2019-2020学年四川省成都市七年级(上)期中数学试卷(附解析)

2019-2020学年四川省成都市七年级（上）期中数学试卷

一、选择题（本大题共11小题，共33.0分） 1. 下列命题中，真命题的个数是( )．

 ①等角对等边;

 ②两直线平行，内错角相等;

 ③有两边及一角对应相等的两个三角形全等;  ④两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补．

A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个

2. 下列计算正确的是( )

A. 3𝑎2−𝑎2=3

B. 𝑎2⋅𝑎3=𝑎6   

C. (𝑎2)3=𝑎6         D. 𝑎6÷𝑎2=𝑎3

3. 世界上最小的鸟是生活在古巴的吸蜜蜂鸟，它的质量约为0.056盎司．将0.056用科

学记数法表示为( )

A. 5.6×10−1 B. 5.6×10−2 C. 5.6×10−3 D. 0.56×10−1

4. 化简5𝑎⋅(2𝑎2−𝑎𝑏)，结果正确的是( )

A. −10𝑎3−5𝑎𝑏

B. 10𝑎3−5𝑎2𝑏

C. −10𝑎2+5𝑎2𝑏 D. −10𝑎3+5𝑎2𝑏

5. 下列各式中能用平方差公式计算的是( )

A. (𝑎+3𝑏)(3𝑎−𝑏) C. (3𝑎−𝑏)(−3𝑎+𝑏)

B. (3𝑎−𝑏)(3𝑎−𝑏) D. (3𝑎−𝑏)(3𝑎+𝑏)

6. 下列各组线段中，能组成三角形的是( )

A. 4，6，10

B. 3，6，7

3

C. 5，6，12 D. 2，3，6

7. 已知𝑎+𝑏=3，𝑎𝑏=2，则(𝑎+𝑏)2的值等于( )

A. 6

B. 7

C. 8

D. 9

8. 下列乘法公式的运用，不正确的是( )

A. (2𝑎+𝑏)(2𝑎−𝑏)=4𝑎2−𝑏2 C. (3−2𝑥)2=4𝑥2+9−12𝑥

B. (−2𝑎+3)(3+2𝑎)=9−4𝑎2 D. (−1−3𝑥)2=9𝑥2−6𝑥+1

9. 如图，直线l与直线a、b相交，且𝑎//𝑏，∠1=50°，

则∠2的度数是( )

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A. 130° B. 50° C. 100° D. 120°

10. 如图，点E在AD延长线上，下列条件中不能判定𝐵𝐶//𝐴𝐷的是( )

A. ∠1=∠2 C. ∠3=∠4

B. ∠𝐶=∠𝐶𝐷𝐸 D. ∠𝐶+∠𝐴𝐷𝐶=180°

11. 如图，直线𝑎//𝑏，把三角板的直角顶点放在直线b上，

若∠1=60°，则∠2的度数为( )

A. 45°

B. 35°

C. 30°

D. 25°

二、填空题（本大题共9小题，共32.0分）

12. 若𝑎𝑚=2，𝑎𝑛=4，则𝑎𝑚+𝑛=______．

13. 已知𝑚+2𝑛=2，𝑚−2𝑛=2，则𝑚2−4𝑛2=______． 14. 𝑥2−4𝑥+𝑘是完全平方式，则𝑘=______．

15. 如图，把一张长方形纸片ABCD沿EF折叠后，D、C分别在M、N的位置上，EM

与BC的交点为G，若∠𝐸𝐹𝐺=65°，则∠2=______．

16. 已知：3𝑚=2，9𝑛=5，则33𝑚−2𝑛=______． 17. 若𝑎−𝑏=2，则𝑎2−𝑏2−4𝑏=______．

18. 已知𝑎2−2(𝑘−1)𝑎𝑏+9𝑏2是一个完全平方式，那么𝑘= ______ ．

19. 设a，b，c为△𝐴𝐵𝐶的三边，化简|𝑎−𝑏+𝑐|−|𝑎+𝑏−𝑐|−|𝑎−𝑏−𝑐|=______． 20. 如图，AD是△𝐴𝐵𝐶的角平分线，𝐷𝐸⊥𝐴𝐶，垂足为E，

𝐵𝐹//𝐴𝐶交ED的延长线于点F，若BC恰好平分∠𝐴𝐵𝐹，𝐴𝐸=2𝐵𝐹.给出下列四个结论：①𝐷𝐸=𝐷𝐹；②𝐷𝐵=𝐷𝐶；③𝐴𝐷⊥𝐵𝐶；④𝐴𝐶=3𝐵𝐹，其中正确的结论是______ ．

三、计算题（本大题共1小题，共10.0分）

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21. 计算：

(1)(−1

)0+|3−𝜋|+(1

)−22

3

．

(2)(𝑥+3)(𝑥−3)−(𝑥−2)2．

四、解答题（本大题共8小题，共74.0分）

22. 计算：

(1)(𝑎+3)2−(𝑎+2)(𝑎−1)； (2)(15𝑥2𝑦−10𝑥𝑦2)÷5𝑥𝑦．

23. 如图，直线𝐴𝐵//𝐶𝐷，直线EF与AB相交于点P，

与CD相交于点Q，且𝑃𝑀⊥𝐸𝐹，若∠1=68°，求∠2的度数．

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24. 如图，已知△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐷⊥𝐵𝐶于点D，E为AB边

上任意一点，𝐸𝐹⊥𝐵𝐶于点F，∠1=∠2.求证：𝐷𝐺//𝐴𝐵.请把证明的过程填写完整． 证明：∵𝐴𝐷⊥𝐵𝐶，𝐸𝐹⊥𝐵𝐶(______)， ∴∠𝐸𝐹𝐵=∠𝐴𝐷𝐵=90°(垂直的定义) ∴𝐸𝐹//______(______) ∴∠1=______(______) 又∵∠1=∠2(已知) ∴______(______) ∴𝐷𝐺//𝐴𝐵(______)

AD平分∠𝐵𝐴𝐶，在△𝐴𝐵𝐶中，在AB上截取𝐴𝐸=𝐴𝐶，25. 如图，

连结DE，已知𝐷𝐸=3.5𝑐𝑚，𝐵𝐷=4.5𝑐𝑚． (1)说明△𝐴𝐸𝐷≌△𝐴𝐶𝐷的理由； (2)求线段BC的长．

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26. 如图，在△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐴𝐶𝐵=90°，𝐴𝐶=𝐵𝐶，D是AB边上一点(点D与A，B不重

合)，连结CD，将线段CD绕点C按逆时针方向旋转90°得到线段CE，连结DE交BC于点F，连接BE．

(1)求证：△𝐴𝐶𝐷≌△𝐵𝐶𝐸； (2)当𝐴𝐷=𝐵𝐹时，求∠𝐵𝐸𝐹的度数．

27. 乘法公式的探究及应用：

(1)如图，可以求出阴影部分的面积是______(写成两数平方差的形式)；

(2)如图，若将阴影部分裁剪下来，重新拼成一个矩形，它的宽是______，长是______，面积是______(写成多项式乘法的形式)；

(3)比较左、右两图的阴影部分面积，可以得到乘法公式：______(用式子表达)； (4)运用你所得到的公式，计算下列式子：(2𝑚+𝑛−𝑝)(2𝑚−𝑛+𝑝)

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28. 已知：𝐴𝐵//𝐶𝐷，点E在直线AB上，点F在直线CD上．

(1)如图(1)，∠1=∠2，∠3=∠4． ①若∠4=36°，求∠2的度数；

②试判断EM与FN的位置关系，并说明理由；

(2)如图(2)，EG平分∠𝑀𝐸𝐹，EH平分∠𝐴𝐸𝑀，试探究∠𝐺𝐸𝐻与∠𝐸𝐹𝐷的数量关系，并说明理由．

29. 如图，在△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐵=𝐴𝐶，∠𝐵=30°，点D从点B出发，沿𝐵→𝐶方向运动到

𝐶(𝐷不与B、C重合)，连接AD，作∠𝐴𝐷𝐸=30°，DE交线段AC于E． (1)在点D的运动过程中，若∠𝐵𝐷𝐴=100°，求∠𝐷𝐸𝐶的大小； (2)在点D的运动过程中，若𝐴𝐵=𝐷𝐶，请证明△𝐴𝐵𝐷≌△𝐷𝐶𝐸；

(3)若𝐵𝐶=6𝑐𝑚，点D的运动速度是1𝑐𝑚/𝑠，运动时间为𝑡(𝑠).在点D的运动过程中，是否存在这样的t，使得△𝐴𝐷𝐸的形状是直角三角形？若存在，请求出符合条件的

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t的值；若不存在，请说明理由．

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答案和解析

1.【答案】B

【解析】 【分析】

本题考查命题与定义，掌握平行线的性质、平行公理及推论，全等三角形判定等知识点是解答此题的关键． 【解答】

解：解：①等角对等边，是真命题； ②两直线平行，内错角相等，是真命题； ③不符合全等三角形判定定理，是假命题；

④两条平行直线被第三条直线所截，同旁内角互补，所以④是假命题． 所以真命题有2个． 故选B．

2.【答案】C

【解析】解：A、3𝑎2−𝑎2=2𝑎2，故此选项错误； B、𝑎2⋅𝑎3=𝑎5，故此选项错误； C、(𝑎2)3=𝑎6，正确；

D、𝑎6÷𝑎2=𝑎4，故此选项错误； 故选：C．

直接利用同底数幂的乘除运算法则以及幂的乘方运算法则分别化简得出答案． 此题主要考查了同底数幂的乘除运算以及幂的乘方运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．

3.【答案】B

【解析】解：将0.056用科学记数法表示为5.6×10−2， 故选：B．

绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为𝑎×10−𝑛，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．

本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为𝑎×10−𝑛，其中1≤|𝑎|<10，n为由

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原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．

4.【答案】B

【解析】 【分析】

此题考查了单项式乘以多项式的知识，牢记法则是解答本题的关键，属于基础题，比较简单．按照单项式乘以多项式的运算法则进行运算即可． 【解答】

解：5𝑎⋅(2𝑎2−𝑎𝑏)=10𝑎3−5𝑎2𝑏. 故选B．

5.【答案】D

【解析】解：A、不符合两个数的和与这两个数的差相乘，不能用平方差公式，故本选项错误；

B、原式=(3𝑎−𝑏)2，故本选项错误； C、原式=−(3𝑎−𝑏)2，故本选项错误； D、符合平方差公式，故本选项正确． 故选D．

根据平方差公式对各选项进行逐一计算即可．

本题考查的是平方差公式，熟知两个数的和与这两个数的差相乘，等于这两个数的平方差是解答此题的关键．

6.【答案】B

【解析】解：A、∵4+6=10，不符合三角形三边关系定理， ∴以4、6、10为三角形的三边，不能组成三角形，故本选项错误； B、∵3+6>7，6+7<3，3+7>6，符合三角形三边关系定理， ∴以3、6、7为三角形的三边，能组成三角形，故本选项正确； C、∵5+6<12，不符合三角形三边关系定理，

∴以5、6、12为三角形的三边，不能组成三角形，故本选项错误； D、∵2+3<6，不符合三角形三边关系定理，

∴以2、3、6为三角形的三边，不能组成三角形，故本选项错误；

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故选：B．

三角形的任意两边之和都大于第三边，根据以上定理逐个判断即可．

本题考查了对三角形三边关系定理的应用，能熟记三角形三边关系定理的内容是解此题的关键．

7.【答案】D

【解析】解：∵𝑎+𝑏=3， ∴(𝑎+𝑏)2=32=9． 故选：D．

利用整体代入的方法计算．

本题考查了完全平方公式：灵活运用完全平方公式是解决此类问题的关键．完全平方公式为：(𝑎±𝑏)2=𝑎2±2𝑎𝑏+𝑏2．

8.【答案】D

【解析】解：A选项运用平方差公式(2𝑎+𝑏)(2𝑎−𝑏)=(2𝑎)2−𝑏2=4𝑎2−𝑏2； B选项运用平方差公式(−2𝑎+3)(3+2𝑎)=32−(2𝑎)2=9−4𝑎2； C选项是运用了完全平方公式计算正确；

D选项运用完全平方公式计算(−1−3𝑥)2=(1+3𝑥)2=1+6𝑥+9𝑥2，所以D选项错误． 故选：D．

A选项运用了平方差公式，计算正确； B选项运用了平方差公式，计算正确； C选项运用了完全平方公式，计算正确；

D选项运用了完全平方公式(−1−3𝑥)2=(1+3𝑥)2=1+6𝑥+9𝑥2，所以原题计算错误．

本题主要考查了平方差公式和完全平方公式，解决此类问题要熟知两个公式的形式：平方差是两数的和与两数的差的乘积等于两数的平方差，完全平方公式是两数的和或差的平方等于两数的平方和加上或减去这两数的乘积的2倍(首平方，尾平方，2倍在，符号看前方)．

9.【答案】B

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【解析】解：如图，∠3=∠1=50°，

∵𝑎//𝑏，

∴∠2=∠3=50°． 故选：B．

根据对顶角相等求出∠3，再根据两直线平行，同位角相等求解即可． 本题考查了平行线的性质，对顶角相等的性质，熟记性质是解题的关键．

10.【答案】A

【解析】 【分析】

此题考查了平行线的判定，平行线的判定方法有：同位角相等两直线平行；内错角相等两直线平行；同旁内角互补两直线平行，熟练掌握平行线的判定是解本题的关键． 分别利用同旁内角互补两直线平行，内错角相等两直线平行进行判断，即可得出答案． 【解答】

解：A、∵∠1=∠2，

∴𝐴𝐵//𝐶𝐷，本选项符合题意； B、∵∠𝐶=∠𝐶𝐷𝐸，

∴𝐵𝐶//𝐴𝐷，本选项不符合题意； C、∵∠3=∠4，

∴𝐵𝐶//𝐴𝐷，本选项不符合题意； D、∵∠𝐶+∠𝐴𝐷𝐶=180°， ∴𝐴𝐷//𝐵𝐶，本选项不符合题意． 故选：A．

11.【答案】C

【解析】解：∵𝑎//𝑏， ∴∠3=∠1=60°，

∵∠4=90°，∠3+∠4+∠2=180°，

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∴∠2=30°． 故选：C．

由a与b平行，利用两直线平行同位角相等求出∠3的度数，再利用平角定义及∠4为直角，即可确定出所求角的度数．

此题考查了平行线的判定，熟练掌握平行线的判定方法是解本题的关键．

12.【答案】8

【解析】解：𝑎𝑚+𝑛=𝑎𝑚⋅𝑎𝑛=2×4=8， 故答案为：8．

因为𝑎𝑚和𝑎𝑛是同底数的幂，所以根据同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加解答即可．

此题主要考查了同底数幂的乘法，此题逆用了同底数幂的乘法法则，是考试中经常出现的题目类型．

13.【答案】4

【解析】解：∵𝑚+2𝑛=2，𝑚−2𝑛=2， ∴𝑚2−4𝑛2=(𝑚+2𝑛)(𝑚−2𝑛)=2×2=4． 故答案为：4．

原式利用平方差公式分解，把各自的值代入计算即可求出值． 本题考查平方差公式，掌握平方差公式的结构特征是正确应用的前提．

14.【答案】4

【解析】解：∵𝑥2−4𝑥+𝑘是完全平方式， ∴𝑘=22=4， 故答案为：4

利用完全平方公式的结构特征判断即可求出k的值．

此题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．

15.【答案】130°

【解析】 【分析】

本题考查了两直线平行，内错角相等，同旁内角互补的

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性质，以及翻折变换的性质，熟记各性质是解题的关键．

据两直线平行，内错角相等求出∠3，再根据翻折的性质以及平角等于180°，求出∠1，然后根据两直线平行，同旁内角互补，列式计算即可得解． 【解答】

解：长方形纸片ABCD的边𝐴𝐷//𝐵𝐶， ∴∠3=∠𝐸𝐹𝐺=65°，

根据翻折的性质，可得∠1=180°−2∠3=180°−2×65°=50°， 又∵𝐴𝐷//𝐵𝐶，

∴∠2=180°−∠1=180°−50°=130°． 故答案为：130°．

16.【答案】5

【解析】解：∵3𝑚=2，9𝑛=32𝑛=5，

∴33𝑚−2𝑛=(3𝑚)3÷32𝑛 =23÷5

=5． 故答案为：5．

直接利用同底数幂的除法运算法则以及幂的乘方运算法则分别化简得出答案． 此题主要考查了同底数幂的除法运算以及幂的乘方运算，正确将原式变形是解题关键．

8

8

8

17.【答案】4

【解析】解：∵𝑎−𝑏=2

∴原式=(𝑎+𝑏)(𝑎−𝑏)−4𝑏=2(𝑎+𝑏)−4𝑏=2𝑎−2𝑏=2(𝑎−𝑏)=4 故答案为：4

先将多项式因式分解，然后再代入求值．

本题考查因式分解，涉及平方差公式，代入求值等知识．

18.【答案】4或−2

【解析】解：∵𝑎2−2(𝑘−1)𝑎𝑏+9𝑏2=𝑎2±6𝑎𝑏+(3𝑏)2， ∴−2(𝑘−1)=±6， 解得𝑘=4或−2，

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故答案为：4或−2．

先根据两平方项确定出这两个数，再根据完全平方公式的乘积二倍项即可确定k的值． 本题主要考查了完全平方式，根据平方项确定出这两个数是解题的关键，也是难点，熟记完全平方公式对解题非常重要．

19.【答案】𝑎−3𝑏+𝑐

【解析】解：∵𝑎，b，c为△𝐴𝐵𝐶的三边， ∴𝑎−𝑏+𝑐>0，𝑎+𝑏−𝑐>0，𝑎−𝑏−𝑐<0，

∴|𝑎−𝑏+𝑐|−|𝑎+𝑏−𝑐|−|𝑎−𝑏−𝑐|=𝑎−𝑏+𝑐−(𝑎+𝑏−𝑐)+(𝑎−𝑏−𝑐) =𝑎−𝑏+𝑐−𝑎−𝑏+𝑐+𝑎−𝑏−𝑐 =𝑎−3𝑏+𝑐． 故答案为：𝑎−3𝑏+𝑐．

直接利用三角形三边关系进而化简得出答案．

此题主要考查了三角形三边关系以及绝对值的性质，正确化简绝对值是解题关键．

20.【答案】①②③④

【解析】 【分析】

本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，平行线的性质，掌握等腰三角形的性质三线合一是解题的关键．

𝐴𝐷⊥𝐵𝐶，根据等腰三角形的性质三线合一得到𝐵𝐷=𝐶𝐷，故②③正确；通过△𝐶𝐷𝐸≌△𝐷𝐵𝐹，得到𝐷𝐸=𝐷𝐹，𝐶𝐸=𝐵𝐹，故①④正确． 【解答】 解：∵𝐵𝐹//𝐴𝐶， ∴∠𝐶=∠𝐶𝐵𝐹， ∵𝐵𝐶平分∠𝐴𝐵𝐹， ∴∠𝐴𝐵𝐶=∠𝐶𝐵𝐹， ∴∠𝐶=∠𝐴𝐵𝐶， ∴𝐴𝐵=𝐴𝐶，

∵𝐴𝐷是△𝐴𝐵𝐶的角平分线，

∴𝐵𝐷=𝐶𝐷，𝐴𝐷⊥𝐵𝐶，故②③正确， 在△𝐶𝐷𝐸与△𝐵𝐷𝐹中，

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∠𝐶=∠𝐶𝐵𝐹{𝐶𝐷=𝐵𝐷， ∠𝐸𝐷𝐶=∠𝐹𝐷𝐵

∴△𝐶𝐷𝐸≌△𝐵𝐷𝐹(𝐴𝑆𝐴)，

∴𝐷𝐸=𝐷𝐹，𝐶𝐸=𝐵𝐹，故①正确； ∵𝐴𝐸=2𝐵𝐹，

∴𝐴𝐶=3𝐵𝐹，故④正确； 故答案为①②③④．

21.【答案】解：(1)原式=1+𝜋−3+9=7+𝜋．

(2)原式=𝑥2−9−(𝑥2−4𝑥+4) =𝑥2−9−𝑥2+4𝑥−4 =4𝑥−13．

【解析】(1)利用零指数幂、负整数指数幂法则，绝对值的意义计算即可得到结果； (2)根据平方差公式和完全平方公式计算即可得到结果．

本题考查了实数和整式的运算，平方差公式和完全平方公式，解答本题的关键是明确它们各自的计算方法．

22.【答案】解：(1)(𝑎+3)2−(𝑎+2)(𝑎−1)

=(𝑎2+6𝑎+9)−(𝑎2−𝑎+2𝑎−2) =𝑎2+6𝑎+9−𝑎2+𝑎−2𝑎+2 =5𝑎+11；

(2)(15𝑥2𝑦−10𝑥𝑦2)÷5𝑥𝑦 =3𝑥−2𝑦．

(1)先根据完全平方公式和多项式乘以多项式法则算乘法，【解析】再合并同类项即可； (2)根据多项式除以单项式法则求出即可．

本题考查了完全平方公式，多项式乘以多项式法则，多项式除以单项式法则，整式的混合运算等知识点，能正确根据知识点进行化简是解此题的关键．

23.【答案】解：∵𝐴𝐵//𝐶𝐷，∠1=68°，

∴∠1=∠𝑄𝑃𝐴=68°．

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∵𝑃𝑀⊥𝐸𝐹， ∴∠2+∠𝑄𝑃𝐴=90°． ∴∠2+68°=90°， ∴∠2=22°．

【解析】根据平行线的性质求得∠1=∠𝑄𝑃𝐴=50°，由于∠2+∠𝑄𝑃𝐴=90°，即可求得∠2的度数．

本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是本题的关键．

24.【答案】已知 AD 同位角相等，两直线平行 ∠3 两直线平行，同位角相等 ∠2=

∠3 等量代换 内错角相等，两直线平行

【解析】解：证明：∵𝐴𝐷⊥𝐵𝐶，𝐸𝐹⊥𝐵𝐶(已知)， ∴∠𝐸𝐹𝐵=∠𝐴𝐷𝐵=90°(垂直的定义) ∴𝐸𝐹//𝐴𝐷(同位角相等，两直线平行) ∴∠1=∠3(两直线平行，同位角相等) 又∵∠1=∠2(已知) ∴∠2=∠3(等量代换)

∴𝐷𝐺//𝐴𝐵(内错角相等，两直线平行)

AD；∠3；∠2=∠3；故答案为：已知；同位角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等；等量代换；内错角相等，两直线平行；

根据三角形内角和定理以及平行线的性质即可求出答案．

本题考查三角形的综合问题，解题的关键是熟练运用三角形内角和定理以及平行线的性质与判定，本题属于基础题型．

25.【答案】(1)证明：∵𝐴𝐷平分∠𝐵𝐴𝐶，

∴∠𝐵𝐴𝐷=∠𝐶𝐴𝐷； 在△𝐴𝐷𝐸和△𝐴𝐷𝐶中， 𝐴𝐸=𝐴𝐶

{∠𝐸𝐴𝐷=∠𝐶𝐴𝐷， 𝐴𝐷=𝐴𝐷

∴△𝐴𝐷𝐸≌△𝐴𝐷𝐶(𝑆𝐴𝑆)；

(2)解：由(1)知，△𝐴𝐷𝐸≌△𝐴𝐷𝐶， ∴𝐷𝐸=𝐷𝐶(全等三角形的对应边相等)，

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∴𝐵𝐶=𝐵𝐷+𝐷𝐶=𝐵𝐷+𝐷𝐸=4.5+3.5=8(𝑐𝑚)．

【解析】(1)根据角平分线的意义知∠𝐵𝐴𝐷=∠𝐶𝐴𝐷，又因为𝐴𝐸=𝐴𝐶，𝐴𝐷=𝐴𝐷，所以根据三角形的判定定理SAS易证得△𝐴𝐸𝐷≌△𝐴𝐶𝐷；

(2)利用(1)的结果，根据全等三角形的性质：对应边相等，知𝐶𝐷=𝐷𝐸，而𝐵𝐶=𝐵𝐷+𝐷𝐶，可求BC的长．

本题考查全等三角形的判定与性质．解答此题时，充分利用了角平分线的意义．

26.【答案】解：(1)由题意可知：𝐶𝐷=𝐶𝐸，∠𝐷𝐶𝐸=90°，

∵∠𝐴𝐶𝐵=90°，

∴∠𝐴𝐶𝐷=∠𝐴𝐶𝐵−∠𝐷𝐶𝐵， ∠𝐵𝐶𝐸=∠𝐷𝐶𝐸−∠𝐷𝐶𝐵， ∴∠𝐴𝐶𝐷=∠𝐵𝐶𝐸， 在△𝐴𝐶𝐷与△𝐵𝐶𝐸中，

𝐴𝐶=𝐵𝐶

{∠𝐴𝐶𝐷=∠𝐵𝐶𝐸 𝐶𝐷=𝐶𝐸

∴△𝐴𝐶𝐷≌△𝐵𝐶𝐸(𝑆𝐴𝑆) (2)∵∠𝐴𝐶𝐵=90°，𝐴𝐶=𝐵𝐶， ∴∠𝐴=45°，

由(1)可知：∠𝐴=∠𝐶𝐵𝐸=45°，𝐴𝐷=𝐵𝐸， ∵𝐴𝐷=𝐵𝐹， ∴𝐵𝐸=𝐵𝐹， ∴∠𝐵𝐸𝐹=67.5°．

【解析】本题考查全等三角形的判定与性质，解题的关键是熟练运用旋转的性质以及全等三角形的判定与性质，本题属于中等题型．

(1)由题意可知：𝐶𝐷=𝐶𝐸，∠𝐷𝐶𝐸=90°，由于∠𝐴𝐶𝐵=90°，所以∠𝐴𝐶𝐷=∠𝐴𝐶𝐵−∠𝐷𝐶𝐵，∠𝐵𝐶𝐸=∠𝐷𝐶𝐸−∠𝐷𝐶𝐵，所以∠𝐴𝐶𝐷=∠𝐵𝐶𝐸，从而可证明△𝐴𝐶𝐷≌△𝐵𝐶𝐸(𝑆𝐴𝑆)； (2)由△𝐴𝐶𝐷≌△𝐵𝐶𝐸(𝑆𝐴𝑆)可知：∠𝐴=∠𝐶𝐵𝐸=45°，𝐴𝐷=𝐵𝐸，可得𝐵𝐸=𝐵𝐹，从而可求出∠𝐵𝐸𝐹的度数．

27.【答案】(1)𝑎2−𝑏2；

(2)𝑎−𝑏；𝑎+𝑏；(𝑎+𝑏)(𝑎−𝑏);

(3)(𝑎+𝑏)(𝑎−𝑏)=𝑎2−𝑏2;

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(4)(2𝑚+𝑛−𝑝)(2𝑚−𝑛+𝑝) =(2𝑚)2−(𝑛−𝑝)2 =4𝑚2−(𝑛2−2𝑛𝑝+𝑝2) =4𝑚2−𝑛2+2𝑛𝑝−𝑝2

【解析】解：(1)由图可得，阴影部分的面积=𝑎2−𝑏2； 故答案为：𝑎2−𝑏2；

(2)由图可得，矩形的宽是𝑎−𝑏，长是𝑎+𝑏，面积是(𝑎+𝑏)(𝑎−𝑏)； 故答案为：𝑎−𝑏，𝑎+𝑏，(𝑎+𝑏)(𝑎−𝑏)；

(3)依据两图的阴影部分面积相等，可以得到乘法公式(𝑎+𝑏)(𝑎−𝑏)=𝑎2−𝑏2； 故答案为：(𝑎+𝑏)(𝑎−𝑏)=𝑎2−𝑏2；

(4)(2𝑚+𝑛−𝑝)(2𝑚−𝑛+𝑝) =(2𝑚)2−(𝑛−𝑝)2 =4𝑚2−(𝑛2−2𝑛𝑝+𝑝2)

=4𝑚2−𝑛2+2𝑛𝑝−𝑝2．

(1)由图形的面积关系即可得出结论； (2)由图形即可得到长方形的长，宽以及面积； (3)依据两图的阴影部分面积相等，可以得到乘法公式； (4)依据平方差公式以及完全平方公式，即可得到计算结果．

本题考查了平方差公式的几何背景，此类题目，关键在于表示出阴影部分的面积，然后根据阴影部分面积相等求解．

28.【答案】解：(1)①∵𝐴𝐵//𝐶𝐷，

∴∠1=∠3，

∵∠1=∠2，∠3=∠4， ∴∠2=∠4=36°；

②位置关系是：𝐸𝑀//𝐹𝑁.理由： 由①知，∠1=∠3=∠2=∠4， ∴∠𝑀𝐸𝐹=∠𝐸𝐹𝑁=180°−2∠1， ∴∠𝑀𝐸𝐹=∠𝐸𝐹𝑁

∴𝐸𝑀//𝐹𝑁(内错角相等，两直线平行) (2)关系是：∠𝐸𝐹𝐷=2∠𝐺𝐸𝐻.理由： ∵𝐸𝐺平分∠𝑀𝐸𝐹，

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∴∠𝑀𝐸𝐺=∠𝐺𝐸𝐻+∠𝐻𝐸𝐹① ∵𝐸𝐻平分∠𝐴𝐸𝑀，

∴∠𝑀𝐸𝐺+∠𝐺𝐸𝐻=∠𝐴𝐸𝐹+∠𝐻𝐸𝐹② 由①②可得： ∴∠𝐴𝐸𝐹=2∠𝐺𝐸𝐻， ∵𝐴𝐵//𝐶𝐷， ∴∠𝐴𝐸𝐹=∠𝐸𝐹𝐷， ∴∠𝐸𝐹𝐷=2∠𝐺𝐸𝐻．

【解析】(1)根据平行线的性质和判定解答即可； (2)利用角平分线的定义和平行线的性质解答即可．

此题考查平行线的性质，关键是根据平行线的性质和判定解答．

29.【答案】解：(1)∵𝐴𝐵=𝐴𝐶，∠𝐵=30°，

∴∠𝐶=∠𝐵=30°，

∵∠𝐵𝐷𝐴=100°，∠𝐴𝐷𝐸=30°， ∴∠𝐸𝐷𝐶=180°−100°−30°=50°， ∴∠𝐷𝐸𝐶=180°−50°−30°=100°； (2)∵∠𝐶=30°， ∴∠𝐶𝐸𝐷+∠𝐶𝐷𝐸=150°， ∵∠𝐴𝐷𝐸=30°，

∴∠𝐴𝐷𝐵+∠𝐶𝐷𝐸=150°， ∴∠𝐶𝐸𝐷=∠𝐴𝐷𝐵，

∠𝐴𝐷𝐵=∠𝐷𝐸𝐶

在△𝐴𝐵𝐷和△𝐷𝐶𝐸中，{∠𝐵=∠𝐶，

𝐴𝐵=𝐷𝐶∴△𝐴𝐵𝐷≌△𝐷𝐶𝐸(𝐴𝐴𝑆)；

(3)存在，∵𝐴𝐵=𝐴𝐶，∠𝐵=30°， ∴∠𝐵𝐴𝐶=120°，

∵𝐵𝐶=6𝑐𝑚，点D的运动速度是1𝑐𝑚/𝑠，运动时间为𝑡(𝑠)， ∴𝐵𝐷=𝑡，𝐶𝐷=6−𝑡，

①如图1，当∠𝐷𝐴𝐸=90，则∠𝐵𝐴𝐷=30°， ∴∠𝐵𝐴𝐷=∠𝐵=30°， ∴𝐴𝐷=𝐵𝐷=𝑡，

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∵∠𝐶=30°，

∴𝐶𝐷=2𝐴𝐷，即6−𝑡=2𝑡， ∴𝑡=2；

②如图2，当∠𝐴𝐸𝐷=90°时，则∠𝐷𝐴𝐸=60°， ∴𝐴𝐷平分∠𝐵𝐴𝐶， ∴𝐵𝐷=𝐶𝐷， 即𝑡=6−𝑡， ∴𝑡=3，

综上所述，当𝑡=2或3时，△𝐴𝐷𝐸的形状是直角三角形．

【解析】(1)根据等腰三角形的性质得到∠𝐶=∠𝐵=30°，根据已知条件得到∠𝐸𝐷𝐶=180°−100°−30°=50°，于是得到∠𝐷𝐸𝐶=180°−50°−30°=100°；

(2)根据三角形的内角和和平角的定义得到∠𝐶𝐸𝐷=∠𝐴𝐷𝐵根据全等三角形的判定定理即可得到结论；

(3)根据三角形的内角和得到∠𝐵𝐴𝐶=120°，求得𝐵𝐷=𝑡，𝐶𝐷=6−𝑡，①如图1，当∠𝐷𝐴𝐸=90，则∠𝐵𝐴𝐷=30°，根据直角三角形的性质列方程求得t的值；②如图2，当∠𝐴𝐸𝐷=90°时，则∠𝐷𝐴𝐸=60°，根据等腰三角形的性质列方程求得t的值． 本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，直角三角形的性质，三角形的内角和，正确的作出图形是解题的关键．

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