函数的三要素典型例题

函数定义域的求法及常见题型

一、函数定义域求法

（一）常规函数

函数解析式确定且已知，求函数定义域。其解法是根据解析式有意义所需条件，列出关于自变量的不等式或不等式组，解此不等式（或组），即得函数定义域。

例1.求函数

yx22x15|x3|8的定义域。

（二）抽象函数

1.有关概念

定义域：函数y=f(x)的自变量x的取值范围，可以理解为函数y=f(x)图象向x轴投影的区间；凡是函数的定义域，永远是指自变量x的取值范围；

2.四种类型

题型一：已知抽象函数y=f(x)的定义域为[m,n]，如何求复合抽象函数y=f(g(x))的定义域？

例题2.已知函数y=f(x)的定义域[0,3]，求函数y=f(3+2x)的定义域

强化训练：

1

1.已知函数y=f(x)的定义域[-1,5]，求函数y=f(3x-5)的定义域；

2.已知函数y=f(x)的定义域[1/2,2]，求函数y=f(log2x)的定义域；

2f(x1)的定义域。 f(x)3.已知的定义域为［－2，2］，求

题型二：已知复合抽象函数y=f(g(x))定义域[m,n]，如何求抽象函数y=f(x)的的定义域？

例题4.已知函数y=f(2x-1)的定义域[0,3]，求函数y=f(x)的定义域.

强化训练：

1.已知函数y=f(x2-2x+2)的定义域[0,3]，求函数y=f(x)的定义域.

2.已知函数y=f[lg(x+1)]的定义域[0,9]，求函数y=f(x)的定义域.

题型三：已知复合抽象函数y=f(g(x))定义域[m,n]，如何求复合抽象函数y=f(h(x))定义域的定义域？

例题5.已知函数y=f(2x-1)的定义域[0,3]，求函数y=f(3+x)的定义域.

强化训练：

1.已知函数y=f(x+1)的定义域[-2,3]，求函数y=f(2x-1)的定义域.

2

2.已知函数y=f(2x)的定义域[-1,1]，求函数y=f(log2x)的定义域.

3. 已知f(x+1)的定义域为[-1/2，2]，求f(x2)定义域。

题型四：已知f(x)的定义域，求与f(x)相关四则运算型函数的定义域。

例6.已知f(x)的定义域为[-3，5]，求φ（x）=f(-x)+f(2x+5)定义域。

强化训练：

1.已知f(x)的定义域为（0，5]，求g(x)=f(x+a)f(x-a)定义域，其中-1﹤a≦0。

二、与函数定义域相关的变形题型

（一）逆向型

即已知所给函数的定义域求解析式中参数的取值范围。特别是对于已知定义域为R，求参数的范围问题通常是转化为恒成立问题来解决。

例7.已知函数

的定义域为R，求实数m的取值范围。

3

例8.已知函数

f(x)kx7kx24kx3的定义域是R，求实数k的取值范围。

（二）参数型

对于含参数的函数，求定义域时，必须对分母分类讨论。

例9.已知f(x)的定义域为［0，1］，求函数

F(x)f(xa)f(xa)

的定义域。

（三）隐含型

有些问题从表面上看并不求定义域，但是不注意定义域，往往导致错解，事实上定义域隐含在问题中，例如函数的单调区间是其定义域的子集。因此，求函数的单调区间，必须先求定义域。

例10.求函数

ylog2(x22x3)的单调区间。

（四）实际问题型

这里函数的定义域除满足解析式外，还要注意问题的实际意义对自变量的，这点要加倍注意，并形成意识。

例11.将长为a的铁丝折成矩形，求矩形面积y关于一边长x的函数的解析式，并求函数的定义

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域。

例12.用长为L的铁丝弯成下部为矩形上部为半圆的框架，如图，若矩形底边长为2x，求此框架围成的面积y与x的函数关系式，并求定义域。

求函数解析式的几种基本方法及例题：

1、凑配法：已知复合函数f[g(x)]的表达式，求f(x)的解析式，f[g(x)]的表达式容易配成g(x)的运算形式时，常用配凑法。但要注意所求函数f(x)的定义域不是原复合函数的定义域，而是g(x)的值域。 此法较适合简单题目。

例1、（1）已知f(x+1)=x2+2x,求f(x)及f(x-2).

11f(x)x22xx (x0) ，求 f(x)的解析式 （2） 已知

2、换元法：已知复合函数f[g(x)]的表达式时，还可以用换元法求f(x)的解析式。与配凑法一样，要注意所换元的定义域的变化。

例2 （1） 已知f(x1)x2x，求f(x1)

5

(2)如果

1xf(),则当x0,1时，求f(x).x1x

3、待定系数法:当已知函数的模式求解析式时适合此法。应用此法解题时往往需要解恒等式。

例3、已知f(x)是二次函数，且满足f(x+1)+f(x-1)=2x2-4x,求f(x).

四、构造方程组法：若已知的函数关系较为抽象简约，则可以对变量进行置换，设法构造方程组，通过解方程组求得函数解析式。

例4 设

1f(x)满足f(x)2f()x,x

求f(x)

五、赋值法：当题中所给变量较多，且含有“任意”等条件时，往往可以对具有“任意性”的变量进行赋值，使问题具体化、简单化，从而求得解析式。

例5 已知：f(0)1，对于任意实数x、y，等式

f(xy)f(x)y(2xy1)

恒成立，求f(x)

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例6、（分段函数)设f(x)=

x12, x1 g(x)2x1,1, x121x

求f[g(x)]的表达式.

变式训练：

1、已知f(x+1)=x2-2x,求f(x)及f(x-2).

2、已知f（x+1）=x+2x+1,求f(x)的解析式。

3、已知f(x)为多项式，f(x+1)+f(x-1)=2x2-2x+4.求f(x)的解析式。

14、已知f(x)=2x+a,(x)=4(x2+3),且[f(x)]=x2+x+1,则a= .

5、如果函数f(x)满足方程

1af(x)f()ax,xR且x0,x

a为常数，且a≠1,求f(x)的解析式。

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2(x1) x16、设函数f(x) 求使得f(x)1的自变量x的取值范围.4-x-1 x 1

7、已知函数f(x)对任意正数m,n均有f(mn)=f(m)+f(n)成立，且f(8)=3,试求f(2)的值。

函数的值域求解方式

1．已知函数∩（CRB）．

的定义域为集合A，函数的值域为集合B，求A∩B和（CRA）

2．已知函数f（x）=x2﹣bx+3，且f（0）=f（4）．

（1）求函数y=f（x）的零点，写出满足条件f（x）＜0的x的集合；

（2）求函数y=f（x）在区间（0，3]上的值域．

3．求函数的值域：．

4．求下列函数的值域：

（1）y=3x2﹣x+2； （2）；

（3）； （4）；

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（5） （6）；

5．求函数的值域：y=|x﹣1|+|x+4|．

6．求下列函数的值域．

（1）y=﹣x2+x+2； （2）y=3﹣2x，x∈[﹣2，9]；

（3）y=x2﹣2x﹣3，x∈（﹣1，2]； （4）y=

．

7．已知函数f（x）=22x+2x+1+3，求f（x）的值域．

8．已知f（x）的值域为，求y=的值域．

9．设的值域为[﹣1，4]，求a、b的值．

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