f()f(b)f(a)

ba 85

微积分考试题库(附答案)

（C）f()0 （D）f()5．设函数yasinxsin3x在x=

af(x)dxbab

13处取得极值，则a（ ） 3 （A）0 （B）1 （C）2 （D）3 三、计算题

x1x1y2z11． 求与两条直线yt1及都平行且过点（3，-2，1）的平面方程。 121zt22．求下列极限 （1）limx1xarctanx1cosxlim； （2）

x3x0x22x1e11dx

2sinx3．计算下列积分

（1）sinxdx； （2）

1/2e21lnx1xdx （3）dx； （4）1/21xx14．求下列导数或微分

(x2)2（1） 设y3，求dy。

(12x)(1x)xtln(1t)d2y （2），求2。 32dxyttxsinx （3）y()，求dy。

1x （4）设xd2yya，求隐函数yy(x)的二阶导数2。

dx1四、设f(x)C[0,1],f(x)D(0,1)，且f(0)f(1)0,f()1，证明：

2 （1）存在(,1)，使f()

（2） 对任意实数，必存在(0,)，使f()[f()]1

12

86

微积分考试题库(附答案)

高等数学（上册）考试试卷（二）

一、填空

1、已知f(3)2,则limxh0f(3h)f(3)

2hdydxx02、设y(t1)(t2)dt,则

032= 3、设f(x)的一个原函数为xx，则

f(sinx)cosxdx

xx004、limf(x)存在的充分必要条件是limf(x)和limf(x)

xx0xx005、若两平面kxyzk0与kxy2z0互相垂直，则k= 二、选择

1、 点M（2，-3，-1）关于yoz坐标面的对称点M1的坐标为

87

微积分考试题库(附答案)

A、（-2，3，-1）B、（-2，-3，-1） C、（2，3，-1）（D）、（-2，-3，1） 2、下列命题不正确的是 A、非零常数与无穷大之积是无穷大。 B、0与无穷大之积是无穷小。 C、无界函数是无穷大。 D、无穷大的倒数是无穷小。 3、设f'(x)2,且f(0)1,则f(x)f'(x)dx

A、2(2x1)c B、(2x1)c C、2(2x1)2c D、(2x1)2c 4、f(x)x,则f(x)在x=0处 A、f'(0)存在，f'(0)不存在 B、f'(0)存在，f'(0)不存在 C、f'(0)，f'(0)均存在但不相等 D、f'(0)，f'(0)存在且相等 5、

1212/2/21cos2xdx A、0 B、1 C、2 D、4 二、计算题 1、求下列极限

eaxebx11（1）lim （2）lim()

x0x1xlnxx12、求下列导数或微分 （1） 设f(x)=x,x0求f'(0)

ln(1x),x0x2a2（2） 求由椭圆方程

36y2b21所确定的函数y的二阶导数。

9（3） 已知yx2xx,求（4） 设y1x3x22dydy ,dxdx2,求dnydxn

3、计算下列积分 （1）（3）

ln200e1dx （2）xlnxdx

1x2exdx （4）cotxsinxdx

224、求曲线yx和yx所围图形绕轴旋转一周所成立体的体积。 三、证明：当x1时,eex

88

x微积分考试题库(附答案)

高等数学（上册）考试试卷（三）

一、填空

1．设g(x)[x]1,则limg(x)= ，limg(x)= ，limg(x)= 。

x0x0x02．设(ab)c2,则[(ab)(bc)](ca) 。

3．过两点（4，0，-2）和（5，1，7）且平行于ox轴的平面方程为 。 4．设yxaaxxx,则dy 。 5．由曲线ysinx,ycosx以及直线x0,x 。

二、选择

1．若

2所围图形的面积由积分可表示为

f(x)dxg(x)dx,则必有 。

f(x)dx（A）f(x)g(x) （B）

g(x)dx

（C）f(x)g(x)c （D）f(x)g(x)0

2．设函数f(x)在xx0处连续，若x0为f(x)的极值点，则必有 。 （A）f(x0)0 （B）f(x0)0 （C）f(x0)0或f(x0)不存在 （D）f(x0)不存在

3．设a{4,3,4},b{2,2,1},则prjba 。

（A）1 （B）

1 （C）2 （D）3 2x3ax44．若liml，则 。

x1x1（A）a6,l3 （B）a6,l3 （C）a3,l6 （D）a3,l6

x的单调增加区间为 。 lnx（A）（0，e） （B）（1，e） （C）（e，） （D）（0，）

三、计算题

1．求下列导数或微分

5．函数y（1） 设f(x)x(x)，其中(x)在x0处连续，求f(0)

微积分考试题库(附答案)

x3t22tdy（3） 已知y,求|t0

esinty10dxd2ydy（4） 设ysinx,求2,2

dxdx22．计算下列极限

（1）limx0x20tdt （2）lim(xxxx)

x32x0t(tsint)dt3．计算下列积分 （1）

11xdx54x2 （2）

330dx(15x)1x22

（3）

lnxxdx （4）xx3dx

4．求函数f(x)|x2|ex在[0，3]上的最大、最小值。

四、若f(x)在[0，1]上有二阶导数，且f(1)f(0)0,F(x)x2f(x)，

证明：在（0，1）内至少存在一点，使得F()0

高等数学（上册）考试试卷（四）

一、填空

1、x= 是函数y2x1的第 类间断点，且为 间断点。 x1xtsinu2du0dy则 2、ty(1cosu)dudx03、若a与b垂直且a5,b12,则ab , ab 4、设f'(ex)1x,则f(x)= 90

微积分考试题库(附答案)

5、曲线yxex的拐点为 ,下凸区间为 二、选择

12x,x2在x2处可导，则必有 1、 设f(x)2axb,x2A、ab2 B、a=2,b2 C、a=1, b=2 D、a=3, b=2

2、 已知三点A（1，0，-1），B（1，-2，0），C（-1，2，-1），则ABAC

A、26 B、36 C、62 D、63

x2axb2，则 3、 若lim2x1xx2A、a=2,b=4 B、a=4, b=-5 C、a=1, b=-2 D、a=-4, b=5 4、 已知

f(x1)dxxex1c,则f(x)

xx1A、xe B、xe5、 设f(x) C、(x1)e D、(x1)exx1

2x2t2dt,则f(1)=

A、-3 B、3 C、63 D、36

三、计算题 （1）

/40xsinxdx 3cosx（2）求抛物线yx24x3及其在点（0、-3），（3，0）处的切线所围图形的面积。

xf(x)d2y（3）设，f(t)存在且不为0，求 2dxytf'(t)f(t)（4）设y（5）

x34xx2，求y的单调区间，凸区间，极值及拐点。

1edx dx

（6）e2x1（7）A、B为何值时，平面：AxBy3Z50垂直于直线L：x32t,y53t,z22t?

91

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ex2,x2(8) 设f(x)k,x2 ，(i)a为何值时，f(x)在x=2处的极限存在？（ii）k为何

ax4,x2值时，f(x)在x=2处连续？

ln(1x/3),x0x（9）设f(x)，求limf(x)

x0x12sintdt,x0x30四、设f(x),g(x)在(a,b)内可微，g(x)0，且f(x)g(x)f(x)g(x)0,x(a,b)。

证明：存在常数k，使f(x)kg(x),x(a,b)

高等数学（上册）考试试卷（五）

一、填空

1、

arctanx1(1x2)2dx__________

12、设f(x)的一个原函数是sinx,则xf'(x)dx 3、方程xy=1在平面解析几何中表示 ，在空间解析几何中表示 4、f(x)xex在(1,1)内有且仅有 个零点。

2x1t5、曲线在t2处的切线方程为 3yt二、选择

1、 设f(x)在x0处可导，则limh0f(x0h)f(x0h) hA、f'(x0) B、2f'(x0) C、0 D、f'(2x0) 2、 若limf(x)c,则

xA、yf(x)有水平渐近线yc B、yf(x)有铅直渐近线xc C、f(x)c D、f(x)为有界函数

92

微积分考试题库(附答案)

3、已知a3,b5,当 时，ab与ab相互垂直。

333A、 B、 C、 D、1

55、已知

xf(x)dxF(x)c,则f(1)dx 2A、2F(x)c B、F()c C、F(1)c D、2F(1)c 5、设在[a,b]上连续且(b)a,(a)b,则(x)(x)dx

abx2x2x2A、ab B、(ab) C、a2b2 D、(a2b2)

三、计算题

1、 求下列极限

x3（1）Lim(1)2 （2）Lim(1x)tan

x1x2xx12122、 求下列导数或微分

（1）yln(xx21),求dy （2）设函数yy(x)由方程3、 计算下列积分 （1）

y2aetdtcost2dt0确定，求

x0dy dxe21dxdx （2）

11xx1lnx1xsin,x04、 设f(x) ，讨论f(x)在x0处的连续性。 xex,x0tcosux1udu5、 求曲线自t1至t一段弧的长度。

2ytsinudu1u四、证明题

1、 证明：当x0时,e(1x)1cosx

2、 设f(x)在[0，1]上连续，在（0，1）上可导，且f(0)1,f(1)0,求证在（0，1）

x 93

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内至少有一点，使f'()

f()

高等数学（上册）考试试卷（六）

一、填空

1、 抛物线y4xx在其顶点处的曲率为_______________

22、 (abc)c(abc)b(bc)a=______________________

3、

dxcostdt=____________________ 0dx1sint4、 已知F(x)f(x)，则

2f(x)dx_______________ 2nn5、 若limxn0，则limxn________；若limxnA，则limxn__________

nn二、选择

1、 若limf(x)a，则必有_____

xx0A、f(x)在x0点连续； B、f(x)在x0点有定义； C、f(x)在x0的某去心邻域内有定义； D、af(x0) 2、 设有直线l1:x1y5z8与l2121xy6，则l1与l2的夹角为____ :2yz3A、/6； B、/4； C、/3； D、/2

1xsin,x03、f(x)在x0处____ x0,x0A、 不连续； B、连续但不可导；

C、可导，但导数在该点不连续； D、导函数在该点连续 4、 已知

f(x)dxx222c，则xf(1x2)dx____

2A、2(1x)c； B、2(1x)c； C、

11(1x2)2c； D、(1x2)2c 2294

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5、 广义积分

0ekxdx收敛，则____

A、k0； B、k0； C、k0； D、k0

三、计算题

1、 求下列极限

2x2x14arctanx（1）lim （2） limx2x2x1x1x12、 求下列导数或微分

xsin2xdy,x0x(n)（1）yx ，求 （2）yesinx，求y

dx0,x0xt（3）设f(t)limt，求f(t)

xxt（4）求由方程x（5）yxya所确定的函数y的导数y

xx12，求dy

3、 求下列积分 （1）（3）

dxdx （2）12x3sin2x

20max{x,x3}dx （4）sin(lnx)dx

12e4、 在抛物线yx1(0x1)上找一点M，使得过该点的切线与抛物线及两坐标

轴所围图形的面积最小。

a(ab)五、证明：pb2与向量a垂直

a

高等数学（上册）考试试卷（七）

一、填空

1、 设f(x)x(x1)(x2)(xn)，则f(0)_______________

x32、 曲线y的渐近线方程是______________________

2x1

95

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3、 一平面过原点及点（6，-3，2）且与平面4xy2z8垂直，则此平面方程为_______ 4、 已知xlnx是f(x)的一个原函数，则xf(x)dx_________________ 5、 由定积分的性质知：______二、选择

1、 设limf(x)a，limf(x)b，下列命题正确的是_________

xx00xx00/2sin/4xxdx_____

A、 若ab,则f(x)一定连续； B、若ab，则limf(x)xx0ab； 2C、若ab，则limf(x)xx010ab； D、若ab，则limf(x)f(x0)；

xx022、 设et，则

xexdx___________ xxeee0e11dt；D、以上都不对； dt；C、21t1t1A、

e0ttt1dt；B、3、

ln(x1)ln(x)x(x1)dx_______________

A、ln(1x)c； B、122121x12xx1C、ln( D、ln( ln()c；)；)c；

2x21xx4、三点（1，1，-1）、（-2，-2，2）和（1，-1，2）决定一平面，则此平面的法向量为

A、（-3，9，6）； B、（-3，-9，6）； C、（3，-9，6）； D、（3，9，-6）；

2lnx,1/ex115、f(x)1 在(,3)内______________

e1,1x3xA、 不满足拉格朗日条件； B、满足拉格朗日条件且C、满足拉格朗日条件，但无法求出；

9e1 5D、不满足拉格朗日条件，但有三、计算题

9e1满足中值定理的结论。 596

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1、 求下列极限 （1）lim(x1)(x21)(xn1)[(nx)n1]xn12x （2）lim(sinx)x/2tanx

2、 求下列导数或微分

（1） 设yd2y，求y ； （2）设x2tt,y3tt，求； 222dxax234x23x（2） 设y2lnyx，求y； （4）设y，求y； 21x(3x)23、 求下列积分

（1）

xdxarctanxdx （2）821xx(1x)11（3）

(x21xx231x)dx （4）

201sinxdx

4、某车间靠墙壁要盖一间高为h的长方形小屋，现有存砖只够砌20M长的墙壁，问应

围成怎样的长方形，才能使这间小屋的面积最大？

四、明：

/20sinnxcosnxdx2n/20cosnxdx， n为正整数。

高等数学（上册）考试试卷（八）

一、填空

1、设f(sinx)cosx,则f(x)= 2、设f(x0)存在，则lim22h0f(x0)f(x0h)

h3、一平面与1:2xyz0及2:xy1都垂直，则该平面的法向量为 4、

/2/2sinxdx

25、设f(x)ex,f[(x)]1x,且(x)0,则(x)= 二、选择：

97

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sinxx,x0x 1、设f(x)0,x0，则x=0是f(x)的

1xcos,x0x（A）连续点 （B）可去间断点 （C）跳跃间断点 （D）振荡间断点

2、下列各式中正确的是

112（A）x2dx1 （B）xdx1

202011x0x111/2（C）2dx2dx （D）

20/2cosxdxcosxdx 03、空间点A（1，2，3）和点B（4，5，6）的距离为 （A）3； （B）3； （C）33； （D）9

4、设f(x)在xx0处连续且f(x0)不存在，则yf(x)在(x0,f(x0)) 处 （A）没有切线 （B）有一条不垂直 x轴的切线

（C）有一条垂直x轴的切线 （D）或者不存在切线或者有一条垂直于x轴的切线。 5、设F1(x)与F2(x)是f(x)在区间I上的两个不同的原函数，则 （A）F1(x)F2(x)c （B）F1(x)F2(x)c （C）F1(x)cF2(x) (D)F1(x)F2(x)c 三、计算题

1、求下列极限

4sin23xsinx)（1）Lim(5 (2)Lim

x0xcosxx2、求下导数或微分 （1）yxaa1axaa(a0),求xaxdy dxd2y（2）设yf(e),f可微，求 2dx（3）设yarctanU,U,V为x的可微函数，求dy V98

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3、求下列积分 （1）（3）

1e2x1dx （2）e1sinxsin2xdx

32dxx21x2 （4）

0(xsinx)2dx

5、 设f(x)具有二阶连续导数，且Limx0f(x)f(x)1/x0,f(0)4,求Lim[1]

x0xx四、证明题

exexx211、 证明：x≠0时, 222、设f(x)在[a,b]上连续且f(x)＞0,证明：在[a,b]内有唯一的一点，

b使得

af(x)dxdx f(x)高等数学（上册）考试试卷（九）

一、填空

1、lim(1cosx)x/23secx= 2、两平行平面xyz10与2x2y2z30之间的距离为 。 3、过原点作直线L与曲线ye相切，则L 的方程为 4、曲线y5、

xlnx的拐点坐标为 x11x2sinxdx

二、选择：

1、设ex是f(x)的原函数，则

xxf(x)dx=

xx（A）e(1x)c (B)e(1x)c (C)e(x1)c (D) e(x1)c

x2、若f(x)0,则= （A）f(2)f(1)f(2)f(1) (B)f(2)f(1)f(2)f(1) 99

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(C) f(2)f(2)f(1)f(1) (D) f(1)f(2)f(1)f(2)

3、若积分

2dx收敛,则p应满足 px(lnx)（A）p=0 (B)p=1 (C)p＜1 (D)p＞1

1x,13x,当x1时 1x（A）与是等价无穷小； （B）是比高阶的无穷小 （C）是比低阶的无穷小； （D）与是同阶无穷小

4、设5、在曲线xt,yt,zt的所有切线中与平面x2yz4平行的切线 （A）只有一条 （B）只有两条 （C）至少有三条 （D）不存在 三、计算题 1、 求极限 （1）Limx023exsinx111x (2)Limx0sin2x1xsinx1

2、求下列导数或微分

xln(1t2)2dydy2,（1），求 tu2dxdxduy021u

（2）设yln(x3x2)，求dy,y（3）设yxtanx2(2000)

，求y

xy（4）已知y1xe,求y3、求下列积分 （1）

x0

1/20x21x21dx （2）xalnxdx,a为实常数

dx （4）ln(x1x2)dx

01（3）

1x1x4、设f(t)是非负的连续整数，g(x)四、证明题：

aaxtf(x)dt,(axa),讨论g(x)的单调性。

100

微积分考试题库(附答案)

1、 设f(x)满足xf(x)3x[f(x)]1e2x

（1）若f(x)在xc(c0)取得极值，证明它是极小值

（2）若f(0)f(0)0，求最小的常数k，使得当x0时有f(x)kx2、 设f(x)可导，证明f(x)的两个零点之间一定有f(x)f(x)的零点。

2.

高等数学（上册）考试试卷（十）

一、填空

1．已知F(x)f(x)，则

f(axb)dx(a0)= 2x3yz602．经过点（2,0,-1）且与直线平行的直线方程为

4x2y3z903．设

y0etdtcostdt0，则y= 0xy4．函数y1的定义域为 [x2]5．设f(x)是[a,b]上的连续函数，则f(x)有一个原函数为 二、选择

1．设f(x)在[a,b]上可积，下列各式中不正确的是 （A）（C）

baaf(x)dxf(t)dt （B）f(x)dxf(x)dx

aaabbaaf(x)dx1x

bbf(x)dx （D）

baf(x)dxf(t)dt

ba2．lime=

x0

（A）0 （B）+ （C）- （D）不存在 3．过点（2,0,-3）与直线x2y4z7垂直的平面方程为 3x5y2z1（A）16x14y11z650 （B）16x14y11z650 101

微积分考试题库(附答案)

（C）16x14y11z650 （D）16x14y11z650 4．设e（A）

2x为f(x)的原函数，则xf(x)dx= 12x1eC （B）2xe2xC （C）xe2xe2xC （D）2xe2xe2xC 22x1x25．曲线yearctan的渐近线有

x1（A）0条 （B）1条 （C）2条 （D）3条 三、计算题

1．求下列极限

（1）lim(1x)(1x)(1x) (x1)

n22n（2）limx21xsinxcosxx0

2．求下列函数的导数y （1）ysinln(13x)3．求下列积分

2 （2）yxln(2x1)

3xln(1x2)x1dx（1） （2）dx 221xx2x5（3）

2aa671xsinxx2a2dx （4）dx 421x1x4．设f(x)D[0,]，f(0)0，且反函数为g(x)，5．方程lnxax(a0)有几个实根？ 四、证明题

f(x)0 g(t)dtx2ex，求f(x)。

b2,3,4a1．设a1,3,2，，c3,12,6，证明三向量,b,c共面。

2. 设f(x)C[0,1]，且0高等数学（上册）考试试卷（十一）

一、填空

102

微积分考试题库(附答案)

1．直线l：

x1yz3和平面10x2y11z30的夹角为 236xx2．设f(x)e32，当x→0时，f(x)与x是 无穷小。 3．设tanyxy，则dy= 4．广义积分

1dx当 时收敛。 px5．已知xlnx为f(x)的一个原函数，则二、选择

f(x)dx 0x1．设f(x)是[0，+]上的连续函数，x0时，[f(t)dt]= (A)f(x) (B)f(x) (C)f(t) (D)f(t) 2．设函数f(x)在给定区间上连续，

aox3f(x2)dx=

a21a1a2(A)xf(x)dx (B) xf(x)dx (C) 2xf(x)dx (D)

ooo222aoxf(x)dx

3．已知f(x)sinx，f[(x)]1x,则(x)的定义域为 (A)(,) (B)[-1,1] (C)[2,2] (D)[,]

2204．设向量a与x轴、y轴、z轴的正向所成的角分别为,,，已知=135°，60，

 为锐角，则为 (A)45° (B)30° (C)60° (D)75°

5．设f(x)是(,)内的偶函数，且F(x)是它的一个原函数，则 (A)F(x)F(x) (B)F(x)F(x) (C) F(x)F(x)c (D)F(x)F(x)c

三、计算题

1．求下列极限

（1）limn(na1)(a0) （2）lim[(2x)ex]

nx1x2．求下列函数的导数或微分

103

微积分考试题库(附答案)

（1）设y()()()24abxbxaxab(a0,b0)，求y

（2）设y2lnyx,求dy

exb,x0（3）设f(x)，确定a,b使f(x)在x0处可导，并求f(0)

sinax,x0 3．求下列积分 （1）cotxxdxdx （2）lnsinx11x/2/2（3）

215x2dx （4）111x的间断点的类型

4cos4d

4．讨论函数y5．设直线yaxb与x0,x1及y0所围面积为A，试求a,b，使该梯形绕x轴旋转所得立体的体积最小。

四、证明题

1．设f(x)C[a,),f(x)D(a,)，且f(x)0，记F(x)证明：F(x)在(a,)内单调增加。

2． 设

2f(x)f(a)(xa)，

xaf(x)dxF(x)C,f(x)可微，且f(x)的反函数f1(x)存在，证明：



f1(x)dxxf1(x)F[f1(x)]C

高等数学（上册）考试试卷（十二）

一、填空

1．xoy平面上的圆(x2)y1绕y轴旋转所生成的旋转曲面的方程为 2．f(x)log2(4x)在区间 是连续的。 3．广义积分

22210dx当 时收敛。 xq4．若

f(x)dxF(x)C,且xatb(a0),则f(t)dt 104

微积分考试题库(附答案)

1(x)cos,x05．设f(x)，且(0)(0)0,则f(0) x0,x0二、选择题

1．函数f(x)x1和y(x)2x1在区间[0，1]上满足柯西定理的等于 (A)

2111 (B)1 (C) (D)

324tf(t)f(t)dt 2．设lnf(t)cost，则

(A)tcostsintc (B)tsintcostc (C)t(costsint)c (D)tsintc 3．设

x0f(t)dtx211f(x),且f(0)1,则f(x) 221x1e (C)e2x (D)e2x 22(A)e (B)

x2,x02x,x04．设f(x) ,g(x)则f[g(x)]= x2,x0x,x02x2,x0(A) (B)

2x,x02x2,x0 (C) 2x,x02x2,x0 (D) 2x,x02x2,x0 2x,x05．设平面1:xky2z90与平面2:2x4y3z30垂直，则k=

(A)-1 (B)1 (C)±1 (D)±

三、计算题

1．求下列极限

（1）设x1=1,xn112xn1,求limxn

n1xn111arctanarctannn1 （2）limn11nn12．求下列函数的导数或微分

（1）设(x)在xa处连续，求f(x)(xa)(x)在xa处的导数。

105

微积分考试题库(附答案)

（2）设yxx，求y

（3）设yf(x)f(x),f(x)具有二阶导数，求y （4）求由方程cos(xy)xy所确定的函数y的微分。 3．求下列积分

22222arctanexx2exdx （2）（1）dx ex(x2)2（3）

10xdx1x2 （4）

11(x21x2x31x2)dx

4．求y轴上的一个给定点(0,b)到抛物线x4y上的点的最短距离。 四、证明题

1．设f(x)C[a,b],且f(x)0,又G(x)内非负。

2．设f(x)arcsinx,g(x)arctan

x1f(t)dt,x(a,b)，试证G(x)在(a,b)0xa2x1x2,x1，证明:f(x)g(x)。

高等数学（上册）考试试卷（十三）

一、填空

222xyz11．曲线在xoy坐标面上的投影柱面方程为 ，投影

222x(y1)(z1)1曲线方程为 。 2．设ydyxxx，则 dxn层23．抛物线y4ax和直线xx0(x00)所围成图形绕x轴旋转所得旋转体的体积为————

4．函数y2x6x18x7的极大值点为 ，极小值点为 32 106

微积分考试题库(附答案)

5．已知二、选择

111f(x)dxF(x)c,则[f()2f(lnx)]dx

xxxx21,x1，则在x=1处函数f(x)

1．设f(x)x12,x1（A）不连续 （B）连续但不可导 （C）可导且导数连续（D）可导但导数不连续 2．函数f(x)的不定积分是f(x)的 （A）导数 （B）微分 （C）某个原函数 （D）全部原函数 3．直线x2yz7的方向向量为

2xyz7（A）（3,1,5） （B）（-3,-1,5） （C）（-3,1,5） （D）（3,-1,-5） 4．设yf(x)和x(t)均为（,）上的单调减函数，则yf[(t)]是 （A）单调减函数 （B）单调增函数

（C）非单调函数 （D）可能是单调减，也可能是单调增函数

dexx5．已知f(t)dte,则f(x) 0dx（A）x2 (B)x (C)e22x

(D) e

2x三、计算题

1．求下列极限

n2sinn! （2）lim(1tanx)x （1）limnn1x0312．求下列导数或微分 （1）ylnx,x1xx1，求y(1) （2）设(2y)()y1,求dy21x,x1222x1

（3）设yxaxaarcsin(a0),求y

（4）设f(x)满足条件f(1x)af(x)，且f(0)b，a,b均为非零常数，问f(1)是

否存在？若存在，求出f(1) 3．求下列积分

xa 107

微积分考试题库(附答案)

xxln(1x)2dx （1）dx （2）23xsinxesinx,2（3）x(lnx)dx （4）设f(x)10,xcos42

xx2，求2x0f(t)dt

4．长度为2的线段，两端在抛物线yx上任意移动，求线段的中点最靠近x轴时此中点的坐标。

四、证明题

1．设f(x),g(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导，且f(a)f(b)=0，g(x)≠0，证明：至少存在一点(a,b)，使得f()g()f()g() 2．证明：当x>0时，(x1)lnx(x1)

22高等数学（上册）考试试卷（十四）

一、填空

1．点(1,2,1)到平面x2y2z100的距离d= 2．设f(x)1x]= ，定义域为 ,x1，则f[f(x)x13．函数2sinxcos2x的一个原函数为 4．设f(x)在x=0处可导，且f(0)0，则lim32x0f(tx)f(x) x5．函数ysinx，0x与x轴围成图形绕x轴旋转而成的立体体积为 二、选择

1．设f(x)为连续函数，则下列运算 成立

dtdxf(x)dxf(x) （B）f(x)dxf(x) （A）

dxadxadxdxf(x)dxf(a) （D）f(t2)dt2f(x2) （C）daadxax2y2z22y2yzz212．已知曲线在yoz面上的投影为，则a为

xyzaz0

108

微积分考试题库(附答案)

（A）1 （B）0 （C）-1 （D）2 3．下列积分正确的是 （A）（C）

11dx1xx2112 （B）/2/211sinxdx2/2010sinxdx2 1x2dx

/2/2x2sinxdx0 （D）1x2dx24．给定数列(xn)n1，下列命题正确的是 （A）若limxn存在，则limxn存在

nn（B）若limx2n和limx2n1存在，则limxn也存在

nnn（C）若(xn)n1有界，则limxn存在

n（D）若(xn)n1无界，则limxn不存在

n5．设f(x)为R上可导函数，则 （A）若f(x)为偶函数，则f(x)也为偶函数 （B）若f(x)为奇函数，则f(x)也为奇函数 （C）若f(x)为周期函数，则f(x)也为周期函数 （D）若f(x)为单调函数，则f(x)也为单调函数 三、计算题

1．求下列极限

1ln(1)ln(13x)x（1）lim （2）lim

xarctanxxln(12x)2．求下列导数或微分

（1）设yln[ln(lnx)],求y； （2）设yarctan（3）设y=f(x)由方程ysin(xy)确定，求y 3．求下列积分 （1）

23x1,求dy x1x1a2x2dx （2）xf(x)dx,其中109

sinx的f(x)的一个原函数 x微积分考试题库(附答案)

（3）

/20sinxcosxdx （4）11/2e2x1dx

x344．设y，讨论函数的单调区间，极值，凹凸性和拐点。

x25．在曲线yx（x0）上某点B处作一切线，使之与曲线、x轴所围平面图形的面积为

21，试求：（1）切点B的坐标；（2）由上述所围图形绕x轴旋转一周所得立体的12体积。

四、证明题

1．证明：

babaarctanbarctana,(0ab) 221b1a2．设f(x)C[a,b],且acdb，试证：在[a,b]上必有一点，使得

mf(c)nf(d)(mn)f()，(m>0,n>0)

高等数学（上册）考试试卷（十五）

班级 姓名_____________

一、填空

x1

x1y2z1

1．与两直线y1t及都平行且过原点的平面方程121z2t



为 。 2．函数2(e2xe2x)的原函数为

2x13．函数yx的反函数为 ，反函数的定义域为 214．yf(x)C[a,b]，则

2baf(x)dx的几何意义是

5．函数f(x)2xlnx在区间 单调增 二、选择题

1．函数 在给定区间上满足罗尔定理条件

110

微积分考试题库(附答案)

x31,2x1 [-2,1]

（A）f(x)x1x13,（B）f(x)x,1x1 [-1,1]

x11,（C）f(x)13x2 [-1,1] （D）f(x)cosx [0,]

y22z在xoy面上的截痕是 2．双曲抛物面x32（A）相交于原点的两条直线 （B）抛物线 （C）双曲线 （D）椭圆 3．设yx0(t1)dt，则y有

1111 （B）极小值 （C）极大值 （D）极大值 22224．设积分曲线yf(x)dx中有倾角为的直线，则yf(x)的图形是

4（A）平行于y轴的直线 （B）抛物线

（C）平行于x 轴的直线 （D）直线yx

（A）极小值

5．已知limf(x)limg(x),则limxaxaxaf(x) g(x)（A）1 （B）0 （C） （D）不能确定 三、计算题 1．求下列极限 （1）lim(sinx11] cos)x （2）lim[x04x2x(ex1)xx2．求下列导数或微分

tan2x,x0 求f(x)

（1）设f(x)xx00,(x2)2（2）设y3，求y

(12x)(1x)

111

微积分考试题库(附答案)

2dyx3t2t（3）已知求

yesinty10dxt0

（4）设ycos(x)sin3．求下列积分 （1）

221，求dy x11e5xdx （2）cos(lnx)dx

（3）

5x3sin2xdx （4）0x42x212/31cos2xdx

4．讨论函数y(x1)x四、证明题 1．证明：ln(1的凹凸性和拐点。

11),0x x1x1xf(t)dt，证明在 axa2．设f(x)C[a,b],f(x)D(a,b),且f(x)0,记F(x)(a,b)内F(x)0

考试试卷参

试卷一答案

一、填空： 1、13 2、，0，不存在 3、arcsinx 4、sinx 5、1，2、 22x二、选择：

1、B； 2、D； 3、A； 4、D； 5、C 三、计算：

1．解：平面法向量垂直于S1011，S2121

112

微积分考试题库(附答案)

nS1S2011ijk

121又过点（3，-2，1），则所求平面方程为 (1)(x3)(y2)(1)(z1)0 即 xyz60

ijk1cosxsinx2cosx2limlim2．（1）解：lim2

x1x2x1x1x12x222 （2）解：limxarctanxex1xt3x0limx0xarctanxlimx0x3111x21

33x23．（1）解：sinxdx2tsintdt2tcost2costdt

2tcost2sintc 2sinx2xcosxc

（2）解：

dx2sinxttgx2122t1t22dt 21tdtdt221arctan(t)c

12321tt233(t)2422x1arctan(tan)c 2233 2e21lnx12edx(1lnx)（3）解：

21x1 11(1lne2)2(1ln1)24 221/21x1/21x1/21/21xdxdxdxdx （4）解：1/21x1/21x21/21x21/21x221/211x20dx2arcsinx1/2/3 0 113

微积分考试题库(附答案)

14．（1）解：lny[2ln(x2)ln(1x)ln(12x)]

3 11212y[] y3x21x12x1(x2)2212]1/3[] y[3(12x)(1x)x21x12xdy3t22t （2）解：3t25t2

1dx11td2y(6t5)(1t)(6t2) 1tdx2(1)1t （3）解：lnysinx[lnxln(1x)] 111ycosx[lnxln(1x)]sinx() yxx1xsinxxsinx]() 1xx(x1)1x y[cosxln（4）两端对x求导：

12x12yy0  yyx

x y12yyyx12xxyxyy 3/23/22x2xy四、（1）证明：令F(x)f(x)x，则F(x)C[0,1],F(1)10,F(1/2)1/20

故(1/2,1)，使得F()f()0，即f()

（2）证明：设G(x)exF(x)ex(f(x)x)，则

 G(x)C[0,],G(x)D(0,)，G(0)0,G()eF()0

由罗尔定理：(0,),使G()0，即

114

微积分考试题库(附答案)

ef()[f()]10

即 f()[f()]1

试卷二答案

一、填空

1、-1 2、-2 3、sin3xsinxc 4、存在且相等。5、±1 二、选择

1、B 2、C 3、D 4、C 5、C 三、计算题

1、求下列极限。

eax1(ebx1)eaxebx（1）解：LimLimab

x0x0xx（2）解：

111x1lnxx111xLim()LimLimLimLim x1lnxx1(x1)lnxx1x1x1xlnxx1x1lnx112x1lnxx12、求下列导数或微分。

ln(1x)ln1Limln(1x)x1， （1） 解：f(0)Limx0x0x1x01 f(0)1

x0x（2）解：方程两边对x求导：

f(0)Lim2xa22yy'b20y'b2xa2y

再由

2x2y2y0，两端继续对x求导 2ab1y(y)21y1b2x22y222y2(2)0 2abbabbayb4y23

ay（3）解：dy(3x12x9x)dx

258 115

微积分考试题库(附答案)

dy3x212x59x8dx dy(3x212x59x8)dx2dx2xdx =32x6x4972x (4)、解：y11x1x2 y(n)(1)nn![(1x)(n1)(2x)(n1)]

四、计算下列积分。 （1）

ln2xx01dxe1t12t2e1101t2dt20(11t2)dt =2[tarctant]1202

2（2）

21xlnxdx112212lnxdx2[x2lnx1211x2xdx]

=122[4ln21xdx]2ln234

xt（3）

0exdx20tetdt20td(et)

=2[tet]t020edt2

1(4)cotxsinxdxcosxsinxsinxdx(sinx)2dsinx2sinxc24、解：由yxy2x得交点(0,0），（1,1） vv12131v20(y)dy0y2dy10 四、证：设f(x)exex,f(x)exe0,x1

故f(x)在[1,]上单调增，又f(1)=0

116

微积分考试题库(附答案)

∴当x＞1时，f(x)f(1) =0,即eex

试卷三解答

一、填空：

1．1，0，不存在 2．4 3．9yz20

4．axa1xlnaa(1lnx)x 5．

xx40(cosxsinx)dx2(sinxcosx)dx

4二、选择

1．C 2．C 3．C 4．C 5．C 三、计算题

1．（1）解：f(0)lim （2）解：

x0f(x)f(0)lim(x)(0) x0x0dx6t2 dt 在eysinty10，两端对t求导：

dyeycostdydyy e sintecost0 ydx1esintdtdtydyeycost dx(1eysint)(6t2)又t0时，x0,y1

dye|t0 dx22dy2dy2xcosx,22cosx24x2sinx2 （3）解：dxdx dy2xcosx2dx,dx22xdx

dy2 cosxdx22．（1）解：（洛必达法则）

x32xx32lim原式=lim

x0x(xsinx)x0xsinx3x2 2lim12

x01cosx

117

微积分考试题库(附答案)

（2）原式=limxxxxxxx1limx1xx11131xx1 23．（1）解：54x2在（-1，1）上为奇函数

积分0

（2）解：设xtant,dxsec2tdt

原式=

60sec2tdt(15tan2t)sect60costdt

14sin2t1d(2sint)/6/612arctan(2sint)/8 =001(2sint)22（3）解：

lnxxdx2lnxdx2xlnx2xxdx

2xlnx4xc

（4）解：

xx3dxx3dx31(x3)26x3c x33dx3(x2)ex,0x24．解：f(x),x(x2)e,2x3(x1)ex,0x2 f(x)x(x1)e,2x3可见在（0，3）内x1是f(x)的驻点，x2是f(x)的不可导点。 因f(0)2,f(1)e,f(2)0,f(3)e3

最大值为f(3)e3,最小值为f(2)0

四、证：f(x)在[0,1]上二阶可导,F(x)在[0,1]上二阶可导

又F(1)f(1)0,F(0)0,1(0,1),使得F(1)0

又F(x)2xf(x)xf(x),F(0)0,(0,1)(0,1),使得F()0

118

2微积分考试题库(附答案)

试卷四解答

一、填空

1、1，一，跳跃； 2、二、选择

1、B； 2、A； 3、B； 4、A； 5、A 三、计算题

（1） 解：

1cost2tsint4 3、13、13； 4、xlnx; 5、（2、2e-2）,(2,+)

/40/4xsinx2dxxtanxsecxdx 30cosx=

/40xtanxdtanx1/42xdtanx 02=

/41/421xtan2xtanxdx

0220=

8/41/412(secx1)dxtanx 0028281 2=

4(2)解：y'2x4,y'(0)4,y'(3)2

两切线方程分别为：y34x,y2(x3)，交点为(,3)

32032面积A[(4x3)(x24x3)]dx[(2x6)(x24x3)]dx9/4

3/23dyf'(t)tf''(t)f'(t)d2ydx1t,21/（3）解：

dtf''(t)dxf''(t)dx 119

微积分考试题库(附答案)

（4）解：定义域为(,0)(0,)

令y'180驻点x2,不可导点x0, 3xy''240 4x∴单调增区间为(,0),(2,)，单调减区间为（0，2），极小值为f(2)3，

下凸区间为(,0),(0,)，无拐点。

dxd(1ex)xln(1e)c （5）xx1e1e（6）e2x1dx2x1tttttttedtteedtteec  =（2x11）e2x1c

（7）解：∵n(A,B,3),s(2;3;2),与L垂直

∴n与s平行，即

AB39A3,B 2322（8）解：（i）要使f(x)在x=2处极限存在,则Limf(x)Limf(x),即2a41

x20x203a

2(ii)要使f(x)在x=2处连续，则Limf(x)f(2)，k1

x21ln(1x)sinx2113f(x)Lim （9）解：Limf(x)Lim,Lim2x0x0x0x033xx3

120

微积分考试题库(附答案)

1Limf(x) x03四、证：要证f(x)kg(x),只要证f(x)f(x)k,即[]0 g(x)g(x)作F(x)

f(x)f'(x)g(x)g'(x)f(x),则F'(x)0F(x)k(常数) g(x)g2(x)试卷五解答

一、填空

1、0 ； 2、xcosxsinxc; 3、双曲线，母线平行于z轴的双曲柱面； 4、1； 5、y83(x5)

二、选择

1、B； 2、A ； 3、B ； 4、D ； 5、D 三、计算题

1、求下列极限

32332e3/2 （1）解：Lim(1)Lim(1)xxxx（2）解：Lim(1x)tan2xLimsinx1x1xx3x21xcos2Limsinxx1x2Limx11xcos2

x=1Limx112sinx22

2、求下列导数或微分 （1）解：y'1xx112(12x2x1xx122)

1x12∴dyxx12(1)dxdx

（2）解：方程两边对x求导：

ey22ydycosx20 dx121

微积分考试题库(附答案)

dycosx2ey∴ dx2y3、计算下列积分 （1）解：

2e2dxx1lnxdx1x1e2d(1lnx)1lnx121lnxe21232

（2）解：

11xt2t1dt2dt2dt 1t1t=2t2ln1tc21x2ln11xc

(e)1，f(00)Lim4、解：f(00)Limxsinx0x0x1 x当0时,f(00)0,要使f(x)在x0连续,则10,1 当0时,f(00)不存在,f(x)在x0不连续

当0,1时,f(x)在x0处连续.

5、解：s =四、证明题

21[x'(t)]2[y'(t)]2dt=1dtln t2x/21(cost2sint2)()dt tt/211、证：令f(x)e(1x)1cosx,f(0)0

f'(x)ex1sinx,f'(0)0,f''(x)excosx0(x0)  f'(x)单调增,故当x0时,f'(x)f'(0)0



f(x)单调增,故f(x)f(0)0,x0

2、证：设(x)xf(x)，则(x)C[0,1],(x)D(0,1)

且(0)(1)0,由罗尔定理得:()0,(0,1) 即：f()f()0f()

122

f()

微积分考试题库(附答案)

试卷六解答

一、填空

1、2 2、2ac 3、

cosx2 4、F(x)c 5、0，A

1sinx22二、选择

1、C 2、C 3、B 4、D 5、A 三、计算题 1、 求下列极限

2xx12x22x2)(1) 解：原极限=lim(12x2xx122x1122xx2e1

(2) 解：令arctanxt，则当x1时，t原极限=limt4

44t4lim2 2tant1tsect42、 求下列导数或微分

x2sinxcosxsin2x（1）解：当x0时，f(x) 2xsin2xf(x)f(0)limx1 当x0时，f(0)limx0x0xx所以f(x)xsinx(2xcosxsinx),x0

1,x02exsin(x（2）解：ye(sinxcosx)4)

y2ex[sin(x4)cos(x

)](2)2exsin(x2)

44

y(n)(2)nexsin(xn) 4x2txt（3）解：f(t)limttlim1xxxtxtxt2t2xxtte2t，故

123

微积分考试题库(附答案)

f(t)te(12t)e2t2t

11y1212ax（4）解：方程两端对x求导数：xyy0，故 y 22xx（5）解：dyd(3、 求下列积分

xx12)x1dxxdx12x122x1dxx2d(x21)dx2x21 223/2x1(x1)1d(2x)1ln(12x)c （1）解：原积分=xln212ln2（2）解：原积分=

dxdcotx1sin2x(3csc2x1)13csc2x3dcotx(23)2cot2x

=33arctancotxc 62（3）解：原积分=

xdx0121x21x4217xdx

204143（4）解：原积分=xsin(lnx)e1e1xdsin(lnx)esin1cos(lnx)dx

1e =esin1xcos(lnx)e1e1xdcos(lnx)esin1ecos11sin(lnx)dx

1e =

esin1ecos11

2224、 解：设点M的坐标为(,1)，则过该点的切线方程为y2x1，在两坐标

轴上的截距分别为a11(),b21，所围成的面积为 2A11112ab(x21)dx(22)

0243 124

微积分考试题库(附答案)

dA11111dA1(3222)(3)()，令0，得唯一的驻点，又 d44d3d2A12d2A11当时，，故当时，A取极小值，也是最小值。 (6),02324dd33所以所求M点的坐标为(12,) 332(ab)aa(ab)四、证明：pa[b2]ababaab0 2(a)ap与a垂直

试卷7解答

一、填空

1、n! 2、x1 3、2x2y3z0 4、xc 5、1/2，2/2 二、选择

1、B 2、D 3、B 4、A 5、B 三、计算题

1、 求下列极限

（1）解：lim(x1)(x21)(xn1)[(nx)n1]n12x=

1nn(n1)2

（2）解：lim(sinx)x/2tanx=lim(1cotx)x/22tanx2lim(1cot2x)x/2cotxcotx221e01

2、 求下列导数或微分

a2x2x（1） 解：y y2xa22a2x2 22223/2ax(ax)32a(a2x2)5/2(2x)3a2x(a2x2)5/2 2（2） 解：dy33t23d2y33 (1t),2/(22t)dx22t224(1t)dx125

微积分考试题库(附答案)

（3） 解：两边对x求导：2yy2/y4x

32yx31 y 2y（4） 解：两边取对数：lny2lnxln(1x) 1[ln(3x)2ln(3x)] 2y21112[] yx1x23x3xx23x21112 y{[]} 21x(3x)x1x23x3x3、 求下列积分

t8(t41)(t41)1dtdt （1） 解：设x1/t，则原积分=221t1t

111(1t2t4t6)dtarctantctt3t5t7arctantc

35711111357arctanc x3xx5x7x2t2arctantarctantdt2arctantdt2（2） 解：设xt，则原积分=1t2dt 1t22tarctant2t22dt2arctantdarctant2tarctantln(1t)(arctant)c21t

2xarctanxln(1x)(arctanx)2c

（3）解：x21x2是偶函数，x31x2是奇函数

 原积分=2x0121x2dx

令xsint，则原积分=2/20sin2tcos2tdt2/20(sin2tsin4t)dt

=2(131) 224228（4）解：原积分=

0xxxx(sincos)2dxsincosdx

02222126

微积分考试题库(附答案)

xxxx(cossin)dx(sincos)dx 0/22222xx/2xx =2[sincos]02[sincos]/24(21)

2222x4、 解：设长方形小屋长为x，则宽为(20x)/210，小屋面积为

2x sx(10),0x20

2 =

/2d2sds 由10x0，得x10为唯一的驻点；又210，故x10为极

dxdx大值点，即最大值点。当长为10M，宽为5M时，小屋面积最大

四、证：左端=2n =2

试卷八解答

一、填空

1、(1x)2 2、f(x0) 3、（1,1,-3） 4、2 5、ln(1x) 二、选择：

1、C 2、A 3、C 4、D 5、D 三、计算题：

Lim4sin23x)ex01、(1)解：Lim(5x0cosx1ln(54/cosx)sin3x20/20(sin2x)ndx2(n1)sinntdt2(n1)0nnt2xtu2/2/2cosnudu

n/2cosudu2/20cosnxdx=右端

12=eLimln(54/cosx)9x2x0

=eLimx0(4secxtanx)/(54secx)18x=e29

(2)解：LimxsinxcosxLim1

xx1a2、（1）解：y'aaxa1axa1axlnaaxaaln2a

xax（2）解：yf(e)e

xy(ex)f(ex)exf(ex)ex=exf(ex)e2xf(ex)

127

微积分考试题库(附答案)

1uv2vduudvvduudvd()2 (3)解：dy 22222vuvuvuv12v3、（1）解：设e2x1t，则

e2x1t21dxdtdtdttarctantc 221t1t=e2x1arctane2x1c （2）解：e =e1sin2xsin2xdxe1sinx2sinxcosxdx

221sin2xd(sin2x)e1sinxc

（3）解：令xtan,则dxsec32d;当x1,3时,/3,

43x1dx2sec222d(sin)dsin23 2231x/4tansec/4/311221cos2x（4）解：(xsinx)dxxdxx2dxx2cos2xdx

2202000x312312xdsin2x[xsin2x2xsin2xdx] =

0060401313xdcos2xcos2xd2x =

8004、解：由f(x)二阶可导知f(x),f'(x)连续，又由Lim3f(x)0知Limf(x)0，即

x0x0xf(x)1/xf(x)f(0)0.又因为Limf(x)f(0)Lim0，记y[1]，由罗

x0x0xx必达法则

1f(x)xf'(x)f(x)xf(x)f''(0)LimlnyLimln[1]LimLim2 x0x0xx0x0xx(f(x)x)2xxf(x)f(x)2f'(0)所以原式=e 四、证明题

128

2微积分考试题库(附答案)

exexx21,知F(0)0 1、 证：令F(x)221exex2x,F(0)0；F(x)(exex)20,x0 F(x)22 故F(x)单调增加

（1）当x0时，F(x)F(0)0，从而F(x)单调增加，又F(0)0，故

F(x)F(0)0

(2)当x0时，F(x)F(0)0，从而F(x)单调减少，又F(0)0，故

F(x)F(0)0

∴当x0时,F(x)0，即得证.

xb2、证：令F(x)abf(t)dtxdt,则F(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导. f(t)bdt0,F(b)f(x)dx0 ∵F(a)f(t)aab∴至少存在一点(a,b),使F()0,即f(x)dxadx

f(x)设还有一点(a,b),使F()0,由罗尔定理知,在与之间存在一点,

使F()f()

110，但f()0,矛盾! f()f()试卷九解答

一、填空

3531、e3 2、 3、yex 4、( e2,e2) 5、0

2633二、选择

1、A 2、C 3、D 4、D 5、B

129

微积分考试题库(附答案)

三、计算题 1、 求极限

excosxexsinx（1） 解：原式=LimLimLim1

2x0x0x0x1x/1xx2Lim2 （2） 解：原式=Limx01x012xsinxx222、求下列导数或微分

excosxx2dx2tdyt2dyt,, （1）解：

dt1t2dt1t2dx2

d2yddydx1dx1t2()//4tdx2dtdxdt2dt

（2）解：dy=

2x311dx()dx

x1x2x23x21(2000)1(2000)y(2000)=( )()x1x2=1999![(x1)2000(x2)2000]

(3)解：y=(e(4)解：yetanxlnx)etanxlnx(tanxlnx)=xtanx(sec2xlnxtanx) x

xyxexy(yxy)

x0当x0时，y1，y3、求下列积分

/41

（1）解：令xsin，则原式=

01sind22/40(1cos2)d81 4(2)解：当a1 时，原式

lnx12dxlnxc x2xa1xa1xalnxdx 当a1时，原式=lnxda1a1a1xa1xa1=lnxc 2a1(a1)

130

微积分考试题库(附答案)

(3)解：原式=

1x1x2xdx12xdx111xdxdx 22x=x111xxdx 22x对于

1x1xdx,作代换t,则: xx1x1t1t1t1dxtd222dt2lnc xt1t1t1t12t1111xx(1x)ln22421010原式=xx1xx1xc

（4）解：原式=xln(x1x)=ln(21)-

xdln(x1x2)

21xx1xx1x221

a0(12x21x2)dx

12x2110 2=ln(21)-

10dxln(21)=ln(21)x4、解：g(x)xa(xt)f(t)dt(tx)f(t)dt

xxaa=xaf(t)dttf(t)dttf(t)dtxf(t)dt

axxxag(x)af(t)dtf(t)dt,g(x)2f(x)0

xg(x)单调增加。

四、证明题：

1、（1）∵f(x)在xc处取极值，∴f(c)0

131

微积分考试题库(附答案)

1ec0,故f(c)为极小值 又f(c)c(2) f(x)f(0)f(0)xf()2f()2xx,(0x) 221ex1exe22x3[f(x)]x1x， 又 f(x),在x ＞0时有e1xxx2故f(x)1,而

1ex1Limf(x)Lim3[f'(x)]21,即当x0时,f()1,f(x)x2,x0x02x且k=1/2为所求最小常数.

2、 设(x)f(x)e，x1,x2为f(x)的两个零点，亦为(x)的零点。又f(x)可导，故

x(x)可导。由罗尔定理，(x1,x2)或(x2,x1)，使得()0，即

[f()f()]e0f()f()0

试卷十解答

一、填空

1.

ycos(xy)1x2yz1； 3.y； F(axb)C； 2.excos(xy)a7284.(,2)U[3,] 5.

xaf(t)dt

二、选择

1.(B) 2.(D) 3.(D) 4.(D) 5.(C) 三、计算题

(1x)(1x)(1x2)(1x2n)1．（1）解：原极限=lim

n1x(1x2)(1x2)(1x2n) =lim

n1x1x21 =lim （x<1）

n1x1xn1 132

微积分考试题库(附答案)

x2(1xsinxcosx) （2）解：原式=lim

x01xsinxcosxx2 =2lim

x01xsinxcosx24

x03cosxxsinx316x2．（1）ycos[ln(13x2)]6xcos[ln(13x2)] 2213x13x =2lim22x323xln(2x1) （2）y3xln(2x1)x 2x12x123112222ln(1x)dln(1x)ln(1x)C 2412x22dx （2）解：原积分=2 dx22x2x5x2x53．（1）解：原积分= =

1dxlnx22x52 2(x1)241x1lnx22x5arctanC 22/31tant（3）解：原积分xasect secttantdt

0a2sec4t1/311/3 =2 sin2tcostdt2sin3t00aa3 = =

3 8a2（4）解：被积函数为奇函数，积分区间为对称区间，故积分=0 4．解：对

f(x)0g(t)dtx2ex两边求导得：

x2x g[f(x)]f(x)2xexe …（1）

∵g(x)是f(x)的反函数 ∴g[f(x)]x

xx故（1）式为：f(x)2exe

∴f(x)2exeecxeec

xxxxx 133

微积分考试题库(附答案)

又f(0)0 ∴c1，故f(x)xee1 5．解：设f(x)lnxax，由f(x)xx111a0，得x，且在(0,)内f(x)0，xaa1f(x)严格单调增；在(,)内f(x)0，f(x)严格单调减，故

a1f()ln(ae)是f(x)的最大值，因此： a11）若lnae<0，即a时，f(x)0无实根；

e12）若lnae=0，即a时，f(x)0恰有一实根；

e13）若lnae>0，即0a时，由于limf(x),limf(x)，由f(x)x0xe的单调性及零点定理知，方程f(x)=0恰有两个实根。

四、证明题

1321．证：∵(ab)c2340

312 ∴a,b,c共面。

2．证：设F(x)f(x)x，则F(x)C[0,1]

∵0试卷十一解答

一、填空

1．arcsin618dx 4. p1 5. 2xC 2. 同阶 3. 2(xy)21二、选择

1.(A) 2.(B) 3.(C) 4.(C) 5.(D) 三、计算题

134

微积分考试题库(附答案)

a11x1．（1）原极限=xlimx(xa1)xlim1

x1 令axy，则x时，

11lnx0,y1,yxlna 原极限=limy1(y1lnylimy1)lnay1ln[1(y1)]lna lna11（2）原极限=limxx[(2x1)ex1]lim2x[(x1)ex1]1

xt1/x lim(2t1)et1tlimt0(2t3)ett03 2．（1）两边取对数，得：

lnyxlnaba(lnblnx)b(lnxlna)  yaabylnbxx

∴y(axbaxbabb)(x)(a)(lnabx)

（2）两边微分，得

2ydy232x3yydy4xdxdy1y2dx

（3）f(x)在x0处可导f(x)在x0处连续

xlim0f(x)xlim0(exb)1b,xlim0f(x)xlim0sinax0f(0)1b ∴ 1b0，即b1 又 fexb(1b)(0)xlim0xxlimex10x1 f(0)sinax(1b)xlim0xxlimsinax0xa 135

微积分考试题库(附答案)

∴ 当a1,b1时，f(x)在x0处可导，且f(0)1 3．（1）原式=

cosxdxdsinxdlnsinxsinxlnsinxsinxlnsinxlnsinxlnlnsinxC

t2122tdt2(t2t)dtt3t2C （2）原式1xt 1t3 =

2(1x)3xC 3221（3）原式=x5xxd5xx112222x25x22dx22x25xdx

21dx

=25x25x21dx25dx5x2121215xdx515x252dx5xarcsin =215x225（4）原式=2 =2521(arcsinarcsin) 255/20(2cos2)2d2/20(1cos2)2d

/20/20(12cos2cos22)d2/20cos2/20(1cos4)d

=2sin221/23cos4d4 o424．解：x10,x21是y111x的间断点

∵lim111x111xx00 ∴x10是y的可去间断点。

∵limx1 ∴x21是y的无穷间断点。

5．解: A10(axb)dxab,即a2A2b 2 136

微积分考试题库(附答案)

a2abb2) V=(axb)dx(0312 (4221AAbb2) 33322令Vb(Ab)0,则bA,a2b2b0

33∴当bA,a0时，体积最小

四、证明题

1．证：F(x)f(x)(xa)[f(x)f(a)]1f(x)f(a)[f(x)]

xaxa(xa)2由拉格朗日中值定理：(a,x)使∴F(x)f(x)f(a)f()

xa1[f(x)f()] xa又由f(x)0,知f(x)在(a,)单调增加，于是f(x)f()， 从而F(x)0 ∴F(x)在(a,)内单调增加。

2．证：令tf1(x)，则xf(t)

 =

1f1(x)dxxf1(x)xdf1(x)=xf(x)f(t)dt

xf1(x)F(t)C =xf1(x)F(f1(x))C

试卷十二解答

一、填空

1.(xyz3)16(xz) 2. (-2,2) 3. q<1 4.F(5. 0 二、选择

1.(A) 2.(A) 3.(C) 4.(D) 5.(B) 三、计算题

1．（1）解：xn0, x2x1=1/2>0，因此x2x1 设xnxn1，则xn1xn1

222222xb)C axnxxnxn1(1n1)=0 1xn1xn1(1xn)(1xn1)137

微积分考试题库(附答案)

xn单调增加，且xn1xn1122,故limxn存在

n1xn11xn1设limxna，则: a1na 1a解得 a1515. 因为a非负， ∴limxn

n22（2）设f(x)arctanx，在[11,]上应用拉格朗日中值定理得：n1n11arctanarctan11nn11，（） 211n1n1nn111

012显然，当n时，0，于是原极限=lim2．（1）解：∵limf(ax)f(a)(axa)(ax)(aa)(a) limx0x0xxx(ax)=limlim(ax)(a) x0x0x ∴f(a)(a)

（2）解：两边取对数：lnylnxxx2lnx

两边对x求导：∴yxx22yy2xlnx12xx(12lnx) x1(2lnx1)

2（3）y2f(x)f(x)f(x)2x

y2[f(x)]2f(x)f(x)2f(x)4xf(x) （4）dcos(xy)d(xy)sin(xy)d(xy)ydxxdy

sin(xy)(xdyydx)2xydx2xydy dy222222222222ydx x 138

微积分考试题库(附答案)

arctant11 dtarctantdttt11111t =arctantdtarctant(t1t2)dt tt1t2t112 =arctantlntln(1t)C

t21xx2x =xearctaneln(1e)C

23．（1）设et，则原积分=

x1x2ex2xexx2exdx （2）原积分=xedx2x2x22xx2exx2exxxedxxexexC =x2x2（3）x1为瑕点，原积分=lim01011d(1x2) lim()022021x1xxdx10 =（4）原式=2 =21lim2(1x2)1/220/201

10x21x2dx xsint 2sin2tcos2tdt

/20131(sin2tsin4t)dt2()

2242282x22) 4．解：设(x,y)为x4y上任一点,udx(by)x(b42222dux2d2u3x(2b),22bx2 则 dx4dx4令

du0x10,x22b2 dx对应得 y10,y2b2

考虑点P1(0,0),P2(2b2,b2),P3(2b2,b2)

x4（1）若b=2，则u4。显然，当且仅当x=0时取最小值，故这时由点(0,b) 即16(0,2)到x4y上的点的最短距离为2；

2 139

微积分考试题库(附答案)

d2u（2）若b>2，由于

dx2d2up12b0,dx2p2,p32(b2)0,故此时u在

x2b2处取最小值，且最短距离为2b1。

d2u（3）若0b2，由于2dxd2up12b0,dx2p2,p32(b2)0,故此时u在x0处取最小值，且最短距离为b

四、证明题

f(x)01．证：G(x)xa(xa)2f(t)dtxx(xa)f(x)(xa)xa2f(t)dt

设F(x)(xa)f(x)af(t)dt，则

F(x)f(x)(xa)f(x)f(x)(xa)f(x)0

 

F(x)单调增加，F(x)F(a)0,(xa) G(x)0,即G(x)在(a,b)内非负。

x1x22．证：设F(x)f(x)g(x)arcsinxarctan,x1

1∵F(x)22x1x11x2∴F(x)c (x<1)

11x2x1x2x1x2=

11x211x20

取x=0，则F(0)0c ∴ F(x)f(x)g(x)0 故 arcsinxarctan

试卷十三解答

一、填空

x1x2,x1

140

微积分考试题库(附答案)

1．xy2y0,222x2y2y0z022 2.

2n12nx n213．2ax0 4.x1,x3 5.F()F(lnx)C 二、选择

1．（A） 2.(D) 3.(C) 4.(B) 5.(A) 三、计算题

1xn20,sinn!1 1．（1）∵limnn13 ∴原极限=0 （2）原极限=e'1limln(1tanx)x0xetanxx0xlime1e

2．（1）∵y(1)lim ∴y(1)1

1xlnx1'1,y(1)limlim1

x10x1x10x1x10x （2）两边取对数：(x1)ln2y(y1)ln 求导：ln2yx 2x1xy1yyln y2x得：yxyln2yy(y1)

xxylnx(x1)2x1又x=1时y=1， ∴dyyx1dxdx

1ax1()2a（3）ya2x22x2a2x2xa22a2x2

y2(2x)2axx1222xax22

（4）f(1)limf(x)f(1)f(u1)f(1) ux1 lim

u0x1u 141

微积分考试题库(附答案)

af(u)af(0)f(u)f(0)alimaf(0)ab

u0u0uu113．（1）原积分=dxln(1x)d

xx=lim =lnx1dxln(1x)() xx(1x)111ln(1x)()dx xx1x1 =lnxln(1x)lnxln(1x)C

x1 =(1)ln(1x)C

xxxcos4dsin122 （2）原积分=xdxxxxx48sin3cos3sin322211x1dx2x =xdsin xsin2828282xsin211x2x =xcsccotC 8242 =lnx （3）原积分=

e1e1x2121e(lnx)dx(lnx)21x22lnxdx

1222x2 =

ee1121111eelnxdx2e2x2lnx1x2dx

1122222x =

121212e12eex1(e1) 2244 （4）当x2时,x0f(t)dt0x0f(t)dt[2xf(t)dt0/2f(t)dt]

=[当x当x/2xodtx0/2sintdt]1

22时,0x0f(t)dtf(t)dt0sintdt1cosx sintdtx时,x/2/2odt1

142

微积分考试题库(附答案)

∴

x01,f(t)dt1cosx,x/2

x/24．设线段端点为A(x1,y1)，B(x2,y2)，则中点C(x1x2y1y2,)。依题意 22222求uy1y2的最小值，使满足y1x1,y2x2,AB4

即有(x2x1)(x2x1)(x2x1)[1(x1x2)]4 所以 ux1x2222222221[(x1x2)2(x1x2)2] 22 =[(x1x2)令t(x1x2),则u2124] 21(x1x2)t2(t0) 21tu12(t3)(t1)0，得驻点t=1 2(1t)22(1t)2又ut11/20，故当t=1，即x1x21时，u有极小值，亦为最小值， 此时uy1y2四、证明题

1．设F(x)f(x)/g(x)

∵g(x)≠0，且f(x),g(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导 ∴F(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导 又 F(a)313，离x轴最近线段中点为（,）。 224f(a)g(a)0,F(b)f(b)g(b)0

∴ 由罗尔定理知，在(a,b)内至少存在一点，使F()0 而 F(x)[f(x)g(x)f(x)g(x)]/g(x) ∴ 由F()0得到f()g()f()g() 2．令(x)(x1)lnx(x1),则(1)0

143

222微积分考试题库(附答案)

(x)2xlnxx12,(1)0 x(x)2lnx11,(1)20 2x2(x21) (x)

x3当0又由(1)0，推知当00时，

(x21)lnx(x1)2

试卷十四解答

一、填空

1. 1 2.1-x, x≠0,1 3.-2cosx+

14sin2x 4.(t1)f(0) 5. 23二、选择

1.(B) 2.(B) 3.(C) 4.(D) 5.(C) 三、计算题

11ln(1)ln(1)x00,limx00 1．（1）∵limxarctanxxarctanx22 ∴ 原极限=0

ln[3x(13x)]xln3ln(13x)（2）原极限=lim limxln[2x(12x)]xxln2ln(12x) =limxxln3ln3 xln2ln22．（1）y2ln[3ln(lnx)]2ln32ln[ln(lnx)]

144

微积分考试题库(附答案)

∴y2

xlnxln(lnx)1x11(x1)d(x1)(x1)d(x1) d2x12x1x12(x1)1()1()x1x11 =dx 21x（2）dy（3）方程两边对x求导：ycos(xy)(1y)(1)

 ycos(xy)[1cos(xy)]

(1)式两边再对x求导：ycos(xy)y(1y)[sin(xy)](1y)

(1y)2sin(xy)sin(xy)  y=

1cos(xy)[cos(xy)1]3costsintcostdt

1costsintsintcost =dt

2sintcost11 =tlnsintcostC

221x122 =arcsinlnxaxC

2a23．（1）设x=asint，原积分=（2）原积分=xdf(x)xf(x)由题意得：f(x)(f(x)dx

sinxxcosxsinx )xx22sinx∴原积分=cosxC

x（3）原积分=

/40(cosxsinx)dx/40/2/4(sinxcosx)dx

=(sinxcosx) =2(21) （4）原积分u/2(sinxcosx)/4

2x1

10uueuduudeuueu10edu1

0011 145

微积分考试题库(附答案)

4．解：定义域为(,0)(0,)，令y180驻点为x=2 3x当x(,0)时，y0；当x(0,2)时，y<0；当x(2,)时y0，∴单调增区间为（,0），(2,)，单调减区间为（0,2），x=2为极小值点，极小值为y=3。又y240 ∴y在(,0)(0,)上为凹，无拐点。 4x25．解：（1）设切点B的坐标为(a,a)，则过点B的切线斜率为y方程为ya2a(xa)，和x轴交点为(,0)，由

2xa2a，于是切线

a2Aa0a2aa1x2dx2，得a=1，因此切点坐标为(1,1)。

21212（2）V =四、证明题

1010y2dx1(2x1)2dx

21x4dx112(2x1)2dx30

1．对函数f(x)arctanx在[a,b]上用中值定理：

arctanbarctana1(ba),(ab) 12又

bababa 2221b11a ∴

baba （0又∵(mn)mmf(c)nf(d)(mn)M ∴mmf(c)nf(d)M

mn由介值定理：在[a,b]上必存在一点，使得

146

微积分考试题库(附答案)

mf(c)nf(d)f()

mn即： mf(c)nf(d)(mn)f()

试卷十五解答

一、填空

1．x-y+z=0 2.e2xe2xc 3.log1y21y,(1,1) 4. 曲边梯形面积的代数和 5. (12,)

二、选择

1．（A） 2.(A) 3.(B) 4.(D) 5.(D) 三、计算题

xlimxln(sin111．（1）原极限=excosx)

u1/xlimln(sinucosu)

 eu0u

limcosusinu =

eu0cosusinue

x（2）原极限=lim(e1)2x04x(ex1)

=lim(ex1)1x04xlimx0ex1

=12ex 2 2limx048

2．（1）当x≠0时，f(x)x2tanxsec2xtan2xx2 tan2x 当x=0时，f(0)limf(x)f(0)0x0xlimxx0x1

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微积分考试题库(附答案)

tanx(2xsec2xtanx),x0 2∴ f(x)x1,x0（2）两边取对数：lny1[2ln(x2)ln(1x)ln(12x)] 3y1212[] 两边对x求导：

y3x21x12x1(x2)2212∴ y[]3[]

3(12x)(1x)x21x12x（3）

1dxdtyt0(6t2)t02 dydyeycost0 dtdtt0y1 又当t=0时x=0, y=1 esintdydteycostt0eysint1dydxt0e

∴

e 2211sin2dcos(x2) xx11221 =cos(x)2sindsinsinsin(x2)dx2 xxx111221 =2sincos(x)cosd2xsinsin(x2)dx xxxx111221 =2sincos(x)cos(2)dx2xsinsin(x2)dx xxxx12221=[2sincos(x)2xsinsin(x2)]dx

xxx（4）dycos(x)dsin23．（1）原积分1et

x2t111dt2dt(t(t21)t21t1t1)dt

t11ex1ClnC =lnxt11e1 （2）原积分=xcos(lnx)xd[cos(lnx)]

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微积分考试题库(附答案)

=xcos(lnx)xsin(lnx) =xcos(lnx)sin(lnx)dx

1dx x =xcos(lnx)xsin(lnx)xdsin(lnx) =xcos(lnx)xsin(lnx)cos(lnx)dx =[cos(lnx)sin(lnx)]C （3）被积函数为奇函数，积分区间关于原点对称 ∴原积分=0 （4）原积分=

x202cos2dx2/2010cosxdx2[/20cosxdx/2cosxdx]

=2[sinx2sinx/2]22

1452103232(5x1)4．解：yx3x3，y xx433999x31令y0，得x；当x=0时，y不存在。

5111当x时 ,y0；当x时，y0，故曲线在x左边为凸，在右

555边为凹的，拐点坐标为(,拐点。

四、证明题

1．即证ln(1x)lnx15631)。在x=0附近，都有y0，故（0,0）不是5251 1x令f(t)lnt，在区间[x,1+x]上用中值定理，得：

ln(1x)lnxlnt1xx∴ln(1x)lnxt1,x1x

11 1x2．F(x)

11f(x)xa(xa)2xaf(t)dt

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微积分考试题库(附答案)

11x[f(x)f(t)dt] xaxaa1x由积分中值定理：(a,x),使f()f(t)dt

xaa1∴ F(x)[f(x)f()]

xa =

又在（a,b）上f(x)0，故当x时,f(x)f()，而

10，∴F(x)0 xa 150