平面向量的数量积练习题[

§5.3 平面向量的数量积

一、选择题

1．若向量a，b，c满足a∥b且a⊥c，则c·(a＋2b)＝( ) A．4 B．3 C．2

D．0

解析：由a∥b及a⊥c，得b⊥c， 则c·(a＋2b)＝c·a＋2c·b＝0. 答案：D

a·a

b，2．若向量a与b不共线，a·b≠0，且c＝a－则向量a与c的夹角为( ) a·b

πππ

A．0 B. C. D.

632a·a

b 解析 ∵a·c＝a·a－

a·b2a

a·b＝a2－a2＝0， ＝a·a－

a·b

π

又a≠0，c≠0，∴a⊥c，∴〈a，c〉＝，故选D.

2

答案 D

3. 设向量a=（1.cos）与b=（-1， 2cos）垂直，则cos2等于 （ ） A21 B C .0 D.-1 22解析 ab,ab0,12cos20,cos22cos210.正确的是C. 答案C

4．已知|a|＝6，|b|＝3，a·b＝－12，则向量a在向量b方向上的投影是( )． A．－4

B．4

C．－2

D．2

解析 设a与b的夹角为θ，∵a·b为向量b的模与向量a在向量b方向上的投影的乘积，而cos θ＝

a·b2

＝－，

|a||b|3

2

∴|a|cos θ＝6×－＝－4.

3答案 A

5．若a，b，c均为单位向量，且a·b＝0，(a－c)·(b－c)≤0，则|a＋b－c|的最大值为( )． A.2－1

B．1

C.2

D．2

解析 由已知条件，向量a，b，c都是单位向量可以求出，a2＝1，b2＝1，c2＝1，由a·b＝0，及(a－c)(b－c)≤0，可以知道，(a＋b)·c≥c2＝1，因为|a＋b－

c|2＝a2＋b2＋c2＋2a·b－2a·c－2b·c，所以有|a＋b－c|2＝3－2(a·c＋b·c)≤1， 故|a＋b－c|≤1. 答案 B

1

6．已知非零向量a、b满足|a|＝3|b|，若函数f(x)＝x3＋|a|x2＋2a·bx＋1

3在x∈R上有极值，则〈a，b〉的取值范围是( ) π

A.0，

6

π

B.0，

3π

D.，π 6

ππ

C.， 62

132

解析 ∵f(x)＝x＋|a|x＋2a·bx＋1在x∈R上有极值，∴f′(x)＝0有两不

3相等的实根，∵f′(x)＝x2＋2|a|x＋2a·b，∴x2＋2|a|x＋2a·b＝0有两个不1a·b相等的实根，∴Δ＝4|a|2－8a·b＞0，即a·b＜|a|2，∵cos〈a，b〉＝，

2|a||b|1

|a|223

|a|＝3|b|，∴cos〈a，b〉＜＝，∵0≤〈a，b〉≤π，

|a||b|2π

∴＜〈a，b〉≤π. 6答案 D

7．如图，已知正六边形P1P2P3P4P5P6，下列向量的数量积中最大的是

( )．

→→→→

→→→→→

→

→

→

A.P1P2·P1P3 B.P1P2·P1P4 C.P1P2·P1P5 D.P1P2·P1P6

解析 由于P1P2⊥P1P5，故其数量积是0，可排除C；P1P2与P1P6的夹角是故其数量积小于零，可排除D；设正六边形的边长是a，

→→→→32

则P1P2·P1P3＝|P1P2||P1P3|cos 30°＝a，P1P2·P1P4＝|P1P2||P1P4|cos 60°＝a2.

2答案 A 二、填空题

8．已知向量a，b均为单位向量，若它们的夹角是60°，则|a－3b|等于________． 解析 ∵|a－3b|2＝a2－6a·b＋9b2＝10－6×cos60°＝7，∴|a－3b|＝7. 答案 7

9.已知向量a(3,2), a(3m1,4m)，若ab，则m的值为 ． 解析 ab,ab3(3m1)(2)(4m)0,m1 答案 1

10．已知a与b为两个不共线的单位向量，k为实数，若向量a＋b与向量ka－b垂直，则k＝________.

解析 设a与b夹角为θ，由题意知|a|＝1，|b|＝1，θ≠0且θ≠π.由a＋b与向量ka－b垂直，得

(a＋b)·(ka－b)＝0，即k|a|2＋(k－1)|a||b|cos θ－|b|2＝0，(k－1)(1＋cos →

→

→

→

2π

， 3

θ)＝0.

又1＋cos θ≠0，∴k－1＝0，k＝1. 答案 1

11．已知e1，e2是夹角为

2π

的两个单位向量，a＝e1－2e2，b＝ke1＋e2.若a·b3

＝0，则实数k的值为________．

2

解析 由题意知：a·b＝(e1－2e2)·(ke1＋e2)＝0，即ke21＋e1e2－2ke1e2－2e2＝0，

即k＋cos答案

5

4

2π2π5－2kcos－2＝0, 化简可求得k＝. 334

12．在等腰直角三角形ABC中，D是斜边BC的中点，如果AB的长为2，则(AB＋AC)·AD的值为________．

1

解析：|BC|2＝|AB|2＋|AC|2＝8，|AD|＝|BC|，AB＋AC＝2AD，(AB21

＋AC)·AD＝2AD·AD＝|BC|2＝4.

2答案：4 三、解答题

13．已知向量a＝(1,2)，b＝(2，－2)． (1)设c＝4a＋b，求(b·c)a； (2)若a＋λb与a垂直，求λ的值； (3)求向量a在b方向上的投影． 解析：(1)∵a＝(1,2)，b＝(2，－2)， ∴c＝4a＋b＝(4,8)＋(2，－2)＝(6,6)． ∴b·c＝2×6－2×6＝0，∴(b·c) a＝0a＝0. (2) a＋λb＝(1,2)＋λ(2，－2)＝(2λ＋1,2－2λ)， 由于a＋λb与a垂直，

5

∴2λ＋1＋2(2－2λ)＝0，∴λ＝.

2(3)设向量a与b的夹角为θ， 向量a在b方向上的投影为|a|cos θ. ∴|a|cos θ＝

a·b1×2＋2×－222

＝＝－＝－. 22

|b|22＋－222→

→

→

14．如图所示，AB＝(6,1)，BC＝(x，y)，CD＝(－2，－3)．

→

→

(1)若BC∥DA，求x与y之间的关系式；

→

→

→

→

→→

(2)在(1)条件下，若AC⊥BD，求x，y的值及四边形ABCD的面积．

→→

解析 (1)∵AD＝AB＋BC＋CD＝(x＋4，y－2)，DA＝－AD＝(－x－4,2－y)． →→→

又BC∥DA且BC＝(x，y)，∴x(2－y)－y(－x－4)＝0， 即x＋2y＝0.①

→

→

→

→

→

→

→

→

(2)由于AC＝AB＋BC＝(x＋6，y＋1)，BD＝BC＋CD＝(x－2，y－3)，又AC⊥BD，→→

∴AC·BD＝0.

即(x＋6)(x－2)＋(y＋1)(y－3)＝0，② 联立①②化简，得y2－2y－3＝0， ∴y＝3或y＝－1.

→

→→1

∴SABCD＝|AC|·|BD|＝16；

2

→

→→1

∴SABCD＝|AC|·|BD|＝16.

2

→

→→

＋CA·AB的值．

→

→

解析 由题意知△ABC为直角三角形，AB⊥BC，

→

→

→

→

→

→

15．已知平面上三点A，B，C满足|AB|＝3，|BC|＝4，|CA|＝5，求AB·BC＋BC·CA→

当y＝－1时，x＝2，此时AC＝(8,0)，BD＝(0，－4)，

→

故当y＝3时，x＝－6，此时AC＝(0,4)，BD＝(－8,0)，

→→

∴AB·BC＝0，cos∠BAC＝3

5，

cos∠BCA＝4

5

，

→→

∴BC和CA夹角的余弦值为－4

5，

→→

CA和AB夹角的余弦值为－3

5，

→→→→→→∴AB·BC＋BC·CA＋CA·AB ＝20×4－5＋15×－3

5

＝－25.

16．设两向量e1，e2满足|e1|＝2，|e2|＝1，e1，e2的夹角为60°，若向量2t ＋7e2与向量e1＋t e2的夹角为钝角，求实数t的取值范围． 思路分析 转化为(2te1＋7e2)·(e1＋te2)＜0 且2te1＋7e2≠λ(e1＋te2)(λ＜0)．

解析 由已知得e24，e2

1＝2＝1，e1·e2＝2×1×cos 60°＝1.

∴(2te7e2·e221＋2)·(e1＋te2)＝2te21＋(2t＋7)e12＋7te2＝2t＋15t＋7.

欲使夹角为钝角，需2t2＋15t＋7＜0. 得－7＜t＜－12

.

设2t e1＋7e2＝λ(e1＋t e2)(λ＜0)． ∴

2t＝λ，7＝tλ.

∴2t2＝7.

∴t＝－

14

2

，此时λ＝－14. 即t＝－14

2时，向量2te1＋7e2与e1＋te2的夹角为π.

∴夹角为钝角时，t的取值范围是 

－7，－142∪141－2，－2

1e