《线性代数》习题及答案

《线性代数》作业

一、选择题

a111．如果D=a21a31a12a22a32a13a23a33a11，则行列式2a213a312a124a226a323a136a23的值应为： 9a33A． 6D B．12D C．24D D．36D 2．设A 为n阶方阵，R（A）=rA．A的解不可逆 B．A0

C.A中所有r阶子式全不为零 D. A中没有不等于零的r阶子式 3．设n阶方阵A与B相似，那么：

A．存在可逆矩阵P，使PAPB B．存在对角阵D，使A与B都相似于D C．AEBE D．AB

1a114．如果Da21a31a12a22a32a13a31a233，则2a213a31a33a11a322a223a32a12a332a233a33等于

a13A． 6 B． -9 C．-3 D．-6 5．设矩阵A(aij)mn，mA．rA．1An B．A C．1A D．A

n3xkyz07．如果4yz0有非零解，则k应为：____________。

kx5yz0A． k=0 B． k=1 C． k=2 D． k=-2 8．设A是n阶方阵，n3且R(A)n2，A是A的伴随阵，那么：___________。

A． A0 B． R(A)0 C． AAn1 D． R(A)2



9．设A为mn矩阵，齐次线性方程组AX0仅有零解的充要条件是：

A． A的列向量线性无关 B． A的列向量线性相关 C． A的行向量线性相关 D． A的行向量线性相关

kxz010．如果2xkyz0有非零解，则k应为：________。

kx2yz0A．k0 B．k1 C．k2 D．k2 11．下列命题正确的是___________。

A．(AB)TATBT B．若AB则AB C．设A、B为三角形矩阵，则A+B为三角矩阵 D．A2E2(AE)(AE) 12．矩阵A、B相似的充要条件是____________。

A．A 与B有相同的特征值 B．A与B相似于同一矩阵 C．A与B有相同的特征向量 D．A形似于B 二、填空题

1．行列式与它的转置行列式的值是__________。 2．矩阵Amn的K阶子式共有___________;

3．n阶方阵A与对角矩阵相似的充分必要条件是A有__________________________________; 4．行列式的某行（列）加上另一行（列）的k倍，行列式的值______________。

kk1223，B为三阶非零矩阵，且AB0，则t=________________。 5．设A4t3116．A、B为n阶方阵，若存在可逆矩P，使_________则称A与B相似。

07．n1__________________。 01238．若矩阵A21k的R(A)2，则k____________。

011x1x2x309．若方程组x1x2x30仅有零解，则应满足的条件是_______________。

x1x2x30x1110．设多项式f(x)12xx则f(x)中x3的系数等于_________，x2的系数等于_________。

12x11．已知(1,2,3)，(3,2,1)，且与k正交，则k____________。

12．设A是3阶方阵，且|A|3，则行列式|3A1|=（ ）

10031013．矩阵A120,B21121,则AB的秩是（） 5131344010014．设A00200003，则A1=（） 4000x1x2a115若线性方程组x2x3a2有解，则常量ax3x1,a2,a3,a4应满足条件___________。

4a3x4x1a416.设4阶方阵A(A1,A2,A3,A4),B(A1,A2,A3,B4)，其中A1,A2,A3,A4,B4都是四元列向量，A1,B2,则行列式A2B=( )

117已知矩阵A=PQ,其中P2,Q=(2,1,2),则矩阵A100()

1112124118.设A032,B2482,则秩(AB)=( )

0013620

三、证明题

1．设A是三阶方阵，A是A的伴随矩阵，A的行列式为A1,求证：(2A)1AA24．

2．已知A为n阶方阵，且A23A4E0，试证A可逆，并求A1。

知

已

3．已知A，B均为n阶正交矩阵，且AB，证明：AB0。

4向量组00,101,202,,nr0nr是方程组(*)的线性无关解向量。 50,1,2,,nr的一切线性组合k00k11k22knrnr，其中四、计算题

1．已知n阶方阵A、B，其中A(1,2n),B(1,2n)，A1,B3, 求A3B。

kj0nrj1，是方程组(*)的全部解

12312．矩阵A324求A.

21012的每行元素之和均为3，且AB0，其中B01，问 203．设三阶方阵Aaij（1）A能否与对角矩阵相似？ （2）求A。

a00ba00ba0000004．计算n阶行列式D0000bb000a

23215．矩阵A110，求A。

121a316．已知矩阵A143的特征多项式有重根，问：参数a取何值时，A能与对角矩阵相似？ 125117．计算D101101101101 11

2118．矩阵A210求A1

1119．设三阶方阵A满足A10，A2212，A31323，其中：

11,1,0T，20,1,1T，31,0,1T

（1）证明：A能与对角矩阵相似。 （2）求出A及相似对角矩阵∧。

10．设三阶行列式满足3A2E0，AE0, 4E2A0，计算A。

112211．求向量组12，20，32，42的一个最大线性无关组，并将其正交化。

3114121若A不能与对角矩阵相似，求参数a。

aa12．设Aa11213计算n阶行列式

21Dn113111 n14 计算题

x1x23x4x50x1x22x3x40求齐次线性方程组

4x2x6x3x4x0234512x14x22x34x47x50的基础解系及通解。

15、计算n阶行列式

x1a1Dna116、计算题

a2anx2an，其中xiai,1ina2xn

111求矩阵X，使得X022110111110 211

. . .

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