2020-2021学年安徽省合肥一中高一上学期期末数学试卷(含解析)

一、单选题（本大题共12小题，共60.0分） 1.

设集合

( )

A.

2.

B.

C.

D.

下列命题中正确的是( )

A. 若𝑝∨𝑞为真命题，则𝑝∧𝑞为真命题

B. 在△𝐴𝐵𝐶中“∠𝐴>∠𝐵”是“𝑠𝑖𝑛𝐴>𝑠𝑖𝑛𝐵”的充分必要条件

C. 命题“若𝑥2−3𝑥+2=0，则𝑥=1或𝑥=2”的逆否命题是“若𝑥≠1或𝑥≠2，则𝑥2−3𝑥+

2≠0”

2

D. 命题𝑝：∃𝑥0≥1，使得𝑥0+𝑥0−1<0，则￢𝑝：∀𝑥<1，使得𝑥2+𝑥−1≥0

3. 命题：

①“𝑎>𝑏”是“𝑎𝑐2>𝑏𝑐2”的充要条件； ②𝑦=2𝑥−2−𝑥是奇函数；

③若“𝑝∨𝑞”为真，则“𝑝∧𝑞”为真； ④若集合𝐴∩𝐵=𝐴，则𝐴⊆𝐵， 其中真命题的个数有( )

A. 1个

4.

B. 2个 C. 3个 D. 4个

0,0<𝑥<1定义“正对数”：ln+𝑥={，现有四个命题：

𝑙𝑛𝑥,𝑥≥1

①若𝑎>0，𝑏>0，则ln+(𝑎𝑏)=𝑏𝑙𝑛+𝑎 ②若𝑎>0，𝑏>0，则ln+(𝑎𝑏)=ln+𝑎+ln+𝑏 ③若𝑎>0，𝑏>0，则ln+(𝑏)≥ln+𝑎−ln+𝑏 ④若𝑎>0，𝑏>0，则ln+(𝑎+𝑏)≤ln+𝑎+ln+𝑏+𝑙𝑛2 其中正确的命题有( )

𝑎

A. ①③④

5.

B. ①②③

𝜋

C. ①②④ D. ②③④

锐角△𝐴𝐵𝐶中，已知𝑎=√3,𝐴=3，则𝑏2+𝑐2+3𝑏𝑐取值范围是( )

A. (5,15] B. (7,15] C. (7,11] D. (11,15]

6.

𝑙𝑜𝑔1𝑥,𝑥>0

已知函数𝑓(𝑥)={3，若0<𝑓(𝑎)<2，则实数𝑎的取值范围是( )

−𝑥

2,𝑥≤0

A. (−1,0)∪(9,1) C. (−1,0]∪(9，1)

7.

函数𝑓(𝑥)=𝑒𝑥+𝑒−𝑥的大致图象是( )

𝑥1

1

B. (−1,0)∪(9,+∞) D. (−∞,−1)∪(9,+∞)

1

1

A.

B.

C.

D.

8. 函数

那么此函数图象与

在区间

轴交点的纵坐标为( )

上单调递减，且函数值从1减小到，

A.

9.

B.

2𝑥+𝑠𝑖𝑛𝑥𝑥2+1

C.

D.

已知函数𝑓(𝑥)=1+，若𝑓(𝑥)的最大值和最小值分别为𝑀和𝑁，则𝑀+𝑁等于( )

A. 2 B. 3 C. 4 D. 5

3

10. 在△𝐴𝐵𝐶中，𝑎，𝑏，𝑐分别为内角𝐴，𝐵，𝐶的对边，若√3sin(𝐴+𝐵)=𝑠𝑖𝑛𝐴+𝑠𝑖𝑛𝐵，𝑐𝑜𝑠𝐶=5，且𝑆△𝐴𝐵𝐶=4，则𝑐=( )

6 A. 4√3

B. 4

6 C. 2√3

D. 5

𝑥2−𝑥+3,𝑥≤1𝑥

11. 已知函数𝑓(𝑥)={，设𝑎∈𝑅，若关于𝑥的不等式𝑓(𝑥)≥|3+𝑎|在𝑅上恒成立，2

𝑥+,𝑥>1

𝑥

则𝑎的最大值是( )

A. 2√3

B. 16

39

C. 9 23

3 D. 4√3

2𝑥+2

12. 定义在𝑅上的函数𝑓(𝑥)满足𝑓(𝑥)={

4−2−𝑥

𝑔(𝑥)=𝑓(𝑥)−

3𝑥−5𝑥−2

,0≤𝑥<1

，且𝑓(𝑥−1)=𝑓(𝑥+1)，则函数

,−1≤𝑥<0

在区间[−1,5]上的所有零点之和为( )

A. 4 B. 5 C. 7 D. 8

二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）

13. 一个扇形的中心角为2弧度，半径为1，则其面积为______ ． 14. 已知𝑔(𝑥)=1−2𝑥，𝑓[𝑔(𝑥)]=

1+𝑥2𝑥2𝑥

(𝑥≠0)，则𝑓(2)= ______ ．

1

15. 已知函数𝑓(𝑥)=𝑥2−9，𝑔(𝑥)=𝑥−3，那么𝑓(𝑥)⋅𝑔(𝑥)= ______ ．

16. 已知函数𝑦=𝑘𝑐𝑜𝑠(𝑘𝑥)在区间(4,3)单调递减，则实数𝑘的取值范围为______． 三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）

17. 已知全集𝑈={𝑥∈𝑁|0<𝑥≤6}，集合𝐴={𝑥∈𝑁|1<𝑥<5}，集合𝐵={𝑥∈𝑁|2<𝑥<6}求 (1)𝐴∩𝐵 (2)(∁𝑈𝐴)∪𝐵

(3)(∁𝑈𝐴)∩(∁𝑈𝐵)

18. 已知△𝐴𝐵𝐶的面积为4√2，𝐴=𝐶，𝑐𝑜𝑠𝐵=−9，求： (1)𝑎和𝑏的值； (2)sin(𝐴−𝐵)的值．

19. 已知函数𝑓(𝑥)=|𝑥+𝑚|−2|𝑥−1|(𝑚>0)，不等式𝑓(𝑥)≤1的解集为{𝑥|𝑥≤3或𝑥≥3}． (1)求实数𝑚的值；

(2)若不等式𝑓(𝑥)≤𝑎𝑥+3𝑎对任意的𝑥∈𝑅恒成立，求实数𝑎的取值范围．

20. (选修4−4：坐标系与参数方程) 在平面直角坐标系𝑥𝑜𝑦中，过椭圆

𝑥2

1

7

𝜋𝜋

+12

𝑦24

𝑦轴的两条垂线，=1在第一象限内的一点𝑃(𝑥,𝑦)分别作𝑥轴、

垂足分别为𝑀，𝑁，求矩形𝑃𝑀𝑂𝑁周长最大值时点𝑃的坐标．

21. 已知函数

；

(Ⅰ)若，且在上的最大值为，求

(Ⅱ)若，函数在上不单调，且它的图象与轴相切，求

的最小值．

22. 设0≤𝛼≤𝜋，不等式8𝑥2−(8𝑠𝑖𝑛𝛼)𝑥+𝑐𝑜𝑠2𝛼≥0对任意𝑥∈𝑅恒成立，求𝛼的取值范围．

参及解析

1.答案：𝐵

解析：试题分析：由题意可知，考点：本小题主要考查集合的运算． 点评：由题意得出

是解题的关键，还要注意到

． ，所以

．

2.答案：𝐵

解析：解：对于𝐴：若𝑝∨𝑞为真命题，则①𝑝真𝑞真，②𝑝假𝑞真，③𝑝真𝑞假，当𝑝真𝑞真时则𝑝∧𝑞为真命题，故A错误；

对于𝐵：在△𝐴𝐵𝐶中“∠𝐴>∠𝐵”⇔“2𝑅𝑠𝑖𝑛𝐴>2𝑅𝑠𝑖𝑛𝐵”⇔“𝑎>𝑏”⇔“∠𝐴>∠𝐵“， 所以在△𝐴𝐵𝐶中“∠𝐴>∠𝐵”是“𝑠𝑖𝑛𝐴>𝑠𝑖𝑛𝐵”的充分必要条件，故B正确；

对于𝐶：命题“若𝑥2−3𝑥+2=0，则𝑥=1或𝑥=2”的逆否命题是“若𝑥≠1且𝑥≠2，则𝑥2−3𝑥+2≠0”故C错误；

2

对于𝐷：命题𝑝：∃𝑥0≥1，使得𝑥0+𝑥0−1<0，则￢𝑝：∀𝑥≥1，使得𝑥2+𝑥−1≥0，故D错误．

故选：𝐵．

直接利用真值表，正弦定理，命题的否定，四种命题的关系判断𝐴、𝐵、𝐶、𝐷的结论．

本题考查的知识要点：真值表，正弦定理，命题的否定，四种命题的关系，主要考查学生对基础知识的理解，属于基础题．

3.答案：𝐵

解析：解：反之不成立，例如𝑐=0，因此“𝑎>𝑏”是“𝑎𝑐2>𝑏𝑐2”①由“𝑎𝑐2>𝑏𝑐2”⇒“𝑎>𝑏”，的必要不充分条件，是假命题；

②∵𝑓(−𝑥)=2−𝑥−2𝑥=−𝑓(𝑥)，是奇函数，是真命题； ③若“𝑝∨𝑞”为真，则“𝑝∧𝑞”不一定为真，是假命题； ④若集合𝐴∩𝐵=𝐴，则𝐴⊆𝐵，是真命题． 其中真命题的个数有2． 故选：𝐵．

①由“𝑎𝑐2>𝑏𝑐2”⇒“𝑎>𝑏”，反之不成立，例如𝑐=0，即可判断出真假； ②利用函数的奇偶性即可判断出是否是奇函数，即可判断出真假； ③利用复合命题真假的判定方法即可判断出真假；

④利用集合运算的性质即可判断出真假．

本题考查了简易逻辑的判定方法、函数的奇偶性、集合的性质、不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

4.答案：𝐴

0,0<𝑥<1

解析：解：∵定义“正对数”：ln+𝑥={，

𝑙𝑛𝑥,𝑥≥1

①当0<𝑎<1，𝑏>0时，0=0𝑏<𝑎𝑏<1𝑏=1，左=右=0；

当𝑎>1，𝑏>0时，𝑎𝑏>1，左端ln+(𝑎𝑏)=𝑙𝑛𝑎𝑏=𝑏𝑙𝑛𝑎=右端，故①真；

ln+(3×2)=0≠𝑙𝑛2=ln+3+𝑏>0时，𝑎𝑏∈(0,1)，也可能𝑎𝑏∈(1,+∞)，举例如下：②若0<𝑎<1，ln+2，故②错误；

③若0<𝑎<𝑏<1，0<𝑏<1，左端=0，右端=0，左端≥右端，成立；

当0<𝑎<1≤𝑏，0<𝑏<1，ln+𝑏=𝑙𝑛𝑏≥0，左端=0，右端=0−𝑙𝑛𝑏≤0，左端≥右端，成立； 当1≤𝑎<𝑏时，ln+(𝑏)=0，ln+𝑎=𝑙𝑛𝑎，ln+𝑏=𝑙𝑛𝑏，左端=0≥𝑙𝑛𝑎−𝑙𝑛𝑏=右端，成立； 同理可知，当0<𝑏<𝑎<1，0<𝑏<1≤𝑎，1≤𝑏<𝑎时，总有左端≥右端； 当0<𝑎=𝑏时，左端=右端，不等式也成立； 综上，③真；

④若0<𝑎+𝑏<1，𝑏>0时，左=0，右端≥0，显然成立； 若𝑎+𝑏>1，则ln+(𝑎+𝑏)≤ln+𝑎+ln+𝑏+𝑙𝑛2⇔ln+综上所述，正确的命题有①③④． 故选：𝐴．

根据“正对数”概念，对①②③④逐个分析判断即可．

本题考查命题的真假判断与应用，着重考查对数函数的性质，考查新定义的理解与应用，突出考查分类讨论思想与综合运算、逻辑思维及分析能力，属于难题．

𝑎+𝑏2

𝑎𝑎

𝑎

1

1

≤ln+𝑎+ln+𝑏，成立，故④真；

5.答案：𝐷

解析：

本题综合考查了正余弦定理及两角和与差的三角函数公式，属于拔高题．

由正弦定理可得，sin𝐴=sin𝐵=sin𝐶=

𝑎𝑏𝑐√3√32

=2，可先表示𝑏，𝑐，然后由△𝐴𝐵𝐶为锐角三角形及

可求𝐵的范围，再把𝑏𝑐用𝑠𝑖𝑛𝐵，𝑐𝑜𝑠𝐵表示，利用三角恒等变形公式进行化简后，结合正

弦函数的性质可求𝑏𝑐的范围，由余弦定理可得𝑏2+𝑐2+3𝑏𝑐=4𝑏𝑐+3，从而可求范围． 解：由正弦定理可得，sin𝐴=sin𝐵=sin𝐶=∴𝑏=2𝑠𝑖𝑛𝐵，𝑐=2𝑠𝑖𝑛𝐶， ∵△𝐴𝐵𝐶为锐角三角形，

，，

且

，

𝑎

𝑏

𝑐

√3√32

=2，

=4𝑠𝑖𝑛𝐵(

1√3

𝑐𝑜𝑠𝐵+𝑠𝑖𝑛𝐵) 22

=2√3𝑠𝑖𝑛𝐵𝑐𝑜𝑠𝐵+2𝑠𝑖𝑛2𝐵

，

，

， ，

，

即2<𝑏𝑐≤3， ∵𝑎=√3,𝐴=，

3

由余弦定理可得：3=𝑏2+𝑐2−𝑏𝑐，可得：𝑏2+𝑐2=𝑏𝑐+3， ∴𝑏2+𝑐2+3𝑏𝑐=4𝑏𝑐+3∈(11,15]． 故选：𝐷．

𝜋

6.答案：𝐶

解析：解：当𝑎≤0时，0<2−𝑎<2，解得，−𝑎<1；即𝑎>−1，可得−1<𝑎≤0 𝑎<2，解得，1<𝑎<1． 当𝑎>0时，0<𝑙𝑜𝑔1

93

∴𝑎∈(−1,0]∪(9，1)， 故选：𝐶．

将变量𝑎按分段函数的范围分成两种情形，在此条件下分别进行求解，最后将满足的条件进行合并． 本题考查了分段函数已知函数值求自变量的范围问题，以及指数不等式与对数不等式的解法，属于常规题．

1

7.答案：𝐶

解析：解：∵函数𝑓(𝑥)=𝑒𝑥+𝑒−𝑥，∴𝑓(−𝑥)=𝑒−𝑥+𝑒𝑥=−𝑒𝑥+𝑒−𝑥=−𝑓(𝑥)， ∴𝑓(𝑥)是奇函数，故A错误；

∵𝑥<0时，𝑓(𝑥)=𝑒𝑥+𝑒−𝑥<0，𝑥>0时，𝑓(𝑥)=𝑒𝑥+𝑒−𝑥>0，故B错误； 当𝑥>0时，𝑓(𝑥)=𝑒𝑥+𝑒−𝑥，

由𝑓(0)=0，𝑓(1)=𝑒+1=𝑒2+1，𝑓(2)=𝑒2+1=𝑒4+1，𝑓(3)=𝑒3+1=𝑒6+1，

𝑒

𝑒2

𝑒3

𝑥−𝑥𝑥

𝑥𝑥

𝑥

1𝑒2

2𝑒2

3

3𝑒3

得：当𝑥>0时，𝑓(𝑥)=𝑒𝑥+𝑒−𝑥，先增后减，故D错误． 由排除法得C正确． 故选：𝐶．

𝑓(𝑥)=𝑥−𝑥<0，𝑓(𝑥)=𝑥−𝑥>0，𝑥<0时，𝑥>0时，𝑓(𝑥)=推导出𝑓(𝑥)是奇函数，当𝑥>0时，𝑒+𝑒𝑒+𝑒

𝑥𝑒𝑥+𝑒−𝑥

𝑥

𝑥

𝑥

先增后减，由此利用排除法能求出结果．

本题考查命题真假的判断，考查函数的图象及性质等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、函数与方程思想，是基础题．

8.答案：𝐴

解析：试题分析：依题意，利用正弦函数的单调性可求得𝑦=sin(𝜔𝑥+𝜑)的解析式，从而可求得此函数图象与𝑦轴交点的纵坐标．解：∵函数𝑦=sin(𝜔𝑥+𝜑)在区间

∴

∴𝜔=2又sin(2×，∴𝜑=

+𝜑)=1，∴

+𝜑=2𝑘𝜋+

，𝑘∈𝑍.∴𝜑=2𝑘𝜋+

，

上单调递减，且函数值从

1减小到−1，∴𝑇=𝜋，又𝑇=𝑘∈𝑍.∵|𝜑|<

∴𝑦=sin(2𝑥+)，令𝑥=0，有𝑦=sin=∴此函数图象与𝑦轴交点的纵坐标为故选A．

考点：三角函数图像

点评：本题考查由𝑦=𝐴𝑠𝑖𝑛(𝜔𝑥+𝜑)的部分图象确定其解析式，求得𝜔与𝜑的值是关键，也是难点，考查分析与理解应用的能力，属于中档题．

9.答案：𝐴

解析：解：∵𝑓(𝑥)=1+设𝑔(𝑥)=

2𝑥+𝑠𝑖𝑛𝑥𝑥2+1

2𝑥+𝑠𝑖𝑛𝑥𝑥2+1

，

， =−

2𝑥+𝑠𝑖𝑛𝑥𝑥2+1

∴𝑔(−𝑥)=

−2𝑥−𝑠𝑖𝑛𝑥𝑥2+1

=−𝑔(𝑥)，

∴𝑔(𝑥)为奇函数， ∴𝑔(𝑥)𝑚𝑎𝑥+𝑔(𝑥)𝑚𝑖𝑛=0

∵𝑀=1+𝑔(𝑥)𝑚𝑎𝑥，𝑁=1+𝑔(𝑥)𝑚𝑖𝑛， ∴𝑀+𝑁=1+1+0=2， 故选：𝐴． 𝑔(𝑥)=

2𝑥+𝑠𝑖𝑛𝑥𝑥2+1

，得到𝑔(𝑥)为奇函数，得到𝑔(𝑥)𝑚𝑎𝑥+𝑔(𝑥)𝑚𝑖𝑛=0，相加可得答案．

本题主要考查了利用函数的奇偶性求函数的最大值与最小值，属于中档题．

10.答案：𝐵

解析：解：∵√3sin(𝐴+𝐵)=√3𝑠𝑖𝑛𝐶=𝑠𝑖𝑛𝐴+𝑠𝑖𝑛𝐵，𝑐𝑜𝑠𝐶=5， ∴由正弦定理可得：√3𝑐=𝑎+𝑏，可得𝑠𝑖𝑛𝐶=√1−cos2𝐶=5， ∵𝑆△𝐴𝐵𝐶=2𝑎𝑏𝑠𝑖𝑛𝐶=2×5×𝑎𝑏=4，解得：𝑎𝑏=10，

∴由余弦定理可得：𝑐=4．解得： 𝑐=√𝑎2+𝑏2−2𝑎𝑏𝑐𝑜𝑠𝐶=√(𝑎+𝑏)2−2𝑎𝑏−2𝑎𝑏⋅=√3𝑐2−32，

53

1

1

4

43

故选：𝐵．

由已知及正弦定理可得：√3𝑐=𝑎+𝑏，利用同角三角函数基本关系式可得𝑠𝑖𝑛𝐶，利用三角形面积公式可求𝑎𝑏=10，由余弦定理即可解得𝑐的值．

本题主要考查了正弦定理，同角三角函数基本关系式，三角形面积公式，余弦定理在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．

11.答案：𝐷

𝑥2−𝑥+3,𝑥≤1

解析：解：函数𝑓(𝑥)={， 2

𝑥+𝑥,𝑥>1

当𝑥≤1时，关于𝑥的不等式𝑓(𝑥)≥|3+𝑎|在𝑅上恒成立， 即为−𝑥2+𝑥−3≤3𝑥+𝑎≤𝑥2−𝑥+3， 即有−𝑥2+3𝑥−3≤𝑎≤𝑥2−3𝑥+3，

由𝑦=−𝑥2+3𝑥−3的对称轴为𝑥=3<1，可得𝑥=3处取得最大值−9；

由𝑦=𝑥2−3𝑥+3的对称轴为𝑥=3<1，可得𝑥=3处取得最小值9， 则−

269

4

2

2

23

26

2

1

1

2

4

1

𝑥

≤𝑎≤

239

①

𝑥

当𝑥>1时，关于𝑥的不等式𝑓(𝑥)≥|3+𝑎|在𝑅上恒成立， 即为−(𝑥+𝑥)≤3𝑥+𝑎≤𝑥+𝑥， 即有−(3𝑥+𝑥)≤𝑎≤3𝑥+𝑥，

由𝑦=−(𝑥+)≤−2√𝑥⋅=−√6(当且仅当𝑥=√>1)取得最大值−3√6；

3𝑥3𝑥32由𝑦=𝑥+≥2√⋅=3𝑥3𝑥则−√6≤𝑎≤3

4

4√3

②； 3269

2

2

2𝑥

2

4√3

(当且仅当𝑥3

4

2

4

2

4

3

4

4

2

2

2

2

1

2

=√3>1)取得最小值

4√3

． 3

由①②可得，−∴𝑎的最大值为

≤𝑎≤

4√3

， 3

4√3

． 3

1

另解：作出𝑓(𝑥)的图象和折线𝑦=|3𝑥+𝑎|，如图所示； 当𝑥≤1时，𝑦=𝑥2−𝑥+3的导数为𝑦′=2𝑥−1， 由2𝑥−1=−3，可得𝑥=3，

切点为(3,9)代入𝑦=−3𝑥−𝑎，解得𝑎=−9； 当𝑥>1时，𝑦=𝑥+𝑥的导数为𝑦′=1−𝑥2， 由1−𝑥2=3，可得𝑥=√3(−√3舍去)，

2

1

2

2

125

1

26

1

1

切点为(√3,

5√3

)，代入𝑦3

269

=3𝑥+𝑎，解得𝑎=4√3；

3

4√33

1

由图象平移可得，−∴𝑎的最大值是故选：𝐷．

≤𝑎≤

，

4√3

． 3

讨论𝑥≤1时，运用绝对值不等式的解法和分离参数，可得关于𝑎的不等式，再由二次函数的最值求出𝑎的范围；

当𝑥>1时，同样可得关于𝑎的不等式，再由基本不等式求得𝑎的范围，取交集可得所求𝑎的范围． 另解：作出𝑓(𝑥)的图象和折线𝑦=|3𝑥+𝑎|，利用导数求得函数𝑓(𝑥)切线的斜率与切点， 结合题意求得𝑎的取值范围．

本题考查了分段函数的应用以及不等式恒成立问题，注意运用分类讨论和分离参数法，以及转化思想．

1

12.答案：𝐵

2𝑥+2

∵函数𝑓(𝑥)={解析：解：

4−2−𝑥𝑓(𝑥)−

3𝑥−5

,0≤𝑥<1

，且𝑓(𝑥−1)=𝑓(𝑥+1)，函数的周期为2，函数𝑔(𝑥)=

,−1≤𝑥<0

3𝑥−5𝑥−2

，的零点，就是𝑦=𝑓(𝑥)与𝑦=𝑥−2

图象的交点的横坐标，

∴𝑦=𝑓(𝑥)关于点(0,3)中心对称，将函数两次向右平移2个单位， 得到函数𝑦=𝑓(𝑥)在[−1,5]上的图象，每段曲线不包含右端点(如下图)，

去掉端点后关于(2,3)中心对称． 又∵𝑦=

3𝑥−5𝑥−2

=3+𝑥−2关于(2,3)中心对称，

1

故方程𝑓(𝑥)=𝑔(𝑥)在区间[−1,5]上的根就是函数𝑦=𝑓(𝑥)和𝑦=𝑔(𝑥)的交点横坐标，共有三个交点，

自左向右横坐标分别为𝑥1，𝑥2，𝑥3，其中𝑥1和𝑥3关于(2,3)中心对称， ∴𝑥1+𝑥3=4，𝑥2=1， 故𝑥1+𝑥2+𝑥3=5． 故选：𝐵．

把方程𝑓(𝑥)=𝑔(𝑥)在区间[−1,5]上的根转化为函数𝑦=𝑓(𝑥)和𝑦=𝑔(𝑥)的交点横坐标，画出函数图象，数形结合得答案．

本题考查分段函数，函数平移，零点与方程根的关系，属于中档题．

13.答案：1

解析：解：∵扇形的中心角为2弧度，半径为1， ∴𝑆=𝑙𝑟=×2×1×1=1，

2

2

1

1

故答案为1．

直接利用扇形的面积计算公式，即可求解． 熟练掌握扇形的面积计算公式是解题的关键．

14.答案：17

解析：解：∵𝑔(𝑥)=1−2𝑥，𝑓[𝑔(𝑥)]=∴𝑓[𝑔(𝑥)]=𝑓(1−2𝑥)=∴𝑓(2)=𝑓(1−2×4)=故答案为：17．

由已知得𝑓[𝑔(𝑥)]=𝑓(1−2𝑥)=

1+𝑥2𝑥21

1

1+𝑥2𝑥2

1412()4

1+𝑥2𝑥2

(𝑥≠0)，

(𝑥≠0)， =17．

1+()2

(𝑥≠0)，由此根据𝑓(2)=𝑓(1−2×4)，能求出𝑓(2).

111

本题考查函数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意函数性质的合理运用．

15.答案：𝑥2+3𝑥 (𝑥≠3)

解析：解：函数𝑓(𝑥)=𝑥2−9，𝑔(𝑥)=𝑥−3，那么𝑓(𝑥)⋅𝑔(𝑥)=𝑥2+3𝑥 (𝑥≠3)． 故答案为：𝑥2+3𝑥 (𝑥≠3)

直接相乘即可，一定要注意定义域．

本题考查了求函数解析式，要注意定义域，属于基础题．

𝑥

16.答案：[−6,−4]∪(0，3]∪[8，9]∪{−12}

解析：

本题考查了余弦函数的图象与性质，分类讨论思想，属于中档题．

对𝑘的符号进行讨论，利用符合函数的单调性及余弦函数的单调性列不等式组求出𝑓(𝑥)的减区间，令区间(4,3)为𝑓(𝑥)单调减区间的子集解出𝑘的范围． 解：当𝑘>0时，令2𝑚𝜋≤𝑘𝑥≤𝜋+2𝑚𝜋，解得∵函数𝑦=𝑘𝑐𝑜𝑠(𝑘𝑥)在区间(4,3)单调递减，

𝜋4∴{𝜋

3

𝜋𝜋

2𝑚𝜋𝑘

𝜋𝜋

≤𝑥≤𝑘+

𝜋2𝑚𝜋𝑘

，𝑚∈𝑍，

≥

2𝑚𝜋𝜋𝑘

≤𝑘+

2𝑚𝜋，解得{𝑘𝑘

𝑘≥8𝑚

，𝑚∈𝑍，∴0<𝑘≤3或8≤𝑘≤9．

≤3+6𝑚

𝜋

2𝑚𝜋𝑘

当𝑘<0时，令−𝜋+2𝑚𝜋≤−𝑘𝑥≤2𝑚𝜋，解得𝑘−∵函数𝑦=𝑘𝑐𝑜𝑠(𝑘𝑥)在区间(4,3)单调递减，

𝜋4∴{𝜋

3

𝜋𝜋

≤𝑥≤−

2𝑚𝜋𝑘

，𝑚∈𝑍，

≥−

𝑘

𝜋2𝑚𝜋

≤−

𝑘2𝑚𝜋𝑘

𝑘≤4−8𝑚

，解得{，𝑚∈𝑍，∴−6≤𝑘≤−4，或𝑘=−12，

𝑘≥−6𝑚

综上，𝑘的取值范围是[−6,−4]∪(0，3]∪[8，9]∪{−12}． 故答案为：[−6,−4]∪(0，3]∪[8，9]∪{−12}．

17.答案：解：(1)∵集𝑈={𝑥∈𝑁|0<𝑥≤6}，∴𝑈={1,2,3,4,5,6}

∵𝐴={2,3,4}.𝐵={3,4,5}． ∴𝐴∩𝐵={3,4} (2)𝐶𝑈𝐴={1,5,6} ∴(𝐶𝑈𝐴)∪𝐵={1,3,4,5,6} (3)𝐶𝑈𝐵={1,2,6}， ∴(𝐶𝑈𝐴)∩(𝐶𝑈𝐵)={1,6}．

解析：(1)首先根据集合进行化简，用列举法表示集合𝑈，𝐴，𝐵；然后求出𝐴∩𝐵； (2)由(1)得出(𝐶𝑈𝐴)，再与𝐵求并集(𝐶𝑈𝐴)∪𝐵；

(3)根据(1)得到的𝐶𝑈𝐴和𝐶𝑈𝐵，最后求出(𝐶𝑈𝐴)∩(𝐶𝑈𝐵)．

本题考查交并补集的混合运算，通过已知的集合的全集，按照补集的运算法则分别求解，属于基础题．

18.答案：解：(1)∵𝐵∈(0,𝜋)，

∴𝑠𝑖𝑛𝐵>0， ∵𝑐𝑜𝑠𝐵=−9，

7

∴𝑠𝑖𝑛𝐵=√1−cos2𝐵=√1−(−9)2=∵𝐴=𝐶， ∴𝑎=𝑐，

∴𝑆△𝐴𝐵𝐶=2𝑎𝑐𝑠𝑖𝑛𝐵=2𝑎2×

1

1

4√29

7

4√2

， 9

=4√2，解得𝑎=3√2，

7

由余弦定理可得，𝑏2=𝑎2+𝑐2−2𝑎𝑐𝑐𝑜𝑠𝐵=18+18−2×18×(−9)=， ∴𝑏=8． (2)∵

𝑎𝑠𝑖𝑛𝐴

=

𝑏𝑠𝑖𝑛𝐵

，

3√28

∴𝑠𝑖𝑛𝐴=

𝑎𝑠𝑖𝑛𝐵𝑏𝜋

=×

4√29

=，

3

1

∵𝐴∈(0,)，

2

∴𝑐𝑜𝑠𝐴=√1−sin2𝐴=√1−()2=

31

2√2

， 3

13

79

2√23

∴∴sin(𝐴−𝐵)=𝑠𝑖𝑛𝐴𝑐𝑜𝑠𝐵−𝑐𝑜𝑠𝐴𝑠𝑖𝑛𝐵=×(−)−×

4√29

=−．

27

4√2

，即可得𝑆△𝐴𝐵𝐶9

23

解析：(1)根据已知条件，运用三角函数的同角公式，可得𝑠𝑖𝑛𝐵=

12

=2𝑎𝑐𝑠𝑖𝑛𝐵=

1

𝑎2×

4√29

=4√2，解得𝑎=3√2，再结合余弦定理，即可求解𝑏的值．

1

(2)根据已知条件，运用正弦定理，可得𝑠𝑖𝑛𝐴=3，再结合三角函数的同角公式和正弦函数的两角差公式，即可求解．

本题主要考查了正弦定理和余弦定理的运用，考查了学生对三角函数基础知识的综合运用，属于中档题．

𝑥−𝑚−2,𝑥≤−𝑚

19.答案：解：(1)𝑓(𝑥)=|𝑥+𝑚|−2|𝑥−1|={3𝑥+𝑚−2,−𝑚<𝑥<1(𝑚>0),

−𝑥+𝑚+2,𝑥≥1作出函数𝑓(𝑥)的图象，结合图象，

∵不等式𝑓(𝑥)≤1的解集为{𝑥|𝑥≤3或𝑥≥3}． 3×3+𝑚−2=1∴{，解得𝑚=2． −3+𝑚+2=1

1

1

(2)直线𝑦=𝑎𝑥+3𝑎过点(−3,0)，且在函数𝑓(𝑥)的图象的上方，

𝑎可以看作是直线𝑦=𝑎𝑥+3𝑎的斜率，而过(−3,0)，(1,3)的直线的斜率为3， 结合图象可得实数𝑎的取值范围为[3,1]．

解析：本题主要考查绝对值不等式的解法，考查了转化思想、数形结合思想，体现了转化的数学思想，属于中档题．

(1)把𝑓(𝑥)用分段函数来表示，结合图象，可得𝑚．

(2))直线𝑦=𝑎𝑥+3𝑎过点(−3,0)，且在函数𝑓(𝑥)的图象的上方，𝑎可以看作是直线𝑦=𝑎𝑥+3𝑎的斜率，而过(−3,0)，(1,3)的直线的斜率为3， 结合图象可得实数𝑎的取值范围．

44

4

20.答案：解：根据题意，设{𝑥=2√3𝑐𝑜𝑠𝛼(𝛼∈[0,2𝜋]为参数)，

𝑦=2𝑠𝑖𝑛𝛼

∴矩形𝑃𝑀𝑂𝑁周长为

𝐶=2(2√3𝑐𝑜𝑠𝛼+2𝑠𝑖𝑛𝛼)=8𝑠𝑖𝑛(𝛼+) 3∵sin(𝛼+)的最大值为1，

3

∴当𝛼=6时，矩形𝑃𝑀𝑂𝑁周长取最大值8， 此时点𝑃的坐标为(3,1)．

解析：根据椭圆的参数方程设点𝑃(2√3𝑐𝑜𝑠𝛼,2𝑠𝑖𝑛𝛼)，得到矩形𝑃𝑀𝑂𝑁周长𝐶关于𝛼的表达式，化简得𝐶=8𝑠𝑖𝑛(𝛼+)，

3

结合正弦函数的性质，可得矩形𝑃𝑀𝑂𝑁周长最大值及相应的点𝑃坐标．

本题给出椭圆上点𝑃，求椭圆内接矩形𝑃𝑀𝑂𝑁周长的最大值，着重考查了椭圆的简单几何性质、三角恒等变换和三角函数的最值等知识，属于基础题．

𝜋

𝜋𝜋

𝜋

21.答案：

解析：本题考查函数与方程的应用，函数恒成立，二次函数的简单性质的应用，考查分类讨论以及计算能力．

22.答案：解：由题意：不等式8𝑥2−(8𝑠𝑖𝑛𝛼)𝑥+𝑐𝑜𝑠2𝛼≥0对任意𝑥∈𝑅恒成立，

由二次函数的性质可得：△≤0， 即：(8𝑠𝑖𝑛𝛼)2−4×8×𝑐𝑜𝑠2𝛼≤0 整理得：4𝑠𝑖𝑛2𝛼≤1，

11∴−≤𝑠𝑖𝑛𝛼≤

22∵0≤𝛼≤𝜋，

∴0≤𝛼≤或≤𝛼≤𝜋．

66

所以𝛼的取值范围是[0,6]∪[6,𝜋]．

解析：将不等式看成二次函数恒成立问题，利用二次函数≥0对一切𝑥∈𝑅恒成立，可得△≤0，转化成三角函数问题，即可求解实数𝛼的取值范围．

本题主要考查了函数恒成立问题的求解，利用了二次函数数的性质转化成三角函数的问题，属于中档题．

𝜋

5𝜋

𝜋

5𝜋