2012年重庆市高考数学试卷(文科)答案与解析

参与试题解析

一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分） 1．（5分）（2012•重庆）命题“若p则q”的逆命题是（ ） A．若q则p B． 若￢p则￢q C． 若￢q则￢p D． 若p则￢q 考点： 四种命题． 专题： 简易逻辑． 分析： 将原命题的条件与结论互换，可得逆命题，从而可得 解答： 解：将原命题的条件与结论互换，可得逆命题， 则命题“若p则q”的逆命题是若q则p． 故选A． 点评： 本题考查了命题与逆命题的相互关系的应用，属于基础题． 2．（5分）（2012•重庆）不等式 A．（1，+∞） ＜0的解集为（ ）

C． （﹣2，1） D． （﹣∞，﹣2）∪（1，+∞） B． （﹣∞，﹣2） 考点： 其他不等式的解法． 专题： 计算题． 分析： 直接转化分式不等式为二次不等式求解即可． 解答： 解：不等式＜0等价于（x﹣1）（x+2）＜0，所以表达式的解集为：{x|﹣2＜x＜1}． 故选C． 点评： 本题考查分式不等式的求法，考查转化思想计算能力． 3．（5分）（2012•重庆）设A，B为直线y=x与圆x+y=1的两个交点，则|AB|=（ ） 1 2 A．B． C． D． 考点： 直线与圆相交的性质． 专题： 计算题． 分析： 由圆的方程找出圆心坐标和半径r，根据圆心在直线y=x上，得到AB为圆的直径，根据直径等于半径的2倍，可得出|AB|的长． 22解答： 解：由圆x+y=1，得到圆心坐标为（0，0），半径r=1， ∵圆心（0，0）在直线y=x上， ∴弦AB为圆O的直径， 则|AB|=2r=2． 故选D 点评： 此题考查了直线与圆相交的性质，以及圆的标准方程，当直线与圆相交时，常常根据垂径定理由垂直得中点，进而由弦长的一半，圆的半径及弦心距构造直角三角形，利22

1

用勾股定理来解决问题． 4．（5分）（2012•重庆）（1﹣3x）的展开式中x的系数为（ ） 90 270 A．﹣270 B． ﹣90 C． D． 考点： 二项式系数的性质． 专题： 计算题． 5r3分析： 由（1﹣3x）的展开式的通项公式T=•（﹣3x），令r=3即可求得x的系数． 53

r+15解答： 解：设（1﹣3x）的展开式的通项公式为Tr+1， 则Tr+1=•（﹣3x）， 3r令r=3，得x的系数为： （﹣3）•3=﹣27×10=﹣270． 故选A． 5点评： 本题考查二项式系数的性质，着重考查二项式（1﹣3x）的展开式的通项公式的应用，属于中档题． 5．（5分）（2012•重庆） A．﹣ 考点： 两角和与差的正弦函数． 专题： 计算题． 分析： 将原式分子第一项中的度数47°=17°+30°，然后利用两角和与差的正弦函数公式化简后，合并约分后，再利用特殊角的三角函数值即可求出值． 解答： 解： =（ ）

C． D． B． ﹣ ===sin30°=． 故选C 点评： 此题考查了两角和与差的正弦函数公式，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握公式是解本题的关键． 6．（5分）（2012•重庆）设x∈R，向量=（x，1），=（1，﹣2），且⊥，则|+|=（ ） A．

B． C． 2 10 D． 2

考点： 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角． 专题： 计算题． 分析： 通过向量的垂直，求出向量，推出，然后求出模． 解答： 解：因为x∈R，向量=（x，1），=（1，﹣2），且⊥， 所以x﹣2=0，所以=（2，1）， 所以=（3，﹣1）， ， 所以|+|=故选B． 点评： 本题考查向量的基本运算，模的求法，考查计算能力． 7．（5分）（2012•重庆）已知a=log23+log2

，b=

，c=log32则a，b，c

的大小关系是（ ） A．a=b＜c B． a=b＞c C． a＜b＜c D． a＞b＞c 考点： 不等式比较大小． 专题： 计算题． 分析： 利用对数的运算性质可求得a=log23，b=log23＞1，而0＜c=log32＜1，从而可得答案． 解答： 解：∵a=log3+log=log3，b===＞1， 222∴a=b＞1，又0＜c=log32＜1， ∴a=b＞c． 故选：B． 点评： 本题考查不等式比较大小，掌握对数的运算性质既对数函数的性质是解决问题之关键，属于基础题． 8．（5分）（2012•重庆）设函数f（x）在R上可导，其导函数为f′（x），且函数f（x）在x=﹣2处取得极小值，则函数y=xf′（x）的图象可能是（ ） A．B． C． D． 考点： 利用导数研究函数的单调性． 专题： 证明题． 分析： 利用函数极小值的意义，可知函数f（x）在x=﹣2左侧附近为减函数，在x=﹣2右侧附近为增函数，从而可判断当x＜0时，函数y=xf′（x）的函数值的正负，从而做出 3

正确选择． 解答： 解：∵函数f（x）在x=﹣2处取得极小值， ∴f′（﹣2）=0， 且函数f（x）在x=﹣2左侧附近为减函数，在x=﹣2右侧附近为增函数， 即当x＜﹣2时，f′（x）＜0，当x＞﹣2时，f′（x）＞0， 从而当x＜﹣2时，y=xf′（x）＞0，当﹣2＜x＜0时，y=xf′（x）＜0， 对照选项可知只有C符合题意． 故选：C． 点评： 本题主要考查了导函数与原函数图象间的关系，函数极值的意义及其与导数的关系，筛选法解图象选择题，属基础题． 9．（5分）（2012•重庆）设四面体的六条棱的长分别为1，1，1，1，和a，且长为a的棱与长为的棱异面，则a的取值范围是（ ） A．B． C． D． （0，） （0，） （1，） （1，） 考点： 异面直线的判定；棱锥的结构特征． 专题： 计算题；压轴题． 分析： 先在三角形BCD中求出a的范围，再在三角形AED中求出a的范围，二者相结合即可得到答案． 解答： 解：设四面体的底面是BCD，BC=a，BD=CD=1，顶点为A，AD= 在三角形BCD中，因为两边之和大于第三边可得：0＜a＜2 （1） 取BC中点E，∵E是中点，直角三角形ACE全等于直角DCE， 所以在三角形AED中，AE=ED=∵两边之和大于第三边 ∴＜2 得0＜a＜． （负值0值舍）（2） 由（1）（2）得0＜a＜故选：A． 点评： 本题主要考察三角形三边关系以及异面直线的位置．解决本题的关键在于利用三角形两边之和大于第三边这一结论． 4

10．（5分）（2012•重庆）设函数f（x）=x﹣4x+3，g（x）=3﹣2，集合M={x∈R|f（g（x））＞0}，N={x∈R|g（x）＜2}，则M∩N为（ ） A．（1，﹢∞） B． （0，1） C． （﹣1，1） D． （﹣∞，1） 考点： 指、对数不等式的解法；交集及其运算；一元二次不等式的解法． 专题： 计算题；压轴题． 分析： 利用已知求出集合M中g（x）的范围，结合集合N，求出g（x）的范围，然后求解即可． 2解答： 解：因为集合M={x∈R|f（g（x））＞0}，所以（g（x））﹣4g（x）+3＞0， 解得g（x）＞3，或g（x）＜1． 因为N={x∈R|g（x）＜2}，M∩N={x|g（x）＜1}． 2x

即3﹣2＜1，解得x＜1． 所以M∩N={x|x＜1}． 故选：D． 点评： 本题考查集合的求法，交集的运算，考查指、对数不等式的解法，交集及其运算，一元二次不等式的解法，考查计算能力． 二、填空题（共5小题，每小题5分，满分25分） 11．（5分）（2012•重庆）首项为1，公比为2的等比数列的前4项和S4= 15 ． 考点： 等比数列的前n项和． 专题： 计算题． 分析： 把已知的条件直接代入等比数列的前n项和公式，运算求得结果． 解答： 解：首项为1，公比为2的等比数列的前4项和S4==15， x故答案为 15． 点评： 本题主要考查等比数列的前n项和公式的应用，属于基础题． 12．（5分）（2012•重庆）若f（x）=（x+a）（x﹣4）为偶函数，则实数a= 4 ． 考点： 函数奇偶性的性质． 专题： 计算题． 分析： 由题意可得，f（﹣x）=f（x）对于任意的x都成立，代入整理可得（a﹣4）x=0对于任意的x都成立，从而可求a 解答： 解：∵f（x）=（x+a）（x﹣4）为偶函数 ∴f（﹣x）=f（x）对于任意的x都成立 即（x+a）（x﹣4）=（﹣x+a）（﹣x﹣4） 22∴x+（a﹣4）x﹣4a=x+（4﹣a）x﹣4a ∴（a﹣4）x=0 ∴a=4 故答案为：4． 点评： 本题主要考查了偶函数的定义的应用，属于基础试题 5

13．（5分）（2012•重庆）设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a=1，b=2，cosC=，则sinB= ．

考点： 余弦定理；同角三角函数间的基本关系． 专题： 计算题． 分析： 由C为三角形的内角，及cosC的值，利用同角三角函数间的基本关系求出sinC的值，再由a与b的值，利用余弦定理列出关于c的方程，求出方程的解得到c的值，再由sinC，c及b的值，利用正弦定理即可求出sinB的值． 解答： 解：∵C为三角形的内角，cosC=， ∴sinC=又a=1，b=2， =， ∴由余弦定理c=a+b﹣2abcosC得：c=1+4﹣1=4， 解得：c=2， 又sinC=，c=2，b=2， 2222∴由正弦定理故答案为： =得：sinB===． 点评： 此题考查了同角三角函数间的基本关系，正弦、余弦定理，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握定理及基本关系是解本题的关键． 14．（5分）（2012•重庆）设P为直线y=

x与双曲线

﹣

=1（a＞0，b＞0）左支的交

点，F1是左焦点，PF1垂直于x轴，则双曲线的离心率e=

．

考点： 直线与圆锥曲线的关系；双曲线的简单性质． 专题： 计算题；压轴题． 分析： 设F1（﹣c，0），利用F1是左焦点，PF1垂直于x轴，P为直线y=x上的点，可得（﹣c，）在双曲线﹣=1上，由此可求双曲线的离心率． 解答： 解：设F1（﹣c，0），则 ∵F1是左焦点，PF1垂直于x轴，P为直线y=x上的点 6

∴（﹣c，）在双曲线﹣=1上 ∴ ∴ ∴= 故答案为：点评： 本题考查双曲线的标准方程与几何性质，考查双曲线的离心率，属于中档题． 15．（5分）（2012•重庆）某艺校在一天的6节课中随机安排语文、数学、外语三门文化课和其它三门艺术课各1节，则在课表上的相邻两节文化课之间至少间隔1节艺术课的概率为 （用数字作答）

考点： 列举法计算基本事件数及事件发生的概率；古典概型及其概率计算公式． 专题： 概率与统计． 分析： 语文、数学、外语三门文化课两两不相邻的排法可分为两步，先把其它三门艺术课排列有中，有种排法，第二步把语文、数学、外语三门文化课插入由那三个隔开的四个空种排法，由此可求得在课表上的相邻两节文化课之间至少间隔1节艺术课的概率． 解答： 解：语文、数学、外语三门文化课两两不相邻的排法可分为两步，先把其它三门艺术课排列有个空中，有种排法，第二步把语文、数学、外语三门文化课插入由那三个隔开的四种排法，故所有的排法种数为． ∴在课表上的相邻两节文化课之间至少间隔1节艺术课的概率为． 故答案为：． 点评： 本题考查概率的求法，解题的关键是根据具体情况选用插空法，属于基础题． 三、解答题（共6小题，满分75分） 16．（13分）（2012•重庆）已知{an}为等差数列，且a1+a3=8，a2+a4=12． （Ⅰ）求{an}的通项公式

7

（Ⅱ）记{an}的前n项和为Sn，若a1，ak，Sk+2成等比数列，求正整数k的值． 考点： 等比数列的性质；等差数列的通项公式． 专题： 计算题． 分析： （Ⅰ）设等差数列{an}的公差等于d，则由题意可得，解得 a1=2，d=2，从而得到{an}的通项公式． （Ⅱ） 由（Ⅰ）可得 {an}的前n项和为Sn =求得正整数k的值． 解答： 解：（Ⅰ）设等差数列{an}的公差等于d，则由题意可得d=2． ∴{an}的通项公式 an =2+（n﹣1）2=2n． （Ⅱ） 由（Ⅰ）可得 {an}的前n项和为Sn =∵若a1，ak，Sk+2成等比数列，∴2 =n（n+1），再由=a1 Sk+2 ，，解得 a1=2，=n（n+1）． =a1 Sk+2 ， ∴4k=2（k+2）（k+3），k=6 或k=﹣1（舍去），故 k=6． 点评： 本题主要考查等比数列的定义和性质，等差数列的通项公式，属于中档题． 17．（13分）（2012•重庆）已知函数f（x）=ax+bx+c在点x=2处取得极值c﹣16． （Ⅰ）求a，b的值；

（Ⅱ）若f（x）有极大值28，求f（x）在[﹣3，3]上的最小值． 考点： 利用导数求闭区间上函数的最值；函数在某点取得极值的条件． 专题： 综合题；探究型；方程思想；转化思想． 32分析： （Ⅰ）由题设f（x）=ax+bx+c，可得f′（x）=3ax+b，又函数在点x=2处取得极值c3

﹣16，可得解此方程组即可得出a，b的值； （II）结合（I）判断出f（x）有极大值，利用f（x）有极大值28建立方程求出参数c的值，进而可求出函数f（x）在[﹣3，3]上的极小值与两个端点的函数值，比较这此值得出f（x）在[﹣3，3]上的最小值即可． 32解答： 解：（Ⅰ）由题f（x）=ax+bx+c，可得f′（x）=3ax+b，又函数在点x=2处取得极值c﹣16 ∴解得a=1，b=﹣12

8

，即，化简得 （II）由（I）知f（x）=x﹣12x+c，f′（x）=3x﹣12=3（x+2）（x﹣2） 2令f′（x）=3x﹣12=3（x+2）（x﹣2）=0，解得x1=﹣2，x2=2 当x∈（﹣∞，﹣2）时，f′（x）＞0，故f（x）在∈（﹣∞，﹣2）上为增函数；当x∈（﹣2，2）时，f′（x）＜0，故f（x）在（﹣2，2）上为减函数； 当x∈（2，+∞）时，f′（x）＞0，故f（x）在（2，+∞）上为增函数； 由此可知f（x）在x1=﹣2处取得极大值f（﹣2）=16+c，f（x）在x2=2处取得极小值f（2）=c﹣16， 由题设条件知16+c=28得，c=12 此时f（﹣3）=9+c=21，f（3）=﹣9+c=3，f（2）=﹣16+c=﹣4 因此f（x）在[﹣3，3]上的最小值f（2）=﹣4 点评： 本题考查利用导数求闭区间上函数的最值及利用导数求函数的极值，解第一小题的关键是理解“函数在点x=2处取得极值c﹣16”，将其转化为x=2处的导数为0与函数值为c﹣16两个等量关系，第二小时解题的关键是根据极大值为28建立方程求出参数c的值．本题考查了转化的思想及方程的思想，计算量大，有一定难度，易因为不能正确转化导致无法下手求解及计算错误导致解题失败，做题时要严谨认真，严防出现在失误．此类题是高考的常考题，平时学习时要足够重视． 18．（13分）（2012•重庆）甲、乙两人轮流投篮，每人每次投一球．约定甲先投且先投中者获胜，一直到有人获胜或每人都已投球三次时投篮结束．设甲每次投篮投中的概率为，乙每次投篮投中的概率为，且各次投篮互不影响．

（Ⅰ）求乙获胜的概率；

（Ⅱ）求投篮结束时乙只投了2个球的概率． 考点： 相互事件的概率乘法公式；概率的基本性质． 专题： 计算题． 分析： （Ⅰ）分别求出乙第一次投球获胜的概率、乙第二次投球获胜的概率、乙第三次投球获胜的概率，相加即得所求． （Ⅱ）由于投篮结束时乙只投了2个球，说明第一次投球甲乙都没有投中，第二次投球甲没有投中、乙投中，或第三次投球甲投中了，把这两种情况的概率相加，即得所求． 解答： 解：（Ⅰ）∵乙第一次投球获胜的概率等于 =，乙第二次投球获胜的概率等于32••=，乙第三次投球获胜的概率等于故 乙获胜的概率等于 ++=． =， （Ⅱ）由于投篮结束时乙只投了2个球，说明第一次投球甲乙都没有投中，第二次投球甲没有投中、乙投中，或第三次投球甲投中了． 故投篮结束时乙只投了2个球的概率等于 +×=． 点评： 本题主要考查相互事件的概率乘法公式的应用，体现了分类讨论的数学思想，属

9

于中档题． 19．（12分）（2012•重庆）设函数f（x）=Asin（ωx+φ）其中A＞0，ω＞0，﹣π＜φ≤π）在x=

处取得最大值2，其图象与x轴的相邻两个交点的距离为

．

（Ⅰ）求f（x）的解析式； （Ⅱ）求函数g（x）=

的值域．

考点： 三角函数中的恒等变换应用；由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式． 专题： 三角函数的图像与性质． 分析： （Ⅰ）通过函数的周期求出ω，求出A，利用函数经过的特殊点求出φ，推出f（x）的解析式； （Ⅱ）利用（Ⅰ）推出函数g（x）=的表达式，通过cosx∈[0，21]，且，求出g（x）的值域． =π，解得ω=2． ）=1， 解答： 解：（Ⅰ）由题意可知f（x）的周期为T=π，即因此f（x）在x=所以处取得最大值2，所以A=2，从而sin（，又﹣π＜φ≤π，得φ=）； ， 故f（x）的解析式为f（x）=2sin（2x+（Ⅱ）函数g（x）== = = = 10

= =因为cosx∈[0，1]，且故g（x）的值域为2 ， ． 点评： 本题考查三角函数中的恒等变换应用，由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，考查计算能力． 20．（12分）（2012•重庆）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=4，AC=BC=3，D为AB的中点．

（Ⅰ）求异面直线CC1和AB的距离；

（Ⅱ）若AB1⊥A1C，求二面角A1﹣CD﹣B1的平面角的余弦值．

考点： 用空间向量求平面间的夹角；点、线、面间的距离计算；二面角的平面角及求法． 专题： 计算题；证明题；压轴题． 分析： （Ⅰ）先根据条件得到CD⊥AB以及CC1⊥CD，进而求出C的长即可； （Ⅱ）解法一；先根据条件得到∠A1DB1为所求的二面角A1﹣CD﹣B1的平面角，再根据三角形相似求出棱柱的高，进而在三角形A1DB1中求出结论即可； 解法二：过D作DD1∥AA1交A1B1于D1，建立空间直角坐标系，求出两个平面的法向量的坐标，最后代入向量的夹角计算公式即可求出结论． 解答： 解：（Ⅰ）解：因为AC=BC，D为AB的中点，故CD⊥AB， 又直三棱柱中，CC1⊥面ABC，故CC1⊥CD， 所以异面直线CC1和AB的距离为：CD==． （Ⅱ）解法一；由CD⊥AB，CD⊥BB1，故CD⊥平面A1ABB1， 从而CD⊥DA1，CD⊥DB1，故∠A1DB1为所求的二面角A1﹣CD﹣B1的平面角． 因A1D是A1C在面A1ABB1上的射影，

11

又已知AB1⊥A1C，由三垂线定理的逆定理得AB1⊥A1D， 从而∠A1AB1，∠A1DA都与∠B1AB互余， 因此∠A1AB1=∠∠A1DA， 所以RT△A1AD∽RT△B1A1A， 因此=，得=AD•A1B1=8， =2，B1D=A1D=2． 从而A1D=所以在三角形A1DB1中，cos∠A1DB1==． 解法二：过D作DD1∥AA1交A1B1于D1，在直三棱柱中， 由第一问知：DB，DC，DD1两两垂直，以D为原点，射线DB，DC，DD1分别为X轴，Y轴，Z轴建立空间直角坐标系D﹣XYZ．． 设直三棱柱的高为h，则A（﹣2，0，0），A1（﹣2，0，h）．B1（2，0，h）．C（0，，0） 从而=（4，0，h），•=（2，，﹣h）． 2由AB1⊥A1C得故=0，即8﹣h=0，因此h=2），=（2，0，2），， =（0，，0）． =（﹣1，0，2设平面A1CD的法向量为=（x，y，z），则⊥，⊥，即取z=1，得=（，0，1）， ，，即取设平面B1CD的法向量为=（a，b，c），则⊥c=﹣1得=（，0，﹣1）， ==． 所以cos＜，＞=所以二面角的平面角的余弦值为． 12

点评： 本题主要考察异面直线间的距离计算以及二面角的平面角及求法．在求异面直线间的距离时，关键是求出异面直线的公垂线． 21．（12分）（2012•重庆）如图，设椭圆的中心为原点O，长轴在x轴上，上顶点为A，左、右焦点分别为F1，F2，线段OF1，OF2的中点分别为B1，B2，且△AB1B2是面积为4的直角三角形．

（Ⅰ）求该椭圆的离心率和标准方程；

（Ⅱ）过B1作直线交椭圆于P，Q两点，使PB2⊥QB2，求△PB2Q的面积．

考点： 直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程；椭圆的简单性质． 专题： 综合题；压轴题． 13

分析： （Ⅰ）设椭圆的方程为，F2（c，0），利用△AB1B2是的直，利用c=a﹣b，可求222角三角形，|AB1|=AB2|，可得∠B1AB2为直角，从而，又S=|B1B2||OA|==4，故可求椭圆标准方程； （Ⅱ）由（Ⅰ）知B1（﹣2，0），B2（2，0），由题意，直线PQ的倾斜角不为0，故22可设直线PQ的方程为x=my﹣2，代入椭圆方程，消元可得（m+5）y﹣4my﹣16﹣0，利用韦达定理及PB2⊥QB2，利用积． 解答： 解：（Ⅰ）设椭圆的方程为可求m的值，进而可求△PB2Q的面，F2（c，0） ∵△AB1B2是的直角三角形，|AB1|=AB2|，∴∠B1AB2为直角，从而|OA|=|OB2|，即∵c=a﹣b，∴a=5b，c=4b，∴在△AB1B2中，OA⊥B1B2，∴S=∵S=4，∴b=4，∴a=5b=20 ∴椭圆标准方程为； 2222222222 |B1B2||OA|= （Ⅱ）由（Ⅰ）知B1（﹣2，0），B2（2，0），由题意，直线PQ的倾斜角不为0，故可设直线PQ的方程为x=my﹣2 代入椭圆方程，消元可得（m+5）y﹣4my﹣16=0① 设P（x1，y1），Q（x2，y2）， ∴， 22∵， ∴= ∵PB2⊥QB2，∴ ∴，∴m=±2 2当m=±2时，①可化为9y±8y﹣16﹣0， 14

∴|y1﹣y2|== =． ∴△PB2Q的面积S=|B1B2||y1﹣y2|=×4×点评： 本题考查椭圆的标准方程，考查椭圆的几何性质，考查直线与椭圆的位置关系，考查向量知识的运用，考查三角形的面积计算，综合性强． 15