空间向量在立体几何中的应用

1. 已知向量a与b夹角为，这两个向量所在直线分别为l1,l2，l1与

abl2异面且所成角为,则coscos.

ab2. 已知op与平面所成角为，n为平面的法向量，则

sincosopn, .3. AB为平面的斜线段，A为斜足，n为平面的法向量，d为

ABnB到平面的距离，则dABcosAB,n.

n4. 已知二面角l,设,的法向量分别为n1,n2，先求n1,n2,再

分析二面角l的大小与n1,n2的关系（或相等或互补） 225. 利用aa求线段长. 6. 利用ab证明线线平行.

7. 利用ab0(a0,b0)证明线线垂直.

例1. 在直棱柱ABCA,ACB90,AA12.(1)1B1C1中，ACBC1求二面角AA1BC的平面角的大小.(2)求点B1到平面A1BC的距离.

例2. 在直三棱柱ABC1AB1C1中，底面是等腰直角三角形，

ACB90侧棱AA12,D,E分别是CC1与A1B的中点，点E在

平面ABD上的射影是ABD的重心G.(1)求A1B与平面ABD所成角的大小.(2)求点A1到平面AED的距离.

1.已知平行六面体ABCD－A′B′C′D′中, 底面ABCD是边长为a的正方形，侧棱AA′的长为

b, ∠A′AB＝∠A′AD＝120°, 求对角线AC′的长, 以及直线BD′和AC夹角的余弦值.

2.在棱长为1 的正方体ABCD—A＇B＇C＇D＇中, AC＇为对角线，M、N分别为BB＇、

B＇C＇中点，P为线段MN中点，

(1)求DP和平面ABCD所成的角的正切； (2)求四面体P—AC＇D＇的体积； (3)求DP和AC＇所成角。

3.等腰梯形ABCD中, 上底CD＝12, 下底AB＝20, 高为215, 以底的中垂线MN为折痕, 将梯形折成120°的二面角A－MN－B. (1) 求AC的长;

(2) 求直线AC与MN所成的角; (3) 求直线AC与平面ADMN所成角.