高一数学指数方程和对数方程(教师版)

学科教师辅导讲义

年 级： 高一 辅导科目： 数学 课时数： 课 题 1、掌握简单指数方程的解法； 2、掌握简单对数方程的解法。 教学内容 指数方程和对数方程 教学目的 【知识梳理】 一、指数方程 1、定义 指数里含有未知数的方程叫做指数方程 2、指数方程的解法 （1）ab型a0,a1,b0 x化为对数式：xlogab （2）afxagx型a0,a1 比较指数，解方程：fxgx 特例：afxb型a0,a1,b0 解方程：fxlogab （3）fax0型a0,a1 换元法：令ya，解方程：fy0 x注意：须验根：ya0 （4）afxxafxa0,a1,b0,b1,ab 解方程：fx0 （5）精确度要求不高时，可采用图像法 二、对数方程 1、定义 在对数符号后面含有未知数的方程叫做对数方程

2、对数方程的解法 （1）logaxb型a0,a1 化为指数式：xa （2）logafxlogagx型a0,a1 bfxgx比较真数，解混合组： fx0(或gx0)特例：logafxb型a0,a1，解方程：fxab （3）flogax0型a0,a1 换元法：设ylogax，解方程：fy0 特例：logafxn0a0,a1， logafxmg设ylogafx，解方程：ymyn0 223、验根 在解对数方程的过程中，常将方程化简为logafxlogagx的形式，再解fxgx，在此过程中，有可能出现增根，因为在解fxgx时，允许fx gx0或fxgx0了，所以，必须代入到原方程检验 【典型例题分析】 例1、解下列方程： （1）2x15x4160.25；（2）xlog5x1=5；（3）32x553x22。 解法指导：解指数方程和对数方程主要是利用“化归”把它化为代数方程。 5解：（1）2x11164x422x12x14x1x1 4所以x24或x0。 经检验：x24是原方程的根。 （2）两边取对数：得(log5x1)log5所以x25或xx1log5x2或log5x1， 11。经检验x25与x均为原方程的根。 55（3）xlog322。

xxx变式练习1：解方程:4+6=2·9 [分析]:两边除以9后，出现了(x)和x()，而(x)与x

( 解:∵9>0， x ∴两边除以9x)可以化为同底. x得:()+(x)=2， x

[()x]+(2)=2， 令x()=y， y+y-2=0， x2

y1=2， y2=1.当y=-2时，()=-2，此方程无实根，当y=1时，x(xx)=1， x=0. ∴ x=0. 2xx变式练习2：．解关于x的方程4(a1)62(aa)9。 222解：原方程可化为(a1)2a2a0，设t 3332xxx则t2ata10 （1）当a0时，xlog2(1a)； 3（2）当0a1时，x1log2(1a),x2log2(2a)； 33（3）当a1时，xlog2(2a)。 3

例2、关于x的方程k9k3xx16(k5)0在区间0,2上有解，求k的取值范围。 解法指导：有关方程的有解与无解的问题以及方程的解的个数问题，可转化为函数类的问题。本题可利用分离参数，数形结合求解。 解：由k9k3xx16(k5)0，得3030在函数9x3x16，因为方程在0,2上有解，所以kk1u9x3x16,x0,2的值内取值即可，不难求得其值域为,8， 2所以1k8。 22变式练习：已知a0,a1，求使方程logaxaklogax2a2有解的k的取值范围 答案：k,1U0,1 例3、解方程 2log16x+logx16=3. x16 [分析]:log16与logx互为倒数，可考虑换元法. x解:定义域为{x|x>0且x≠1}，设log16=y， 则logx=16，

2y+=3， 2y-3y+1=0， 2y1=， y2=1.

当y=x=4. x 当y=1时，log16=1， x=16. ∴ x1=4， x2=16. (2x变式练习：(1)log32时，log16=x， 9x2)1 (2)log(x1)(2x22x1)2 (3)lg(x3)lg(x1)lg(x2x3) fxmafxn0a0,a1,m24nm 例4、解方程：a22【错解】设afxy，则元方程变形为y2myn0 mm24nmm24nfx由公式法知y，即a 22【错解分析】a【正解】设afxmm24n0,0，故错 2fxy，则元方程变形为y2myn0 mm24nmm24nfx 由公式法知y，即a 22

又a fx0,afxmm24n 24.8 例5、解下列方程： （1）log24x4xlog22x13 （2）xlogaxa3gx2a0,a1 【解】（1）log24x4log22xlog22x13 4x42x2x1322x13g2x 整理得：4324024或1（舍去） 所以x2 经检验，x2是原方程的根 （2）两边取以为底的对数，得logax整理得，logax32logax 即logax2logax30 所以logax3或1 xa或33logaxxxxlogaa3gx3 221 a1都是方程的根 a经检验xa和x变式练习：解方程log24x4xlog22x13 【解】原方程可以化为log244log22xx2x13 即442xx2x13，整理得，22x3g2x402x4或1（舍去） x2 经检验x2是原方程的根 例6、已知关于x的方程lgkx2lgx1有且只有一个实数解，求实数k的取值范围。

kx0x1x即2【解】显然需满足x10 x2kx102x1kx（1）若上述方程有两个相等实根，则必有V0,即2k40k4或k0 若k0，则实根x1（舍去）；若k4，则实根为x1符合题意 （2）若上述方程有两个不等实根x1,x2，则必有x11,x21 考虑函数fxx22kx1，只需f10k0 综上所述，实数k的取值范围是k4或k0 【点拨】此类对数方程形式简单，但综合性很强，往往要归纳为对一元二次方程根的讨论，解题时需注意如下三点： （1）根据对数函数的定义域，列出条件方程，一般总可以省略其中的一个条件 （2）如果转化为一元一次方程，问题比较简单，只要将所得到的x满足取值范围即可；如果转化为一元二次方程，那么： 若V0，方程无解； 若V0，所得到的x如在取值范围内，则有一解，如不在取值范围内，则无解； 若V0，所得到的两个值x如均在取值范围内，则有两解；如恰有一个在取值范围内，则有一解；如均不在取值范围内，则无解； （3）对数方程常常归结为对一元二次方程根的讨论，而讨论的方法，一般有如下三种：利用求根公式，韦达定理及运用二次函数的图像等。 2【课堂小练】 1、方程是2x2x22x15的解集是_________________ 2x12、方程9623、方程55x1x的解集是_________________ 3x1的解集是_______________ lg5lg3 lg35lg51、x2 2、x0 3、x4、（1）阅读不等式213的解法： xx21 设fx，则fx是R上的减函数，因为f11，所以当x1时， 332121xxx30213；当时，。因为，所以不等式的解集为xx1 x1113333 试利用上面的解法解不等式235

xxxxxxxxx

（2）证明：51213有且只有一个实数解x2 答案：（1）xx1 （2）略 5、若logxxxx211，则x__________ 6、方程log331log33xx112的解是____________________ 37、方程log5x54x实数解的个数是 （ ） A 3 B 2 C 1 D 0 8、关于x的方程lgxx3，10x3的根分别为,，则等于 （ ） A 6 B 5 C 4 D 3 9、关于x的方程：log2x3log4x2a在区间3,4内有解，则实数a的取值范围是_____________________ 10、关于x的方程log2xx21a0有实数解，求实数a的取值范围，并求出方程的解。 答案： 5、3 6、log341,log310 7、B 8、D 9、log2x7,1 410、当且仅当a0时，方程有唯一实数解x 1a22a 2 【课后练习】 1、方程lgx5x26lgx31的解是___________ 22、方程xlog5x15的解是___________________ 23、方程log2x13x22的解是_________________ 、方程3gx25g32x的解集是________________

xy3g5455、方程组yx的解集是______________________ 5753g6、若22x5g2x4，则x21的值为 （ ） A 5 B 1 C 5或1 D 以上都不存在 7、若x,y同时满足2x68y1和9y13x7，则xy的值为 （ ） A 18 B 24 C 21 D 27 8、满足方程32x23x33x30的实数有 （ ） A 0个 B 1个 C 2个 D 3个 9、方程2x1x2的实数的个数是 （ ） 2xA 0个 B 1个 C 2个 D 大于2个 10、解方程7 74 x12x13f11、已知fx，求的值 12x5 12、已知关于x的方程2a 13、方程4220的解是__________________ 14、方程x25xxx2x27ax130有一个实数根为2，求实数a的值和方程其余的根。 1的实数根的个数是_________________ x15、若关于x的方程2aa2a0,a1有两个实数解，则a的取值范围是______________ 16、已知fxxbxc，且满足f1xf1x,f03，则fb______________ 17、设方程2x8的根为，则与最接近的整数为___________

x与fc的大小关系是xx

18、方程x212的正实数根x________（结果精确到0.1） 19、设非零实常a,b,c满足a,b同号，b,c异号，则关于x的方程ag4bg2c0（ ） A 无实根 B 有两个共轭的虚根 C 有两个异号的实根 D 仅有一个实根 20、函数y2与yx图像的交点个数是 （ ） A 0 B 1 C 2 D 3 21、函数y3x12xxxx2m的图像与x轴有交点时，m的取值范围是 （ ） A 1m0 B 0m1 C m1 D 0m1 22、若关于x的指数方程是9xa4g3x40有实数解，求实数a的取值范围。 23、求证：对任意实数b，函数fxlog441x11x的图像与函数yxb的图像最多只有一个公共点。 22 2k30有一解，两解，无解？ 24、实数k为何值时，关于x的方程4kg 答案：1、21 2、4 3、25或xxlg5lg31 4、x 2lg3lg555、x2 6、C 7、D 8、C 9、C 10、xlog723或xlog72 y111、f1132a 12、当时，x1log23；当a3时，x1log32 521或a1 16、fbxfcx 217、2 18、2.5 19、D 20、D 21、D 22、a8 13、x0 14、4个 15、0a23、略 24、当k6时，两解；当k3或k6时，一解；当3k6时，无解