正弦函数和和余弦函数的定义与诱导公式题目与答案

正弦函数和余弦函数的定义与诱导公式

正弦函数和余弦函数的定义

【要点链接】

1．单位圆的定义：

注意两点：以原点为圆心，以单位长为半径． 2．任意角的正弦函数和余弦函数的定义：

对于任意角，使角的顶点与原点重合，始边与x轴正半轴重合： ①终边与单位圆交于点P(u,v)，过P作PM与x轴垂直，垂足为M，

那么sinv，cosu；线段MP为角的正弦线，线段OM为角的余弦线． ②可设终边上不同于原点的任意一点为P(x,y)，OPr， 那么sinyx，cos． rr注意②是正弦函数和余弦函数的定义的推广，可直接应用．

3．周期与最小正周期：

记住正弦函数和余弦函数的最小正周期都为2，可直接用． 会判断一个数是否是一个函数的周期． 【随堂练习】 一、选择题

1．单位圆是指（ ）

A．半径为1的圆 B．圆心为坐标原点且半径为1的圆 C．半径为整数的圆 D．圆心为坐标原点且半径为整数的圆 2．若sincos0且cos0，则的终边所在象限是（ ）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3．已知角的终边过点P(1,2)，则cos的值为（ ）

5255 B．5 C． D． 25．设a0，角的终边经过点P(3a,4a)，那么sin2cos的值等于（ ）

2211A． B．－ C． D．－

5555 A．

二、填空题

5．sin(60)_______．

6．若角的终边在直线y2x上，且sin0，那么cos_______． 7．角的终边上有一点P(m,5)，且cos

三、解答题

8．已知单位圆上一点P(0m,(m0)，则m______． 133,a)，设以射线OP为终边的角(02)，求角 2 的正弦值，并作出角的正弦线．

9．已知角终边上一点P与x轴的距离和与y轴的距离之比为3∶4（且均不为零）， 求2sincos的值．

答案

1．B 由单位圆的定义可知．

2．C 知cos0且sin0，那么在第三象限．

3．D 知OP5，设角的终边与单位圆的交点为(x,y)，由相似比知 cosx15． OP34x(x0)，它与单位圆的交点为(,)， 3532则sin，cos，所以sin2cos．

555313305． 画出60角的终边，它与单位圆的交点为(,． )，则sin(600)222212125,)或(,)，而sin0， 6． 直线y2x与单位圆的交点为(5555．A 知射线OP方程为y 则cos5． 5mm，解得m12． 2213m5132y8．解：因为点P在单位圆上，则()a21，解得a． 221131P当a时，点P坐标为(,)，则sin；

x2222MO1131当a时，点P坐标为(,)，则sin． P2222角的正弦线即为图中的MP与MP．

9．解：设a0，点P的情况有四种：(4a,3a)、(4a,3a)、(4a,3a)、(4a,3a)．

34若角终边过点P(4a,3a)，则2sincos22；

55342； 若角终边过点P(4a,3a)，则2sincos2555342； 若角终边过点P(4a,3a)，则2sincos255342． 若角终边过点P(4a,3a)，则2sincos25557．12 由相似比知cos

备选题

01．若f(sinx)sin2x，则f(sin30)的值等于（ ）

A．

1 20B．－

1 20C．－

03 2D．

3 21．D f(sin30)sin(230)sin60

3． 2

3x上，则sin ． 311331312． 直线yx与单位圆的交点为(,)、(,)，则sin．

22322222．已知角的终边在直线y

正弦函数和余弦函数的诱导公式

【要点链接】

1．会通过单位圆中的正弦线和余弦线得出角与角，角与角， 角与角，角与角

2的正弦值与余弦值之间的关系；

2．会记住以上公式并灵活运用；

3．诱导公式的一个统一的记法：奇变偶不变，符号看象限．

介绍如下：比如对sin()(kZ)，首先把看作第一象限的角，当k为奇数时， 名称sin要变成cos，当k为偶数时，名称sin不变；正负号要由

k2k的象限而确定． 2要熟练掌握上述方法，可以不必再去记忆那么多公式，而且可以很快很准确去做出． 【随堂练习】 一、选择题

52A．cos B．cos C．sin D．sin

132．已知cos，且2，则sin(2)等于（ ）

221333A． B． C． D． 22221．化简cos()为（ ） 3．下列各式不正确的是（ ）

A．sin(180)sin B．cos()cos() C．sin(360)sin D．cos()cos() 4．sin150sin1352sin210sin225的值是（ ）

A．

202002000

二、填空题

1 4B．

3 4C．

11 4D．

9 437，则sin()_______． 526．已知ysinx的最小正周期为2，请写出f(x)sin2x的比2小的一个周期

5．若cos()为_______．

32sin()sin()cos()352_______． 7．设角，则21sinsin()cos2()6

三、解答题

8．已知sin()2cos(2)，求

9．若cos

sin()5cos(2)的值．

33sin()cos()222sin(2)sin(3)cos(3)，是第四象限角，求的值． 3cos()cos()cos(4)答案

1．D cos()cos(2．B 由cos522)sin．

1353，且2，则，则sin(2)sin． 223323．B cos()cos[()]cos()，则选B．

221221)2()()． 22243337()cos，则cos，则sin()sin() 5． cos555223 cos．

56． ysinx的最小正周期为2，则sin(x2)sinx，则f(x)sin2(x)

)sxin2fx sin(x22，说明是f(x)sin2x的一个周期．

4．A 原式()(21235136，则sin，cos， 66222sincoscos3． 所求式1sin2sincos28．解：由已知得sin2cos，

y设角的终边与单位圆的交点为(x,y)，则y2x，则2．

xy5sin5cosy5x7 则原式x．

3cossin3xy3y5x29．解：cos，是第四象限角，

32则知角的终边与单位圆的交点为(,m)(m0)，

322552那么()m1，则m，所以sin．

333sin(2)sin(3)cos(3)sinsin(3)cos(3)7．3 cos()cos()coscoscos()cos



备选题

sinsincos2coscos5523335．

422931．已知sin(1．

4)33，则sin()___________．

42333 sin()sin[()]sin()．

4442231)，则cos_________． 25331126()cos()cos()s，则insin，2． cos

222555则可设的终边上一点为(1,y)，得(1)2y252，又y0，则y26，

2．已知为第三象限角，且cos(则cos

26． 5

同步测试题

A组

一、选择题

1．设为第二象限角，且cos2cos2，则

2角属于（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

2．设sin35，cos45，那么下列各点在角终边上的是（ ） A．(4,3) B．(4,3) C．(3,4) D．(3,4)

3．若是第三象限角，且cos20，则2是（ ）

A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角

4．角(02)的正、余弦线的长度相等，且正、余弦符号相异，那么的值为（A．

4 B．34 C．7374 D．4或4

5．已知角的终边在函数y|x|的图像上，则sin的值为（ ）

A．－

2212 B．

22 C．

2或－22 D．2

6．设角的终边上一点P的坐标是(cos5,sin5)，则等于（ ）

A．5 B．310 C．2k310(kZ) D．2k5(kZ)

二、填空题

7．已知2k2(kZ)，cos0，则

sincos ． 8．ycosx的最小正周期为 ．

9．已知定义在R上的函数f(x)满足f(x2)f(x)，写出f(x)的一个周期 为_______．

三、解答题

10．判断函数f(x)xsin(x)的奇偶性．

11．若k∈Z，求sin(k)cos(k)sin[(k1)]cos[(k1)]的值．

12．已知第三象限的角终边上一点P(3,m)，且sin24m，求sin的值．

B组

一、选择题

1．若为第二象限角，那么sin(sin)的值为（ ） A．正值 B．负值 C．零 D．不能确定 2．已知函数f(x)asinxx1，满足f(5)7，则f(5)的值为（ ）

）

A．5 B．－5 C．6 D．－6

3．设角的终边上一点P的坐标是(cos

A．

5,sin5)，则等于（ ）

3 B．

105C．2k3(kZ) D．2k(kZ) 10．若是第一象限角，则sin2,sin

A．0个

B．1个

2,cos2,cos2中能确定为正值的有（ ）

D．2个以上

C．2个

二、填空题

sin2cossin5，那么的值为 ．

3sin5coscos6．已知cosx2a3，x是第二、三象限的角，则a的取值范围_____________．

5．已知

三、解答题

7．利用三角函数线，写出满足下列条件的角x的集合． （1）sinx

8．已知角的终边在直线y3x上，求10sin

213； （2）sinx． 222sin的值． cos答 案

A组

1．C

为第二象限角，则

在一三象限，而coscos，则cos0，

2222 则

角属于第三象限． 23，其它不满足，选A． 53．B 是第三象限角，则是第二、四象限的角，又cos0，则是第二象限角．

2223574．D 角(02)的正、余弦线的长度相等，则可为、、、，

44445 的正、余弦符号相同，的正、余弦符号相同，另两个是相异的．

442．A 角终边过(4,3)时，则sin,cos5．A 知角的终边在第三或第四象限，值为负，只有A满足． 6．D 知点P在第一象限内，且 则角的终边与7．1 2k5的终边上有一点的坐标为(cos,sin)，

555的终边相同，则2k5(kZ)

2，则sinsin(2k)sin()cos．

22

8． cosx()cxo，则最小正周期为s．

9．4 因为f(x2)f(x)，则f(x4)f(x2)，可得f(x4)f(x)， 知4为f(x)的一个周期．

10．解： f(x)xsin(x)xsinx，

f(x)xsin(x)xsinxf(x)，

所以f(x)为偶函数．

11．解：法一：若k为偶数，则原式＝

若k为奇数，则原式＝

sin()cossincos＝－1，

sin()cos()(sin)(cos)sin()cos()sin(cos)＝－1． sincos()sincos法二：(k)(k)2k，[(k1)][(k1)]2(k1)，

sin(k)cos(k)sin(k)cos(k)原式＝＝＝－1．

sin[(k1)]cos[(k1)]sin(k)[cos(k)]mx， 12．解：角是第三象限的角，则m0，射线OP方程为y3m22它与单位圆xy1的交点的纵坐标为，

23mm2m2则sin，而sinm，则m，

22443m3m则m5，则m5，所以sin

B组

1．A 为第二象限角，则0sin12210． m442，则sin(sin)0．

2．B f(5)asin5517，则asin51，

那么f(5)asin(5)51asin5515

3．D 知点P在第一象限内，且 则角的终边与4．B

5的终边上有一点的坐标为(cos5,sin5)，

5的终边相同，则2k5(kZ)．

是第一象限角，则

在一或三象限，2的终边在x轴的上方， 2则sin2一定为正．

2322 设角的终边与单位圆的交点为P(x,y)，则xy1， 16y2y2xx5，则 siny，cosx，可得5，

y3y5x35x5．

则

y23sin23，那么． x16cos166．(1,) x是第二、三象限的角，则1cosx0，则12a30，

则1a323． 22与单位圆有两不同的交点， 2这两点与圆心连线把圆分成了两部分，当角x的终边落在

2如图的阴影部分（含边界）时，满足sinx，

2 则满足条件的x的集合为{xk3600450xk36001350,kZ}． 7．解：（1）作单位圆如图，再作y13（2）作单位圆如图，再作y、y与单位圆有四不同的交点， 22 当角x的终边落在如图的阴影部分（不含虚线边界）时，

1200y 600x 13O 满足sinx，则满足条件的x的集合为

220150{xk36001200xk36002100,或k3600300xk3600600,kZ}． 8．解：当角的终边在第二象限时，取终边上一点A(1,3)，则rOA10， 则sin300sin310． ，cos，那么10sincos1010当角的终边在第四象限时，取终边上一点B(1,3)，则rOB10，

sin316． 则sin，cos，那么10sincos1010

备选题

1．下列等式中成立的是( )

42519000cos() C．sin(236040)sin40 D．cos661．A cos3700cos(72003500)cos(3500)．

2．若sin()sin()m，则sin(3)2sin(2)_______．

A．cos3700cos(3500) B．cos(34)cos

3mm 由sin()sin()m，得sin， 223 则sin(3)2sin(2)3sinm．

22．

23．已知sin是方程5x7x60的根，

sin()sin(2)sin2(3)求的值．

sin()[2sin()sin()]3323．解：5x7x60的两根为或2，则sin，

55sin()sin(2)sin2(3)sin(sin)sin2 sin()[2sin()sin()]sin(3sin)sin2133()2 ． 33525