高二数学椭圆的离心率

1.已知椭圆

的左焦点为F，C与过原点的直线相交于A，B两点，连接AF、BF，若|AB|=10，

|AF|=6，cos∠ABF=，则C的离心率e= _________ ．

2.在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的标准方程为

（a＞b＞0），右焦点为F，右准线为l，短轴的一个端点为

，则椭圆C的离心率为 _________ ．

B，设原点到直线BF的距离为d1，F到l的距离为d2，若d2=

3.椭圆

为定值，且

的左焦点为F，直线x=m与椭圆相交于点A、B，△FAB的周长的最大值是

12，则该椭圆的离心率是 _________ ．

4.在△ABC中，AB=BC，

．若以A，B为焦点的椭圆经过点C，则该椭圆的离心率e= _________ ．

5.已知长方形ABCD，AB=4，BC=3，则以A、B为焦点，且过C、D两点的椭圆的离心率为 _________ ．

6.设F1，F2是椭圆C：

（a＞b＞0）的左、右焦点，过F1的直线l与C交于A，B两点．若AB⊥AF2，|AB|：

|AF2|=3：4，则椭圆的离心率为 _________ ．

7.已知F1、F2分别是椭圆_________ ． 8.椭圆

（a＞b＞0）的左焦点为F，直线x=m与椭圆相交于A，B两点，若△FAB的周长最大时，△FAB的面

的左、右焦点，点P是椭圆上的任意一点，则

的取值范围是

积为ab，则椭圆的离心率为 _________ ．

椭圆的离心率（2）

1.已知椭圆

内有两点A（1，3），B（3，0），P为椭圆上一点，则|PA|+|PB|的最大值为 _________ ．

2.椭圆

取值范围是 _________ ．

3.设A为椭圆

，F1，F2分别是其左、右焦点，若椭圆上存在点P满足|PF1|=2|PF2|，则该椭圆离心率的

（a＞b＞0）上一点，点A关于原点的对称点为B，F为椭圆的右焦点，且AF⊥BF，设∠ABF=θ．（1）

|AB|= _________ ；（2）若θ∈[，]，则该椭圆离心率的取值范围为 _________ ．

2

2

4.从一块短轴长为2b的椭圆形玻璃镜中划出一块面积最大的矩形，其面积的取值范围是[3b，4b]，则该椭圆离心率e

的取值范围是 _________ ．

5.已知A，B，P为椭圆

+

=1（m，n＞0）上不同的三点，且A，B连线经过坐标原点，若直线PA，PB的斜率乘积

kPA•kPB=﹣2，则该椭圆的离心率为 _________ ．

6.已知椭圆的方程为

，过椭圆的右焦点且与x轴垂直的直线与椭圆交于P、Q两点，椭圆的右

准线与x轴交于点M，若△PQM为正三角形，则椭圆的离心率等于 _________ ． 7.已知椭圆点P，若

8．如图，P是椭圆

上的一点，F是椭圆的左焦点，且

，

则点P到该椭圆左准线

的上焦点为F，左、右顶点分别为B1，B2，下顶点为A，直线AB2与直线B1F交于

，则椭圆的离心率为 _________ ．

的距离为 _________ ．

高二数学椭圆的离心率

参与试题解析

一．填空题（共16小题） 1．（2013•辽宁）已知椭圆

的左焦点为F，C与过原点的直线相交于A，B两点，连接AF、

BF，若|AB|=10，|AF|=6，cos∠ABF=，则C的离心率e= ．

考点： 椭圆的简单性质． 专题： 计算题；压轴题；圆锥曲线的定义、性质与方程． 分析： 设椭圆右焦点为F'，连接AF'、BF'，可得四边形AFBF'为平行四边形，得|AF|=|BF'|=6．△ABF中利用余弦定理算出|BF|=8，从而得到|AF|+|BF|=|AB|，得∠AFB=90°，所以c=|OF|=|AB|=5．根据椭圆的定义得到2a=|BF|+|BF'|=14，得a=7，最后结合椭圆的离心率公式即可算出椭圆C的离心率． 解答： 解：设椭圆的右焦点为F'，连接AF'、BF' ∵AB与FF'互相平分，∴四边形AFBF'为平行四边形，可得|AF|=|BF'|=6 ∵△ABF中，|AB|=10，|AF|=6，cos∠ABF=， ∴由余弦定理|AF|=|AB|+|BF|﹣2|AB|×|BF|cos∠ABF， 可得6=10+|BF|﹣2×10×|BF|×，解之得|BF|=8 由此可得，2a=|BF|+|BF'|=14，得a=7 ∵△ABF中，|AF|+|BF|=100=|AB| ∴∠AFB=90°，可得|OF|=|AB|=5，即c=5 因此，椭圆C的离心率e== 故答案为： 222222222222 点评： 本题给出椭圆经过中心的弦AB与左焦点构成三边分别为6、8、10的直角三角形，求椭圆的离心率．着重考查了椭圆的定义与标准方程、椭圆的简单几何性质等知识，属于中档题． 2．（2013•江苏）在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的标准方程为

（a＞b＞0），右焦点为F，右准线为l，短

轴的一个端点为B，设原点到直线BF的距离为d1，F到l的距离为d2，若d2= 考点： 椭圆的简单性质． 专题： 圆锥曲线的定义、性质与方程． ，则椭圆C的离心率为 ．

分析： 根据“d2=”结合椭圆的半焦距，短半轴，长半轴构成直角三角形，再由等面积法可得d1=，从而得到a与b的关系，可求得，从而求出离心率． 解答： 解：如图，准线l：x=由面积法得：d1=若d2=，则2，d2=， ， ，整理得+（）﹣a﹣ab﹣=0，解得2=0， ． 两边同除以a，得∴e=故答案为：． =． 点评： 本题主要考查椭圆的几何性质，即通过半焦距，短半轴，长半轴构成的直角三角形来考查其离心率，还涉及了等面积法． 3．（2012•四川）椭圆

为定值，且

的左焦点为F，直线x=m与椭圆相交于点A、B，△FAB的

周长的最大值是12，则该椭圆的离心率是 ．

考点： 椭圆的简单性质． 专题： 计算题；压轴题． 分析： 先画出图象，结合图象以及椭圆的定义求出△FAB的周长的表达式，进而求出何时周长最大，即可求出椭圆的离心率． 解答： 解：设椭圆的右焦点E．如图： 由椭圆的定义得：△FAB的周长为：AB+AF+BF=AB+（2a﹣AE）+（2a﹣BE）=4a+AB﹣AE﹣BE； ∵AE+BE≥AB； ∴AB﹣AE﹣BE≤0，当AB过点E时取等号； ∴△FAB的周长：AB+AF+BF=4a+AB﹣AE﹣BE≤4a； ∴△FAB的周长的最大值是4a=12⇒a=3； ∴e==故答案：． =． 点评： 本题主要考察椭圆的简单性质．在解决涉及到圆锥曲线上的点与焦点之间的关系的问题中，圆锥曲线的定义往往是解题的突破口． 4．（2010•资阳三模）在△ABC中，AB=BC， ． 考点： 椭圆的简单性质；椭圆的应用． 专题： 计算题；压轴题． 分析： 设AB=BC=1，则．若以A，B为焦点的椭圆经过点C，则该椭圆的离心率e= ，由此可知，从而求出该椭圆的离心率． 解答： 解：设AB=BC=1，∴，则． ， 答案：． 点评： 本题考查椭圆的性质及应用，解题时要注意的正确选取． 5．（2007•福建）已知长方形ABCD，AB=4，BC=3，则以A、B为焦点，且过C、D两点的椭圆的离心率为 考点： 椭圆的简单性质． 专题： 压轴题． 分析： 22由已知c=2，=3⇒b=3a⇒a﹣4=3a⇒a=4，由此可以求出该椭圆的离心率． ．

解答： 解：∵AB=4，BC=3，A、B为焦点， ∴c=2，2=3， ∴b=3a， 2∴a﹣4=3a ∴a=4， ∴e=． 故答案：． 点评： 本题考查椭圆的性质和应用，解题时要认真审题，仔细解答．

6．（2013•浙江模拟）设F1，F2是椭圆C：（a＞b＞0）的左、右焦点，过F1的直线l与C交于A，B两点．若

AB⊥AF2，|AB|：|AF2|=3：4，则椭圆的离心率为 ．

考点： 椭圆的简单性质． 专题： 计算题． 分析： 由AB⊥AF2，|AB|：|AF2|=3：4，利用椭圆的定义可求得|AF1|=2，从而可得a的值，再由勾股定理可求得2c的值． 解答： 解：∵F1，F2是椭圆C+=1（a＞b＞0）的左、右焦点，过F1的直线l与C交于A，B两点，AB⊥AF2，|AB|：|AF2|=3：4，如图： ∴不妨令|AB|=3，|AF2|=4，再令|AF1|=x，由椭圆的定义得：|AF1|+|AF2|=2a，①|BF1|+|BF2|=2a② ①+②得：x+4+3﹣x+5=4a， ∴a=3，x=2． 在Rt△F1F2A中，∴4c=4+16=20， ∴c=． ∴椭圆的离心率为e=故答案为：． ． 2=+， 点评： 本题考查椭圆的简单性质，突出考查椭圆的定义的应用，求得a与c的值是关键，考查转化与运算的能力，属于中档题． 7．（2013•盐城一模）已知F1、F2分别是椭圆的取值范围是 ． 考点： 椭圆的简单性质． 专题： 圆锥曲线的定义、性质与方程． 分析： 利用椭圆的性质：当|PF2|=a+c=的左、右焦点，点P是椭圆上的任意一点，则

，时，即取得最大值，即可得出． 解答： 解：∵椭圆，∴a=，b=2=c． 设k==， 则当|PF1|=|PF2|时，k取得最小值0； 当|PF2|=a+c=取得最大值． ∴k的取值范围是故答案为点评： 熟练掌握椭圆的性质：当|PF2|=a+c=大值是解题的关键． 8．（2013•盐城二模）椭圆

（a＞b＞0）的左焦点为F，直线x=m与椭圆相交于A，B两点，若△FAB的周长

，时，则取得最． ． ，时，即时，k=最大时，△FAB的面积为ab，则椭圆的离心率为 ．

考点： 椭圆的简单性质． 专题： 圆锥曲线的定义、性质与方程． 分析： 先画出图象，结合图象以及椭圆的定义求出△FAB的周长的表达式，进而求出何时周长最大，即可求出椭圆的离心率． 解答： 解：设椭圆的右焦点E．如图： 由椭圆的定义得：△FAB的周长为：AB+AF+BF=AB+（2a﹣AE）+（2a﹣BE）=4a+AB﹣AE﹣BE； ∵AE+BE≥AB； ∴AB﹣AE﹣BE≤0，当AB过点E时取等号； ∴△FAB的周长：AB+AF+BF=4a+AB﹣AE﹣BE≤4a； ∴△FAB的周长的最大值是4a； 此时，△FAB的面积为×2c×∴a=2bc，平方得， 4222a=4（a﹣c）c 42即4e﹣4e+1=0 ∴e=． ． 2=ab， 故答案为： 点评： 本题主要考查椭圆的简单性质．在解决涉及到圆锥曲线上的点与焦点之间的关系的问题中，圆锥曲线的定义往往是解题的突破口．

9．（2013•松江区二模）已知椭圆内有两点A（1，3），B（3，0），P为椭圆上一点，则|PA|+|PB|的最大值为 15 ． 考点： 椭圆的简单性质． 专题： 计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程． 分析： 根据椭圆的方程，算出它的焦点坐标为B（3，0）和B'（﹣3，0）．因此连接PB'、AB'，根据椭圆的定义得|PA|+|PB|=|PA|+（2a﹣|PB'|）=10+（|PA|﹣|PB'|）．再由三角形两边之差小于第三边，得到当且仅当点P在AB'延长线上时，|PA|+|PB|= 10+|AB'|=15达到最大值，从而得到本题答案． 解答： 解：∵椭圆方程为， ∴焦点坐标为B（3，0）和B'（﹣3，0） 连接PB'、AB'，根据椭圆的定义，得|PB|+|PB'|=2a=10，可得|PB|=10﹣|PB'| 因此，|PA|+|PB|=|PA|+（10﹣|PB'|）=10+（|PA|﹣|PB'|） ∵|PA|﹣|PB'|≤|AB'| ∴|PA|+|PB|≤10+|AB'|=10+当且仅当点P在AB'延长线上时，等号成立 综上所述，可得|PA|+|PB|的最大值为15 故答案为：15 =10+5=15 点评： 本题给出椭圆内部一点A，求椭圆上动点P与A点和一个焦点距离B和的最大值，着重考查了椭圆的定义、标准方程和简单几何性质等知识，属于基础题． 10．（2012•浙江模拟）椭圆

，F1，F2分别是其左、右焦点，若椭圆上存在点P满足|PF1|=2|PF2|，

则该椭圆离心率的取值范围是 [，1） ． 考点： 椭圆的简单性质． 专题： 计算题． 分析： 由椭圆的定义可得 e（x+）=2•e（﹣x），解得x=，由题意可得﹣a≤≤a，解不等式求得离心率e的取值范围． 解答： 解：设点P的横坐标为x，∵|PF1|=2|PF2|，则由椭圆的定义可得 e（x+∴x=，由题意可得﹣a≤≤a， ）=2•e（﹣x）， ∴≤e＜1，则该椭圆的离心率e的取值范围是[，1）， 故答案为：[，1） 点评： 本题考查椭圆的定义，以及简单性质的应用，由椭圆的定义可得 e（x+）=2•e（﹣x），是解题的关键．

11．（2012•湘潭模拟）设A为椭圆AF⊥BF，设∠ABF=θ． （1）|AB|= （2）若θ∈[

，

；

]，则该椭圆离心率的取值范围为 [

，

] ．

（a＞b＞0）上一点，点A关于原点的对称点为B，F为椭圆的右焦点，且

考点： 椭圆的简单性质． 专题： 计算题． 分析： （1）设A（x，y），B（﹣x，﹣y），F（c，0），由AF⊥BF，可得=0，从而可得x+y=c=a﹣b，|AB|=2|AO|，22222代入可求 （2）设左焦点为F′，根据椭圆定义：|AF|+|AF′|=2a，根据B和A关于原点对称可知|BF|=|AF′|，推知|AF|+|BF|=2a，又根据O是Rt△ABF的斜边中点可知|AB|=2c，在Rt△ABF中用α和c分别表示出|AF|和|BF|代入|AF|+|BF|=2a中即可表示出 即离心率e，进而根据α的范围确定e的范围． 解答： 解：（1）设A（x，y），B（﹣x，﹣y），F（c，0） ，∵AF⊥BF， ∴22 =c﹣x﹣y=0 222222∴x+y=c=a﹣b ∴|AB|=2|AO|=（2）∵B和A关于原点对称 ∴B也在椭圆上 设左焦点为F′ 根据椭圆定义：|AF|+|AF′|=2a 又∵|BF|=|AF′|∴|AF|+|BF|=2a …① O是Rt△ABF的斜边中点，∴|AB|=2c 又|AF|=2csinα …② |BF|=2ccosα …③ ②③代入①2csinα+2ccosα=2a ∴e== ∵a∈[π，π] ∴π≤α+π≤π ∴∴故答案为：2≤sin（α+π ）≤1 ； 点评： 本题主要考查了椭圆的性质的应用，向量的基本运算性质及三角函数的性质的综合应用，解题时要特别利用好椭圆的定义．

12．（2011•江苏模拟）从一块短轴长为2b的椭圆形玻璃镜中划出一块面积最大的矩形，其面积的取值范围是[3b，4b]，则该椭圆离心率e的取值范围是 󰀀 [，] ．

22

考点： 椭圆的简单性质． 专题： 计算题． 分析： 先设出椭圆的标准方程，在第一象限内取点（x，y），设x=acosθ，y=bsinθ，进而可表示出圆的内接矩形长和宽，进而表示出该矩形的面积，由3b≤2ab≤4b，求得3b≤2a≤4b，平方后，利用b=式关系，进而求得的范围，即离心率e的范围． 解答： 解：设椭圆的标准方程为+=1， 22代入求得a和c的不等在第一象限内取点（x，y），设x=acosθ，y=bsinθ，（0＜θ＜则椭圆的内接矩形长为2acosθ，宽为2bsinθ， 内接矩形面积为2acosθ•2bsinθ=2absin2θ≤2ab， 22由已知得：3b≤2ab≤4b， 3b≤2a≤4b， 222平方得：9b≤4a≤16b， 222229（a﹣c）≤4a≤16（a﹣c）， 22225a≤9c且12 a≥16 c， ∴≤≤， ] ，] ） 即e∈[故答案为：[点评： 本题主要考查了椭圆的简单性质，椭圆的应用和椭圆的参数方程的应用．考查了学生综合分析问题和基本的运算能力． 13．已知A，B，P为椭圆

+

=1（m，n＞0）上不同的三点，且A，B连线经过坐标原点，若直线PA，PB的斜率

乘积kPA•kPB=﹣2，则该椭圆的离心率为 ．

考点： 椭圆的简单性质． 专题： 圆锥曲线的定义、性质与方程． 分析： 根据双曲线的对称性可知A，B关于原点对称，设出A，B和P的坐标，把A，B点坐标代入双曲线方程可求得直线PA和直线PB的斜率之积，进而求得m和n的关系，进而根据双曲线的离心率公式即可得出答案． 解答： 解：根据双曲线的对称性可知A，B关于原点对称， 设A（x1，y1），B（﹣x1，﹣y1），P（x，y）， 则﹣=1，有kPA•kPB=﹣=﹣2，∴=2． ∴e===． 故答案为：． 点评： 本题主要考查了双曲线的简单性质．涉及了双曲线的对称性质，考查了学生对双曲线基础知识的全面掌握．

14．（2012•江苏一模）已知椭圆的方程为，过椭圆的右焦点且与x轴垂直的直线与椭圆交于P、

Q两点，椭圆的右准线与x轴交于点M，若△PQM为正三角形，则椭圆的离心率等于 考点： 椭圆的简单性质． 专题： 计算题． 分析： 先求出FQ 的长，直角三角形FMQ中，由边角关系得 tan30°= ．

，建立关于离心率的方程，解方程求出离心率的值． 解答： 解：由已知得 FQ=，MF=， 因为椭圆的方程为，过椭圆的右焦点且与x轴垂直的直线与椭圆交于P、Q两点， 椭圆的右准线与x轴交于点M，若△PQM为正三角形， 所以tan30°=====e 所以e=， ． 故答案为：点评： 本题考查椭圆的简单性质，直角三角形中的边角关系，解方程求离心率的大小． 15．（2011•新余一模）已知椭圆

的上焦点为F，左、右顶点分别为B1，B2，下顶点为A，直线

，则椭圆的离心率为 ．

AB2与直线B1F交于点P，若

考点： 椭圆的简单性质． 专题： 计算题． 分析： 求出直线AB的方程和直线BF的方程，联立方程组求得点P的坐标，由21，可知B2为AP的中点， 由线段的中点公式建立关于a、c 的方程，从而求出离心率的值． 解答： 解：由题意得 F（0，c），B1（﹣b，0），B2 （b，0），A（0，﹣a）． 直线AB2的方程为 直线B1F的方程为 ∵，即 ax﹣by﹣ab=0 ①． ，即 cx﹣by+cb=0 ②． 由①②得点P （，∴a+c=2（a﹣c）， ，）． ，∴B2为AP的中点，∴2b=0+a=3c，∴=．椭圆的离心率为 ， 故答案为：． 点评： 本题考查直线的截距式方程，求两直线的交点坐标，椭圆的简单性质的应用．

16．如图，P是椭圆的距离为 󰀀

．

上的一点，F是椭圆的左焦点，且，则点P到该椭圆左准线

考点： 椭圆的简单性质． 专题： 计算题；压轴题． 分析： 由可以推出Q是线段PF的中点，由P在椭圆上及，通过解方程组求得P点横坐标为解答： 解：∵，再求出到左准线的距离． ， ∴Q是线段PF的中点， ∵由P在椭圆上且，设P（a，b），F（﹣4，0），Q（）， ∴，∴， 椭圆左准线x=﹣． ． ∴点P到该椭圆左准线的距离故答案：． 点评： 该题考查向量的线性表示以及椭圆的几何性质，另外还考查运算能力．是中档题．