高中一年级数学函数经典题目和答案解析

1函数解析式的特殊求法

例1 已知f(x)是一次函数, 且f[f(x)]=4x1, 求f(x)的解析式 x2x,求f(x) 例2 若f(x1）例3 已知f(x1)x2x，求f(x1)

2yxx与yg(x)的图象关于点(2,3)对称，求g(x)的解析式 例4已知：函数

例5 已知

12f(x)f()3xxf(x)满足，求f(x)

2函数值域的特殊求法

例

2yx2x5,x[1,2]的值域。 1. 求函数

例

1xx2y1x22. 求函数

的值域。

例3求函数y=(x+1)/(x+2)的值域

例

ex1yx4. 求函数e1的值域。

例1下列各组中的两个函数是否为相同的函数？

(x3)(x5)x3①

y1y2x5

②y1x1x1 y2(x1)(x1)

2f(x)(2x5)1③ f2(x)2x5

2若函数f(x)的图象经过(0,1)，那么f(x4)的反函数图象经过点

(A)(4,1) (B)(1,4) (C)(4,1) (D)(1,4)

例3

已知函数f(x)对任意的a、bR满足：f(ab)f(a)f(b)6,

当a0时,f(a)6；f(2)12。

（1）求：f(2)的值；

（2）求证：f(x)是R上的减函数；

（3）若f(k2)f(2k)3，求实数k的取值范围。

例4已知A{(x,y)|xn,yanb,nZ}，

B{(x,y)|xm,y3m215,mZ}，C{(x,y)|x2y2≤14}，问是否存在实数a,b，使得(1)AB，

(2)(a,b)C同时成立.

证明题

2f(x)axbxc对于x、xR，且x＜x时 1.已知二次函数1212

1[f(x1)f(x2)]f(x1)f(x2)f(x)2，求证：方程＝有不等实根，且必有一根属于区间（x1，x2）.

答案

1解：设f(x)=kx+b则 k(kx+b)+b=4x1

k24k2k21b(k1)b13 或 b1 则

∴

f(x)2x13或f(x)2x1

2换元法：已知复合函数f[g(x)]的表达式时，还可以用换元法求f(x)的解析式。与配凑法一样，要注意

2所换元的定义域的变化。解法一（换元法）：令t=x1则x=t1, t≥1代入原式有

22f(t)(t1)2(t1)t1

2f(x)x1 （x≥1） ∴

2x2x(x1)1 解法二（定义法）：

2f(x1)(x1)1 ∴

x1≥1

2f(x)x1 (x≥1) ∴

4代入法：求已知函数关于某点或者某条直线的对称函数时，一般用代入法。 解：设M(x,y)为yg(x)上任一点，且M(x,y)为M(x,y)关于点(2,3)的对称点

xx22yyxx432 则，解得：y6y ，

点M(x,y)在yg(x)上

yx2x

xx4把y6y代入得：

2yx7x6 整理得

2g(x)x7x6

例5构造方程组法：若已知的函数关系较为抽象简约，则可以对变量进行置换，设法构造方程组，通过解方程组求得函数解析式。

12f(x)f()3xx∵已知 ①，

1132f()f(x)x ②， 将①中x换成x得x

①×2-②得

3f(x)6x3x ∴f(x)2x1x.

值域求法

例1 解：将函数配方得：

y(x1)24 ∵x[1,2] 由二次函数的性质可知：当x=1时，ymin4，当x1时，ymax88]

2. 判别式法例2. 解：原函数化为关于x的一元二次方程

(y1)x2(y1)x0

（1）当y1时，xR

(1)24(y1)(y1)0

1解得：2y32 （2）当y=1时，x0，而112,32故函数的值域为132,2 当函数的反函数存在时，则其反函数的定义域就是原函数的值域。

例3求函数y=(x+1)/(x+2)的值域。

点拨：先求出原函数的反函数，再求出其定义域。

故函数的值域是：[4，

解：显然函数y=(x+1)/(x+2)的反函数为:x=(1－2y)/（y－1）,其定义域为y≠1的实数,故函数y的值域为｛y∣y≠1,y∈R｝。

点评：利用反函数法求原函数的定义域的前提条件是原函数存在反函数。这种方法体现逆向思维的思想，是数学解题的重要方法之一。

练习：求函数y=(10x+10-x)/(10x－10-x)的值域。（答案：函数的值域为｛y∣y<－1或y>1｝

5. 函数有界性法

直接求函数的值域困难时，可以利用已学过函数的有界性，反客为主来确定函数的值域。

例

y1ex1exyxy1 4. 求函数e1的值域。解：由原函数式可得：

∵ex0

y10y1∴

解得：1y1

故所求函数的值域为(1,1)

（定义域不同） 例1（定义域不同）（定义域、值域都不同）

例3解: （1）f(ab)f(a)f(b)6, 令ab0，得f(0)6

令a2,b2，得f(2)0

（2）证明：设x1,x2是R上的任意两个实数，且x1x2，即x2x10，

从而有f(x2x1)6，

则f(x2)f(x1)f[(x2x1)x1]f(x1)f(x2x1)f(x1)6f(x1)

f(x2x1)60 ∴f(x2)f(x1)即f(x)是R上的减函数

（3）f(ab)f(a)f(b)6,令a1,b1，得f(1)3

∵f(k2)f(2k)3 ∴f(k2)3f(2k)，又f(1)3，f(2)0

即有f(k2)f(1)f(2k)f(2)

∴f(k2)f(1)6f(2k)f(2)6

∴f[(k2)1]f[(2k)2]

又∵f(x)是R上的减函数 ∴(k2)1(2k)2即k3

(A)∴实数k的取值范围是k3

22例4分析：假设存在a,b使得(1)成立，得到a与b的关系后与xy≤14联立，然后讨论联立的不等式组.

解：假设存在实数a,b，使得AB，(a,b)C同时成立，则集合A{(x,y)|xn,yanb,nZ}与集合

2B{(x,y)|xm,y3m215,mZ}分别对应集合A1{(x,y)|yaxb,xZ}与B1{(x,y)|y3x15,xZ}，A1与B1yaxb22y3x15有解，即方程y3x15yaxb对应的直线与抛物线至少有一个公共点，所以方程组

3x215axb必有解.

2a12(15b)≥0a2≤12b180，① 因此

22又∵ab≤14 ②

2由①②相加，b得≤12b36，即(b6)≤0.∴b6.

2将b6代入①得a≥108，

22ab6再将代入②得≤108，因此a63，

22a633x63x90， 3x15axbb6将，代入方程得

解得x3Z.

所以不存在实数a,b，使得(1)，(2)同时成立.

证明题1

1[f(x1)f(x2)]f(x)x1解：设F（）＝－2，

则方程

1[f(x1)f(x2)]f(x)＝2 ①

与方程 F（x）＝0 ② 等价

11[f(x)f(x)][f(x1)f(x2)]12f(x)∵F（x1）＝1－2＝2

11[f(x)f(x)][f(x1)f(x2)]12f(x2)x22F（2）＝－＝

1[f(x1)f(x2)]2∴ F（x1）·F（x2）＝－4，又f(x1)f(x2)

∴F（x1）·F（x2）＜0

故方程②必有一根在区间（x1，x2）内.由于抛物线y＝F（x）在x轴上、下方均有分布，所以此抛物线与x轴相交于两个不同的交点，即方程②有两个不等的实根，从而方程①有两个不等的实根，且必有一根属于区间（x1，x2）.

1[f(x1)f(x2)]f(x)点评：本题由于方程是＝2，其中因为有f(x)表达式，所以解题中有的学生不理解函数

图像与方程的根的联系，误认为证明f(x)的图像与x轴相交于两个不同的点，从而证题中着眼于证f(x1)f(x2)1[f(x1)f(x2)]f(x)x2＜0，使本题没法解决. 本题中将问题转化为F（）＝－的图像与x轴相交于两个不同的

两点是解题的关健所在.