历年全国赛数学建模题目

1996年全国大学生数学建模竞赛题目 ........................................................................................................ 2

A题 最优捕鱼策略 ................................................................................................................................ 2 B题 节水洗衣机 .................................................................................................................................. 2 1997年全国大学生数学建模竞赛题目 ........................................................................................................ 3

A题 零件的参数设计 .......................................................................................................................... 3 B题 截断切割 ...................................................................................................................................... 4 1998年全国大学生数学建模竞赛题目 ........................................................................................................ 5

A题 投资的收益和风险 ........................................................................................................................ 5 B题 灾情巡视路线 ................................................................................................................................ 6 1999创维杯全国大学生数学建模竞赛题目 ................................................................................................ 7

A题 自动化车床管理 ............................................................................................................................ 7 B题 钻井布局 ........................................................................................................................................ 8 C题 煤矸石堆积 .................................................................................................................................... 9 D题 钻井布局（同 B 题） .................................................................................................................. 9 2000网易杯全国大学生数学建模竞赛题目 .............................................................................................. 10

A题 DNA分子排序 ............................................................................................................................. 10 B题 钢管订购和运输 ........................................................................................................................ 12 C题 飞越北极 .................................................................................................................................... 15 D题 空洞探测 .................................................................................................................................... 15 2001年全国大学生数学建模竞赛题目 ...................................................................................................... 17

A题 血管的三维重建 ........................................................................................................................ 17 B题 公交车调度 ................................................................................................................................ 18 C题 基金使用计划 ............................................................................................................................ 20 D题 公交车调度 ................................................................................................................................ 20 2002高教社杯全国大学生数学建模竞赛题目 .......................................................................................... 21

A题 车灯线光源的优化设计 ............................................................................................................ 21 B题 彩票中的数学 ............................................................................................................................ 21 C题 车灯线光源的计算 .................................................................................................................... 23 D题 赛程安排 .................................................................................................................................... 23 2003高教社杯全国大学生数学建模竞赛题目 .......................................................................................... 24

A题 SARS的传播 ............................................................................................................................... 24 B题 露天矿生产的车辆安排 .............................................................................................................. 28 C题 SARS的传播 ............................................................................................................................... 29 D题 抢渡长江 ...................................................................................................................................... 30 2004高教社杯全国大学生数学建模竞赛题目 .......................................................................................... 31

A题 奥运会临时超市网点设计 ........................................................................................................ 31 B题 电力市场的输电阻塞管理 .......................................................................................................... 35 C题 饮酒驾车 ...................................................................................................................................... 39 D题 公务员招聘 .................................................................................................................................. 39 2005高教社杯全国大学生数学建模竞赛题目 .......................................................................................... 42

A题: 长江水质的评价和预测 ............................................................................................................ 42 B题： DVD在线租赁 ........................................................................................................................... 43

C题 雨量预报方法的评价 ................................................................................................................ 44 D题： DVD在线租赁 ........................................................................................................................... 45 2006高教社杯全国大学生数学建模竞赛题目 .......................................................................................... 46

A题:出版社的资源配置 ...................................................................................................................... 46 B题: 艾滋病疗法的评价及疗效的预测 ............................................................................................ 46 C题: 易拉罐形状和尺寸的最优设计 ................................................................................................ 47 D题: 煤矿瓦斯和煤尘的监测与控制 ................................................................................................ 48 2007高教社杯全国大学生数学建模竞赛题目 .......................................................................................... 53

A题：中国人口增长预测 .................................................................................................................... 53 2008高教社杯全国大学生数学建模竞赛题目 .......................................................................................... 56

A题 数码相机定位 ............................................................................................................................ 56 B题 高等教育学费标准探讨 ............................................................................................................ 57 C题 地面搜索 ....................................................................................................... 错误!未定义书签。 2009高教社杯全国大学生数学建模竞赛题目 .......................................................................................... 58

A题 制动器试验台的控制方法分析 ................................................................................................ 59 B题 眼科病床的合理安排 ................................................................................................................ 60 C题 卫星和飞船的跟踪测控 ............................................................................................................ 61 D题 会议筹备 .................................................................................................................................... 61 2010全国高教社杯数学建模题目 .............................................................................................................. 65

A题 储油罐的变位识别与罐容表标定 ............................................................................................. 65 B题 2010年上海世博会影响力的定量评估 .................................................................................... 66 2011全国大学生数学建模竞赛题目................................................................................................66 A题 城市表层土壤重金属污染分析………………………………………………………………..66 B题 交巡警服务平台的设置与调度……………………………………………..………………….67 C题 企业退休职工养老金制度的改革……………………………………………………………..70 D题 天然肠衣搭配问题……………………………………………………………………………...71

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1996年全国大学生数学建模竞赛题目

A题 最优捕鱼策略

为了保护人类赖以生存的自然环境,可再生资源(如渔业、林业资源)的开发必须适度.一种合理、简化的策略是,在实现可持续收获的前提下,追求最大产量或最佳效益.

考虑对某种鱼(鳀鱼)的最优捕捞策略:

假设这种鱼分四个年龄组,称1龄鱼,…,4龄鱼,各年龄组每条鱼的平均重量分别为 5.07,11.55,17.86,22.99(g),各年龄组鱼的自然死亡率为0.8(1/年),这种鱼为季节性集

产卵繁殖,平均每条4龄鱼的产卵量为1.109× (个),3龄鱼的产卵量为这个数的一半,2

龄鱼和1龄鱼不产卵,产卵和孵化期为每年的最后4个月,卵孵化并成活为1龄鱼,成活率(1龄鱼条数与产卵总量n之比)为1.22× /(1.22× +n).

渔业管理部门规定,每年只允许在产卵孵化期前的8个月内进行捕捞作业.如果每年投入的捕捞能力(如渔船数﹑下网次数等)固定不变,这时单位时间捕捞量与各年龄组鱼群条数成正比,比例系数不妨称捕捞强度系数.通常使用13mm网眼的拉网,这种网只能捕3龄鱼和4龄鱼,其两个捕捞强度系数之比为0.42:1.渔业上称这种方式为固定努力量捕捞.

1)建立数学模型分析如何实现可持续捕获(即每年开始捕捞时鱼场中各年龄组鱼群不变),并且在此前提下得到最高的年收获量(捕捞总重量).

2)某渔业公司承包这种鱼的捕捞业务5年,合同要求5年后鱼群的生产能力不能受到太大破坏. 已知承包时各年龄组鱼群的数量分别

为:122,29.7,10.1,3.29(× 条),如果任用固定努力量的捕捞方式,该公司应采取怎样的策略才能使总收获量最高.

(北京师范大学 刘来福提供)

B题 节水洗衣机

我国淡水资源有限,节约用水人人又责,洗衣在家庭用水中占有相当大的

份额,目前洗衣机已相当普及,节约洗衣机用水十分重要.假设在放入衣服和洗涤剂后洗衣机的运行过程为:加水-漂水-脱水-加水-漂洗-脱水-…-加水-漂洗-脱水(称\"加水-漂洗-脱水\"为运行一轮).请为洗衣机设计一种程序(包括运行多少轮﹑每轮加水量等),使得在满足一定洗涤效果的条件下,总用水量最少.选用合理的数据进行计算,对照目前常用的洗衣机的运行情况,对你的模型和结果做出评价.

2

1997年全国大学生数学建模竞赛题目

A题 零件的参数设计

一件产品由若干零件组装而成，标志产品性能的某个参数取决于这些零件的参数。零件参数包括标定值和容差两部分。进行成批生产时，标定值表示一批零件该参数的平均值，容差则给出了参数偏离其标定值的容许范围。若将零件参数视为随机变量，则标定值代表期望值，在生产部门无特殊要求时，容差通常规定为均方差的3 倍。

进行零件参数设计，就是要确定其标定值和容差。这时要考虑两方面因素： 一、当各零件组装成产品时，如果产品参数偏离预先设定的目标值，就会造成质量损失，偏离越大，损失越大；

二、零件容差的大小决定了其制造成本，容差设计得越小，成本越高。

试通过如下的具体问题给出一般的零件参数设计方法。

3

B题 截断切割

某些工业部门（如贵重石材加工等）采用截断切割的加工方式。这里“截断切割”是指将物体沿某个切割平面分成两部分。从一个长方体中加工出一个已知尺寸、位置预定的长方体（这两个长方体的对应表面是平行的），通常要经过6次截断切割。

设水平切割单位面积的费用是垂直切割单位面积费用的r 倍，且当先后两次垂直切割的平面(不管它们之间是否穿插水平切割)不平行时，因调整刀具需额外费用e。

试为这些部门设计一种安排各面加工次序（称“切割方式”）的方法，使加工费用最少。（由工艺要求，与水平工作台接触的长方体底面是事先指定的） 详细要求如下：

1）需考虑的不同切割方式的总数。

2）给出上述问题的数学模型和求解方法。

3）试对某部门用的如下准则作出评价：每次选择一个加工费用最少的待切割面进行切割。

4）对于e = 0的情形有无简明的优化准则。

5）用以下实例验证你的方法：待加工长方体和成品长方体的长、宽、高分别为10、14.5、 19和3、2、4，二者左侧面、正面、底面之间的距离分别为6、7、9（单位均为厘米）。垂直切割费用为每平方厘米1元，r和e的数据有以下4组：

a. r =1, e = 0; b. r =1.5, e =0;

c. r =8, e =0; d. r =1.5; 2 <= e <= 15.

对最后一组数据应给出所有最优解，并进行讨论。

4

1998年全国大学生数学建模竞赛题目

A题 投资的收益和风险

市场上有n种资产（如股票、债券、…）Si ( i=1,…n) 供投资者选择，某公司有数额为M的一笔相当大的资金可用作一个时期的投资。公司财务分析人员对这n种资产进行了评估，估算出在这一时期内购买Si的平均收益率为，并预测出购买Si的风险损失率为

。考虑到投资越分散，总的风险越小，公司确定，

当用这笔资金购买若干种资产时，总体风险可用所投资的Si中最大的一个风险来度量。

购买Si要付交易费，费率为

，并且当购买额不超过给定值

时，交易费

按购买计算（不买当然无须付费）。另外，假定同期银行存款利率是, 且既无交易费又无风险。（=5%）

1）已知n = 4时的相关数据如下：

Si S1 S2 S3 S4 (%) 28 21 23 25 (%) 2.5 1.5 5.5 2.6 (%) 1 2 4.5 6.5 (元) 103 198 52 40 1. 试给该公司设计一种投资组合方案，即用给定的资金，有选择地

购买若干种资产或存银行生息，使净收益尽可能大，而总体风险尽可能小。 2. 试就一般情况对以上问题进行讨论，并利用以下数据进行计算。

Si S1 S2 9.6 18.5 (%) (%) 42 (%) 2.1 3.2 (元) 181 407 5

S3 S4 S5 S6 S7 S8 S9 S10 S11 S12 S13 S14 S15

49.4 23.9 8.1 14 40.7 31.2 33.6 36.8 11.8 9 35 9.4 15 60 42 1.2 39 68 33.4 53.3 40 31 5.5 46 5.3 23 6.0 1.5 7.6 3.4 5.6 3.1 2.7 2.9 5.1 5.7 2.7 4.5 7.6 428 9 270 397 178 220 475 248 195 320 267 328 131 B题 灾情巡视路线

下图为某县的乡（镇）、村公路网示意图，公路边的数字为该路段的公里数。 今年夏天该县遭受水灾。为考察灾情、组织自救，县领导决定，带领有关部门负责人到全县各乡（镇）、村巡视。巡视路线指从县所在地出发，走遍各乡（镇）、村，又回到县所在地的路线。

1. 若分三组（路）巡视，试设计总路程最短且各组尽可能均衡的巡视路线。

2. 假定巡视人员在各乡（镇）停留时间T=2小时，在各村停留时间t=1小时，汽车行驶速度V=35公里/小时。要在24小时内完成巡视，至少应分几组；给出这种分组下你认为最佳的巡视路线。

3. 在上述关于T , t和V的假定下，如果巡视人员足够多，完成巡视的最短时间是多少；给出在这种最短时间完成巡视的要求下，你认为最佳的巡视路线。

4. 若巡视组数已定(如三组)，要求尽快完成巡视，讨论T，t和V改变对最佳巡视路线的影响。

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1999创维杯全国大学生数学建模竞赛题目

A题 自动化车床管理

一道工序用自动化车床连续加工某种零件，由于刀具损坏等原因该工序会出现故障，其中刀具损坏故障占95%, 其它故障仅占5%。工序出现故障是完全随机的, 假定在生产任一零件时出现故障的机会均相同。工作人员通过检查零件来确定工序是否出现故障。现积累有100次刀具故障记录，故障出现时该刀具完成的零件数如附表。现计划在刀具加工一定件数后定期更换新刀具。

已知生产工序的费用参数如下：

故障时产出的零件损失费f=200元/件；进行检查的费用t=10元/次；发现故障进行调节使恢复正常的平均费用 d=3000元/次(包括刀具费)；未发现故障时更换一把新刀具的费用 k=1000元/次。

1 ）假定工序故障时产出的零件均为不合格品，正常时产出的零件均为合格品, 试对该工序设计效益最好的检查间隔（生产多少零件检查一次）和刀具更换策略。

2）如果该工序正常时产出的零件不全是合格品，有2%为不合格品；而工序故障时产出的零件有40%为合格品，60%为不合格品。工序正常而误认有故障仃机产生的损失费用为1500元/次。对该工序设计效益最好的检查间隔和刀具更换策略。

3）

在2)的情况, 可否改进检查方式获得更高的效益。

附:100次刀具故障记录(完成的零件数)

459 612 926 527 775 402 699 447 621 7

362 452 653 552 859 960 634 6 724 558

624 434 1 513 755 885 555 5 531 378

2 982 487 781 9 610 570 339 512 765

509 0 734 474 697 292 84 280 577 666

584 742 608 388 515 837 416 246 496 763

433 565 428 824 628 473 606 687 468 217

748 706 1153 538 9 677 1062 539 499 715

815 593 593 862 771 358 484 790 4 310

505 680 844 659 609 638 120 581 5 851

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B题 钻井布局

勘探部门在某地区找矿。初步勘探时期已零散地在若干位置上钻井，取得了地质资料。进入系统勘探时期后，要在一个区域内按纵横等距的网格点来布置井位，进行“撒网式”全面钻探。由于钻一口井的费用很高，如果新设计的井位与原有井位重合（或相当接近），便可利用旧井的地质资料，不必打这口新井。因此，应该尽量利用旧井，少打新井，以节约钻探费用。比如钻一口新井的费用为500万元，利用旧井资料的费用为10万元，则利用一口旧井就节约费用490万元。

设平面上有n个点Pi，其坐标为(ai,bi),i=1,2,…,n，表示已有的n个井位。新布置的井位是一个正方形网格N的所有结点（所谓“正方形网格”是指每个格子都是正方形的网格；结点是指纵线和横线的交叉点）。假定每个格子的边长（井位的纵横间距）都是1单位（比如100米）。整个网格是可以在平面上任意移动的。若一个已知点Pi与某个网格结点Xi的距离不超过给定误差ε（=0.05单位），则认为Pi处的旧井资料可以利用，不必在结点Xi处打新井。

为进行辅助决策，勘探部门要求我们研究如下问题：

1)假定网格的横向和纵向是固定的（比如东西向和南北向），并规定两点间的距离为其横向距离（横坐标之差绝对值）及纵向距离（纵坐标之差绝对值）的最大值。在平面上平行移动网格N，使可利用的旧井数尽可能大。试提供数值计算方法，并对下面的数值例子用计算机进行计算。

2)在欧氏距离的误差意义下，考虑网格的横向和纵向不固定（可以旋转）的情形，给出算法及计算结果。

3)如果有n口旧井，给出判定这些井均可利用的条件和算法（你可以任意选定一种距离）。

数值例子n=12个点的坐标如下表所示：

i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 ai 0.50 1.41 3.00 3.37 3.40 4.72 4.72 5.43 7.57 8.38 8.98bi

2.00 3.50

1.50

3.51

5.50

2.00

6.24

4.10

2.01

4.50

3.41

8

12 9.50 0.80

C题 煤矸石堆积

煤矿采煤时，会产出无用废料煤矸石。在平原地区，煤矿不得不征用土地堆放矸石。通常矸石的堆积方法是：

架设一段与地面角度约为 β=25゜ 的直线形上升轨道（角度过大，运矸车无法装满），用在轨道上行驶的运矸车将矸石运到轨道顶端后向两侧倾倒，待矸石堆高后，再借助矸石堆延长轨道，这样逐渐堆起如下图所示的一座矸石山来。

现给出下列数据：

矸石自然堆放安息角（矸石自然堆积稳定后，其坡面与地面形成的夹角）α<=55゜； 矸石容重（碎矸石单位体积的重量）约2吨/米3；

运矸车所需电费为 0.50元/度（不变）； 运矸车机械效率（只考虑堆积坡道上的运输）初始值（在地平面上）约30%，坡道每延长10米，效率在原有基础上约下降2%；

土地征用费现值为8万元/亩，预计地价年涨幅约10%； 银行存、贷款利率均为5%；

煤矿设计原煤产量为300万吨/年； 煤矿设计寿命为20年； 采矿出矸率（矸石占全部采出的百分比）一般为7%～10%。

另外，为保护耕地，煤矿堆矸土地应比实际占地多征用10%。

现在煤矿设计中用于处理矸石的经费（只计征地费及堆积时运矸车用的电费）为100万元/年，这笔钱是否够用？试制订合理的年度征地计划，并对不同的出矸率预测处理矸石的最低费用。

D题 钻井布局（同 B 题）

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2000网易杯全国大学生数学建模竞赛题目

A题 DNA分子排序

2000年6月，人类基因组计划中DNA全序列草图完成，预计2001年可以完成精确的全序列图，此后人类将拥有一本记录着自身生老病死及遗传进化的全部信息的“天书”。这本大自然写成的“天书”是由4个字符A，T，C，G按一定顺序排成的长约30亿的序列，其中没有“断句”也没有标点符号，除了这4个字符表示4种碱基以外，人们对它包含的“内容”知之甚少，难以读懂。破译这部世界上最巨量信息的“天书”是二十一世纪最重要的任务之一。在这个目标中，研究DNA全序列具有什么结构，由这4个字符排成的看似随机的序列中隐藏着什么规律，又是解读这部天书的基础，是生物信息学（Bioinformatics）最重要的课题之一。

虽然人类对这部“天书”知之甚少，但也发现了DNA序列中的一些规律性和结构。例如，在全序列中有一些是用于编码蛋白质的序列片段，即由这4个字符组成的种不同的3字符串，其中大多数用于编码构成蛋白质的20种氨基酸。又例如，在不用于编码蛋白质的序列片段中，A和T的含量特别多些，于是以某些碱基特别丰富作为特征去研究DNA序列的结构也取得了一些结果。此外，利用统计的方法还发现序列的某些片段之间具有相关性，等等。这些发现让人们相信，DNA序列中存在着局部的和全局性的结构，充分发掘序列的结构对理解DNA全序列是十分有意义的。目前在这项研究中最普通的思想是省略序列的某些细节，突出特征，然后将其表示成适当的数学对象。这种被称为粗粒化和模型化的方法往往有助于研究规律性和结构。

1）下面有20个已知类别的人工制造的序列（见反面），其中序列标号1—10 为A类，11-20为B类。请从中提取特征，构造分类方法，并用这些已知类别的序列，衡量你的方法是否足够好。然后用你认为满意的方法，对另外20个未标明类别的人工序列（标号21—40）进行分类，把结果用序号（按从小到大的顺序）标明它们的类别（无法分类的不写入）：

请详细描述你的方法，给出计算程序。如果你部分地使用了现成的分类方法，也要将方法名称准确注明。

2）在同样网址的数据文件Nat-model-data 中给出了182个自然DNA序列，它们都较长。用你的分类方法对它们进行分类，像1）一样地给出分类结果。 Art-model-data

1.aggcacggaaaaacgggaataacggaggaggacttggcacggcattacacggaggacgaggtaaaggaggcttgtctacggccggaagtgaagggggatatgaccgcttgg

2.cggaggacaaacgggatggcggtattggaggtggcggactgttcggggaattattcggtttaaacgggacaaggaaggcggctggaacaaccggacggtggcagcaaagga

3.gggacggatacggattctggccacggacggaaaggaggacacggcggacatacacggcggcaacggacggaacggaggaaggagggcggcaatcggtacggaggcggcgga

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5.cggctggcggacaacggactggcggattccaaaaacggaggaggcggacggaggctacaccaccgtttcggcggaaaggcggagggctggcaggaggctcattacggggag

10

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9.atggcggaaaaaggaaatgtttggcatcggcgggctccggcaactggaggttcggccatggaggcgaaaatcgtgggcggcggcagcgctggccggagtttgaggagcgcg

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20.gtatttaactctctttactttttttttcactctctacattttcatcttctaaaactgtttgatttaaacttttgtttctttaaggattttttttacttatcctctgttat

21.tttagctcagtccagctagctagtttacaatttcgacaccagtttcgcaccatcttaaatttcgatccgtaccgtaatttagcttagatttggatttaaaggatttagattga

22.tttagtacagtagctcagtccaagaacgatgtttaccgtaacgtacgtaccgtacgctaccgttaccggattccggaaagccgattaaggaccgatcgaaaggg

23.cgggcggatttaggccgacggggacccgggattcgggacccgaggaaattcccggattaaggtttagcttcccgggatttagggcccggatggctgggaccc

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25.gaccaaaggtgggctttagggacccgatgctttagtcgcagctggaccagttccccagggtattaggcaaaagctgacgggcaattgcaatttaggcttaggcca

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28.tccttagatttcagttactatatttgacttacagtctttgagatttcccttacgattttgacttaaaatttagacgttagggcttatcagttatggattaatttagcttattttcga

11

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31.ttaaggacttaggctttagcagttactttagtttagttccaagctacgtttacgggaccagatgctagctagcaatttattatccgtattaggcttaccgtaggtttagcgt

32.gctaccgggcagtctttaacgtagctaccgtttagtttgggcccagccttgcggtgtttcggattaaattcgttgtcagtcgctcttgggtttagtcattcccaaaagg

33.cagttagctgaatcgtttagccatttgacgtaaacatgattttacgtacgtaaattttagccctgacgtttagctaggaatttatgctgacgtagcgatcgactttagcac

34.cggttagggcaaaggttggatttcgacccagggggaaagcccgggacccgaacccagggctttagcgtaggctgacgctaggcttaggttggaacccggaaa

35.gcggaagggcgtaggtttgggatgcttagccgtaggctagctttcgacacgatcgattcgcaccacaggataaaagttaagggaccggtaagtcgcggtagcc

36.ctagctacgaacgctttaggcgcccccgggagtagtcgttaccgttagtatagcagtcgcagtcgcaattcgcaaaagtccccagctttagccccagagtcgacg

37.gggatgctgacgctggttagctttaggcttagcgtagctttagggccccagtctgcaggaaatgcccaaaggaggcccaccgggtagatgccasagtgcaccgt

38.aacttttagggcatttccagttttacgggttattttcccagttaaactttgcaccattttacgtgttacgatttacgtataatttgaccttattttggacactttagtttgggttac

39.ttagggccaagtcccgaggcaaggaattctgatccaagtccaatcacgtacagtccaagtcaccgtttgcagctaccgtttaccgtacgttgcaagtcaaatccat

40.ccattagggtttatttacctgtttattttttcccgagaccttaggtttaccgtactttttaacggtttacctttgaaatttttggactagcttaccctggatttaacggccagttt

B题 钢管订购和运输

要铺设一条A1A2A15的输送天然气的主管道, 如图一所示(见下

页)。经筛选后可以生产这种主管道钢管的钢厂有S1,S2,S7。图中粗线表示铁路，单细线表示公路，双细线表示要铺设的管道(假设沿管道或者原来有公路，或者建有施工公路)，圆圈表示火车站，每段铁路、公路和管道旁的阿拉伯数字表示里程(单位km)。

为方便计，1km主管道钢管称为1单位钢管。

一个钢厂如果承担制造这种钢管，至少需要生产500个单位。钢厂Si在指定期限内能生产该钢管的最大数量为si个单位，钢管出厂销价1单位钢管为pi万元，如下表： i si 1 800 160 2 800 155 3 1000 155 4 2000 160 5 2000 155 6 2000 150 7 3000 160 pi

1单位钢管的铁路运价如下表：

12

里程(km) 运价(万元)

里程(km) 运价(万元)

≤300 20 501～600 37 301～350 23 601～700 44 351～400 26 701～800 50 401～450 29 801～900 55 451～500 32 901～1000 60 1000km以上每增加1至100km运价增加5万元。公路运输费用为1单位钢管每公里0.1万元（不足整公里部分按整公里计算）。钢管可由铁路、公路运往铺设地点（不只是运到点

A1,A2,,A15，而是管道全线）。

请制定一个主管道钢管的订购和运输计划，使总费用最小（给出总费用）。

请就（1）的模型分析：哪个钢厂钢管的销价的变化对购运计划和总费用影响最大，哪个钢厂钢管的产量的上限的变化对购运计划和总费用的影响最大，并给出相应的数字结果。

如果要铺设的管道不是一条线，而是一个树形图，铁路、公路和管道构成网络，请就这种更一般的情形给出一种解决办法，并对图二按（1）的要求给出模型和结果。

13

290 S3 S2 690 1200 720 202 1100 20 195 3061150 600 10 5 194 A6A5 606 10 31 201 A8A7S1 12 42 70 10 170 520 88 462 S5 10 220 S4 320 160 70 30 70 62 S6 110 420 A15 500 A14 20 30 S7 20 690 160 A13 210 A12 480 680 A9300 A11 A10 450 80 205 3 104 A1 2 750 A4 A2 A3 301 图一 290 S3 S2 690 1200 720 A16 202 1100 20 195 3061150 600 10 5 194 A6 A5 606 10 31 S1 12 42 170 520 88 S4 A18 160 130 160 70 A20 100 30 260 S6 70 (A21) 320 A19 62 110 420 30 S7 20 690 20 A15

190 462 500 A14 A17 70 10 S5 10 220 A13 210 A12 201 A8205 A7 300 A10 A9 680 480 A11 450 80 2 750 A4 A2 A3 301 图二 3 104 A1

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C题 飞越北极

今年6月，扬子晚报发布消息：“中美航线下月可飞越北极，北京至底特律可节省4小时”，摘要如下：

7月1日起，加拿大和俄罗斯将允许民航班机飞越北极，此改变可大幅度缩短北美与亚洲间的飞行时间，旅客可直接从休斯敦，丹佛及明尼阿波利斯直飞北京等地。据加拿大空中交通管制局估计，如飞越北极，底特律至北京的飞行时间可节省4个小时。由于不需中途降落加油，实际节省的时间不止此数。

假设：飞机飞行高度约为10公里，飞行速度约为每小时980公里；从北京至底特律原来的航线飞经以下10处：

A1 (北纬31度，东经122度)； A2 (北纬36度，东经140度)； A3 (北纬 53度，西经165度)； A4 (北纬62度，西经150度); A5 (北纬 59度，西经140度)； A6 (北纬 55度，西经135度)； A7 (北纬 50度，西经130度)； A8 (北纬 47度，西经125度)； A8 (北纬 47度，西经122度)； A10 (北纬 42度，西经87度)。 请对“北京至底特律的飞行时间可节省4小时“从数学上作出一个合理的解释，分两种情况讨论：

设地球是半径为6371千米的球体； 设地球是一旋转椭球体，赤道半径为6378千米，子午线短半轴为6357千米。

D题 空洞探测

山体、隧洞、坝体等的某些内部结构可用弹性波测量来确定。一个简化问题可描述为，一块均匀介质构成的矩形平板内有一些充满空气的空洞，在平板的两个邻边分别等距地设置若干波源，在它们的对边对等地安放同样多的接收器，记录弹性波由每个波源到达对边上每个接收器的时间，根据弹性波在介质中和在空气中不同的传播速度，来确定板内空洞的位置。现考察如下的具体问题：

一块240（米）×240（米）的平板（如图），在 AB边等距地设置7个波源Pi (i=1,…,7)，CD边对等地安放7个接收器Qj (j=1,…,7)，记录由Pi发出的弹性波到达Qj的时间tij(秒); 在 AD边等距地设置7个波源Ri (i=1,…,7)，BC边对等地安放7个接收器Sj (j=1,…,7)，记录由Ri发出的弹性波到达Sj的时间τij (秒)。已知弹性波在介质和空气中的传播速度分别为2880（米/秒）和320（米/秒），且弹性波沿板边缘的传播速度与在介质中的传播速度相同。

1）确定该平板内空洞的位置。

2）只根据由Pi发出的弹性波到达Qj的时间tij(i,j=1,…,7)，能确定空洞的位置吗；讨论在同样能够确定空洞位置的前提下，减少波源和接受器的

D Qj C Ri

Sj

15 A Pi

B

方法。

tij P1 P2 P3 P4 P5 P6 P7 Q1 0.0611 0.09 0.3052 0.3221 0.3490 0.3807 0.4311 S1 0.05 0.0753 0.3456 0.3655 0.3165 0.2749 0.4434 Q2 0.05 0.0592 0.4131 0.4453 0.4529 0.3177 0.3397 S2 0.0602 0.0700 0.3205 0.32 0.2409 0.31 0.4919 Q3 0.1996 0.4413 0.0598 0.4040 0.2263 0.23 0.3566 S3 0.0813 0.2852 0.0974 0.4247 0.3214 0.55 0.3904 Q4 0.2032 0.4318 0.4153 0.0738 0.1917 0.30 0.19 S4 0.3516 0.4341 0.4093 0.1007 0.3256 0.3016 0.0786 Q5 0.4181 0.4770 0.4156 0.17 0.0839 0.2217 0.0760 S5 0.3867 0.3491 0.4240 0.3249 0.0904 0.2058 0.0709 Q6 0.4923 0.5242 0.3563 0.0740 0.1768 0.0939 0.0688 S6 0.4314 0.4800 0.40 0.2134 0.1874 0.0841 0.0914 Q7 0.56 0.3805 0.1919 0.2122 0.1810 0.1031 0.1042 S7 0.5721 0.4980 0.3112 0.1017 0.2130 0.0706 0.0583 τij R1 R2 R3 R4 R5 R6 R7

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2001年全国大学生数学建模竞赛题目

A题 血管的三维重建

断面可用于了解生物组织、器官等的形态。例如，将样本染色后切成厚约1

m的切片，在显微镜下观察该横断面的组织形态结构。如果用切片机连

续不断地将样本切成数十、成百的平行切片， 可依次逐片观察。根据拍照并采样得到的平行切片数字图象，运用计算机可重建组织、器官等准确的三维形态。

假设某些血管可视为一类特殊的管道，该管道的表面是由球心沿着某一曲线（称为中轴线）的球滚动包络而成。例如圆柱就是这样一种管道，其中轴线为直线，由半径固定的球滚动包络形成。

现有某管道的相继100张平行切片图象，记录了管道与切片的交。图象文件名依次为0.bmp、1.bmp、…、 99.bmp，格式均为BMP，宽、高均为512个象素（pixel）。为简化起见，假设：管道中轴线与每张切片有且只有一个交点；球半径固定；切片间距以及图象象素的尺寸均为1。

取坐标系的Z轴垂直于切片，第1张切片为平面Z=0，第100张切片为平面Z=99。Z=z切片图象中象素的坐标依它们在文件中出现的前后次序为

（-256，-256，z），（-256，-255，z），…（-256，255，z）， （-255，-256，z），（-255，-255，z），…（-255，255，z）， ……

（ 255，-256，z），（ 255，-255，z），…（255，255，z）。

试计算管道的中轴线与半径，给出具体的算法，并绘制中轴线在XY、YZ、ZX平面的投影图。

第2页是100张平行切片图象中的6张，全部图象请从网上下载。 关于BMP图象格式可参考： 1. 《Visual C++数字图象处理》第12页2.3.1节。何斌等编著，人民邮电出版社，2001年4月。

2. http://www.dcs.ed.ac.uk/home/mxr/gfx/2d/BMP.txt

Z=0 Z=1 Z=49 Z=50 17 Z=98 Z=99

B题 公交车调度

公共交通是城市交通的重要组成部分，作好公交车的调度对于完善城市交通环境、改进市民出行状况、提高公交公司的经济和社会效益，都具有重要意义。下面考虑一条公交线路上公交车的调度问题，其数据来自我国一座特大城市某条公交线路的客流调查和运营资料。

该条公交线路上行方向共14站，下行方向共13站，第3-4页给出的是典型的一个工作日两个运行方向各站上下车的乘客数量统计。公交公司配给该线路同一型号的大客车，每辆标准载客100 人，据统计客车在该线路上运行的平均速度为20公里/小时。运营调度要求，乘客候车时间一般不要超过10分钟，早高峰时一般不要超过5分钟，车辆满载率不应超过 120%，一般也不要低于50%。

试根据这些资料和要求，为该线路设计一个便于操作的全天（工作日）的公交车调度方案，包括两个起点站的发车时刻表；一共需要多少辆车；这个方案以怎样的程度照顾到了乘客和公交公司双方的利益；等等。

如何将这个调度问题抽象成一个明确、完整的数学模型，指出求解模型的方法；根据实际问题的要求，如果要设计更好的调度方案，应如何采集运营数据。

某路公交汽车各时组每站上下车人数统计表 上行方向：A13开往A0 站名 A13 A12 A11 A10 A9 A8 A7 A6 A5 A4 A3 A2 A1 A0 站间距(公里) 1.6 0.5 1 0.73 2.04 1.26 2.29 1 1.2 0.4 1 1.03 0.53 5:00-6:00 6:00-7:00 7:00-8:00 8:00-9:00 9:00-10:00 10:00-11:00 11:00-12:00 12:00-13:00 13:00-14:00 14:00-15:00 15:00-16:00 16:00-17:00 17:00-18:00

上 下 下 下 下 下 上 下 上 下 上 下 上 下 上 下 上 下 下 371 60 52 43 76 90 48 83 85 26 45 45 11 0 8 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 9 13 20 48 45 81 32 18 24 25 85 57 上 1990 376 333 256 5 594 315 622 510 176 308 307 68 上 3626 634 528 447 948 868 523 958 904 259 465 4 99 上 20 322 305 235 477 9 271 486 439 157 275 234 60 上 1186 205 166 147 281 304 172 324 267 78 143 162 36 923 151 120 108 215 214 119 212 201 75 123 112 26 957 181 157 133 2 2 135 253 260 74 138 117 30 873 141 140 108 215 204 129 232 221 65 103 112 26 779 141 103 84 186 185 103 211 173 66 108 97 23 625 104 108 82 162 180 90 185 170 49 75 85 20 635 124 98 82 152 180 80 185 150 49 85 85 20 0 99 105 1 239 588 2 800 407 208 300 288 921 615 0 205 227 272 461 1058 1097 1793 801 469 560 636 1871 1459 0 106 123 169 300 634 621 971 440 245 339 408 1132 759 0 81 75 120 181 407 411 551 250 136 187 233 774 483 0 52 55 81 136 299 280 442 178 105 153 167 532 385 0 58 84 131 321 291 420 196 119 159 153 534 340 0 46 49 71 111 263 256 3 1 111 134 148 488 333 0 39 41 70 103 221 197 297 137 85 113 116 384 263 0 36 39 47 78 1 176 339 139 80 97 120 383 239 0 36 39 57 88 209 196 339 129 80 107 110 353 229 0 80 85 135 194 450 441 731 335 157 255 251 800 557 上 1493 299 240 199 396 404 210 428 390 120 208 197 49 上 2011 379 311 230 497 479 296 586 508 140 250 259 61 18

18:00-19:00 19:00-20:00 20:00-21:00 21:00-22:00 22:00-23:00 下 上 下 上 下 上 下 上 下 上 下 0 110 118 171 257 694 573 957 390 253 293 378 1228 793 691 124 107 167 165 108 201 194 53 93 82 22 350 55 46 91 85 50 88 27 48 47 11 304 50 43 36 72 75 40 77 60 22 38 37 209 37 32 26 53 55 29 47 52 16 28 27 19 0 3 3 3 3 2 5 5 5 3 5 5 1 7 3 9 2 9 6 1 0 0 0 0 0 0 45 48 80 108 237 231 390 150 131 125 428 336 0 22 23 34 63 116 108 196 83 48 66 204 139 0 16 17 24 38 80 84 143 59 34 46 47 160 117 0 14 14 21 33 78 63 125 62 30 40 41 128 92 8 18 17 27 12 9 32 21 某路公交汽车各时组每站上下车人数统计表 下行方向：A0开往A13 站名 A0 A2 A3 A4 A5 A6 A7 A8 A9 A10 A11 A12 A13 站间距(公里) 1.56 1 0.44 1.2 0.97 2.29 1.3 2 0.73 1 0.5 1.62 5:00-6:00 6:00-7:00 7:00-8:00 8:00-9:00 9:00-10:00 10:00-11:00 11:00-12:00 12:00-13:00 13:00-14:00 14:00-15:00 15:00-16:00 16:00-17:00 17:00-18:00 18:00-19:00

上 下 上 下 上 下 上 下 上 下 上 下 上 下 上 下 上 下 上 下 上 下 上 下 上 下 上 下 22 0 3 2 4 1 2 1 4 6 4 7 3 7 3 5 3 3 1 4 1 2 0 3 0 9 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 795 143 167 84 151 188 109 137 130 45 53 16 2328 380 427 224 420 455 272 343 331 126 138 45 2706 374 492 224 404 532 333 345 3 120 153 46 1556 204 274 125 235 308 162 203 198 76 99 27 902 147 183 82 155 206 120 150 143 50 59 18 847 130 132 67 127 150 108 104 107 41 48 15 706 90 118 66 105 144 92 95 88 34 40 12 770 97 126 59 102 133 97 102 104 36 43 13 839 133 156 69 130 165 101 118 120 42 49 15 1110 170 1 79 169 194 141 152 166 19 1837 260 330 146 305 404 229 277 253 95 122 34 3020 474 587 248 468 9 388 432 452 157 205 56 1966 350 399 204 328 471 2 335 342 122 132 40 0 70 40 40 184 205 195 147 93 109 75 108 271 0 294 156 157 710 780 849 5 374 444 265 373 958 0 266 158 149 756 827 856 529 367 428 237 376 1167 0 157 100 80 410 511 498 336 199 276 136 219 556 0 103 59 59 246 346 320 191 147 185 96 1 438 0 94 48 48 199 238 256 175 122 143 68 128 346 0 70 40 40 174 215 205 127 103 119 65 98 261 0 75 43 43 166 210 209 136 90 127 60 115 309 0 84 48 48 219 238 246 155 112 153 78 118 346 0 110 73 63 253 307 341 215 136 167 102 144 425 0 175 96 106 459 617 9 401 266 304 162 269 784 0 330 193 194 737 934 1016 606 416 494 278 448 1249 0 223 129 150 635 787 690 505 304 423 246 320 1010 19

19:00-20:00 20:00-21:00 21:00-22:00 22:00-23:00 上 下 上 下 上 下 上 下 939 130 165 88 138 187 124 143 147 48 56 17 0 107 126 69 112 153 87 102 94 36 43 13 636 110 128 56 105 144 82 95 98 34 40 12 294 43 51 24 46 58 35 41 42 15 17 5 0 0 0 0 0 113 59 59 266 306 290 201 147 155 86 1 398 0 75 43 43 186 230 219 146 90 127 70 95 319 0 73 41 42 190 243 192 132 107 123 67 101 290 0 35 20 20 87 108 92 69 47 60 33 49 136 C题 基金使用计划

某校基金会有一笔数额为M元的基金，打算将其存入银行或购买国库券。当前银行存款及各期国库券的利率见下表。假设国库券每年至少发行一次，发行时间不定。取款参考银行的现行。

校基金会计划在n年内每年用部分本息奖励优秀师生，要求每年的奖金额大致相同，且在n年末仍保留原基金数额。校基金会希望获得最佳的基金使用计划，以提高每年的奖金额。请你帮助校基金会在如下情况下设计基金使用方案，并对M=5000万元，n=10年给出具体结果：

只存款不购国库券； 可存款也可购国库券。

3．学校在基金到位后的第3年要举行百年校庆，基金会希望这一年的奖金比其它年度多20%。 活期 半年期 一年期 二年期 三年期 五年期

银行存款税后年利率（%） 0.792 1.6 1.800 1.944 2.160 2.304 国库券年利率（%） 2.55 2. 3.14 D题 公交车调度(数据同B题)

公共交通是城市交通的重要组成部分，作好公交车的调度对于完善城市交通环境、改进市民出行状况、提高公交公司的经济和社会效益，都具有重要意义。下面考虑一条公交线路上公交车的调度问题，其数据来自我国一座特大城市某条公交线路的客流调查和运营资料。

该条公交线路上行方向共14站，下行方向共13站，第3-4页给出的是典型的一个工作日两个运行方向各站上下车的乘客数量统计。公交公司配给该线路同一型号的大客车，每辆标准载客100 人，据统计客车在该线路上运行的平均速度为20公里/小时。运营调度要求，乘客候车时间一般不要超过10分钟，早高峰时一般不要超过5分钟，车辆满载率不应超过 120%，一般也不要低于50%。

试根据这些资料和要求，为该线路设计一个便于操作的全天（工作日）的公交车调度方案，包括两个起点站的发车时刻表；一共需要多少辆车；这个方案以怎样的程度照顾到了乘客和公交公司双方的利益；等等。

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2002高教社杯全国大学生数学建模竞赛题目

A题 车灯线光源的优化设计

安装在汽车头部的车灯的形状为一旋转抛物面，车灯的对称轴水平地指向正前方, 其开口半径36毫米，深度21.6毫米。经过车灯的焦点，在与对称轴相垂直的水平方向，对称地放置一定长度的均匀分布的线光源。要求在某一设计规范标准下确定线光源的长度。

该设计规范在简化后可描述如下。在焦点F正前方25米处的A点放置一测试屏，屏与FA垂直，用以测试车灯的反射光。在屏上过A点引出一条与地面相平行的直线，在该直线A点的同侧取B点和C点，使AC=2AB=2.6米。要求C点的光强度不小于某一额定值（可取为1个单位），B点的光强度不小于该额定值的两倍（只须考虑一次反射）。

请解决下列问题：

（1）在满足该设计规范的条件下，计算线光源长度，使线光源的功率最小。 （2）对得到的线光源长度，在有标尺的坐标系中画出测试屏上反射光的亮区。 （3）讨论该设计规范的合理性。

B题 彩票中的数学

近年来“彩票飓风”席卷中华大地，巨额诱惑使越来越多的人加入到“彩民”的行列，目前流行的彩票主要有“传统型”和“乐透型”两种类型。

“传统型”采用“10选6+1”方案：先从6组0~9号球中摇出6个基本号码，每组摇出一个，然后从0~4号球中摇出一个特别号码，构成中奖号码。投注者从0~9十个号码中任选6个基本号码（可重复），从0~4中选一个特别号码，构成一注，根据单注号码与中奖号码相符的个数多少及顺序确定中奖等级。以中奖号码“abcdef+g”为例说明中奖等级，如表一（X表示未选中的号码）。 表一 中 奖 等 级 一等奖 二等奖 三等奖 四等奖 五等奖 六等奖 10 选 6+1（6+1/10） 基 本 号 码 特别号码 说 明 abcdef 选7中（6+1） g abcdef 选7中（6） abcdeX Xbcdef 选7中（5） abcdXX XbcdeX XXcdef 选7中（4） abcXXX XbcdXX XXcdeX XXXdef 选7中（3） abXXXX XbcXXX XXcdXX XXXdeX XXXXef 选7中（2） “乐透型”有多种不同的形式，比如“33选7”的方案：先从01~33个号码

球中一个一个地摇出7个基本号，再从剩余的26个号码球中摇出一个特别号码。投注者从01~33个号码中任选7个组成一注（不可重复），根据单注号码与中奖号码相符的个数多少确定相应的中奖等级，不考虑号码顺序。又如“36选6+1”的方案，先从01~36个号码球中一个一个地摇出6个基本号，再从剩下的30个号码球中摇出一个特别号码。从01~36个号码中任选7个组成一注（不可重复），根据单注号码与中奖号码相符的个数多少确定相应的中奖等级，不考虑号码顺序。这两种方案的中奖等级如表二。

表二

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中 奖 等 级 一等奖 二等奖 三等奖 四等奖 五等奖 六等奖 七等奖 33 选 7（7/33） 基 本 号 码 特别号码 说 明 ●●●●●●● 选7中（7） ●●●●●●○ ★ 选7中（6+1） ●●●●●●○ 选7中（6） ●●●●●○○ ★ 选7中（5+1） ●●●●●○○ 选7中（5） ●●●●○○○ ★ 选7中（4+1） ●●●●○○○ 选7中（4） 36 选 6+1（6+1/36） 基 本 号 码 特别号码 说 明 ●●●●●● ★ 选7中（6+1） ●●●●●● 选7中（6） ●●●●●○ ★ 选7中（5+1） ●●●●●○ 选7中（5） ●●●●○○ ★ 选7中（4+1） ●●●●○○ 选7中（4） ●●●○○○ ★ 选7中（3+1） 注：●为选中的基本号码；★ 为选中的特别号码；○ 为未选中的号码。

以上两种类型的总奖金比例一般为销售总额的50%，投注者单注金额为

2元，单注若已得到高级别的奖就不再兼得低级别的奖。现在常见的销售规则及相应的奖金设置方案如表三，其中一、二、三等奖为高项奖，后面的为低项奖。低项奖数额固定，高项奖按比例分配，但一等奖单注保底金额60万元，封顶金额500万元，各高项奖额的计算方法为：

[(当期销售总额 ×总奖金比例) -低项奖总额 ]×单项奖比例

（1）根据这些方案的具体情况，综合分析各种奖项出现的可能性、奖项和奖金额的设置以及对彩民的吸引力等因素评价各方案的合理性。

（2）设计一种“更好”的方案及相应的算法，并据此给彩票管理部门提出建议。 （3）给报纸写一篇短文，供彩民参考。

表三 序号 奖项 方案 一等奖 比 例 二等奖 比 例 三等奖 比 例 四等奖 金 额 五等奖 金 额 六等奖 金 额 七等奖 金 额 备 注 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25

6+1/10 6+1/10 6+1/10 6+1/10 7/29 6+1/29 7/30 7/30 7/30 7/31 7/31 7/32 7/32 7/32 7/33 7/33 7/34 7/34 7/35 7/35 7/35 7/35 7/35 6+1/36 6+1/36 50% 60% 65% 70% 60% 60% 65% 70% 75% 60% 75% 65% 70% 75% 70% 75% 65% 68% 70% 70% 75% 80% 100% 75% 80% 20% 20% 15% 15% 20% 25% 15% 10% 10% 15% 10% 15% 10% 10% 10% 10% 15% 12% 15% 10% 10% 10% 2000 10% 10% 30% 20% 20% 15% 20% 15% 20% 20% 15% 25% 15% 20% 20% 15% 20% 15% 20% 20% 15% 20% 15% 10% 20 15% 10% 50 300 300 300 300 200 500 200 200 500 320 500 500 500 600 500 500 500 300 500 1000 200 4 500 500 22

20 20 20 30 20 50 50 30 50 30 50 50 50 60 50 30 50 50 100 100 50 2 100 100 5 5 5 5 5 15 10 10 20 5 10 10 10 6 10 6 10 5 30 50 20 10 10 5 5 5 10 5 2 5 5 5 5 按序 按序 按序 按序 无特别号

26 27 28 29 7/36 7/37 6/40 5/60 70% 70% 82% 60% 10% 15% 10% 20% 20% 15% 8% 20% 500 1500 200 300 50 100 10 30 10 50 1 5 C题 车灯线光源的计算

安装在汽车头部的车灯的形状为一旋转抛物面，车灯的对称轴水平地指向正前方，其开口半径36毫米，深度21.6毫米。经过车灯的焦点，在与对称轴相垂直的水平方向，对称地放置长度为4毫米的线光源，线光源均匀分布。在焦点F正前方25米处的A点放置一测试屏，屏与FA垂直。

请解决下列问题：

计算直射光总功率与反射光总功率之比。

计算测试屏上直射光的亮区，在有标尺的坐标系中画出其图形。

计算测试屏上反射光的亮区，在有标尺的坐标系中画出其图形（只须考虑一次反射）。

D题 赛程安排

你所在的年级有5个班，每班一支球队在同一块场地上进行单循环赛, 共要进行10场比赛. 如何安排赛程使对各队来说都尽量公平呢. 下面是随便安排的一个赛程: 记5支球队为A, B, C, D, E，在下表左半部分的右上三角的10个空格中, 随手填上1,2,10, 就得到一个赛程, 即第1场A对B, 第2场B对C, , 第10场C对E. 为方便起见将这些数字沿对角线对称地填入左下三角.

这个赛程的公平性如何呢, 不妨只看看各队每两场比赛中间得到的休整时间是否均等. 表的右半部分是各队每两场比赛间相隔的场次数, 显然这个赛程对A, E有利, 对D则不公平. A B C D E

A X 1 9 3 6 B 1 X 2 5 8 C 9 2 X 7 10 D 3 5 7 X 4 E 每两场比赛间相隔场次数 6 1, 2, 2 8 0, 2, 2 10 4, 1, 0 4 0, 0, 1 X 1, 1, 1 从上面的例子出发讨论以下问题:

对于5支球队的比赛, 给出一个各队每两场比赛中间都至少相隔一场的赛程.

1) 当n支球队比赛时, 各队每两场比赛中间相隔的场次数的上限是多少.

2) 在达到2) 的上限的条件下, 给出n=8, n=9的赛程, 并说明它们的编制过程.

3) 除了每两场比赛间相隔场次数这一指标外, 你还能给出哪些指标来衡量一个赛程的优劣, 并说明3) 中给出的赛程达到这些指标的程度.

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2003高教社杯全国大学生数学建模竞赛题目

A题 SARS的传播

SARS（Severe Acute Respiratory Syndrome，严重急性呼吸道综合症, 俗称：非典型肺炎）是21世纪第一个在世界范围内传播的传染病。SARS的爆发和蔓延给我国的经济发展和人民生活带来了很大影响，我们从中得到了许多重要的经验和教训，认识到定量地研究传染病的传播规律、为预测和控制传染病蔓延创造条件的重要性。请你们对SARS 的传播建立数学模型，具体要求如下：

（1）对附件1所提供的一个早期的模型，评价其合理性和实用性。

（2）建立你们自己的模型，说明为什么优于附件1中的模型；特别要说明怎样才能建立一个真正能够预测以及能为预防和控制提供可靠、足够的信息的模型，这样做的困难在哪里？对于卫生部门所采取的措施做出评论，如：提前或延后5天采取严格的隔离措施，对疫情传播所造成的影响做出估计。附件2提供的数据供参考。

（3）收集SARS对经济某个方面影响的数据，建立相应的数学模型并进行预测。附件3提供的数据供参考。

（4）给当地报刊写一篇通俗短文，说明建立传染病数学模型的重要性。

附件1：

SARS疫情分析及对北京疫情走势的预测

2003年5月8日

在病例数比较多的地区，用数理模型作分析有一定意义。前几天，XXX老师用解析公式分析了北京SARS疫情前期的走势。在此基础上，我们加入了每个病人可以传染他人的期限（由于被严格隔离、治愈、死亡等），并考虑在不同阶段社会条件下传染概率的变化，然后先分析和广东的情况以获得比较合理的参数，最后初步预测北京的疫情走势。希望这种分析能对认识疫情，安排后续的工作生活有帮助。

1 模型与参数

假定初始时刻的病例数为N0，平均每病人每天可传染K个人（K一般为小数），平均每个病人可以直接感染他人的时间为L天。则在L天之内，病例数目的增长随时间t(单位天)的关系是：

N（t）= N0 (1+K)t

如果不考虑对传染期的，则病例数将按照指数规律增长。考虑传染期限L的作用后，变化将显著偏离指数律，增长速度会放慢。我们采用半模拟循环计算的办法，把到达L天的病例从可以引发直接传染的基数中去掉。

参数K和L具有比较明显的实际意义。L可理解为平均每个病人在被发现前后可以造成直接传染的期限，在此期限后他失去传染作用，可能的原因是被严格隔离、病愈不再传染或死去等等。从原理上讲，这个参数主要与医疗机构隔离病人的时机和隔离的严格程度有关，只有医疗机构能有效缩短这个参数。但我们分析广东、、北京现有的数据后发现，不论对于疫情的爆发阶段，还是疫情的控制阶段，这个参数都不能用得太小，否则无法描写好各阶段的数据。该参数放在15-25之间比较好，为了简单我们把它固定在20（天）上这个值有一定统计上的意义，至于有没有医学上的解释，需要其他专家分析。

参数K显然代表某种社会环境下一个病人传染他人的平均概率，与全社会的

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警觉程度、和公众采取的各种措施有关。在疾病初发期，社会来不及防备，此时K值比较大。为了简单起见，我们从开始至到高峰期间均采用同样的K值（从拟合这一阶段的数据定出），即假定这阶段社会的防范程度都比较低，感染率比较高。到达高峰期后，我们在10天的范围内逐步调整K值到比较小，然后保持不变，拟合其后在控制阶段的全部数据，即认为社会在经过短期的剧烈调整之后，进入一个对疫情控制较好的常态。显然，如果疫情出现失控或反复的状态，则K值需要做更多的调整。

2 计算结果

2.1 对疫情的计算和分析。的数据相对比较完整准确。但在初期，由于诊断标准等不确切，在3月17日之前，没有找到严格公布的数据。我们以报道的2月15日作为发现第一例病人的起点，2月27日从报道推断为7例。3月17日后则都是正式公布的数据。累积病例数在图1中用三角形表示。我们然后用上述方法计算。4月1日前后（从起点起45天左右）是疫情高峰时期，在此之前我们取K=0.16204。此后的10天，根据数据的变化将K逐步调到0.0273，然后保持0.0273算出后面控制期的结果。短期内K调整的幅度很大，反映社会的变化比较大。图中实心方黑点是计算的累积病例数。从计算累积病例数，很容易算出每天新增病例数（当然只反映走向，实际状况有很大涨落）。可以看出，疫情从起始到高峰大约45天，从高峰回落到1/10以下（每天几个病例）大约40天（5月上中旬），到基本没有病例还要再经过近一个月（到6月上中旬）。

2.2 对广东疫情的计算和分析。广东的起点是02年11月16日，到今年2月下旬达到高峰，经过了约100天。在今年2月10日以前的数据查不到，分析比较困难。总体上看，广东持续的时间比长得多，但累积的总病例数却少一些，这反映出广东的爆发和高峰都不强烈。但广东的回落也比较慢。从2月下旬高峰期到现在经过了约70天，还维持着每天10来个新增病例，而同样过程只用了约40天。这种缓慢上升和下降的过程也反映到K值上。比较好的拟合结果是，在高峰期之前（t < 101天），K=0.02；在随后的10天逐步调整到0.031。用这组参数算出的后期日增病例数比实际公布的偏小，说明实际上降低得更慢。这种情况与疫情的社会控制状况有没有什么关系，需要更仔细的分析。

2.3 对北京疫情的分析与预测。北京的病例起点定在3月1日，经过大约59天在4月29日左右达到高峰。我们通过拟合起点和4月20日以后的数据定出高峰期以前的K=0.13913。这个值比的0.16204来得低，说明北京初期的爆发程度不如，但遗憾的是上升时间持续了近60天，而是45天，这就造成了累积病例数大大超过。从图2中还看出4月20日以前公布的数据大大低于计算值。而我们从对、广东情况的计算中，知道疫情前期我们的计算还是比较可行的。从而可以大致判断出北京前期实际的病例数。图中的公布数据截止到5月7日（从起点起67天），其后的计算采用的是情况下获得的参数。按这种估算，北京最终累积病例数将达到3100多。

图3是计算的日增病例数。后期下降得较快的实心方黑点是采用参数获得的。这就是说，如果北京的疫情控制与相当或更好的话，就可以在高峰期后的40天（从起点起100天）左右，即6月上中旬下降到日增几例。然后再经过约一个月，即7月上中旬达到日增0病例。但如果北京的新病例下降速度与广东类似的话，则要再多花至少一个月，才能达到上述的效果，且累积总病例数会到3800左右。至于什么原因造成下降速度快而广东下降速度慢，需要有关方面作具体分析。

3 结论

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每个病人可以造成直接感染他人的期限平均在20天左右，这个值在不同地区和不同疫情阶段似乎变化不大。病人的平均每天感染率与社会状况有关，在疫情爆发期较大，在疫情控制期要小很多。的初期爆发情况比广东和北京都剧烈，但控制效果明显比较好。北京后期如果控制在后期的感染率水平上，则有望在6月上中旬下降到日增几例。然后再经过约一个月，即7月上中旬达到日增0病例。而累积总病例数将达到3100多。但如果北京的新病例下降速度与广东类似的话，则要再多花至少一个月，才能达到上述的效果，且累积总病例数会到3800左右。

附件2：北京市疫情的数据

( 据：http://www.beijing.gov.cn/Resource/Detail.asp?ResourceID=66070 )

日 期 4月20日 4月21日 4月22日 4月23日 4月24日 4月25日 4月26日 4月27日 4月28日 4月29日 4月30日 5月01日 5月02日 5月03日 5月04日 5月05日 5月06日 5月07日 5月08日 5月09日 5月10日 5月11日 5月12日 5月13日 5月14日 5月15日 5月16日

已确诊病例累计 现有疑似病例 死亡累计 治愈出院累计

339 482 588 693 774 877 988 1114 1199 1347 1440 1553 1636 1741 1803 17 1960 2049 2136 2177 2227 2265 2304 2347 2370 2388 2405

402 610 666 782 863 9 1093 1255 1275 1358 1408 1415 1468 1493 1537 1510 1523 1514 1486 1425 1397 1411 1378 1338 1308 1317 1265

26

18 25 28 35 39 42 48 56 59 66 75 82 91 96 100 103 107 110 112 114 116 120 129 134 139 140 141

33 43 46 55 73 76 78 78 83 90 100 109 115 118 121 134 141 152 168 175 186 208 244 252 257 273

5月17日 5月18日 5月19日 5月20日 5月21日 5月22日 5月23日 5月24日 5月25日 5月26日 5月27日 5月28日 5月29日 5月30日 5月31日 6月01日 6月02日 6月03日 6月04日 6月05日 6月06日 6月07日 6月08日 6月09日 6月10日 6月11日 6月12日 6月13日 6月14日 6月15日 6月16日 6月17日 6月18日 6月19日 6月20日 6月21日 6月22日 6月23日

2420 1250 2434 1250 2437 1249 2444 1225 2444 1221 2456 1205 2465 1179 2490 1134 2499 1105 2504 1069 2512 1005 2514 941 2517 803 2520 760 2521 747 2522 739 2522 734 2522 724 2522 718 2522 716 2522 713 2523 668 2522 550 2522 451 2522 351 2523 257 2523 155 2522 71 2522 4 2522 3 2521 3 2521 5 2521 4 2521 3 2521 3 2521 2 2521 2 2521

2

27

145 307 147 332 150 349 1 395 156 447 158 528 160 582 163 667 167 704 168 747 172 828 175 866 176 928 177 1006 181 1087 181 1124 181 1157 181 11 181 1263 181 1321 183 1403 183 1446 184 13 184 1653 186 1747 186 1821 187 1876 187 1944 1 1994 1 2015 190 2053 190 2120 191 21 191 2171 191 21 191 2231 191 2257 191

2277

年 1997 1998 1999 2000 2001 2002 2003 附件3：北京市接待海外旅游人数（单位：万人） 1月 2月 3月 4月 5月 6月 7月 8月 9月 10月 11月 12月 9.4 11.3 16.8 19.8 20.3 18.8 20.9 24.9 24.7 24.3 19.4 18.6 9.6 11.7 15.8 19.9 19.5 17.8 17.8 23.3 21.4 24.5 20.1 15.9 10.1 12.9 17.7 21.0 21.0 20.4 21.9 25.8 29.3 29.8 23.6 16.5 11.4 26.0 19.6 25.9 27.6 24.3 23.0 27.8 27.3 28.5 32.8 18.5 11.5 26.4 20.4 26.1 28.9 28.0 25.2 30.8 28.7 28.1 22.2 20.7 13.7 29.7 23.1 28.9 29.0 27.4 26.0 32.2 31.4 32.6 29.2 22.9 15.4 17.1 23.5 11.6 1.78 2.61 8.8 16.2 B题 露天矿生产的车辆安排

钢铁工业是国家工业的基础之一，铁矿是钢铁工业的主要原料基地。许多现代化铁矿是露天开采的，它的生产主要是由电动铲车（以下简称电铲）装车、电动轮自卸卡车（以下简称卡车）运输来完成。提高这些大型设备的利用率是增加露天矿经济效益的首要任务。

露天矿里有若干个爆破生成的石料堆，每堆称为一个铲位，每个铲位已预先根据铁含量将石料分成矿石和岩石。一般来说，平均铁含量不低于25%的为矿石，否则为岩石。每个铲位的矿石、岩石数量，以及矿石的平均铁含量（称为品位）都是已知的。每个铲位至多能安置一台电铲，电铲的平均装车时间为5分钟。

卸货地点（以下简称卸点）有卸矿石的矿石漏、2个铁路倒装场（以下简称倒装场）和卸岩石的岩石漏、岩场等，每个卸点都有各自的产量要求。从保护国家资源的角度及矿山的经济效益考虑，应该尽量把矿石按矿石卸点需要的铁含量（假设要求都为29.5%1%，称为品位）搭配起来送到卸点，搭配的量在一个班次（8小时）内满足品位即可。从长远看，卸点可以移动，但一个班次内不变。卡车的平均卸车时间为3分钟。

所用卡车载重量为1吨，平均时速28km/h。卡车的耗油量很大，每个班次每台车消耗近1吨柴油。发动机点火时需要消耗相当多的电瓶能量，故一个班次中只在开始工作时点火一次。卡车在等待时所耗费的能量也是相当可观的，原则上在安排时不应发生卡车等待的情况。电铲和卸点都不能同时为两辆及两辆以上卡车服务。卡车每次都是满载运输。

每个铲位到每个卸点的道路都是专用的宽60m的双向车道，不会出现堵车现象，每段道路的里程都是已知的。

一个班次的生产计划应该包含以下内容：出动几台电铲，分别在哪些铲位上；出动几辆卡车，分别在哪些路线上各运输多少次（因为随机因素影响，装卸时间与运输时间都不精确，所以排时计划无效，只求出各条路线上的卡车数及安排即可）。一个合格的计划要在卡车不等待条件下满足产量和质量（品位）要求，而一个好的计划还应该考虑下面两条原则之一：

1.总运量（吨公里）最小，同时出动最少的卡车，从而运输成本最小； 2.利用现有车辆运输，获得最大的产量（岩石产量优先；在产量相同的情况下，取总运量最小的解）。

28

请你就两条原则分别建立数学模型，并给出一个班次生产计划的快速算法。针对下面的实例，给出具体的生产计划、相应的总运量及岩石和矿石产量。

某露天矿有铲位10个，卸点5个，现有铲车7台，卡车20辆。各卸点一个班次的产量要求：矿石漏1.2万吨、倒装场Ⅰ1.3万吨、倒装场Ⅱ1.3万吨、岩石漏1.9万吨、岩场1.3万吨。

铲位和卸点位置的二维示意图如下，各铲位和各卸点之间的距离（公里）如下表： 铲位1 铲位2 铲位3 铲位4 铲位5 铲位6 铲位7 铲位8 铲位9 铲位10 5.26 5.19 4.21 4.00 2.95 2.74 2.46 1.90 0. 1.27 2.04 3.09 3.51 2.46 1.06 0.57 3.72 5.05 6.10 1.62 1.27 0.50 矿石漏 倒装1.90 0.99 1.90 1.13 1.27 2.25 1.48 场Ⅰ 岩场 5. 5.61 5.61 4.56 3.51 3.65 2.46 岩石0. 1.76 1.27 1.83 2.74 2.60 4.21 漏 倒装4.42 3.86 3.72 3.16 2.25 2.81 0.78 场Ⅱ 各铲位矿石、岩石数量(万吨)和矿石的平均铁含量如下表： 铲位1 铲位2 铲位3 铲位4 铲位5 铲位6 铲位7 矿石量 岩石量 铁含量

铲位8 铲位9 铲位10 0．95 1．05 1．00 1．05 1．10 1．25 1．05 1．30 1．35 1．25 1．25 1．10 1．35 1．05 1．15 1．35 1．05 1．15 1．35 1．25 30% 28% 29% 32% 31% 33% 32% 31% 33% 31% C题 SARS的传播

SARS（Severe Acute Respiratory Syndrome，严重急性呼吸道综合症, 俗

称：非典型肺炎）是21世纪第一个在世界范围内传播的传染病。SARS的爆发和蔓延给我国的经济发展和人民生活带来了很大影响，我们从中得到了许多重要的经验和教训，认识到定量地研究传染病的传播规律、为预测和控制传染病蔓延创造条件的重要性。请你们对SARS 的传播建立数学模型，具体要求如下： （1）对附件1所提供的一个早期的模型，评价其合理性和实用性。

（2）建立你们自己的模型，说明为什么优于附件1中的模型；特别要说明怎样才能建立一个真正能够预测以及能为预防和控制提供可靠、足够的信息的模型，这样做的困难在哪里？对于卫生部门所采取的措施做出评论，如：提前或延后5天采取严格的隔离措施，对疫情传播所造成的影响做出估计。附件2提供的数据供参考。

（3）给当地报刊写一篇通俗短文，说明建立传染病数学模型的重要性。 在病例数比较多的地区，用数理模型作分析有一定意义。前几天，XXX老师用解析公式分析了北京SARS疫情前期的走势。在此基础上，我们加入了每个病人可以传染他人的期限（由于被严格隔离、治愈、死亡等），并考虑在不同阶段社会条件下传染概率的变化，然后先分析和广东的情况以获得比较合理的参数，最后初步预测北京的疫情走势。希望这种分析能对认识疫情，安排后续的工作生活有帮助。

29

D题 抢渡长江

“渡江”是武汉城市的一张名片。1934年9月9日，武汉警备旅官兵与体育界人士联手，在武汉第一次举办横渡长江游泳竞赛活动，起点为武昌汉阳门码头，终点设在汉口三北码头，全程约5000米。有44人参加横渡，40人达到终点，张学良将军特意向冠军获得者赠送了一块银盾，上书“力挽狂澜”。

2001年，“武汉抢渡长江挑战赛”重现江城。2002年，正式命名为“武汉国际抢渡长江挑战赛”，于每年的5月1日进行。由于水情、水性的不可预测性，这种竞赛更富有挑战性和观赏性。

2002年5月1日，抢渡的起点设在武昌汉阳门码头，终点设在汉阳南岸咀，江面宽约1160米。据报载，当日的平均水温16.8℃, 江水的平均流速为1.米/秒。参赛的国内外选手共186人（其中专业人员将近一半），仅34人到达终点，第一名的成绩为14分8秒。除了气象条件外，大部分选手由于路线选择错误，被滚滚的江水冲到下游，而未能准确到达终点。

假设在竞渡区域两岸为平行直线, 它们之间的垂直距离为 1160 米, 从武昌汉阳门的正对岸到汉阳南岸咀的距离为 1000米，见示意图。

请你们通过数学建模来分析上述情况, 并回答以下问题:

终点: 汉阳南岸咀

1. 假定在竞渡过程中游泳者的速度大

小和方向不变，且竞渡区域每点的

1000m 流速均为 1. 米/秒。试说明

2002年第一名是沿着怎样的路线前进的，求她游泳速度的大小和方长江水流方向 向。如何根据游泳者自己的速度选择游泳方向，试为一个速度能保持在1.5米/秒的人选择游泳方向，并估计他的成绩。

2. 在（1）的假设下，如果游泳者始终

起点: 武昌汉阳门 以和岸边垂直的方向游, 他(她)们

能否到达终点？根据你们的数学模型说明为什么 1934年 和2002年能游到终点的人数的百分比有如此大的差别；给出能够成功到达终点的选手的条件。 3. 若流速沿离岸边距离的分布为 (设从武昌汉阳门垂直向上为 y轴正向) ：

1.47米/秒，0米y200米v(y)2.11米/秒，200米y960米1.47米/秒，960米y1160米

游泳者的速度大小（1.5米/秒）仍全程保持不变，试为他选择游泳方向和路

线，估计他的成绩。

4. 若流速沿离岸边距离为连续分布, 例如

2.28200y，0y200v(y)2.28，200y9602.28(1160y)，960y1160200

或你们认为合适的连续分布，如何处理这个问题。 5. 用普通人能懂的语言，给有意参加竞渡的游泳爱好者写一份竞渡策略的短文。

1160m

30

6. 你们的模型还可能有什么其他的应用？

抢渡长江路线图 抢渡长江竞赛现场

2004高教社杯全国大学生数学建模竞赛题目

A题 奥运会临时超市网点设计

31

2008年北京奥运会的建设工作已经进入全面设计和实施阶段。奥运会期间，在比赛主场馆的周边地区需要建设由小型商亭构建的临时商业网点，称为迷你超市（Mini Supermarket, 以下记做MS）网，以满足观众、游客、工作人员等在奥运会期间的购物需求，主要经营食品、奥运纪念品、旅游用品、文体用品和小日用品等。在比赛主场馆周边地区设置的这种MS，在地点、大小类型和总量方面有三个基本要求：满足奥运会期间的购物需求、分布基本均衡和商业上赢利。

图1给出了比赛主场馆的规划图。作为真实地图的简化，在图2中仅保留了与本问题有关的地区及相关部分：道路（白色为人行道）、公交车站、地铁站、出租车站、私车停车场、餐饮部门等,其中标有A1-A10、B1-B6、C1-C4的黄色区域是规定的设计MS网点的20个商区。

为了得到人流量的规律，一个可供选择的方法，是在已经建设好的某运动场（图3）通过对预演的运动会的问卷调查，了解观众（购物主体）的出行和用餐的需求方式和购物欲望。假设我们在某运动场举办了三次运动会，并通过对观众的问卷调查采集了相关数据，在附录中给出。

请你按以下步骤对图2的20个商区设计MS网点：

1．根据附录中给出的问卷调查数据，找出观众在出行、用餐和购物等方面所反映的规律。

2．假定奥运会期间（指某一天）每位观众平均出行两次，一次为进出场馆，一次为餐饮，并且出行均采取最短路径。依据1的结果，测算图2中20个商区的人流量分布（用百分比表示）。

3．如果有两种大小不同规模的MS类型供选择，给出图2中20个商区内MS网点的设计方案（即每个商区内不同类型MS的个数），以满足上述三个基本要求。

4．阐明你的方法的科学性，并说明你的结果是贴近实际的。 说明

1．商业上用“商圈”来描述商店的覆盖范围。影响商店选址的主要因素是商圈内的人流量及购物欲望。

2．为简化起见，假定国家体育场（鸟巢）容量为10万人，国家体育馆容量为6万人，国家游泳中心（水立方）容量为4万人。三个场馆的每个看台容量均为1万人，出口对准一个商区，各商区面积相同。 附录

对观众发放的问卷调查，收回率为33%，三次共收回10000多份。具体数据请在access数据库中索取，其中年龄分4档：1）20岁以下，2）20—30岁，3）30—50岁，4）50岁以上；出行方式分4种：出租、公交、地铁、私车；餐饮方式分3种：中餐、西餐、商场(餐饮)；消费额（非餐饮）分6档：1）0—100，2）100—200，3）200—300，4）300—400，5）400—500，6）500以上（元）。

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C B A 图1 （A：国家体育场（鸟巢）， B:国家体育馆，C: 国家游泳中心（水立方））

33

图2

图3

34

B题 电力市场的输电阻塞管理

我国电力系统的市场化改革正在积极、稳步地进行。2003年3月国家电力监管委员会成立，2003年6月该委员会发文列出了组建东北区域电力市场和进行华东区域电力市场试点的时间表，标志着电力市场化改革已经进入实质性阶段。可以预计，随着我国用电紧张的缓解，电力市场化将进入新一轮的发展，这给有关产业和研究部门带来了可预期的机遇和挑战。

电力从生产到使用的四大环节——发电、输电、配电和用电是瞬间完成的。我国电力市场初期是发电侧电力市场，采取交易与调度一体化的模式。电网公司在组织交易、调度和配送时，必须遵循电网“安全第一”的原则，同时要制订一个电力市场交易规则，按照购电费用最小的经济目标来运作。市场交易-调度中心根据负荷预报和交易规则制订满足电网安全运行的调度计划――各发电机组的出力（发电功率）分配方案；在执行调度计划的过程中，还需实时调度承担AGC（自动发电控制）辅助服务的机组出力，以跟踪电网中实时变化的负荷。

设某电网有若干台发电机组和若干条主要线路，每条线路上的有功潮流（输电功率和方向）取决于电网结构和各发电机组的出力。电网每条线路上的有功潮流的绝对值有一安全限值，限值还具有一定的相对安全裕度（即在应急情况下潮流绝对值可以超过限值的百分比的上限）。如果各机组出力分配方案使某条线路上的有功潮流的绝对值超出限值，称为输电阻塞。当发生输电阻塞时，需要研究如何制订既安全又经济的调度计划。

 电力市场交易规则：

1. 以15分钟为一个时段组织交易，每台机组在当前时段开始时刻前给出下一个时段的报价。各机组将可用出力由低到高分成至多10段报价，每个段的长度称为段容量，每个段容量报一个价（称为段价），段价按段序数单调不减。在最低技术出力以下的报价一般为负值，表示愿意付费维持发电以避免停机带来更大的损失。

2. 在当前时段内，市场交易-调度中心根据下一个时段的负荷预报,每台机组的报价、当前出力和出力改变速率，按段价从低到高选取各机组的段容量或其部分（见下面注释），直到它们之和等于预报的负荷，这时每个机组被选入的段容量或其部分之和形成该时段该机组的出力分配预案（初始交易结果）。最后一个被选入的段价（最高段价）称为该时段的清算价，该时段全部机组的所有出力均按清算价结算。

注释：

(a)每个时段的负荷预报和机组出力分配计划的参照时刻均为该时段结束时刻。 (b)机组当前出力是对机组在当前时段结束时刻实际出力的预测值。

(c)假设每台机组单位时间内能增加或减少的出力相同，该出力值称为该机组的爬坡速率。由于机组爬坡速率的约束，可能导致选取它的某个段容量的部分。 (d)为了使得各机组计划出力之和等于预报的负荷需求，清算价对应的段容量可能只选取部分。

市场交易-调度中心在当前时段内要完成的具体操作过程如下：

1、监控当前时段各机组出力分配方案的执行，调度AGC辅助服务，在此基础上给出各机组的当前出力值。

2、作出下一个时段的负荷需求预报。

3、根据电力市场交易规则得到下一个时段各机组出力分配预案。

4、计算当执行各机组出力分配预案时电网各主要线路上的有功潮流，判断是否会出现输电阻塞。如果不出现，接受各机组出力分配预案；否则，按照如下原则实施阻塞管理：

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 输电阻塞管理原则：

（1） 调整各机组出力分配方案使得输电阻塞消除。 （2） 如果（1）做不到，还可以使用线路的安全裕度输电，以避免拉闸限电（强

制减少负荷需求），但要使每条线路上潮流的绝对值超过限值的百分比尽量小。

（3） 如果无论怎样分配机组出力都无法使每条线路上的潮流绝对值超过限值

的百分比小于相对安全裕度，则必须在用电侧拉闸限电。

（4） 当改变根据电力市场交易规则得到的各机组出力分配预案时，一些通过

竞价取得发电权的发电容量（称序内容量）不能出力；而一些在竞价中未取得发电权的发电容量（称序外容量）要在低于对应报价的清算价上出力。因此，发电商和网方将产生经济利益冲突。网方应该为因输电阻塞而不能执行初始交易结果付出代价，网方在结算时应该适当地给发电商以经济补偿，由此引起的费用称之为阻塞费用。网方在电网安全运行的保证下应当同时考虑尽量减少阻塞费用。 你需要做的工作如下：

1. 某电网有8台发电机组，6条主要线路，表1和表2中的方案0给出了各机组的当前出力和各线路上对应的有功潮流值，方案1~32给出了围绕方案0的一些实验数据，试用这些数据确定各线路上有功潮流关于各发电机组出力的近似表达式。

2. 设计一种简明、合理的阻塞费用计算规则，除考虑上述电力市场规则外，还需注意：在输电阻塞发生时公平地对待序内容量不能出力的部分和报价高于清算价的序外容量出力的部分。

3. 假设下一个时段预报的负荷需求是982.4MW，表3、表4和表5分别给出了各机组的段容量、段价和爬坡速率的数据，试按照电力市场规则给出下一个时段各机组的出力分配预案。

4. 按照表6给出的潮流限值，检查得到的出力分配预案是否会引起输电阻塞，并在发生输电阻塞时，根据安全且经济的原则，调整各机组出力分配方案，并给出与该方案相应的阻塞费用。

5. 假设下一个时段预报的负荷需求是1052.8MW，重复3~4的工作。

表1 各机组出力方案 （单位：兆瓦，记作MW） 方案\\机组 1 2 3 4 5 6 7 8 120 73 180 80 125 125 81.1 90 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13

133.02 73 129.63 73 158.77 73 145.32 73 120 120 120 120 120 120 120 120 120 75.45 180 180 180 180 180 80 80 80 80 80 80 80 80 125 125 125 125 125 125 125 125 125 125 125 125 125 125 125 125 125 125 125 125 125 125 125 125 125 81.1 81.1 81.1 81.1 81.1 81.1 81.1 81.1 81.1 81.1 81.1 81.1 81.1 90 90 90 90 90 90 90 90 90 90 90 90 90 78.596 180 90.487 180 83.848 180 73 73 73 73 73 231.39 80 198.48 80 212. 80 190.55 80 180 75.857 125 36

14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32

120 120 120 120 120 120 120 120 120 120 120 120 120 120 120 120 120 120 120 73 73 73 73 73 73 73 73 73 73 73 73 73 73 73 73 73 73 73 180 180 180 180 180 180 180 180 180 180 180 180 180 180 180 180 180 180 180 65.958 125 87.258 125 97.824 125 80 80 80 80 80 80 80 80 80 80 80 80 80 80 80 80 125 125 125 81.1 81.1 81.1 81.1 81.1 81.1 81.1 90 90 90 90 90 90 90 90 90 90 90 150.71 125 141.58 125 132.37 125 156.93 125 125 125 125 125 125 125 125 125 125 125 125 125 138.88 81.1 131.21 81.1 141.71 81.1 149.29 81.1 125 125 125 125 125 125 125 125 60.582 90 70.962 90 .8 90 75.529 90 81.1 81.1 81.1 81.1 104.84 111.22 98.092 120.44 表2 各线路的潮流值（各方案与表1相对应，单位：MW） 方案\\线路 1 2 3 4 5 6 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

1.78 140.87 -144.25 119.09 135.44 157.69 165.81 140.13 -145.14 118.63 135.37 160.76 165.51 140.25 -144.92 118.7 135.33 159.98 167.93 138.71 -146.91 117.72 135.41 166.81 166.79 139.45 -145.92 118.13 135.41 163. 1.94 141.5 -143.84 118.43 136.72 157.22 1.8 141.13 -144.07 118.82 136.02 157.5 165.59 143.03 -143.16 117.24 139.66 156.59 165.21 142.28 -143.49 117.96 137.98 156.96 167.43 140.82 -152.26 129.58 132.04 153.6 165.71 140.82 -147.08 122.85 134.21 156.23 166.45 140.82 -149.33 125.75 133.28 155.09 165.23 140.85 -145.82 121.16 134.75 156.77 1.23 140.73 -144.18 119.12 135.57 157.2 163.04 140.34 -144.03 119.31 135.97 156.31 165. 141.1 -144.32 118.84 135.06 158.26 166.88 141.4 -144.34 118.67 134.67 159.28 1.07 143.03 -140.97 118.75 133.75 158.83 1.27 142.29 -142.15 118.85 134.27 158.37 1.57 141.44 -143.3 119 134.88 158.01 163. 143.61 -140.25 118. 133.28 159.12 37

21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32

166.35 139.29 -144.2 119.1 136.33 157.59 165. 140.14 -144.19 119.09 135.81 157.67 166.75 138.95 -144.17 119.15 136.55 157.59 167.69 138.07 -144.14 119.19 137.11 157.65 162.21 141.21 -144.13 116.03 135.5 1.26 163. 141 -144.16 117.56 135.44 155.93 162.7 141.14 -144.21 116.74 135.4 1.88 1.06 140.94 -144.18 118.24 135.4 156.68 1.66 142.27 -147.2 120.21 135.28 157.65 1.7 142.94 -148.45 120.68 135.16 157.63 1.67 141.56 -145.88 119.68 135.29 157.61 1.69 143.84 -150.34 121.34 135.12 157. 表3 各机组的段容量 （单位：MW） 机组\\段 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 70 0 50 0 0 30 0 0 0 40 1 2 3 4 5 6 7 8 30 55 75 95 50 70 0 5 5 0 0 20 8 40 0 15 0 15 6 30 0 2 0 0 0 8 40 1 10 2 110 0 20 40 0 10 10 10 10 15 0 15 15 0 10 20 0 20 0 10 10 10 10 3 15 10 20 0 15 5 15 10 10 5 20 0 20 10 15 5

表4 各机组的段价（单位：元/兆瓦小时，记作元/MWh） 机组\\段 1 2 3 4 5 6 7 8

表5 各机组的爬坡速率 （单位：MW/分钟） 1 2 3 4 5 6 机组 7 1.4 8 1.8 1 -505 -560 -610 -590 -607 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0 124 168 210 252 312 330 363 4 0 182 203 245 300 320 360 410 495 0 152 1 233 258 308 356 415 500 0 116 146 188 215 250 310 396 510 0 159 173 205 252 305 380 405 520 -500 150 170 200 255 302 325 380 435 800 -500 120 180 251 260 306 315 335 348 8 -800 153 183 233 253 283 303 318 400 800 速率

2.2 1 3.2 1.3 1.8 2 表6 各线路的潮流限值（单位：MW）和相对安全裕度 线路 1 2 3 4 5 6 165 150 160 155 132 162 限值 安全裕度

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13% 18% 9% 11% 15% 14%

C题 饮酒驾车

据报载，2003年全国道路交通事故死亡人数为10.4372万，其中因饮酒驾车造成的占有相当的比例。

针对这种严重的道路交通情况，国家质量监督检验检疫局2004年5月31日发布了新的《车辆驾驶人员血液、呼气酒精含量阈值与检验》国家标准，新标准规定，车辆驾驶人员血液中的酒精含量大于或等于20毫克／百毫升，小于80毫克／百毫升为饮酒驾车（原标准是小于100毫克／百毫升），血液中的酒精含量大于或等于80毫克／百毫升为醉酒驾车（原标准是大于或等于100毫克／百毫升）。

大李在中午12点喝了一瓶啤酒，下午6点检查时符合新的驾车标准，紧接着他在吃晚饭时又喝了一瓶啤酒，为了保险起见他呆到凌晨2点才驾车回家，又一次遭遇检查时却被定为饮酒驾车，这让他既懊恼又困惑，为什么喝同样多的酒，两次检查结果会不一样呢？

请你参考下面给出的数据（或自己收集资料）建立饮酒后血液中酒精含量的数学模型，并讨论以下问题：

1. 对大李碰到的情况做出解释；

2. 在喝了3瓶啤酒或者半斤低度白酒后多长时间内驾车就会违反上述标准，在以下情况下回答：

1）酒是在很短时间内喝的；

2）酒是在较长一段时间（比如2小时）内喝的。 3. 怎样估计血液中的酒精含量在什么时间最高。

4. 根据你的模型论证：如果天天喝酒，是否还能开车？

5. 根据你做的模型并结合新的国家标准写一篇短文，给想喝一点酒的司机如何驾车提出忠告。 参考数据

1. 人的体液占人的体重的65%至70%，其中血液只占体重的7%左右；而药物（包括酒精）在血液中的含量与在体液中的含量大体是一样的。

2. 体重约70kg的某人在短时间内喝下2瓶啤酒后，隔一定时间测量他的血液中酒精含量（毫克／百毫升），得到数据如下：

时间(小时) 0.25 0.5 0.75 1 酒精含量 酒精含量

30 38 68 7 35 75 8 28 时间(小时) 6 9 1.5 2 10 2.5 3 3.5 4 4.5 5 41 82 82 25 18 77 68 11 12 15 12 68 58 13 14 10 7 51 50 15 16 7 4 D题 公务员招聘

我国公务员制度已实施多年，1993年10月1日颁布施行的《国家公务员暂

行条例》规定：“国家行政机关录用担任主任科员以下的非领导职务的国家公务员，采用公开考试、严格考核的办法，按照德才兼备的标准择优录用”。目前, 我国招聘公务员的程序一般分三步进行：公开考试（笔试）、面试考核、择优录取。

现有某市直属单位因工作需要，拟向社会公开招聘8名公务员，具体的招聘办法和程序如下：

（一）公开考试：凡是年龄不超过30周岁，大学专科以上学历，身体健康者均可报名参加考试，考试科目有：综合基础知识、专业知识和“行政职业能力测验”三个部分，每科满分为100分。根据考试总分的高低排序按1:2的比例（共

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16人）选择进入第二阶段的面试考核。

（二）面试考核：面试考核主要考核应聘人员的知识面、对问题的理解能力、应变能力、表达能力等综合素质。按照一定的标准，面试专家组对每个应聘人员的各个方面都给出一个等级评分，从高到低分成A/B/C/D四个等级，具体结果见表１所示。

（三）由招聘领导小组综合专家组的意见、笔初试成绩以及各用人部门需求确定录用名单,并分配到各用人部门。

该单位拟将录用的8名公务员安排到所属的7个部门，并且要求每个部门至少安排一名公务员。这7个部门按工作性质可分为四类：(1)行政管理、 (2)技术管理、(3)行政执法、(4)公共事业。见表2所示。

招聘领导小组在确定录用名单的过程中，本着公平、公开的原则，同时考虑录用人员的合理分配和使用，有利于发挥个人的特长和能力。招聘领导小组将7个用人单位的基本情况（包括福利待遇、工作条件、劳动强度、晋升机会和学习深造机会等）和四类工作对聘用公务员的具体条件的希望达到的要求都向所有应聘人员公布（见表2）。每一位参加面试人员都可以申报两个自己的工作类别志愿（见表1）。请研究下列问题：

（1）如果不考虑应聘人员的意愿，择优按需录用，试帮助招聘领导小组设计一种录用分配方案；

（2）在考虑应聘人员意愿和用人部门的希望要求的情况下，请你帮助招聘领导小组设计一种分配方案；

（3）你的方法对于一般情况，即N个应聘人员M个用人单位时，是否可行？ (4) 你对上述招聘公务员过程认为还有哪些地方值得改进，给出你的建议。

表１：招聘公务员笔试成绩，专家面试评分及个人志愿

应聘 人员 人员1 人员2 人员3 人员4 人员5 人员6 人员7 人员8 人员9 人员10 人员11 人员12 人员13 人员14 人员15 人员16 笔试 成绩 290 288 288 285 283 283 280 280 280 280 278 277 275 275 274 273 专家组对应聘者特长的等级评分 申报类别志愿 （2） （3） （1） （4） （3） （3） （4） （2） （1） （3） （4） （3） （2） （1） （1） （4） （3） （1） （2） （3） （2） （4） （1） （4） （3） （1） （1） （4） （1） （3） （4） （1） 知识面 A A B A B B A B B D D A B D A B 理解能力 A B A B A D B A B B C B C B B A 应变能力 B A D B B A C A A A B C D A C B 表达能力 B C C B C B B C B C A A A B B C

表 2: 用人部门的基本情况及对公务员的期望要求

用人 工作 各用人部门的基本情况 各部门对公务员特长的希望达到的要求 40

部门 类别 福利待遇 优 中 中 优 优 中 优 工作条件 优 优 优 差 中 中 中 劳动强度 中 大 中 大 中 中 大 晋升机会 多 多 少 多 中 中 少 深造机会 少 少 多 多 中 多 多 知识面 理解能力 应变能力 表达能力 部门1 部门2 部门3 部门4 部门5 部门6 部门7

（1） （2） （2） （3） （3） （4） （4） B A C C A B C B C B A B A C A A

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2005高教社杯全国大学生数学建模竞赛题目

A题: 长江水质的评价和预测

水是人类赖以生存的资源，保护水资源就是保护我们自己，对于我国大江大河水资源的保护和治理应是重中之重。专家们呼吁：“以人为本，建设文明和谐社会，改善人与自然的环境，减少污染。”

长江是我国第一、世界第三大河流，长江水质的污染程度日趋严重，已引起了相关部门和专家们的高度重视。2004年10月，由全国政协与中国发展研究院联合组成“保护长江万里行”考察团，从长江上游宜宾到下游上海，对沿线21个重点城市做了实地考察，揭示了一幅长江污染的真实画面，其污染程度让人触目惊心。为此，专家们提出“若不及时拯救，长江生态10年内将濒临崩溃”（附件１），并发出了“拿什么拯救癌变长江”的呼唤（附件2）。

附件3给出了长江沿线17个观测站（地区）近两年多主要水质指标的检测数据，以及干流上７个观测站近一年多的基本数据（站点距离、水流量和水流速）。通常认为一个观测站（地区）的水质污染主要来自于本地区的排污和上游的污水。一般说来，江河自身对污染物都有一定的自然净化能力，即污染物在水环境中通过物理降解、化学降解和生物降解等使水中污染物的浓度降低。反映江河自然净化能力的指标称为降解系数。事实上，长江干流的自然净化能力可以认为是近似均匀的，根据检测可知，主要污染物高锰酸盐指数和氨氮的降解系数通常介于0.1~0.5之间，比如可以考虑取0.2 (单位：1/天)。附件4是“1995~2004年长江流域水质报告”给出的主要统计数据。下面的附表是国标(GB3838-2002) 给出的《地表水环境质量标准》中4个主要项目标准限值，其中Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ类为可饮用水。

请你们研究下列问题：

（1）对长江近两年多的水质情况做出定量的综合评价，并分析各地区水质的污染状况。

（2）研究、分析长江干流近一年多主要污染物高锰酸盐指数和氨氮的污染源主要在哪些地区?

（3）假如不采取更有效的治理措施，依照过去10年的主要统计数据，对长江未来水质污染的发展趋势做出预测分析，比如研究未来10年的情况。

（4）根据你的预测分析，如果未来10年内每年都要求长江干流的Ⅳ类和Ⅴ类水的比例控制在20%以内，且没有劣Ⅴ类水,那么每年需要处理多少污水？

（5）你对解决长江水质污染问题有什么切实可行的建议和意见。

附表: 《地表水环境质量标准》（GB3838—2002）中4个主要项目标准限值 单位：mg/L 分 类 序 标号 准值 项 目 1 2 3 溶解氧7.5 6 4 0.5 5 6 1.0 6---9 42

3 10 1.5 2 0 15 2.0 ∞ ∞ Ⅰ类 Ⅱ类 Ⅲ类 Ⅳ类 Ⅴ类 劣Ⅴ类 (DO) ≥ 或饱和率90% 高锰酸盐指数(CODMn) ≤ 氨氮2 0.15 （NH3-N） ≤ 4 PH值（无量纲）

附件１~4位于压缩文件A2005Data.rar中, 可从http://mcm.edu.cn/mcm05/problems2005c.asp下载）

B题： DVD在线租赁

随着信息时代的到来，网络成为人们生活中越来越不可或缺的元素之一。许多网站利用其强大的资源和知名度，面向其会员群提供日益专业化和便捷化的服务。例如，音像制品的在线租赁就是一种可行的服务。这项服务充分发挥了网络的诸多优势，包括传播范围广泛、直达核心消费群、强烈的互动性、感官性强、成本相对低廉等，为顾客提供更为周到的服务。

考虑如下的在线DVD租赁问题。顾客缴纳一定数量的月费成为会员，订购DVD租赁服务。会员对哪些DVD有兴趣，只要在线提交订单，网站就会通过快递的方式尽可能满足要求。会员提交的订单包括多张DVD，这些DVD是基于其偏爱程度排序的。网站会根据手头现有的DVD数量和会员的订单进行分发。每个会员每个月租赁次数不得超过2次，每次获得3张DVD。会员看完3张DVD之后，只需要将DVD放进网站提供的信封里寄回（邮费由网站承担），就可以继续下次租赁。请考虑以下问题：

1）网站正准备购买一些新的DVD，通过问卷调查1000个会员，得到了愿意观看这些DVD的人数（表1给出了其中5种DVD的数据）。此外，历史数据显示，60%的会员每月租赁DVD两次，而另外的40%只租一次。假设网站现有10万个会员，对表1中的每种DVD来说，应该至少准备多少张，才能保证希望看到该DVD的会员中至少50%在一个月内能够看到该DVD？如果要求保证在三个月内至少95%的会员能够看到该DVD呢？

2）表2中列出了网站手上100种DVD的现有张数和当前需要处理的1000位会员的在线订单（表2的数据格式示例如下表2，具体数据请从http://mcm.edu.cn/mcm05/problems2005c.asp下载），如何对这些DVD进行分配，才能使会员获得最大的满意度？请具体列出前30位会员（即C0001~C0030）分别获得哪些DVD。

3）继续考虑表2，并假设表2中DVD的现有数量全部为0。如果你是网站经营管理人员，你如何决定每种DVD的购买量，以及如何对这些DVD进行分配，才能使一个月内95%的会员得到他想看的DVD，并且满意度最大？

4）如果你是网站经营管理人员，你觉得在DVD的需求预测、购买和分配中还有哪些重要问题值得研究？请明确提出你的问题，并尝试建立相应的数学模型。

表1 对1000个会员调查的部分结果

DVD名称 表2 现有DVD张数和当前需要处理的会员的在线订单（表格格式示例） DVD编号 DVD现有数量 会员在线订单 C0001 C0002 C0003 C0004 … D001 10 6 0 0 0 … D002 40 0 0 0 0 … D003 15 0 0 0 0 … D004 20 0 0 3 0 … … … … … … … … DVD1 DVD2 100 DVD3 50 DVD4 25 DVD5 10 愿意观看的人数 200 注：D001~D100表示100种DVD, C0001~C1000表示1000个会员, 会员的在线订单用数字1,2,…表示，数字越小表示会员的偏爱程度越高，数字0表示对应的DVD当前不在会员的

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在线订单中。表2数据位于文件B2005Table2.xls中, 可从http://mcm.edu.cn/mcm05/problems2005c.asp下

C题 雨量预报方法的评价

雨量预报对农业生产和城市工作和生活有重要作用，但准确、及时地对雨量作出预报是一个十分困难的问题，广受世界各国关注。我国某地气象台和气象研究所正在研究6小时雨量预报方法，即每天晚上20点预报从21点开始的4个时段（21点至次日3点，次日3点至9点，9点至15点，15点至21点）在某些位置的雨量，这些位置位于东经120度、北纬32度附近的53×47的等距网格点上。同时设立91个观测站点实测这些时段的实际雨量，由于各种条件的，站点的设置是不均匀的。

气象部门希望建立一种科学评价预报方法好坏的数学模型与方法。气象部门提供了41天的用两种不同方法的预报数据和相应的实测数据。预报数据在文件夹FORECAST中，实测数据在文件夹MEASURING中，其中的文件都可以用Windows系统的“写字板”程序打开阅读。

FORECAST中的文件lon.dat和lat.dat分别包含网格点的经纬度，其余文件名为_dis1和_dis2，例如f6181_dis1中包含2002年6月18日晚上20点采用第一种方法预报的第一时段数据（其2491个数据为该时段各网格点的雨量），而f6183_dis2中包含2002年6月18日晚上20点采用第二种方法预报的第三时段数据。

MEASURING中包含了41个名为<日期>.SIX的文件，如020618.SIX表示2002年6月18日晚上21点开始的连续4个时段各站点的实测数据（雨量），这些文件的数据格式是：

站号 纬度 经度 第1段 第2段 第3段 第4段

58138 32.9833 118.5167 0.0000 0.2000 10.1000 3.1000

58139 33.3000 118.8500 0.0000 0.0000 4.6000 7.4000

58141 33.6667 119.2667 0.0000 0.0000 1.1000 1.4000

58143 33.8000 119.8000 0.0000 0.0000 0.0000 1.8000

58146 33.4833 119.8167 0.0000 0.0000 1.5000 1.9000

……

雨量用毫米做单位，小于0.1毫米视为无雨。

(1)请建立数学模型来评价两种6小时雨量预报方法的准确性；

(2)气象部门将6小时降雨量分为6等：0.1—2.5毫米为小雨，2.6—6毫米为中雨，6.1—12毫米为大雨，12.1—25毫米为暴雨，25.1—60毫米为大暴雨，大于60.1毫米为特大暴雨。若按此分级向公众预报，如何在评价方法中考虑公众的感受？

（注：本题数据位于压缩文件http://mcm.edu.cn/mcm05/problems2005c.asp下载）

C2005Data.rar

中,

可从

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D题： DVD在线租赁

随着信息时代的到来，网络成为人们生活中越来越不可或缺的元素之一。许多网站利用其强大的资源和知名度，面向其会员群提供日益专业化和便捷化的服务。例如，音像制品的在线租赁就是一种可行的服务。这项服务充分发挥了网络的诸多优势，包括传播范围广泛、直达核心消费群、强烈的互动性、感官性强、成本相对低廉等，为顾客提供更为周到的服务。

考虑如下的在线DVD租赁问题。顾客缴纳一定数量的月费成为会员，订购DVD租赁服务。会员对哪些DVD有兴趣，只要在线提交订单，网站就会通过快递的方式尽可能满足要求。会员提交的订单包括多张DVD，这些DVD是基于其偏爱程度排序的。网站会根据手头现有的DVD数量和会员的订单进行分发。每个会员每个月租赁次数不得超过2次，每次获得3张DVD。会员看完3张DVD之后，只需要将DVD放进网站提供的信封里寄回（邮费由网站承担），就可以继续下次租赁。请考虑以下问题：

5）网站正准备购买一些新的DVD，通过问卷调查1000个会员，得到了愿意观看这些DVD的人数（表1给出了其中5种DVD的数据）。此外，历史数据显示，60%的会员每月租赁DVD两次，而另外的40%只租一次。假设网站现有10万个会员，对表1中的每种DVD来说，应该至少准备多少张，才能保证希望看到该DVD的会员中至少50%在一个月内能够看到该DVD？如果要求保证在三个月内至少95%的会员能够看到该DVD呢？

6）表2中列出了网站手上20种DVD的现有张数和当前需要处理的100位会员的在线订单（表2表格格式示例如下表2，具体数据请从http://mcm.edu.cn/mcm05/problems2005c.htm下载），如何对这些DVD进行分配，才能使会员获得最大的满意度？请具体列出前30位会员（即C0001~C0030）分别获得哪些DVD。

7）继续考虑表2，并假设表2中DVD的现有数量全部为0。如果你是网站经营管理人员，你如何决定每种DVD的购买量，以及如何对这些DVD进行分配，才能使一个月内95%的会员得到他想看的DVD，并且满意度最大？

表1 对1000个会员调查的部分结果 DVD名称 表2 现有DVD张数和当前需要处理的会员的在线订单（表格格式示例） DVD编号 DVD现有数量 会员在线订单 C0001 C0002 C0003 C0004 … D001 8 0 1 0 0 … D002 1 0 0 6 0 … D003 22 2 9 0 0 … D004 10 0 0 0 0 … … … … … … … … DVD1 DVD2 100 DVD3 50 DVD4 25 DVD5 10 愿意观看的人数 200 注：D001~D020表示20种DVD, C0001~C0100表示100个会员，会员的在线订单用数字1,2,…表示，数字越小表示会员的偏爱程度越高，数字0表示对应的DVD当前不在会员的在线订单中。

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2006高教社杯全国大学生数学建模竞赛题目

A题:出版社的资源配置

出版社的资源主要包括人力资源、生产资源、资金和管理资源等，它们都捆绑在书号上，经过各个部门的运作，形成成本（策划成本、编辑成本、生产成本、库存成本、销售成本、财务与管理成本等）和利润。

某个以教材类出版物为主的出版社，总社领导每年需要针对分社提交的生产计划申请书、人力资源情况以及市场信息分析，将总量一定的书号数合理地分配给各个分社，使出版的教材产生最好的经济效益。事实上，由于各个分社提交的需求书号总量远大于总社的书号总量，因此总社一般以增加强势产品支持力度的原则优化资源配置。资源配置完成后，各个分社（分社以学科划分）根据分配到的书号数量，再重新对学科所属每个课程作出出版计划，付诸实施。

资源配置是总社每年进行的重要决策，直接关系到出版社的当年经济效益和长远发展战略。由于市场信息（主要是需求与竞争力）通常是不完全的，企业自身的数据收集和积累也不足，这种情况下的决策问题在我国企业中是普遍存在的。

本题附录中给出了该出版社所掌握的一些数据资料，请你们根据这些数据资料，利用数学建模的方法，在信息不足的条件下，提出以量化分析为基础的资源（书号）配置方法，给出一个明确的分配方案，向出版社提供有益的建议。

[附录]

附件1：问卷调查表；

附件2：问卷调查数据（五年）；

附件3：各课程计划及实际销售数据表（5年）；

附件4：各课程计划申请或实际获得的书号数列表（6年）； 附件5：9个分社人力资源细目。

B题: 艾滋病疗法的评价及疗效的预测

艾滋病是当前人类社会最严重的瘟疫之一，从1981年发现以来的20多年间，它已经吞噬了近3000万人的生命。

艾滋病的医学全名为“获得性免疫缺损综合症”，英文简称AIDS，它是由艾滋病毒（医学全名为“人体免疫缺损病毒”, 英文简称HIV）引起的。这种病毒破坏人的免疫系统，使人体丧失抵抗各种疾病的能力，从而严重危害人的生命。人类免疫系统的CD4细胞在抵御HIV的入侵中起着重要作用，当CD4被HIV感染而裂解时，其数量会急剧减少，HIV将迅速增加，导致AIDS发作。

艾滋病治疗的目的，是尽量减少人体内HIV的数量，同时产生更多的CD4，至少要有效地降低CD4减少的速度，以提高人体免疫能力。

迄今为止人类还没有找到能根治AIDS的疗法，目前的一些AIDS疗法不仅对人体有副作用，而且成本也很高。许多国家和医疗组织都在积极试验、寻找更好的AIDS疗法。

现在得到了美国艾滋病医疗试验机构ACTG公布的两组数据。 ACTG320（见附件1）是同时服用zidovudine（齐多夫定），lamivudine（拉美夫定）和indinavir（茚地那韦）3种药物的300多名病人每隔几周测试的CD4和HIV的浓度（每毫升血液里的数量）。193A（见附件2）是将1300多名病人随机地分为4组，每

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组按下述4种疗法中的一种服药，大约每隔8周测试的CD4浓度（这组数据缺HIV浓度，它的测试成本很高）。4种疗法的日用药分别为：600mg zidovudine或400mg didanosine（去羟基苷），这两种药按月轮换使用；600 mg zidovudine加2.25 mg zalcitabine（扎西他滨）；600 mg zidovudine加400 mg didanosine；600 mg zidovudine加400 mg didanosine，再加400 mg nevirapine（奈韦拉平）。

请你完成以下问题：

（1）利用附件1的数据，预测继续治疗的效果，或者确定最佳治疗终止时间（继续治疗指在测试终止后继续服药，如果认为继续服药效果不好，则可选择提前终止治疗）。

（2）利用附件2的数据，评价4种疗法的优劣（仅以CD4为标准），并对较优的疗法预测继续治疗的效果，或者确定最佳治疗终止时间。

(3) 艾滋病药品的主要供给商对不发达国家提供的药品价格如下：600mg zidovudine 1.60美元，400mg didanosine 0.85美元，2.25 mg zalcitabine 1.85美元，400 mg nevirapine 1.20美元。如果病人需要考虑4种疗法的费用，对（2）中的评价和预测（或者提前终止）有什么改变。

C题: 易拉罐形状和尺寸的最优设计

我们只要稍加留意就会发现销量很大的饮料 (例如饮料量为355毫升的可口可乐、青岛啤酒等) 的饮料罐(即易拉罐)的形状和尺寸几乎都是一样的。看来，这并非偶然，这应该是某种意义下的最优设计。当然，对于单个的易拉罐来说，这种最优设计可以节省的钱可能是很有限的，但是如果是生产几亿，甚至几十亿个易拉罐的话，可以节约的钱就很可观了。

现在就请你们小组来研究易拉罐的形状和尺寸的最优设计问题。具体说，请你们完成以下的任务：

1．取一个饮料量为355毫升的易拉罐，例如355毫升的可口可乐饮料罐，测量你们认为验证模型所需要的数据，例如易拉罐各部分的直径、高度，厚度等，并把数据列表加以说明；如果数据不是你们自己测量得到的，那么你们必须注明出处。

2．设易拉罐是一个正圆柱体。什么是它的最优设计？其结果是否可以合理地说明你们所测量的易拉罐的形状和尺寸，例如说，半径和高之比，等等。 3．设易拉罐的中心纵断面如下图所示，即上面部分是一个正圆台，下面部分是一个正圆柱体。

什么是它的最优设计？其结果是否可以合理地说明你们所测量的易拉罐的形状和尺寸。

4．利用你们对所测量的易拉罐的洞察和想象力，做出你们自己的关于易拉罐形状和尺寸的最优设计。

5．用你们做本题以及以前学习和实践数学建模的亲身体验，写一篇短文(不超过

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1000字，你们的论文中必须包括这篇短文)，阐述什么是数学建模、它的关键步骤，以及难点。

D题: 煤矿瓦斯和煤尘的监测与控制

煤矿安全生产是我国目前亟待解决的问题之一，做好井下瓦斯和煤尘的监测与控制是实现安全生产的关键环节（见附件1）。

瓦斯是一种无毒、无色、无味的可燃气体，其主要成分是甲烷，在矿井中它通常从煤岩裂缝中涌出。瓦斯爆炸需要三个条件：空气中瓦斯达到一定的浓度；足够的氧气；一定温度的引火源。

煤尘是在煤炭开采过程中产生的可燃性粉尘。煤尘爆炸必须具备三个条件:煤尘本身具有爆炸性；煤尘悬浮于空气中并达到一定的浓度；存在引爆的高温热源。试验表明，一般情况下煤尘的爆炸浓度是30～ 2000g/m3，而当矿井空气中瓦斯浓度增加时，会使煤尘爆炸下限降低，结果如附表1所示。

国家《煤矿安全规程》给出了煤矿预防瓦斯爆炸的措施和操作规程，以及相应的专业标准 (见附件2)。规程要求煤矿必须安装完善的通风系统和瓦斯自动监控系统，所有的采煤工作面、掘进面和回风巷都要安装甲烷传感器，每个传感器都与地面控制中心相连，当井下瓦斯浓度超标时，控制中心将自动切断电源，停止采煤作业，人员撤离采煤现场。具体内容见附件2的第二章和第三章。

附图1是有两个采煤工作面和一个掘进工作面的矿井通风系统示意图，请你结合附表2的监测数据，按照煤矿开采的实际情况研究下列问题：

（1）根据《煤矿安全规程》第一百三十三条的分类标准 (见附件2)，鉴别该矿是属于“低瓦斯矿井”还是“高瓦斯矿井”。

（2）根据《煤矿安全规程》第一百六十的规定，并参照附表1，判断该煤矿不安全的程度（即发生爆炸事故的可能性）有多大？

（3）为了保障安全生产，利用两个可控风门调节各采煤工作面的风量，通过一个局部通风机和风筒实现掘进巷的通风（见下面的注）。根据附图1所示各井巷风量的分流情况、对各井巷中风速的要求（见《煤矿安全规程》第一百零一条），以及瓦斯和煤尘等因素的影响，确定该煤矿所需要的最佳（总）通风量，以及两个采煤工作面所需要的风量和局部通风机的额定风量（实际中，井巷可能会出现漏风现象）。

注 掘进巷需要安装局部通风机，其额定风量一般为150~400 m3/min。局部通风机所在的巷道中至少需要有15%的余裕风量（新鲜风）才能保证风在巷道中的正常流动，否则可能会出现负压导致乏风逆流，即局部通风机将乏风吸入并送至掘进工作面。

名词解释

（1）采煤工作面：矿井中进行开采的煤壁 (采煤现场)。

（2）掘进巷：用爆破或机械等方法开凿出的地下巷道，用以准备新的采煤区和采煤工作面。

（3）掘进工作面：掘进巷尽头的开掘现场。

（4）新鲜风：不含瓦斯和煤尘等有害物质的风流。

（5）乏风：含有一定浓度的瓦斯和煤尘等有害物质的风流。

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附表1: 瓦斯浓度与煤尘爆炸下限浓度关系 空气中瓦斯浓度(%) 煤尘爆炸下限浓度(g/m3) 30~50 22.5~37.5 15~25 10.5~17.5 6.5~12.5 4.5~7.5 3~5 2.5~3.5 1.5~2.5 0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 4 附表2: 各监测点的风速,瓦斯和煤尘的监测数据表

监测 工作面Ⅰ 工作面Ⅱ 掘进工作面 回风巷Ⅰ 回风巷Ⅱ 总回风巷 日产量 日期 点 （t/d） 与班次 风速 瓦斯 煤尘 风速 瓦斯 煤尘 风速 瓦斯 煤尘 风速 瓦斯 煤尘 风速 瓦斯 煤尘 风速 瓦斯 煤尘 早班 2.4 0.71 8 2.07 0.94 7.67 2.22 0.26 7.44 2.13 0.76 7.52 2.09 0.98 7.23 5.15 0.67 7.05 597 1 中班 2.56 0.62 8.4 2.08 0.85 7.51 2.29 0.26 7.45 2.27 0.66 7.93 2.1 0. 7.27 5.36 0.6 7.28 晚班 2.24 0.66 7.61 2.09 0.82 7.51 2.4 0.29 7.62 2.09 0.73 7.14 2.11 0.9 7.07 5.31 0.63 6.8 早班 2.27 0.62 7.69 2.08 0.85 7.7 2.21 0.23 7.31 2.08 0.67 7.33 2.11 0.9 7.25 5.14 0.6 7.06 2 中班 2.41 0.63 7.99 2.13 0.92 7.74 2.29 0.26 7.47 2.23 0.68 7.73 2.16 0.98 7.35 5.39 0. 7.22 晚班 2.4 0.66 7.87 2.1 0. 7.85 2.29 0.22 7.56 2.21 0.71 7.31 2.12 0.93 7.41 5.32 0.62 7.03 早班 2.27 0.78 7.75 2.1 0. 7.67 2.29 0.27 7.42 2.04 0.83 7.36 2.11 0.95 7.32 5.19 0.68 7.03 3 中班 2.22 0.71 7.71 2.09 0.92 7.56 2.31 0.26 7.48 2.11 0.76 7.25 2.11 0.97 7.26 5.26 0.65 6.93 晚班 2.29 0.66 7.68 2.09 0.94 7.51 2.15 0.16 7.18 2.02 0.71 7.17 2.12 1.01 7.15 5.05 0.63 6.94 早班 2.31 0.67 7.67 2.09 0.96 7.55 2.21 0.31 7.28 2.11 0.71 7.3 2.12 1 7.2 5.17 0.68 6.95 602 639 4 中班 2.37 0.71 7. 2.08 0.72 7.58 2.11 0.19 7.02 2.17 0.76 7.42 2.12 0.75 7.09 5.14 0.58 6.95 晚班 2.4 0.62 7.99 2.1 0.87 7.61 2.44 0.18 7.71 2.11 0.68 7.39 2.12 0.9 7.25 5.36 0.58 6.99 早班 2.34 0.61 7.83 2.11 0.84 7.77 2.27 0.28 7.46 2.08 0.66 7.4 2.14 0. 7.31 5.21 0.61 7 616 5 中班 2.43 0. 8.1 2.14 0.8 7.67 2.36 0.24 7.55 2.17 0.69 7.72 2.16 0.82 7.28 5.37 0.58 7.1 晚班 2.27 0.69 7. 2.08 0.99 7.65 2.21 0.21 7.34 1.96 0.75 7.23 2.11 1.03 7.1 5.03 0.65 6.96 早班 2.29 0.72 7.81 2.1 0.97 7.75 2.27 0.2 7.48 1.93 0.77 7.44 2.12 1.02 7.28 5.08 0.66 7.02 6 中班 2.39 0. 7.96 2.11 0.98 7. 2.1 0.23 7.24 2.02 0.71 7. 2.13 1.01 7.13 5.01 0.68 7.06 晚班 2.31 0.69 7.73 2.12 1 7.46 2.18 0.22 7.17 2 0.75 7.31 2.13 1.07 7.1 5.07 0.68 6.94 早班 2.36 0.7 7.81 2.13 0.77 7.66 2.21 0.23 7.35 2.09 0.74 7.47 2.16 0.82 7.41 5.19 0.6 7.07 7 中班 2.4 0.69 7.95 2.09 0.84 7.63 2.29 0.23 7. 2.02 0.74 7.47 2.12 0.88 7.24 5.18 0.62 7.12 晚班 2.52 0.65 8.23 2.07 0.94 7.8 2.24 0.21 7.55 2.27 0.71 7.95 2.07 0.99 7.39 5.29 0. 7.43 早班 2.49 0. 8.19 2.14 0.78 7.78 2.27 0.28 7.45 2.21 0.68 7.9 2.16 0.82 7.39 5.34 0.59 7.38 8 中班 2.21 0.73 7.59 2.09 0.8 7.7 2.22 0.26 7.21 1.91 0.77 7.15 2.1 0.84 7.39 5.01 0.62 6.94 晚班 2.27 0.66 7.67 2.07 0.94 7.68 2.22 0.19 7.37 2.08 0.71 7.21 2.09 1 7.45 5.13 0.63 7.01 早班 2.39 0.59 7.82 2.06 1.01 7.66 2.24 0.16 7.2 2.13 0. 7.48 2.08 1.05 7.32 5.17 0.61 7.19 9 中班 2.37 0.68 8.08 2.1 0.91 7.57 2.29 0.17 7.47 2.15 0.75 7.28 2.12 0.95 7.31 5.28 0.63 7.03 晚班 2.27 0.73 7.65 2.08 0.69 7.51 2.29 0.19 7.34 2.06 0.77 7.34 2.12 0.75 7.24 5.19 0.58 6.94 早班 2.36 0.65 7.95 2.12 0.87 7. 2.27 0.32 7.46 2.04 0.73 7.48 2.13 0.9 7.15 5.18 0.65 6.99 10 中班 2.36 0.67 7.85 2.13 0.85 7.85 2.23 0.23 7.39 2.13 0.72 7.17 2.14 0.92 7.33 5.23 0.62 7.07 晚班 2.36 0.67 7.86 2.11 0.84 7.57 2.24 0.16 7.51 2.1 0.72 7.48 2.14 0.9 7.22 5.21 0.6 7.16 早班 2.29 0.7 7.88 2.07 0.84 7.51 2.14 0.22 7.26 2.11 0.74 7.44 2.09 0. 7.12 5.1 0.62 6.9 11 中班 2.31 0.65 7.74 2.09 0.81 7.85 2.18 0.24 7.24 2.14 0.68 7.22 2.11 0.86 7.5 5.17 0.61 7 610 588 582 605 585 620 616 608 晚班 2.37 0.69 8.1 2.09 0.83 7.61 2.09 0.27 6.99 2.11 0.75 7.72 2.11 0.88 7.06 5.08 0. 7.11 12 早班 2.37 0. 7.86 2.09 0.88 7.65 2.22 0.19 7.21 1.97 0.7 7.36 2.11 0.92 7.07 5.06 0.6 6.96

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中班 2.36 0.65 7.8 2.1 0.81 7. 2.18 0.17 7.33 2.1 0.72 7.46 2.12 0.86 7.27 5.13 0.58 7.05 晚班 2.36 0.66 7.81 2.1 0.67 7.68 2.18 0.26 7.2 2.27 0.7 7.59 2.12 0.71 7.18 5.28 0.57 7.18 早班 2.27 0.72 7.8 2.13 0.94 7.68 2.14 0.25 7.07 2.14 0.77 7.36 2.14 1 7.46 5.16 0.68 7.19 612 13 中班 2.37 0.71 7.77 2.09 0. 7.69 2.44 0.19 7.74 2.14 0.75 7.28 2.11 0.95 7.25 5.36 0.62 7.05 晚班 2.21 0.76 7.59 2.12 0.82 7.72 2.21 0.27 7.33 1.97 0.83 7.35 2.16 0.87 7.26 5.1 0.66 7.07 早班 2.43 0.6 7.96 2.07 0.78 7.48 2.14 0.21 7.33 2.18 0. 7. 2.09 0.83 7.15 5.13 0.57 7.1 14 中班 2.36 0.69 8 2.08 1.11 7.66 2.31 0.2 7.73 2.09 0.74 7.61 2.09 1.18 7.26 5.22 0.69 7.15 606 晚班 2.31 0.69 7.75 2.09 0.85 7.55 2.22 0.27 7.34 2.11 0.73 7.42 2.11 0.9 7.25 5.16 0. 7.07 早班 2.52 0.63 8.08 2.1 0.79 7.77 2.29 0.15 7.59 2.21 0.68 7.76 2.14 0.83 7.39 5.32 0.55 7.15 15 中班 2.27 0.7 7.75 2.09 0.85 7.71 2.22 0.24 7.26 2.02 0.75 7.34 2.12 0.9 7.38 5.11 0.62 7.06 晚班 2.46 0.67 8.17 2.11 0.76 7.66 2.22 0.29 7.16 2.21 0.74 7.77 2.12 0.83 7.33 5.26 0.62 7.22 早班 2.34 0.71 7.9 2.12 0.8 7.68 2.19 0.29 7.16 2.15 0.76 7. 2.14 0.86 7.27 5.2 0. 16 中班 2.21 0.71 7.56 2.09 0. 7.6 2.15 0.23 7.28 晚班 2.27 0.7 7. 2.1 0.78 7.66 2.18 0.24 6.98 2 2 7 609 592 0.75 7.3 2.12 0.95 7.36 5.06 0.65 6.99 0.77 7.22 2.13 0.83 7.24 5.07 0.61 7.01 早班 2.31 0.66 7.81 2.1 0.98 7.76 2.15 0.24 7.2 2.13 0.73 7.52 2.12 1.05 7.45 5.14 0.68 7.06 17 中班 2.37 0.68 早班 2.43 0.65 8 8 2.07 1.03 7.5 2.11 0.27 7.08 2.04 0.73 7.78 2.07 1.07 7.06 1 5 0.7 7.17 605 晚班 2.34 0.69 7.94 2.11 0.94 7.62 2.37 0.24 7.67 2.06 0.73 7.68 2.12 7.1 5.27 0.65 6.94 2.1 0.91 7.71 2.36 0.16 7.66 2.22 0.69 7.53 2.13 0.96 7.37 5.38 0.6 7.03 581 18 中班 2.41 0.66 8.05 2.11 0.84 7.59 2.14 0.25 7.12 2.21 0.7 7.76 2.13 0.9 7.33 5.2 0.63 7.28 晚班 2.36 0.65 7.88 2.09 0.93 7.5 2.31 0.24 7.38 2.18 0.69 7.5 2.11 0.98 7.11 5.31 0.62 7.01 早班 2.39 0.71 7.9 2.12 0.93 7.77 2.25 0.29 7.21 2.09 0.75 7.45 2.14 0.98 7.21 5.2 0.68 7.05 19 中班 2.31 0.66 7.83 2.07 0.74 7.65 2.29 0.21 7.49 2.08 0.72 7.57 2.09 0.8 7.51 5.2 0.57 7.21 晚班 2.36 0.69 7.95 2.11 0.78 7.46 2.27 0.2 7.5 2.08 0.73 7.78 2.12 0.81 7.25 5.2 0.58 7.34 早班 2.4 0. 7.88 2.12 0.94 7.52 2.23 0.27 7.21 2.22 0.69 7.47 2.14 0.99 7.16 5.28 0.66 7.02 20 中班 2.34 0.66 7.85 2.07 0.74 7.45 2.34 0.3 7.37 2.11 0.72 7.44 2.08 0.76 7.13 5.24 0.59 6.9 晚班 2.27 0.66 7.62 2.08 0.86 7.69 2.21 0.24 7.16 2.04 0.71 7.51 2.08 0.92 7.21 5.08 0.62 7.02 早班 2.36 0.69 7.59 2.09 0.84 7.68 2.21 0.26 7.35 2.09 0.73 7.33 2.12 0.87 7.19 5.16 0.62 6.96 21 中班 2.34 0.7 7.85 2.11 0.96 7.65 2.14 0.23 7.03 2.08 0.75 7.47 2.11 早班 2.24 0.68 7.52 2.11 0.92 7.72 2.37 0.25 7.63 2 1 7.16 5.08 0.66 7.08 616 612 601 晚班 2.31 0.66 7.67 2.1 0.91 7.57 2.31 0.2 7.53 2.08 0.7 7.37 2.12 0.96 7.05 5.21 0.62 6.96 0.74 7.32 2.14 0.97 7.38 5.23 0. 6.99 616 22 中班 2.29 0.7 7.84 2.1 0.83 7.6 2.36 0.24 7.7 2.09 0.76 7.55 2.12 0.86 7.22 5.28 0.61 6.97 晚班 2.37 0.65 7.98 2.1 0.94 7.61 2.24 0.13 7.48 2.11 0.7 7.75 2.13 0.99 7.08 5.2 0.61 7.16 早班 2.56 0.6 8.26 2.11 0.93 7.55 2.36 0.17 7.55 2.21 0. 8.01 2.11 0.97 7.19 5.35 0.59 7.25 23 中班 2.27 0.75 7.7 2.13 0.97 7.71 2.31 0.23 7.58 2.04 0.8 7.42 2.16 1.02 7.28 5.23 0.68 7.07 晚班 2.31 0.7 7.9 2.1 0.96 7.6 2.29 0.27 7.45 2.25 0.75 7.35 2.13 1.04 7.26 5.38 0.68 6.92 早班 2.36 0.66 7.87 2.09 0.92 7.66 2.15 0.33 7.09 2.11 0.7 7.5 2.1 0.96 7.27 5.12 0.67 7.17 24 中班 2.36 0.62 7.96 2.09 0.93 7.48 2.1 0.2 7.14 2.09 0.68 7.7 2.1 0.97 7.07 5.05 0.62 7.05 晚班 2.45 0. 8.14 2.08 0.83 7.56 2.22 0.19 7.29 2.19 0.69 7. 2.09 0.88 6.97 5.24 0.58 6.96 早班 2.39 0.63 7.7 2.11 0.84 7.59 2.27 0.2 7.2 2.11 0.68 7.35 2.14 0.88 7.23 5.24 0.57 6.93 25 中班 2.27 0.7 7.77 2.1 0.94 7. 2.31 0.22 7.44 早班 2.34 0.66 8 2.12 0.81 7.59 2.35 0.23 7.34 2 2 0.72 7.37 2.12 0.97 7.22 5.16 0.62 6.91 0.7 7.43 2.16 0.86 7.16 5.23 0.6 7.1 588 625 598 晚班 2.52 0. 8.12 2.11 0.99 7.68 2.23 0.19 7.3 2.27 0.69 7.76 2.15 1.03 7.18 5.35 0.65 7.27 26 中班 2.36 0.68 7.71 2.1 0.87 7.6 2.35 0.18 7.68 2.25 0.71 7.11 2.1 0.94 7.29 5.4 0.61 6.91 晚班 2.34 0.66 7.73 2.1 0.8 7. 2.34 0.23 7.48 2.09 0.72 7.25 2.12 0.85 6.95 5.27 0.6 6.88 27 早班 2.31 0.7 7.99 2.1 0.8 7.78 2.22 0.24 7.15 2.04 0.75 7.45 2.12 0.85 7.31 5.12 0.61 7.06 50 618 617

中班 2.36 0.68 7.9 2.12 0.98 7.56 2.25 0.18 7.24 2.15 0.74 7.47 2.15 1.03 7.21 5.26 0. 7.04 晚班 2.31 0.72 7.9 2.1 0.85 7.59 2.14 0.28 7.22 2.04 0.77 7.51 2.11 0.9 7.35 5.06 0.66 7.12 早班 2.41 0.7 7.98 2.12 0. 7.75 2.09 0.2 7.13 2.14 0.73 7.51 2.14 0.94 7.46 5.11 0.63 7.18 28 中班 2.25 0.7 7.82 2.09 0.91 7.72 2.34 0.14 7.61 晚班 2.22 0.68 7.58 2.11 0.82 7.69 2.22 0.19 7.13 早班 2.4 0.68 8.17 2.07 1 2 2 0.76 7.57 2.12 0.95 7.26 5.19 0.6 7 605 0.75 7.19 2.14 0.87 7.37 5.11 0.61 6.95 7.57 2.14 0.29 7.14 2.13 0.73 7.5 2.1 1.06 7.23 5.1 0.71 6.94 586 29 中班 2.6 0.61 8.42 2.12 0.68 7.74 2.17 0.21 7.08 2.35 0.65 8.14 2.15 0.74 7.25 5.36 0. 7.34 晚班 2.34 0.73 7.88 2.11 0.76 7.59 2.27 0.3 7.26 2 0.78 7.24 2.13 0.82 7.06 5.14 0.63 6.92 早班 2.31 0.62 7.91 2.1 0.98 7. 2.23 0.2 7.21 2.17 0.68 7.49 2.13 1.03 7.23 5.23 0.65 6.97 30 中班 2.37 0.63 8.05 2.11 0.82 7. 2.24 0.24 7.33 2.13 0.68 7. 2.13 0.86

[注]瓦斯的浓度：%，即体积百分比；煤尘的单位：g/m3；风速的单位：m/s；日产量的单位：t/d。

7 5.23 0.6 6.98 620 晚班 2.4 0.72 7.9 2.11 0.85 7. 2.11 0.26 7.26 2.15 0.78 7.65 2.13 0.88 7.18 5.11 0.66 7.29

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采煤工作面Ⅱ 风筒 局部通风机 待采 煤层 掘进巷道放大示意图 掘进工作面 进风巷II 回风巷II 主巷道 掘进 工作面 进风巷I 回风巷I 总进风巷 进风口 总回风巷 出风口

待采煤层 待采煤层 图例 局部通风机 风量调节风门 新鲜风流（进风） 乏风流（回风） 待掘进的巷道 采煤工作面Ⅰ

附图1 某煤矿的通风系统示意图

图注: 主巷道断面大约为5 m2，其他各采煤区的进风巷、回风巷和掘进巷的断面大约为4 m2，掘进巷道中的风筒直径为400mm。

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2007高教社杯全国大学生数学建模竞赛题目

A题：中国人口增长预测

中国是一个人口大国，人口问题始终是制约我国发展的关键因素之一。根据已有数据，运用数学建模的方法，对中国人口做出分析和预测是一个重要问题。

近年来中国的人口发展出现了一些新的特点，例如，老龄化进程加速、出生人口性别比持续升高，以及乡村人口城镇化等因素，这些都影响着中国人口的增长。2007年初发布的《国家人口发展战略研究报告》(附录1) 还做出了进一步的分析。

关于中国人口问题已有多方面的研究，并积累了大量数据资料。附录2就是从《中国人口统计年鉴》上收集到的部分数据。

试从中国的实际情况和人口增长的上述特点出发，参考附录2中的相关数据（也可以搜索相关文献和补充新的数据），建立中国人口增长的数学模型，并由此对中国人口增长的中短期和长期趋势做出预测；特别要指出你们模型中的优点与不足之处。

附录1 《国家人口发展战略研究报告》

附录2 人口数据（《中国人口统计年鉴》中的部分数据）及其说明

B题：乘公交，看奥运

我国人民翘首企盼的第29届奥运会明年8月将在北京举行，届时有大量观众到现场观看奥运比赛，其中大部分人将会乘坐公共交通工具（简称公交，包括公汽、地铁等）出行。这些年来，城市的公交系统有了很大发展，北京市的公交线路已达800条以上，使得公众的出行更加通畅、便利，但同时也面临多条线路的选择问题。针对市场需求，某公司准备研制开发一个解决公交线路选择问题的自主查询计算机系统。

为了设计这样一个系统，其核心是线路选择的模型与算法，应该从实际情况出发考虑，满足查询者的各种不同需求。请你们解决如下问题：

1、仅考虑公汽线路，给出任意两公汽站点之间线路选择问题的一般数学模型与算法。并根据附录数据，利用你们的模型与算法，求出以下6对起始站→终到站之间的最佳路线（要有清晰的评价说明）。

(1)、S3359→S1828 (2)、S1557→S0481 (3)、S0971→S0485

(4)、S0008→S0073 (5)、S0148→S0485 (6)、S0087→S3676 2、同时考虑公汽与地铁线路，解决以上问题。

3、假设又知道所有站点之间的步行时间，请你给出任意两站点之间线路选择问题的数学模型。

【附录1】基本参数设定

相邻公汽站平均行驶时间(包括停站时间)： 3分钟 相邻地铁站平均行驶时间(包括停站时间)： 2.5分钟

公汽换乘公汽平均耗时： 5分钟(其中步行时间2分钟) 地铁换乘地铁平均耗时： 4分钟(其中步行时间2分钟) 地铁换乘公汽平均耗时： 7分钟(其中步行时间4分钟) 公汽换乘地铁平均耗时： 6分钟(其中步行时间4分钟)

公汽票价：分为单一票价与分段计价两种，标记于线路后；其中分段计价的票价

为：0～20站：1元；21～40站：2元；40站以上：3元

地铁票价：3元（无论地铁线路间是否换乘）

注：以上参数均为简化问题而作的假设，未必与实际数据完全吻合。 【附录2】公交线路及相关信息 （见数据文件B2007data.rar）

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C题：手机“套餐”优惠几何

手机现已成为人们日常工作、社交、经营等社会活动中必备的工具之一，近年来通信业务量飞速增长 (见附件1) 。

手机资费问题一直是人们关心的热点问题， 多少年来资费方案始终没有实质性变化。但是2007年1月以来上海、北京、广东等地的移动和联通两大运营商都相继推出了“手机单向收费方案”---各种品牌的“套餐”，手机“套餐”的花样琳琅满目，让人眼花缭乱。人们不禁要问：手机“套餐”究竟优惠几何？

请参照中国移动公司现行的资费标准和北京的全球通“畅听99套餐”、上海的“全球通68套餐”方案（见附件2），建立数学模型分析研究下列问题：

(1) 给出北京、上海各“套餐”方案的资费计算方法，并针对不同（通话量）需求的用户，分析说明各种“套餐”方案适应于什么样的用户？

(2) 提出你们对各种资费方案的评价准则和方法, 据此对北京、上海推出的“套餐”方案与现行的资费标准作分析、比较，并给出评价。

(3) 北京移动公司2007年5月23日又推出了所谓的全球通“被叫全免费计划”方案，即月租50元，本地被叫免费，其他项目资费均同现行的资费标准，还要求用户至少在网一年。你们又如何评价这个方案？并说明理由。

(4) 如果移动公司聘请你们帮助设计一个全球通手机的资费方案, 你们会考虑哪些因素? 根据你们的研究结果和北京、上海的实际情况，在较现有“套餐”方案运营商的收入降低不超过10%的条件下,用数学建模方法设计一个你们认为合理的“套餐”方案。

附件1 2006年中国通信业的统计资料 附件2 中国移动手机的资费方案

D题：体能测试时间安排

某校按照教学计划安排各班学生进行体能测试，以了解学生的身体状况。测试包括身高与体重、立定跳远、肺活量、握力和台阶试验共5个项目，均由电子仪器自动测量、记录并保存信息。该校引进身高与体重测量仪器3台，立定跳远、肺活量测量仪器各1台，握力和台阶试验测量仪器各2台。

身高与体重、立定跳远、肺活量、握力4个项目每台仪器每个学生的平均测试（包括学生的转换）时间分别为10秒、20秒、20秒、15秒，台阶试验每台仪器一次测试5个学生，需要3分30秒。

每个学生测试每个项目前要录入个人信息，即学号，平均需时5秒。仪器在每个学生测量完毕后学号将自动后移一位，于是如果前后测试的学生学号相连，就可以省去录入时间，而同一班学生的学号是相连的。

学校安排每天的测试时间为8：00－12：10与13：30－16：45两个时间段。5项测试都在最多容纳150个学生的小型场所进行，测试项目没有固定的先后顺序。参加体能测试的各班人数见附表。

学校要求同一班的所有学生在同一时间段内完成所有项目的测试，并且在整个测试所需时间段数最少的条件下，尽量节省学生的等待时间。

请你用数学符号和语言表述各班测试时间安排问题，给出该数学问题的算法，尽量用清晰、直观的图表形式为学校工作人员及各班学生表示出测试时间的安排计划，并且说明该计划怎样满足学校的上述要求和条件。

最后，请对学校以后的体能测试就以下方面提出建议，并说明理由：如引进各项测量仪器的数量；测试场所的人员容量；一个班的学生是否需要分成几个组进行测试等。

附表 参加体能测试的各班人数

班号 人数 班号 人数 班号 人数 班号 人数

1 41 16 44 31 41 46 42 2 45 17 20 32 33 47 43 3 44 18 30 33 51 48 41 4 44 19 39 34 39 49 42 5 26 20 35 35 20 50 45 6 44 21 38 36 20 51 42 7 42 22 38 37 44 52 19 8 20 23 28 38 37 53 39 9 20 24 25 39 38 75 10 38 25 30 40 39 55 17 11 37 26 36 41 42 56 17 12 25 27 20 42 40 13 45 28 24 43 37 14 45 29 32 44 50 15 45 30 33 45 50

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2008高教社杯全国大学生数学建模竞赛题目

A题 数码相机定位

数码相机定位在交通监管（电子）等方面有广泛的应用。所谓数码相机定位是指用数码相机摄制物体的相片确定物体表面某些特征点的位置。最常用的定位方法是双目定位，即用两部相机来定位。对物体上一个特征点，用两部固定于不同位置的相机摄得物体的像，分别获得该点在两部相机像平面上的坐标。只要知道两部相机精确的相对位置，就可用几何的方法得到该特征点在固定一部相机的坐标系中的坐标，即确定了特征点的位置。于是对双目定位，精确地确定两部相机的相对位置就是关键，这一过程称为系统标定。

标定的一种做法是：在一块平板上画若干个点， 同时用这两部相机照相，分别得到这些点在它们像平面上的像点，利用这两组像点的几何关系就可以得到这两部相机的相对位置。然而，无论在物平面或像平面上我们都无法直接得到没有几何尺寸的“点”。实际的做法是在物平面上画若干个圆（称为靶标），它们的圆心就是几何的点了。而它们的像一般会变形，如图1所示，所以必须从靶标上的这些圆的像中把圆心的像精确地找到，标定就可实现。 有人设计靶标如下，取1个边长为100mm的正方形，分别以四个顶点（对应为A、C、D、E）为圆心，12mm为半径作圆。以AC边上距离A点30mm处的B为圆心，12mm为半径作圆，如图2所示。

图 2 靶标示意图 图 1 靶标上圆的像

用一位置固定的数码相机摄得其像，如图3所示。

图3 靶标的像

(1) 建立数学模型和算法以确定靶标上圆的圆心在该相机像平面的像坐标, 这里坐标

系原点取在该相机的焦点，x-y平面平行于像平面；

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(2) 对由图2、图3分别给出的靶标及其像，计算靶标上圆的圆心在像平面上的像坐标,

该相机的像距（即焦点到像平面的距离）是1577个像素单位(1毫米约为3.78个像素单位)，相机分辨率为1024×786；

(3) 设计一种方法检验你们的模型，并对方法的精度和稳定性进行讨论； (4) 建立用此靶标给出两部固定相机相对位置的数学模型和方法。

B题 高等教育学费标准探讨

高等教育事关高素质人才培养、国家创新能力增强、和谐社会建设的大局，因此受到党和及社会各方面的高度重视和广泛关注。培养质量是高等教育的一个核心指标，不同的学科、专业在设定不同的培养目标后，其质量需要有相应的经费保障。高等教育属于非义务教育，其经费在世界各国都由财政拨款、学校自筹、社会捐赠和学费收入等几部分组成。对适合接受高等教育的经济困难的学生，一般可通过贷款和学费减、免、补等方式获得资助，品学兼优者还能享受、学校、企业等给予的奖学金。

学费问题涉及到每一个大学生及其家庭，是一个敏感而又复杂的问题：过高的学费会使很多学生无力支付，过低的学费又使学校财力不足而无法保证质量。学费问题近来在各种媒体上引起了热烈的讨论。

请你们根据中国国情，收集诸如国家生均拨款、培养费用、家庭收入等相关数据，并据此通过数学建模的方法，就几类学校或专业的学费标准进行定量分析，得出明确、有说服力的结论。数据的收集和分析是你们建模分析的基础和重要组成部分。你们的论文必须观点鲜明、分析有据、结论明确。

最后，根据你们建模分析的结果，给有部门写一份报告，提出具体建议。 5.12汶川大地震使震区地面交通和通讯系统严重瘫痪。救灾指挥部紧急派出多支小分队，到各个指定区域执行搜索任务，以确定需要救助的人员的准确位置。在其它场合也常有类似的搜索任务。在这种紧急情况下需要解决的重要问题之一是：制定搜索队伍的行进路线，对预定区域进行快速的全面搜索。通常，每个搜索人员都带有GPS定位仪、步话机以及食物和生活用品等装备。队伍中还有一定数量的卫星电话。GPS可以让搜索人员知道自己的方位。步话机可以相互进行通讯。卫星电话用来向指挥部报告搜索情况。

下面是一个简化的搜索问题。有一个平地矩形目标区域，大小为11200米×7200米，需要进行全境搜索。假设：出发点在区域中心；搜索完成后需要进行集结，集结点（结束点）在左侧短边中点；每个人搜索时的可探测半径为20米，搜索时平均行进速度为0.6米/秒；不需搜索而只是行进时,平均速度为1.2米/秒。每个人带有GPS定位仪、步话机，步话机通讯半径为1000米。搜索队伍若干人为一组,有一个组长，组长还拥有卫星电话。每个人搜索到目标，需要用步话机及时向组长报告，组长用卫星电话向指挥部报告搜索的最新结果。

现在有如下问题需要解决：

1．假定有一支20人一组的搜索队伍, 拥有1台卫星电话。请设计一种你认为耗时最短的搜索方式。按照你的方式，搜索完整个区域的时间是多少? 能否在48小时内完成搜索任务? 如果不能完成，需要增加到多少人才可以完成。

2．为了加快速度，搜索队伍有50人，拥有3台卫星电话，分成3组进行搜索。每组可将搜索情况报告给指挥部门。请设计一种你认为耗时最短的搜索方式。按照你的搜索方式, 搜索完整个区域的时间是多少? D题 NBA赛程的分析与评价

NBA是全世界篮球迷们最钟爱的赛事之一，姚易加盟以后更是让中国球迷宠爱有加。NBA共有30支球队，西部联盟、东部联盟各15支，大致按照地理位置，

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西部分西南、西北和太平洋3个区，东部分东南、中部和大西洋3个区，每区5支球队。对于2008~2009新赛季，常规赛阶段从2008年10月29日（北京时间）直到2009年4月16日，在这5个多月有1230场赛事，每支球队要进行82场比赛，附件1是30支球队2008~2009赛季常规赛的赛程表，附件2是分部、分区和排名情况（排名是2007~2008赛季常规赛的结果），见http://sports.sina.com.cn/nba/ 。

对于NBA这样庞大的赛事，编制一个完整的、对各球队尽可能公平的赛程是一件非常复杂的事情，赛程的安排对球队实力的发挥和战绩有一定的影响，从报刊上经常看到球员、教练和媒体对赛程的抱怨或评论。这个题目主要是要求用数学建模方法对已有的赛程进行定量的分析与评价：

1）为了分析赛程对某一支球队的利弊，你认为有哪些要考虑的因素，根据这些因素将赛程转换为便于进行数学处理的数字格式，并给出评价赛程利弊的数量指标。

2）按照1）的结果计算、分析赛程对姚明加盟的火箭队的利弊，并找出赛程对30支球队最有利和最不利的球队。

3）分析赛程可以发现，每支球队与同区的每一球队赛4场（主客各2场），与不同部的每一球队赛2场（主客各1场），与同部不同区的每一球队有赛4场和赛3场（2主1客或2客1主）两种情况，每支球队的主客场数量相同且同部3个区的球队间保持均衡。试根据赛程找出与同部不同区球队比赛中，选取赛3场的球队的方法。这种方法如何实现，对该方法给予评价，也可以给出你认为合适的方法。

2009高教社杯全国大学生数学建模竞赛题目

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A题 制动器试验台的控制方法分析

汽车的行车制动器（以下简称制动器）联接在车轮上，它的作用是在行驶时使车辆减速或者停止。制动器的设计是车辆设计中最重要的环节之一，直接影响着人身和车辆的安全。为了检验设计的优劣，必须进行相应的测试。在道路上测试实际车辆制动器的过程称为路试，其方法为：车辆在指定路面上加速到指定的速度；断开发动机的输出，让车辆依惯性继续运动；以恒定的力踏下制动踏板，使车辆完全停止下来或车速降到某数值以下；在这一过程中，检测制动减速度等指标。假设路试时轮胎与地面的摩擦力为无穷大，因此轮胎与地面无滑动。

为了检测制动器的综合性能，需要在各种不同情况下进行大量路试。但是，车辆设计阶段无法路试，只能在专门的制动器试验台上对所设计的路试进行模拟试验。模拟试验的原则是试验台上制动器的制动过程与路试车辆上制动器的制动过程尽可能一致。通常试验台仅安装、试验单轮制动器，而不是同时试验全车所有车轮的制动器。制动器试验台一般由安装了飞轮组的主轴、驱动主轴旋转的电动机、底座、施加制动的辅助装置以及测量和控制系统等组成。被试验的制动器安装在主轴的一端，当制动器工作时会使主轴减速。试验台工作时，电动机拖动主轴和飞轮旋转，达到与设定的车速相当的转速(模拟实验中，可认为主轴的角速度与车轮的角速度始终一致)后电动机断电同时施加制动，当满足设定的结束条件时就称为完成一次制动。

路试车辆的指定车轮在制动时承受载荷。将这个载荷在车辆平动时具有的能量（忽略车轮自身转动具有的能量）等效地转化为试验台上飞轮和主轴等机构转动时具有的能量，与此能量相应的转动惯量(以下转动惯量简称为惯量)在本题中称为等效的转动惯量。试验台上的主轴等不可拆卸机构的惯量称为基础惯量。飞轮组由若干个飞轮组成，使用时根据需要选择几个飞轮固定到主轴上，这些飞轮的惯量之和再加上基础惯量称为机械惯量。例如，假设有4个飞轮，其单个惯量分别是：10、20、40、80 kg·m2，基础惯量为10 kg·m2，则可以组成10，20，30，…，160 kg·m2的16种数值的机械惯量。但对于等效的转动惯量为45.7 kg·m2的情况，就不能精确地用机械惯量模拟试验。这个问题的一种解决方法是：把机械惯量设定为40 kg·m2，然后在制动过程中，让电动机在一定规律的电流控制下参与工作，补偿由于机械惯量不足而缺少的能量，从而满足模拟试验的原则。

一般假设试验台采用的电动机的驱动电流与其产生的扭矩成正比（本题中比例系数取为1.5 A/N·m）；且试验台工作时主轴的瞬时转速与瞬时扭矩是可观测的离散量。

由于制动器性能的复杂性，电动机驱动电流与时间之间的精确关系是很难得到的。工程实际中常用的计算机控制方法是：把整个制动时间离散化为许多小的时间段，比如10 ms为一段，然后根据前面时间段观测到的瞬时转速与/或瞬时扭矩，设计出本时段驱动电流的值，这个过程逐次进行，直至完成制动。

评价控制方法优劣的一个重要数量指标是能量误差的大小，本题中的能量误差是指所设计的路试时的制动器与相对应的实验台上制动器在制动过程中消耗的能量之差。通常不考虑观测误差、随机误差和连续问题离散化所产生的误差。

现在要求你们解答以下问题：

1. 设车辆单个前轮的滚动半径为0.286 m，制动时承受的载荷为6230 N，求等效的转动惯量。

2. 飞轮组由3个外直径1 m、内直径0.2 m的环形钢制飞轮组成，厚度分别为

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0.0392 m、0.0784 m、0.1568 m，钢材密度为7810 kg/m3，基础惯量为10 kg·m2，问可以组成哪些机械惯量？设电动机能补偿的能量相应的惯量的范围为 [-30, 30] kg·m2，对于问题1中得到的等效的转动惯量，需要用电动机补偿多大的惯量？

3. 建立电动机驱动电流依赖于可观测量的数学模型。

在问题1和问题2的条件下，假设制动减速度为常数，初始速度为50 km/h，制动5.0秒后车速为零，计算驱动电流。

4. 对于与所设计的路试等效的转动惯量为48 kg·m2，机械惯量为35 kg·m2，

主轴初转速为514转/分钟，末转速为257转/分钟，时间步长为10 ms的情况，用某种控制方法试验得到的数据见附表。请对该方法执行的结果进行评价。

5. 按照第3问导出的数学模型，给出根据前一个时间段观测到的瞬时转速与/

或瞬时扭矩，设计本时间段电流值的计算机控制方法，并对该方法进行评价。 6. 第5问给出的控制方法是否有不足之处？如果有，请重新设计一个尽量完善

的计算机控制方法，并作评价。

B题 眼科病床的合理安排

医院就医排队是大家都非常熟悉的现象，它以这样或那样的形式出现在我们面前，例如，患者到门诊就诊、到收费处划价、到药房取药、到注射室打针、等待住院等，往往需要排队等待接受某种服务。

我们考虑某医院眼科病床的合理安排的数学建模问题。

该医院眼科门诊每天开放，住院部共有病床79张。该医院眼科手术主要分四大类：白内障、视网膜疾病、青光眼和外伤。附录中给出了2008年7月13日至2008年9月11日这段时间里各类病人的情况。

白内障手术较简单，而且没有急症。目前该院是每周一、三做白内障手术，此类病人的术前准备时间只需1、2天。做两只眼的病人比做一只眼的要多一些，大约占到60%。如果要做双眼是周一先做一只，周三再做另一只。

外伤疾病通常属于急症，病床有空时立即安排住院，住院后第二天便会安排手术。

其他眼科疾病比较复杂，有各种不同情况，但大致住院以后2-3天内就可以接受手术，主要是术后的观察时间较长。这类疾病手术时间可根据需要安排，一般不安排在周一、周三。由于急症数量较少，建模时这些眼科疾病可不考虑急症。

该医院眼科手术条件比较充分，在考虑病床安排时可不考虑手术条件的，但考虑到手术医生的安排问题，通常情况下白内障手术与其他眼科手术（急症除外）不安排在同一天做。当前该住院部对全体非急症病人是按照FCFS（First come, First serve）规则安排住院，但等待住院病人队列却越来越长，医院方面希望你们能通过数学建模来帮助解决该住院部的病床合理安排问题，以提高对医院资源的有效利用。

问题一：试分析确定合理的评价指标体系，用以评价该问题的病床安排模型的优劣。

问题二：试就该住院部当前的情况，建立合理的病床安排模型，以根据已知的第二天拟出院病人数来确定第二天应该安排哪些病人住院。并对你们的模型利用问题一中的指标体系作出评价。

问题三：作为病人，自然希望尽早知道自己大约何时能住院。能否根据当时住院病人及等待住院病人的统计情况，在病人门诊时即告知其大致入住时间区间。

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问题四：若该住院部周六、周日不安排手术，请你们重新回答问题二，医院的手术时间安排是否应作出相应调整?

问题五：有人从便于管理的角度提出建议，在一般情形下，医院病床安排可采取使各类病人占用病床的比例大致固定的方案，试就此方案，建立使得所有病人在系统内的平均逗留时间（含等待入院及住院时间）最短的病床比例分配模型。

C题 卫星和飞船的跟踪测控

卫星和飞船在国民经济和国防建设中有着重要的作用，对它们的发射和运行过程进行测控是航天系统的一个重要组成部分，理想的状况是对卫星和飞船（特别是载人飞船）进行全程跟踪测控。

测控设备只能观测到所在点切平面以上的空域，且在与地平面夹角3度的范围内测控效果不好，实际上每个测控站的测控范围只考虑与地平面夹角3度以上的空域。在一个卫星或飞船的发射与运行过程中，往往有多个测控站联合完成测控任务，如神州七号飞船发射和运行过程中测控站的分布如下图所示：

图片来源 http://www.gov.cn/jrzg/2008-09/24/content_1104882.htm

请利用模型分析卫星或飞船的测控情况，具体问题如下：

1. 在所有测控站都与卫星或飞船的运行轨道共面的情况下至少应该建立多少个测控站才能对其进行全程跟踪测控？

2.如果一个卫星或飞船的运行轨道与地球赤道平面有固定的夹角，且在离地面高度为H的球面S上运行。考虑到地球自转时该卫星或飞船在运行过程中相继两圈的经度有一些差异，问至少应该建立多少个测控站才能对该卫星或飞船可能飞行的区域全部覆盖以达到全程跟踪测控的目的？

3. 收集我国一个卫星或飞船的运行资料和发射时测控站点的分布信息，分析这些测控站点对该卫星所能测控的范围。

D题 会议筹备

某市的一家会议服务公司负责承办某专业领域的一届全国性会议，会议筹备

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组要为与会代表预订宾馆客房，租借会议室，并租用客车接送代表。由于预计会议规模庞大，而适于接待这次会议的几家宾馆的客房和会议室数量均有限，所以只能让与会代表分散到若干家宾馆住宿。为了便于管理，除了尽量满足代表在价位等方面的需求之外，所选择的宾馆数量应该尽可能少，并且距离上比较靠近。 筹备组经过实地考察，筛选出10家宾馆作为备选，它们的名称用代号①至⑩表示，相对位置见附图，有关客房及会议室的规格、间数、价格等数据见附表1。

根据这届会议代表回执整理出来的有关住房的信息见附表2。从以往几届会议情况看，有一些发来回执的代表不来开会，同时也有一些与会的代表事先不提交回执，相关数据见附表3。附表2，3都可以作为预订宾馆客房的参考。

需要说明的是，虽然客房房费由与会代表自付，但是如果预订客房的数量大于实际用房数量，筹备组需要支付一天的空房费，而若出现预订客房数量不足，则将造成非常被动的局面，引起代表的不满。

会议期间有一天的上下午各安排6个分组会议，筹备组需要在代表下榻的某几个宾馆租借会议室。由于事先无法知道哪些代表准备参加哪个分组会，筹备组还要向汽车租赁公司租用客车接送代表。现有45座、36座和33座三种类型的客车，租金分别是半天800元、700元和600元。

请你们通过数学建模方法，从经济、方便、代表满意等方面，为会议筹备组制定一个预订宾馆客房、租借会议室、租用客车的合理方案。

附表1 10家备选宾馆的有关数据

宾馆代号 ① 客房 规格 普通双标间 商务双标间 普通单人间 商务单人间 ② 普通双标间 商务双标间 豪华双标间A 豪华双标间B ③ 普通双标间 商务双标间 普通单人间 ④ ⑤ ⑥ 普通双标间 商务双标间 普通双标间A 普通双标间B 豪华双标间 普通单人间 普通双标间 商务单人间 精品双人间

会议室 价格（天） 180元 220元 180元 220元 140元 160元 180元 200元 150元 180元 150元 140元 200元 140元 160元 200元 160元 170元 180元 220元 150元 62

间数 50 30 30 20 50 35 30 35 50 24 27 50 45 35 35 40 40 40 30 30 50 规模 200人 150人 60人 130人 180人 45人 30人 200人 100人 150人 60人 150人 50人 150人 180人 50人 160人 180人 140人 间数 1 2 2 2 1 3 3 1 2 1 3 2 3 2 1 3 1 1 2 价格(半天) 1500元 1200元 600元 1000元 1500元 300元 300元 1200元 800元 1000元 320元 900元 300元 1000元 1500元 500元 1000元 1200元 800元 普通双标间

⑦ ⑧ ⑨ 商务单人间 商务套房（1床） 普通双标间A 普通双标间B 高级单人间 普通双人间 普通单人间 豪华双人间 豪华单人间 40 30 40 40 45 30 30 30 30 55 45 160元 300元 180元 160元 180元 260元 260元 280元 280元 260元 280元 60人 200人 160人 130人 160人 120人 200人 180人 140人 3 1 1 2 1 2 1 1 2 300元 1000元 1000元 800元 1300元 800元 1200元 1500元 1000元 ⑩

经济标准房（2床） 标准房（2床） 附表2 本届会议的代表回执中有关住房要求的信息（单位：人） 男 女 合住1 1 78 合住2 104 48 合住3 32 17 独住1 107 59 独住2 68 28 独住3 41 19 说明：表头第一行中的数字1、2、3分别指每天每间120~160元、161~200元、201~300元

三种不同价格的房间。合住是指要求两人合住一间。独住是指可安排单人间，或一人单独住一个双人间。

附表3 以往几届会议代表回执和与会情况 发来回执的代表数量 发来回执但未与会的代表数量 未发回执而与会的代表数量 第一届 315 57 第二届 356 115 69 第三届 408 121 75 第四届 711 213 104

附图（其中500等数字是两宾馆间距，单位为米）

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④③500 ②150 ①1000 300 ⑤300 ⑦200 150 300 ⑨⑧⑥700 ⑩

2010全国高教社杯数学建模题目

A题 储油罐的变位识别与罐容表标定

通常加油站都有若干个储存燃油的地下储油罐，并且一般都有与之配套的“油位计量管理系统”，采用流量计和油位计来测量进/出油量与罐内油位高度等数据，通过预先标定的罐容表（即罐内油位高度与储油量的对应关系）进行实时计算，以得到罐内油位高度和储油量的变化情况。

许多储油罐在使用一段时间后，由于地基变形等原因，使罐体的位置会发生纵向倾斜和横向偏转等变化（以下称为变位），从而导致罐容表发生改变。按照有关规定，需要定期对罐容表进行重新标定。图1是一种典型的储油罐尺寸及形状示意图，其主体为圆柱体，两端为球冠体。图2是其罐体纵向倾斜变位的示意图，图3是罐体横向偏转变位的截面示意图。

请你们用数学建模方法研究解决储油罐的变位识别与罐容表标定的问题。 （1）为了掌握罐体变位后对罐容表的影响，利用如图4的小椭圆型储油罐（两端平头的椭圆柱体），分别对罐体无变位和倾斜角为=4.10的纵向变位两种情况做了实验，实验数据如附件1所示。请建立数学模型研究罐体变位后对罐容表的影响，并给出罐体变位后油位高度间隔为1cm的罐容表标定值。

（2）对于图1所示的实际储油罐，试建立罐体变位后标定罐容表的数学模型，即罐内储油量与油位高度及变位参数（纵向倾斜角度和横向偏转角度 ）之间的一般关系。请利用罐体变位后在进/出油过程中的实际检测数据（附件2），根据你们所建立的数学模型确定变位参数，并给出罐体变位后油位高度间隔为10cm的罐容表标定值。进一步利用附件2中的实际检测数据来分析检验你们模型的正确性与方法的可靠性。

附件1：小椭圆储油罐的实验数据 附件2：实际储油罐的检测数据

地平线 油位探测装置 油位探针

注检油查口 口 出 油浮子 油位高度 油 3 m 1m 2m 6m 图1 储油罐正面示意图

1m 65

地平线 油位探测装置 油位探针

注检油查口 口 出 油浮子 油 水平线 α 图2 储油罐纵向倾斜变位后示意图

地平线 油位探测装置 油位探针

地平线 油位探针

油 油

1.2m β 3m （a）无偏转倾斜的正截面图

图3 储油罐截面示意图

地平线垂直线

（b）横向偏转倾斜后正截面图

油位探针 注油口 出 油浮子 油 1.2m

0.4m α 水平线

2.05m1.78m (a) 小椭圆油罐正面示意图

图4 小椭圆型油罐形状及尺寸示意图

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(b) 小椭圆油罐截面示意图

B题 2010年上海世博会影响力的定量评估

2010年上海世博会是首次在中国举办的世界博览会。从1851年伦敦的“万国工业博览会”开始，世博会正日益成为各国人民交流历史文化、展示科技成果、体现合作精神、展望未来发展等的重要舞台。请你们选择感兴趣的某个侧面，建立数学模型，利用互联网数据，定量评估2010年上海世博会的影响力。

A题 城市表层土壤重金属污染分析

随着城市经济的快速发展和城市人口的不断增加，人类活动对城市环境质量的影响日显突出。对城市土壤地质环境异常的查证，以及如何应用查证获得的海量数据资料开展城市环境质量评价，研究人类活动影响下城市地质环境的演变模式，日益成为人们关注的焦点。

按照功能划分，城区一般可分为生活区、工业区、山区、主干道路区及公园绿地区等，分别记为1类区、2类区、……、5类区，不同的区域环境受人类活动影响的程度不同。

现对某城市城区土壤地质环境进行调查。为此，将所考察的城区划分为间距1公里左右的网格子区域，按照每平方公里1个采样点对表层土（0~10 厘米深度）进行取样、编号，并用GPS记录采样点的位置。应用专门仪器测试分析，获得了每个样本所含的多种化学元素的浓度数据。另一方面，按照2公里的间距在那些远离人群及工业活动的自然区取样，将其作为该城区表层土壤中元素的背景值。

附件1列出了采样点的位置、海拔高度及其所属功能区等信息，附件2列出了8种主要重金属元素在采样点处的浓度，附件3列出了8种主要重金属元素的背景值。

现要求你们通过数学建模来完成以下任务：

(1) 给出8种主要重金属元素在该城区的空间分布，并分析该城区内不同区域重金属的污染程度。

(2) 通过数据分析，说明重金属污染的主要原因。

(3) 分析重金属污染物的传播特征，由此建立模型，确定污染源的位置。 (4) 分析你所建立模型的优缺点，为更好地研究城市地质环境的演变模式，还应收集什么信息？有了这些信息，如何建立模型解决问题？

B题 交巡警服务平台的设置与调度

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“有困难找”，是家喻户晓的一句流行语。肩负着刑事执法、治安管理、交通管理、服务群众四大职能。为了更有效地贯彻实施这些职能，需要在市区的一些交通要道和重要部位设置交巡警服务平台。每个交巡警服务平台的职能和警力配备基本相同。由于警务资源是有限的，如何根据城市的实际情况与需求合理地设置交巡警服务平台、分配各平台的管辖范围、调度警务资源是警务部门面临的一个实际课题。

试就某市设置交巡警服务平台的相关情况，建立数学模型分析研究下面的问题： （1）附件1中的附图1给出了该市中心城区A的交通网络和现有的20个交巡警服务平台的设置情况示意图，相关的数据信息见附件2。请为各交巡警服务平台分配管辖范围，使其在所管辖的范围内出现突发事件时，尽量能在3分钟内有交巡警（警车的时速为60km/h）到达事发地。

对于重大突发事件，需要调度全区20个交巡警服务平台的警力资源，对进出该区的13条交通要道实现快速全封锁。实际中一个平台的警力最多封锁一个路口，请给出该区交巡警服务平台警力合理的调度方案。

根据现有交巡警服务平台的工作量不均衡和有些地方出警时间过长的实际情况，拟在该区内再增加2至5个平台，请确定需要增加平台的具体个数和位置。 （2）针对全市（主城六区A，B，C，D，E，F）的具体情况，按照设置交巡警服务平台的原则和任务，分析研究该市现有交巡警服务平台设置方案（参见附件）的合理性。如果有明显不合理，请给出解决方案。

如果该市地点P（第32个节点）处发生了重大刑事案件，在案发3分钟后接到报警，犯罪嫌疑人已驾车逃跑。为了快速搜捕嫌疑犯，请给出调度全市交巡警服务平台警力资源的最佳围堵方案。

附图1：A区的交通网络与平台设置的示意图

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附图2：全市六区交通网络与平台设置的示意图

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C题 企业退休职工养老金制度的改革

养老金也称退休金，是一种根据劳动者对社会所作贡献及其所具备享受养老保险的资格，以货币形式支付的保险待遇，用于保障职工退休后的基本生活需要。 我国企业职工基本养老保险实行“社会统筹”与“个人账户”相结合的模式，即企业把职工工资总额按一定比例（20%）缴纳到社会统筹基金账户，再把职工个人工资按一定比例（8%）缴纳到个人账户。这两个账户我们合称为养老保险基金。退休后，按职工在职期间每月（或年）的缴费工资与社会平均工资之比（缴费指数），再考虑到退休前一年的社会平均工资等因素，从社会统筹账户中拨出资金（基础养老金），加上个人工资账户中一定比例的资金（个人账户养老金），作为退休后每个月的养老金。养老金会随着社会平均工资的调整而调整。如果职工死亡，社会统筹账户中的资金不退给职工，个人账户中的余额可继承。个人账户储存额以银行当时公布的一年期存款利率计息，为简单起见，利率统一设定为3%。

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养老金的发放与职工在职时的工资及社会平均工资有着密切关系；工资的增长又与经济增长相关。近30年来我国经济发展迅速，工资增长率也较高；而发达国家的经济和工资增长率都较低。我国经济发展的战略目标，是要在21世纪中叶使我国人均国民生产总值达到中等发达国家水平。

现在我国养老保险改革正处于过渡期。养老保险管理的一个重要的目标是养老保险基金的收支平衡，它关系到社会稳定和老龄化社会的顺利过渡。影响养老保险基金收支平衡的一个重要因素是替代率。替代率是指职工刚退休时的养老金占退休前工资的比例。按照国家对基本养老保险制度的总体思路，未来基本养老保险的目标替代率确定为58.5%. 替代率较低，退休职工的生活水准低，养老保险基金收支平衡容易维持；替代率较高，退休职工的生活水准就高，养老保险基金收支平衡较难维持，可能出现缺口。所谓缺口，是指当养老保险基金入不敷出时出现的收支之差。

附件1是山东省职工历年平均工资数据；附件2是2009年山东省某企业各年龄段职工的工资分布情况，附件3是养老金的计算办法。请建立数学模型，解决如下问题：

问题一：对未来中国经济发展和工资增长的形势做出你认为是简化、合理的假设，并参考附件1，预测从2011年至2035年的山东省职工的年平均工资。 问题二：根据附件2计算2009年该企业各年龄段职工工资与该企业平均工资之比。如果把这些比值看作职工缴费指数的参考值，考虑该企业职工自2000年起分别从30岁、40岁开始缴养老保险，一直缴费到退休（55岁，60岁，65岁），计算各种情况下的养老金替代率。

问题三：假设该企业某职工自 2000年起从30岁开始缴养老保险，一直缴费到退休（55岁，60岁，65岁），并从退休后一直领取养老金，至75岁死亡。计算养老保险基金的缺口情况，并计算该职工领取养老金到多少岁时，其缴存的养老保险基金与其领取的养老金之间达到收支平衡。

问题四：如果既要达到目标替代率，又要维持养老保险基金收支平衡，你认为可以采取什么措施。请给出你的理由。

D题 天然肠衣搭配问题

天然肠衣（以下简称肠衣）制作加工是我国的一个传统产业，出口量占世界首位。肠衣经过清洗整理后被分割成长度不等的小段（原料），进入组装工序。传统的

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生产方式依靠人工，边丈量原料长度边心算，将原材料按指定根数和总长度组装出成品（捆）。

原料按长度分档，通常以0.5米为一档，如：3-3.4米按3米计算，3.5米-3.9米按3.5米计算，其余的依此类推。表1是几种常见成品的规格，长度单位为米，∞表示没有上限，但实际长度小于26米。

表1 成品规格表

最短长度 最大长度 3 7 14

为了提高生产效率，公司计划改变组装工艺，先丈量所有原料，建立一个原料表。表2为某批次原料描述。

表2 原料描述表

长度 3-3.4 3.5-3.9 4-4.4 4.5-4.9 5-5.4 5.5-5.9 6-6.4 6.5-6.9 根数 43 59 39 41 27 28 34 21 长度 7-7.4 7.5-7.9 8-8.4 8.5-8.9 9-9.4 9.5-9.9 10-10.4 10.5-10.9 根数 24 24 20 25 21 23 21 18 长度 11-11.4 11.5-11.9 12-12.4 12.5-12.9 13-13.4 13.5-13.9 14-14.4 14.5-14.9 根数 31 23 22 59 18 25 35 29 长度 15-15.4 15.5-15.9 16-16.4 16.5-16.9 17-17.4 17.5-17.9 18-18.4 18.5-18.9 根数 30 42 28 42 45 49 50 长度 19-19.4 19.5-19.9 20-20.4 20.5-20.9 21-21.4 21.5-21.9 22-22.4 22.5-22.9 根数 52 63 49 35 27 16 12 2 长度 23-23.4 23.5-23.9 24-24.4 24.5-24.9 25-25.4 25.5-25.9 根数 0 6 0 0 0 1

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根数 20 8 5 总长度 6.5 13.5 ∞

根据以上成品和原料描述，设计一个原料搭配方案，工人根据这个方案“照方抓药”进行生产。

公司对搭配方案有以下具体要求：

(1) 对于给定的一批原料，装出的成品捆数越多越好；

(2) 对于成品捆数相同的方案，最短长度最长的成品越多，方案越好；

(3) 为提高原料使用率，总长度允许有± 0.5米的误差，总根数允许比标准少1根； (4) 某种规格对应原料如果出现剩余，可以降级使用。如长度为14米的原料可以和长度介于7-13.5米的进行捆扎，成品属于7-13.5米的规格； (5) 为了食品保鲜,要求在30分钟内产生方案。

请建立上述问题的数学模型，给出求解方法，并对表1、表2给出的实际数据进行求解，给出搭配方案。

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