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Journal of Mudanjiang University

Vol.21 No.8 Aug. 2012

文章编号：1008-8717（2012）08-0119-04

含参变量无穷积分一致收敛性的判断技巧与应用

刘 红 玉

（陇南师范高等专科学校数学系, 甘肃 成县 742500）

摘 要：在探讨各类《数学分析》教材中关于含参变量无穷积分的定义和判敛方法的基础上,通过几个常见问题 的分析解答,归纳出含参变量无穷积分一致收敛性的判断的若干技巧,并讨论了含参变量无穷积分在学习和实践中的 应用价值.

关键词：含参变量反常积分；一致收敛性；类比；探索式教学 中图分类号：G2 文献标识码：A

含参变量无穷积分是分析学中的重要内容，但在教学的过程中学生很难掌握.一致收敛是含参变量无穷积分的一 个重要性质.有效地判别含参变量无穷积分的一致收敛对进一步研究含参变量无穷积分的性质起着重要的作用.本文 对含参变量无穷积分的一致收敛性的判断方法做了总结并指出了学生在学习过程中应注意的问题，以便学生平时学



b

习或考研时参考.反常积分包括无穷区间积分和无界函数反常积分两种形式.本文只讨论在区间 a,上的无穷区间

无穷积分 ∫a f (x,u)dx .对于 ∫−∞ f (x,u)dx ，以及无界函数的反常积分，可以类似地得到相应的结果.

一、含参变量无穷积分一致收敛性的判断方法的归纳和总结 1．利用定义判断

若

∫a f (x,u)dx 对 u ∈ I 逐点收敛，要证明 ∫a f (x,u)dx 在 I 上一致收敛，即要证明 ∫A f (x,u)dx 在 I

上一致收敛于 0 （当 A →  时）即： ∀ε  0, ∃A0  0, 当 A  A0 时有

∫A f (x,u)dx  ε (∀u ∈ I )

0

0

1

0

；要 证

∫

a



f (x,u)dx 对 u ∈ I 非 一 致 收 敛 ， 即 要 证 明 ：

∃ε  0,∀A  0, ∃A  A 及 u ∈ I ，使得

1

f (x,u )dx ≥ ε .



1 0

2．利用 Cauchy 准则判断



′′ ′

∫a f (x,u)dx 在 I 上一致收敛的充要条件是 ∀ε  0, ∃A0  a, 当 A  A  A0 时，有

∫AA

1

2

f (x,u)dx  ε 判断一致收敛的 M 判别法， Abel 与 Dirichlet 判别法也是根据 Cauchy 准则证明出来的. 3．Weierstass 判别法（ M 判别法）

设

∫a f (x,u)dx 在 u ∈ I 上收敛，如果（1） f (x,u) ≤ F (x)(∀x ≥ a,∀u ∈ I ) ，（2） ∫a F (x)dx 收

敛，则

∫a f (x,u)dx 关于 u ∈ I 一致收敛.

收稿日期：2012-05-20

作者简介：刘红玉（1980—），女，甘肃清水人，讲师，研究方向：数学分析和概率统计的教学和研究。 119

使用 M 判别法，关键在于将被积函数的绝对值 f (x,u) 适当地放大，以找出函数 F(x) （优函数），使得

f (x,u) ≤ F (x)(∀x ≥ a,∀u ∈ I ) 且

∫



a F (x)dx 收敛.则

∫



a f (x,u)dx 关于 u 在 I 上一致收敛.

在判别函数项级数(函数列)一致收敛时，需要对某些表达式进行适当放大，从而达到判别函数项级数(函数列)一 致收敛，这种方法叫放大法.值得注意的是上面说的是判别含参变量无穷积分的一致收敛常用的三个判别法则.从这三 个法则我们可以看出无论是用哪一个定理，要实现对含参变量无穷积分一致收敛的判别，均要对一定的表达式进行 有效的放大.放大法的技巧有以下几种：

a. 利用已知不等式进行放大

如利用柯西不等式: (

∫ab f (x)g(x)dx)2 ≤ ∫ab f 2 (x)dx∫ab g 2 (x)dx 进行放大

b. 通过求最大值进行放大 c. 利用 Taylor 公式等进行变形后放大 d. 利用递推的方法进行放大 e. 确界法 f. 利用 Abel 变换进行放大

利用 Cauchy 收敛准则证明含参变量无穷积分的一致收敛性时一个重要的问题是将“片断”

进行变形，这种变形的一个重要方法是利用 Abel 变换.

∫

A2

A1 f (x,u)dx

M 判别法，使用比较方便，但适用面较窄。特别若所讨论积分本身一致收敛，同时又是条件收敛时，显然，M

判别法，对于这种情况是为力的.只好用下面的判别法.

∞ cos x y 证明：含参变量积分 0 例1 1  x 2 dx 在 − ∞  y ∞ 上一致收敛.

2 cos x y 1 1 

证明 对 − ∞  y  ，有 x 2 1 ≤ 1  x 2 无穷积分 ∫0 1  x 2 dx 收敛，故含参变量积分

∫

2

∫0∞ cos x y 2 dx 在 − ∞  y  上一致收敛.

1  x

2

y 1  1

但我们也可以这样做 x 2  1 ≤ x 2 ，但无穷积分 ∫0

x 2 dx 收敛吗？不收敛.  cos xy 例2 证明：含参变量积分 ∫1 x 2  y 2 dx 在 − ∞  y ∞ 上一致收敛.

cos x 2

cos xy

1



证明 对 − ∞  y  ，有 x 2 cosxy

dx 在 − ∞  y  上一致收敛.

 y 2 ≤ x 2 无穷积分 ∫1

1

x 2 dx 收敛，故含参变量积分

 ∫ 1

x  y

M 判别法得的结论是绝对一致收敛，但并不是所有绝对收敛的积分都能用 M 判别法来判断.

2

2

1

1

2

[1]

∞− 例 3 积分 1 eα 2 ( x− α ) dx 在 0  α  1上虽然绝对一致收敛，但并不能用 M 判别法进行判断. 分析 我们首先来证明该积分一致收敛；其次因被积函数为正，故也是绝对一致收敛；最后只须证明它没有优

∫

函数 F(x) .

1 1

2 α ( x− α )

2

事实上，假若 e−

1

≤ F (x)(∀x ≥ 1,∀α ∈ (0,1)) ，那么对任意 x  1，只要 α 1 ∈ 0,1 ，便知

x

1

2

1  e− α 2 ( x− α ) ≤ F(x)(∀x  1) 故

∫

1



F (x)dx 发散，所以没有优函数.

下面证明该积分一致收敛.

1 1 2

问题在于： ∀ε  0, 找 A0  1，使得 A  A0 时有 A∫∞ e− α ( x− α )2 dx ε

120

∞− ( x− α )2  e2 由于 Aα dx

) e

∫1 1 ∫A∞− e

1 1 2 ( x− α )α

2 dx  α

∫ 1

α (∞A− 1 ) 1 1 u

e−2 du （令 u  (x − ) ）（1）

α α

2

α

但 α

∫ 1(A− 1 α

−u2 du ≤ α

∫−∞ e−u du  α π .

α

因此对于 α ∈ 0,

0  1，积分（1）  ε  1（充分大），使

π

ε ε  2 u 2 −−u 得 A  A 时，对于 α ∈ 0, ， α 1 1 e du  ε 。由于被积函数 e  0, 当 ≤ α  1时，有

ε

，对任意 A

成立，剩下的问题只在于找 A

0

π

∫ ( A− )

α α

π

α ∫ 1

) e(A− 1 α 2

−u2 du ≤

u

∫A− π e−2 du （2）

ε

2

由

∫0 e−u du 的敛散性知： ∀ε  0, ∃A0  0 ，使得 A  A0 时积分（2）  ε .

4． Abel 判别法与 Dirichlet 判别法

该法的关键在于把被积函数恰当地拆成二因子相乘： f (x,u)  g(x,u)h(x,u) 使得 g(x,u), h(x,u) 满足 Abel 条件：

1）

∫a g(x,u)dx 对 u ∈ I 一致收敛；

2） h(x,u) 当 u 固定时，对 x 单调，且一致有界，即 ∃M  0 ，使得 h(x,u) ≤ M ， 则积分

∫



a f (x,u)dx 在 I 上一致收敛（ Abel 判别法）

或者（将条件 1）减弱，将条件 2）加强）使得 g(x,u), h(x,u) 满足 Dirichlet 条件

1）

∫aA g(x,u)dx 一致有界。即： ∃M  0, ∫aA g(x,u)dx ≤ M

∫a f (x,u)dx 在 I 上一

2） h(x,u) 当 u 固定时，对 x 单调，当 x → ∞ 时， h(x,u) 一致收敛 0 ，则积分

致收敛（ Dirichlet 判别法）

例 4 证明含参量积分 ∫0∞ 1  xu dx 在 0,上一致收敛.



证法 1 （ 用 Abel 判别法）

首先对任意固定的 y ≥ 0 ， 原积分是

∫0

∞

sin x

1  x

2

u

dx 收敛的 . 又因为

∫0 sin x2 dx = ∫0 dt 收敛，与 u 无关，故 u ∈ 0,时是一致收敛的.其次对任意固定的 u ≥ 0 ， 2 t

2 1 sin x 

≤ 1.由 Abel 判别法知 ∫0∞ 是 x 单调函数，且 u u dx 在 0,上一致收敛. 1  x 1  x

sint

1

u 1  x

证法 2 （ Dirichlet 判别法 ） 将含参量积分

∫∞

sinx2

0

dx 改写为

u

∫

x sin x

0

2

1

u

∫0 A1 2 cos x 0A ≤ 1 ， ∀u ∈ 0, . 对任意固定的 u ≥ 0 ， x sin x dx − 2

2

1  x

x(1  x ) 1

udx . 由于

x(1  x ) 是 x 单调函数且

1 ≤ 1 x(1  xu ) x

1 → 0(x → ) 故当 x → ∞ 时， u关于 u 一致收敛 x(1  x )

2

∞sinx 0 Dirichlet ∫ dx 在 0,上一致收敛. 于.由判别法知

0

5． Dini 定理

1  xu

121

设 f (x,u) 在 D  {a ≤ x ≤ ∞,α ≤ u ≤ β} 上连续且不变号， ϕ(u) 

∫

a



f (x,u)dx 在 α , β 上连续，

则

∫a f (x,u)dx 关于 u 在 I 上一致收敛.

[2]

数学分析中己经指出级数与无穷积分的敛散性及其性质基本上是平行的，其定理在一般教科书中都能找到；同 样函数项级数与含参变量反常积分的一致收敛判别法及其性质基本上是平行的，有下面的定理。

6．设 f (x,u) 必为区域 R  {a ≤ x ≤ b,1 ≤ u ∞}上的非负函数，如果 f (x,u) 在区间

1,上关于 u

为单调减函数，那么含参变量积分

∫



f (x,u)du 与函数项级数

1

∑ f (x, n) 在区间 a,b上具有相同的一致收敛

n1



性[3].

7 ． 若 f (x,u) 在

a,U 上连续 ， u0 为 U 的一个聚点 ， ∫a f (x,u)dx 在 U \\ {u0 } 上收敛 ， 而



a f (x,u0 )dx 发散，则 ∫a f (x,u)dx 在U 上不一致收敛. ∫

可以利用函数项级数的一致收敛性判别某些含参变量积分的性质和一致收敛，也可以利用积分的便利条件判断 某些函数项级数的一致收敛.

二、拓展应用

含参量无穷积分

∫0 ue−ux dx 在闭区间 0,b上不一致收敛，而 ∫0 ue−ux dx 在闭区间 0,b上一致收敛

2

[4]

.

这两个含参量无穷积分在形式上相差无几,但一致收敛性却截然不同.下面我们类比的方法讨论二者一致收敛性质的 差异.

含参量无穷积分 ∫ ue− dx 当 u ∈ 0,3时考虑变上限积分 ∫ ue− dx 可以做出曲线：其中每一条曲线标显

ux

M

ux





0



ux

0

M

ux

的 u 值为含参量无穷积分 ∫0 ue− dx 中对应的参量 u 的值,横坐标表示的是变上限积分 ∫0 ue− dx 中 M 的取值,

纵坐标表示积分

∫0M ue−ux dx 的值.

0,3,积分 ∫0 ue−ux dx 收敛;但是对于不同的 u ∈ 0,3,积分 ∫0 ue−ux dx

可以得出：对于任意的 u ∈ 的收敛 步调却不一致.

含参量无穷积分

∫0 ue−ux dx 当 u ∈ 0,3时考虑变上限积分 ∫0M ue−ux dx 可以做出曲线：其中每一条曲线标 显

2

的 u 值为含参量无穷积分 纵坐标表示积分

∫0 ue−ux dx 中对应的参量 u 的值,横坐标表示的是变上限积分 ∫0m ue−ux dx 中 M 的取 值,

2

2

2

∫0m ue−ux dx 的值.

∫0 ue−ux dx 收敛;对于不同的 u ∈ 0,3,积分 ∫0 ue−ux dx 收敛情况

2

2

可以得出：对于任意的 u ∈ 0,3,积分

保持步调一致.从上面两个例子的对比可以看出含参量无穷积分的一致收敛性的直观表现是反常积分关于参变量的同 步收敛.

含参量积分的致收敛性的判别与函数项级数有许多类似的地方，同时也要注意到利用积分自身的特点，如变量

2

∞

代换，分部积分等.如 ∫1

cos x 2 x p dx ，作变换 x  t ，就化为 ∫1



cos t

t ( p1) / 2 dt ，成为我们熟悉的类型.

参考文献：

[1]裴礼文.数学分析中典型问题与方法[M].北京:高等教育出版社,1993:9. [2]刘玉琏.数学分析讲义[M].北京:高等教育出版社,2003:284. [3]孙德荣.函数项级数一致收敛的积分判别法[J].昌吉学院学报,2009,(06). [4]黄慧,陈辉.含参量无穷限反常积分的一致收敛性[J].高等数学研究,2011,(01).

122