同济大学线性代数期末试卷

同济大学《线性代数》期终试卷1

（ 2学时）

本试卷共七大题

一、 填空题 (本大题共7个小题，满分25分)：

1. (4分) 设 阶 实对称矩阵 则

的特征值为 , , , 的属于 的特征向量是 ,

的属于 的两个线性无关的特征向量是( )；

2. (4分) 设 阶矩阵 阵, 则

的行列式

的特征值为 , , , , 其中 是 的伴随矩

( )；

3. (4分) 设 , , 则

( )；

4. (4分) 已知 维列向量组 的向量空间为

, 则

的维数 dim

( )；

所生成

5. (3分) 二次型 经过正交变换可化为

标准型 , 则 ( )；

6. (3分) 行列式 中 的系数是( ) ；

7. (3分) 元非齐次线性方程组的系数矩阵的秩为 , 已知 是它的 个解向量 ,

其中 , , 则该方程组的通解是( )。

二、 计算行列式：

(满分10分)

三、设 , , 求 。

(满分10分)

四、 取何值时, 线性方程组

无解或有解？

有解时求出所有解（用向量形式表示）。 (满分15分) 五、设向量组

线性无关 , 问: 常数

满足什么条件时, 向量组 , 也线性无关。

(满分10分) 六、已知二次型

，

(1) 写出二次型 的矩阵表达式；

(2) 求一个正交变换 ，把 化为标准形, 并写该标准型；

,

(3) (满分15分)

是什么类型的二次曲面?

七、证明题（本大题共 2个小题，满分15分）： 1． (7分)设向量组

线性无关 , 向量

能由

线性表示 , 向量

不能由 线性表示 . 证明: 向量组 也线性无关。

2. (8分) 设 是 矩阵, 是 矩阵, 证明: 时, 齐次线性方程组

必有非零解。

《

同济大学《线性代数》期终试卷2

（ 2学时）

本试卷共题

一、 是非题（判别下列命题是否正确，正确的在括号内打 √ ，错误的在括号内打 ×；满分20 分）：

1. 若 阶方阵 的秩 ，则其伴随阵

。 （ ）

2. 若 矩阵 和 矩阵 满足 ，则

。 （ ）

每小题2 分，

3. 实对称阵 与对角阵 相似： ，这里 必须是正交

阵 。 （ ）

4. 初等矩阵都是可逆阵，并且其逆阵都是它们本

身。 （ ）

5. 若 阶方阵 满足 ，则对任意 维列向量 ，均有

。 （ ）

6. 若矩阵 和 等价，则 的行向量组与 的行向量组等

价 。 （ ）

7. 若向量 线性无关，向量 线性无关，则 也线性无关。8. 是 矩阵，则

。 ）

9. 非齐次线性方程组 有唯一解，则

。 （ ）

10. 正交阵的特征值一定是实

数。 ）

） （

（ （

二、 设 阶行列

式：

试建立递推关系，并求 (满分10分)

。

三、设 (满分10分)

， ，并且 ，求

四、设 (满分10分)

，矩阵 满足 ，其中 是 的伴随阵，求 。

五、讨论线性方程组 (满分12分) 六、求一个正交变换 (满分14分)

，将二次型

的解的情况，在有解时求出通解。

化为标准形。

七、已知

3维列向量构成的向量空间，问：

，由它们生成的向量空间记为 ， 为所有

1． 取何值时， 但 ，为什么？

2． 取何值时， ( 满分 12 分 )

，为什么？

八、证明题（本大题共2个小题，满分12分）： 1．若2阶方阵满足

，证明

可与对角阵相似。

2. 若

是正定阵，则其伴随阵 也是正定阵。