高一 平面向量讲义

§2.1 平面向量的实际背景及基本概念

1．向量：既有________，又有________的量叫向量．

2．向量的几何表示：以A为起点，B为终点的向量记作________．

3．向量的有关概念：

(1)零向量：长度为__________的向量叫做零向量，记作______．

(2)单位向量：长度为______的向量叫做单位向量．

(3)相等向量：__________且__________的向量叫做相等向量．

(4)平行向量(共线向量)：方向__________的________向量叫做平行向量，也叫共线向量．

①记法：向量a平行于b，记作________．

②规定：零向量与__________平行．

考点一 向量的有关概念

例1 判断下列命题是否正确，并说明理由．

1

→＝DC→，则A、B、C、D四点是平行四边形①若a≠b，则a一定不与b共线；②若AB→＝DC→；的四个顶点；③在平行四边形ABCD中，一定有AB④若向量a与任一向量b平行，则a＝0；⑤若a＝b，b＝c，则a＝c；⑥若a∥b，b∥c，则a∥c.

变式训练1 判断下列命题是否正确，并说明理由．

(1)若向量a与b同向，且|a|>|b|，则a>b；

(2)若向量|a|＝|b|，则a与b的长度相等且方向相同或相反；

(3)对于任意|a|＝|b|，且a与b的方向相同，则a＝b；

(4)向量a与向量b平行，则向量a与b方向相同或相反．

考点二 向量的表示方法

例2 一辆汽车从A点出发向西行驶了100 km到达B点，然后又改变方向向西偏北50°走了200 km到达C点，最后又改变方向，向东行驶了100 km到达D点．

→、BC→、CD→； (2)求|AD→|. (1)作出向量AB考点三 相等向量与共线向量

→＝a，OB→＝b，OC→＝c. 例3 如图所示，O是正六边形ABCDEF的中心，且OA 2

(1)与a的模相等的向量有多少个？

(2)与a的长度相等，方向相反的向量有哪些？

(3)与a共线的向量有哪些？

(4)请一一列出与a，b，c相等的向量．

§2.2 平面向量的线性运算

1．向量的加法法则

(1)三角形法则

→＝a，→＝b，如图所示，已知非零向量a，b，在平面内任取一点A，作ABBC则向量________→＋BC→＝________.上述求两个向叫做a与b的和(或和向量)，记作__________，即a＋b＝AB量和的作图法则，叫做向量求和的三角形法则．

对于零向量与任一向量a的和有a＋0＝________＋______＝______.

3

(2)平行四边形法则

→＝a，OB→＝b，则O、A、B三点不共线，如图所示，已知两个不共线向量a，b，作OA以______，______为邻边作__________，则对角线上的向量________＝a＋b，这个法则叫做两个向量求和的平行四边形法则．

2．向量加法的运算律

(1)交换律：a＋b＝______________.

(2)结合律：(a＋b)＋c＝______________________.

3. 相反向量

(1)定义：如果两个向量长度________，而方向________，那么称这两个向量是相反向量．

(2)性质：①对于相反向量有：a＋(－a)＝______.

②若a，b互为相反向量，则a＝________，a＋b＝______.

③零向量的相反向量仍是__________．

4

4. 向量的减法

(1)定义：a－b＝a＋(－b)，即减去一个向量相当于加上这个向量的

___________________________________________________________________．

→＝a，OB→＝b，则向量a－b＝__________.如图(2)作法：在平面内任取一点O，作OA所示．

(3)几何意义：如果把两个向量的始点放在一起，则这两个向量的差是以减向量的终点→－OB→＝________. 为________，被减向量的终点为________的向量．例如：OA5．向量数乘运算

实数λ与向量a的积是一个__________，这种运算叫做向量的__________，记作________，其长度与方向规定如下：

(1)|λa|＝__________.

当

(2)λa (a≠0)的方向

当 时，与a方向相同 时，与a方向相反

；

5

特别地，当λ＝0或a＝0时，0a＝________或λ0＝________.

6．向量数乘的运算律

(1)λ(μa)＝________.

(2)(λ＋μ)a＝____________.

(3)λ(a＋b)＝____________.

特别地，有(－λ)a＝____________＝________；

λ(a－b)＝____________.

7．共线向量定理

向量a (a≠0)与b共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使______________．

8．向量的线性运算

向量的____、____、________运算统称为向量的线性运算，对于任意向量a、b，以及任意实数λ、μ1、μ2，恒有

λ(μ1a±μ2b)＝__________________.

考点一 运用向量加法法则作和向量

6

例1 如图所示，已知向量a、b，求作向量a＋b.

变式训练1 如图所示，已知向量a、b、c，试作和向量a＋b＋c.

考点二 运用向量加减法法则化简向量

例2 化简：

（1）BC→＋AB→； (2)DB→＋CD→＋BC→； (3)AB→＋DF→＋CD→＋BC→＋FA→. （4）(AB→－CD→)－(AC→－BD→)． (5)(BA→－BC→)－(ED→－EC→)； （6）(AC→＋BO→＋OA→)－(DC→－DO→－OB→)． 变式训练2 如图，在平行四边形ABCD中，O是AC和BD的交点．

7

→＋AD→＝________； (1)AB→＋CD→＋DO→＝________； (2)AC→＋AD→＋CD→＝________； (3)AB→＋BA→＋DA→＝________. (4)AC→＝a，变式训练3 如图所示，O是平行四边形ABCD的对角线AC、BD的交点，设AB

→＝b，OC→＝c，求证：b＋c－a＝OA→. DA

考点三 向量的共线

例3设e1，e2是两个不共线的向量，若向量m＝－e1＋ke2 (k∈R)与向量n＝e2－2e1

共线，则( )

A．k＝0 B．k＝1

8

1

C．k＝2 D．k＝

2

→＋PB→＋PC→＝AB→，变式训练4 已知△ABC的三个顶点A，B，C及平面内一点P，且PA则( )

A．P在△ABC内部

B．P在△ABC外部

C．P在AB边上或其延长线上

D．P在AC边上

考点四：三点共线

例4两个非零向量a、b不共线．

→＝3(a－b)，求证：A、B、D三点共线； (1)若A→B＝a＋b，B→C＝2a＋8b，CD(2)求实数k使ka＋b与2a＋kb共线．

→＝a＋2b，BC→＝－5a＋6b，CD→＝7a－2b，则一变式训练5 已知向量a、b，且AB定共线的三点是( )

A．B、C、D B．A、B、C C．A、B、D D．A、C、D

9

→＝xOA→＋变式训练6 已知平面内O，A，B，C四点，其中A，B，C三点共线，且OC→， 则x＋y＝________. yOB§2.3 平面向量的基本定理及坐标表示

1．平面向量基本定理

(1)定理：如果e1，e2是同一平面内的两个______向量，那么对于这一平面内的______向量a，__________实数λ1，λ2，使a＝____________________________.

(2)基底：把________的向量e1，e2叫做表示这一平面内________向量的一组基底．

2.两向量的夹角与垂直

→＝a，→＝b，(1)夹角：已知两个__________a和b，作OAOB则________＝θ (0°≤θ≤180°)，叫做向量a与b的夹角．

①范围：向量a与b的夹角的范围是______________．

②当θ＝0°时，a与b________.

③当θ＝180°时，a与b________.

10

(2)垂直：如果a与b的夹角是________，则称a与b垂直，记作______________．

3．平面向量的坐标表示

(1)向量的正交分解：把一个向量分解为两个__________的向量，叫作把向量正交分解．

(2)向量的坐标表示：在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个____________i，j作为基底，对于平面内的一个向量a，有且只有一对实数x，y使得a＝____________，则________________叫作向量a的坐标，________________叫作向量的坐标表示．

→＝________，若A(x，(3)向量坐标的求法：在平面直角坐标系中，若A(x，y)，则OA1→＝________________________. y1)，B(x2，y2)，则AB4．平面向量的坐标运算

(1)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a＋b＝________________，即两个向量和的坐标等于这两个向量相应坐标的和．

(2)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a－b＝________________________，即两个向量差的坐标等于这两个向量相应坐标的差．

(3)若a＝(x，y)，λ∈R，则λa＝________，即实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标．

5．两向量共线的坐标表示

11

设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)．

(1)当a∥b时，有______________________．

(2)当a∥b且x2y2≠0时，有____________________．即两向量的相应坐标成比例．

→→6．若P1P＝λPP2，则P与P1、P2三点共线．

当λ∈________时，P位于线段P1P2的内部，特别地λ＝1时，P为线段P1P2的中点；

当λ∈________时，P位于线段P1P2的延长线上；

当λ∈________时，P位于线段P1P2的反向延长线上．

考点一 对基底概念的理解

例1 如果e1，e2是平面α内两个不共线的向量，那么下列说法中不正确的是( )

①λe1＋μe2(λ、μ∈R)可以表示平面α内的所有向量；

②对于平面α内任一向量a，使a＝λe1＋μe2的实数对(λ，μ)有无穷多个；

③若向量λ1e1＋μ1e2与λ2e1＋μ2e2共线，则有且只有一个实数λ，使得λ1e1＋μ1e2＝λ(λ2e1＋μ2e2)；

④若存在实数λ，μ使得λe1＋μe2＝0，则λ＝μ＝0.

12

A．①② B．②③ C．③④ D．②

变式训练1 设e1、e2是不共线的两个向量，给出下列四组向量：

①e1与e1＋e2； ②e1－2e2与e2－2e1；

③e1－2e2与4e2－2e1； ④e1＋e2与e1－e2.

其中能作为平面内所有向量的一组基底的序号是________．(写出所有满足条件的序号)

考点二 用基底表示向量

例2 如图，梯形ABCD中，AB∥CD，且AB＝2CD，M、N分别是DC和AB的中→＝a，AD→＝b试用a，b表示DC→、BC→、MN→. 点，若AB

→＝变式训练2 如图，已知△ABC中，D为BC的中点，E，F为BC的三等分点，若AB→＝b，用a，b表示AD→，AE→，AF→. a，AC

考点三 平面向量基本定理的应用

13

例3 如图所示，在△ABC中，点M是BC的中点，点N在边AC上，且AN＝2NC，

AM与BN相交于点P，求证：AP∶PM＝4∶1.

→＝变式训练3 如图所示，已知△AOB中，点C是以A为中点的点B的对称点，OD→，DC和OA交于点E，设OA→＝a，OB→＝b. 2DB→、DC→； (1)用a和b表示向量OC→＝λOA→，求实数λ的值． (2)若OE

考点四 平面向量的坐标运算

→－AC→；(2)AB→＋2BC→；例4 已知平面上三点A(2，－4)，B(0,6)，C(－8,10)，求(1)AB1

→→. (3)BC－AC2

14

11

变式训练4 已知a＝(－1,2)，b＝(2,1)，求：(1)2a＋3b；(2)a－3b；(3)a－b.

23

考点五 平面向量的坐标表示

例5 已知a＝(－2,3)，b＝(3,1)，c＝(10，－4)，试用a，b表示c.

变式训练5 设i、j分别是与x轴、y轴方向相同的两个单位向量，a＝i－(2m－1)j，

b＝2i＋mj (m∈R)，已知a∥b，求向量a、b的坐标．

考点六 平面向量坐标的应用

例6 已知▱ABCD的顶点A(－1，－2)，B(3，－1)，C(5,6)，求顶点D的坐标．

变式训练6 已知平行四边形的三个顶点的坐标分别为(3,7)，(4,6)，(1，－2)，求第四个顶点的坐标．

考点七 平面向量共线的坐标运算

例7 已知a＝(1,2)，b＝(－3,2)，当k为何值时，ka＋b与a－3b平行？平行时它们是同向还是反向？

→与CD→是否共线？如变式训练7 已知A(2,1)，B(0,4)，C(1,3)，D(5，－3)．判断AB果共线，它们的方向相同还是相反？

考点八 平面向量的坐标运算

15

→|＝2|PB→|，求点P例8 已知点A(3，－4)与点B(－1,2)，点P在直线AB上，且|AP的坐标．

→与a＝(2,3)同向，|AB→|＝213，求点B变式训练8 已知点A(1，－2)，若向量AB的坐标．

考点九 利用共线向量求直线的交点

例9 如图，已知点A(4,0)，B(4,4)，C(2,6)，求AC与OB的交点P的坐标．

→变式训练9 平面上有A(－2,1)，B(1,4)，D(4，－3)三点，点C在直线AB上，且AC11

→→→，求E点坐标． ＝BC，连接DC，点E在CD上，且CE＝ED24

§2.4 平面向量的数量积

1．平面向量数量积

(1)定义：已知两个非零向量a与b，我们把数量______________叫做a与b的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b＝|a||b|cos θ，其中θ是a与b的夹角．

(2)规定：零向量与任一向量的数量积为____．

16

(3)投影：设两个非零向量a、b的夹角为θ，则向量a在b方向的投影是____________，向量b在a方向上的投影是______________．

2．数量积的几何意义

a·b的几何意义是数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影

________________的乘积．

3．向量数量积的运算律

(1)a·b＝________(交换律)；

(2)(λa)·b＝________＝________(结合律)；

(3)(a＋b)·c＝______________________(分配律)．

4．平面向量数量积的坐标表示

若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝____________.

即两个向量的数量积等于________________．

5．两个向量垂直的坐标表示

设两个非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，

17

则a⊥b⇔________________.

6．平面向量的模

(1)向量模公式：设a＝(x1，y1)，则|a|＝________________.

→|＝________________________. (2)两点间距离公式：若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB7．向量的夹角公式

设两非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a与b的夹角为θ，则cos θ＝________＝__________.

考点一 求两向量的数量积

例1 已知|a|＝4，|b|＝5，当(1)a∥b；(2)a⊥b；(3)a与b的夹角为30°时，分别求

a与b的数量积．

变式训练1 已知正三角形ABC的边长为1，求：

→·AC→；(2)AB→·BC→；(3)BC→·AC→. (1)AB考点二 求向量的模长

π

例2 已知|a|＝|b|＝5，向量a与b的夹角为，求|a＋b|，|a－b|.

3

18

变式训练2 已知|a|＝|b|＝1，|3a－2b|＝3，求|3a＋b|.

考点三 向量的夹角或垂直问题

例3 设n和m是两个单位向量，其夹角是60°，求向量a＝2m＋n与b＝2n－3m的夹角．

变式训练3 已知|a|＝5，|b|＝4，且a与b的夹角为60°，则当k为何值时，向量

ka－b与a＋2b垂直？

考点四 向量的坐标运算

例4 已知a与b同向，b＝(1,2)，a·b＝10.

(1)求a的坐标；(2)若c＝(2，－1)，求a(b·c)及(a·b)c.

变式训练4 若a＝(2,3)，b＝(－1，－2)，c＝(2,1)，则(a·b)·c＝________；a·(b·c)＝________.

考点五 向量的夹角问题

例5 已知a＝(1,2)，b＝(1，λ)，分别确定实数λ的取值范围，使得：

(1)a与b的夹角为直角；

(2)a与b的夹角为钝角；

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(3)a与b的夹角为锐角．

变式训练5 已知a＝(1，－1)，b＝(λ，1)，若a与b的夹角α为钝角，求λ的取值范围．

考点六 向量数量积坐标运算的应用

例6 已知在△ABC中，A(2，－1)、B(3,2)、C(－3，－1)，AD为BC边上的高，求→|与点D的坐标． |AD→的变式训练6 以原点和A(5,2)为两个顶点作等腰直角△OAB，∠B＝90°，求点B和AB坐标．

§2.5 平面向量应用举例

1．向量方法在几何中的应用

(1)证明线段平行问题，包括相似问题，常用向量平行(共线)的等价条件：a∥b(b≠0)⇔________⇔____________.

(2)证明垂直问题，如证明四边形是矩形、正方形等，常用向量垂直的等价条件：a⊥b⇔__________⇔__________.

(3)求夹角问题，往往利用向量的夹角公式cos θ＝_______________＝_______________.

(4)求线段的长度或证明线段相等，可以利用向量的线性运算、向量模的公式：|a|＝

20

______.

2．力向量

力向量与前面学过的自由向量有区别．

(1)相同点：力和向量都既要考虑________又要考虑________．

(2)不同点：向量与________无关，力和________有关，大小和方向相同的两个力，如果________不同，那么它们是不相等的．

3．向量方法在物理中的应用

(1)力、速度、加速度、位移都是________．

(2)力、速度、加速度、位移的合成与分解就是向量的________运算，运动的叠加亦用到向量的合成．

(3)动量mν是______________．

(4)功即是力F与所产生位移s的________．

考点一 三角形问题

→·OB→＝OB→·OC→＝OC→·OA→，例1 点O是三角形ABC所在平面内的一点，满足OA则点

O

21

是△ABC的( )

A．三个内角的角平分线的交点 B．三条边的垂直平分线的交点

C．三条中线的交点 D．三条高的交点

变式训练1 在△ABC中，已知A(4,1)、B(7,5)、C(－4,7)，则BC边的中线AD的长是( )

57

A．25 B.5 C．35 D.5

22

→－OC→|＝|OB→＋OC→－2OA→|，变式训练2 若O是△ABC所在平面内一点，且满足|OB则△ABC的形状是( )

A．等腰三角形 B．直角三角形

C．等腰直角三角形 D．等边三角形

→＋DC→－2DA→)·(AB→－AC→)变式训练3 设平面上有四个互异的点A、B、C、D，已知(DB＝0，则△ABC的形状一定是__________．

考点二 向量的计算

→|＝3，→|＝4，→|＝5.则AB→·BC→＋BC→·CA→＋例2 已知平面上三点A、B、C满足|AB|BC|CA 22

→·AB→＝______. CA变式训练4 如图，在△ABC中，点O是BC的中点，过点O的直线分别交直线AB、→＝mAM→，AC→＝nAN→，则m＋n的值为__________________．AC于不同的两点M、N，若AB

考点三 向量的应用

例3 两个大小相等的共点力F1，F2，当它们夹角为90°时，合力大小为20 N，则当它们的夹角为120°时，合力大小为( )

A．40 N B．102 N C．202N D．103 N

变式训练5 在水流速度为4千米/小时的河流中，有一艘船沿与水流垂直的方向以8

千米/小时的速度航行，则船实际航行的速度的大小为________．

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