汇总高校量子力学考研试题

习题1⼀、填空题

1．玻尔的量⼦化条件为。2．德布罗意关系为。

3．⽤来解释光电效应的爱因斯坦公式为。

4．波函数的统计解释：_______________________________________________________________________________________________5．为归⼀化波函数，粒⼦在⽅向、⽴体⾓内出现的⼏率为，在半径为，厚度为的球壳内粒⼦出现的⼏率为。

6．波函数的标准条件为。

7．，为单位矩阵，则算符的本征值为__________。8．⾃由粒⼦体系，__________守恒；中⼼⼒场中运动的粒⼦___________守恒。

9．⼒学量算符应满⾜的两个性质是。10．厄密算符的本征函数具有。

11．设为归⼀化的动量表象下的波函数，则的物理意义为_______________________________________________。12.______;_______;_________。

28．如两⼒学量算符有共同本征函数完全系，则___。

13．坐标和动量的测不准关系是____________________________。14．在定态条件下，守恒的⼒学量是_______________________。15．隧道效应是指__________________________________________。16．量⼦⼒学中，原⼦的轨道半径实际是指____________________。17．为氢原⼦的波函数，的取值范围分别为。

18．对氢原⼦，不考虑电⼦的⾃旋，能级的简并度为，考虑⾃旋但不考虑⾃旋与轨道⾓动量的耦合时，能级的简并度为，如再考虑⾃旋与轨道⾓动量的耦合，能级的简并度为。

19．设体系的状态波函数为，如在该状态下测量⼒学量有确定的值，则⼒学量算符与态⽮量的关系为__________。

20．⼒学量算符在态下的平均值可写为的条件为____________________________。

21．量⼦⼒学中的态是希尔伯特空间的____________；算符是希尔伯特空间的____________。21．设粒⼦处于态，为归⼀化波函数，为球谐函数，则系数c的取值为，的可能值为

，本征值为出现的⼏率为。22．原⼦跃迁的选择定则为。

23．⾃旋⾓动量与⾃旋磁矩的关系为。24．为泡利算符，则，，。

25．为⾃旋算符，则，，。

26．乌伦贝克和哥德斯密脱关于⾃旋的两个基本假设是 ________________________，_______________________________。

27．轨道磁矩与轨道⾓动量的关系是______________;⾃旋磁矩与⾃旋⾓动量的关系是______________。

27．费⽶⼦所组成的全同粒⼦体系的波函数具有______________,玻⾊⼦所组成的全同粒⼦体系的波函数具有_________。

27．考虑⾃旋后，波函数在⾃旋空间表⽰为（已归⼀化），则在态下，⾃

旋算符对⾃旋的平均可表⽰为_______________；对坐标和⾃旋同时求平均的结果可表⽰为______________________。27．考虑⾃旋后，波函数在⾃旋空间表⽰为（已归⼀化），则的意义为_____________________；_________________。⼆、计算题

1．在和的共同表象中，算符和的矩阵分别为，。

求它们的本征值和归⼀化本征函数，并将矩阵和对⾓化。2．⼀维运动粒⼦的状态是其中，求

（1）粒⼦动量的⼏率分布函数；（2）粒⼦的平均动量。（利⽤公式）

3．设在表象中，的矩阵表⽰为

其中，试⽤微扰论求能级⼆级修正。（10分）4．在⾃旋态中，求。（10分）

5．各是厄密算符。试证明，也是厄密算符的条件是对易。6．在动量表象中⾓动量的矩阵元和的矩阵元。7．求⾃旋⾓动量在⽅向的投影的本征值和所属的本征函数。

8．转动惯量为，电偶极矩为的空间转⼦处在均匀电场

中，如果电场很⼩，⽤微扰论求转⼦基态能量的⼆级修正。（10分）（基态波函数，利⽤公式）

9．证明下列关系式：1．， 2.3. ,4.

(其中为⾓动量算符，，为泡利算符，为动量算符)

10．设时，粒⼦的状态为，求此时粒⼦的平均动量和平均动能。

11．为厄密算符，（为单位算符），。（1）求算符的本征值；（2）在A表象下求算符的矩阵表⽰。

12．已知体系的哈密顿量，试求出（1）体系能量本征值及相应的归⼀化本征⽮量。（2）将H对⾓化，并给出对⾓化的么正变换矩阵。

13．⼀质量为m的粒⼦在⼀维⽆限深势阱中运动，， b为⼩量，⽤微扰法求粒⼦的能级（近似到⼀级）。14．证明下列算符的对易关系。1．；2. ()

3.设算符与它们的对易式对易，即：，证明：

15．设有两个电⼦，⾃旋态分别

，，证明两个电⼦处于⾃旋单态（）及三重态（）的⼏率分别为：（20分）。16．求⾃旋⾓动量在⽅向的投影的本征值和所属的本征函数（20分）。

17．由任意⼀对已归⼀化的共轭右⽮和左⽮构成的投影算符。试证明（1）是厄密算符；（2）有；（3）的本征值为0和1（20分）。

18．设在表象中，的矩阵表⽰为，其中，试⽤微扰论求能级⼆级修正（14分）。19．证明下列算符的对易关系（24分）：1．2. ()

3.设算符与它们的对易式对易，即：，证明：

20．⼀体系由三个全同的玻⾊⼦组成，玻⾊⼦之间⽆相互作⽤。玻⾊⼦只有

两个可能的单粒⼦态。问体系可能的状态有⼏个？它们的波函数怎样⽤单粒⼦波函数构成？21．求证在的共同本征态下，⾓动量沿与z轴成⾓的⽅向的分量的平均值为。

22．证明如算符有共同的本征函数完备集，则对易。23．求及的本征值和所属的本征函数。三问答题

1．电⼦在均匀电场中运动，哈密顿量为，试判断各量中哪些是守恒量，为什么？

2．经典的波和量⼦⼒学中的⼏率波有什么本质区别？

3．量⼦⼒学中的⼒学量⽤什么算符表⽰？为什么？⼒学量算符在⾃⾝表象中的矩阵是什么形式？4．什么是全同性原理和泡利不相容原理，⼆者是什么关系？5．表明电⼦有⾃旋的实验事实有哪些？⾃旋有什么特征？6．乌伦贝克关于⾃旋的的基本假设是什么？

7．什么是塞曼效应，对简单塞曼效应，没有外磁场时的⼀条谱线在外磁场中为⼏条？8．什么是光谱的精细结构？产⽣精细结构的原因是什么？考虑精细结构后能级的简并度是多少？9．什么是斯塔克效应？

10．不同表象之间的变换是⼀种什么变换？在不同表象中不变的量有哪些？

11．量⼦⼒学中如何判断⼀个⼒学量是否是守恒量，量⼦⼒学中的守恒量和经典⼒学的守恒量定义有什么不同？12．什么是定态？定态有什么性质？

13．量⼦⼒学中的守恒量是如何定义的？守恒量有什么性质？ 14．简述⼒学量与⼒学量算符的关系？15．轨道⾓动量和⾃旋⾓动量有什么区别和联系？ 16．简述量⼦⼒学的五个基本假设。

17．简述量⼦⼒学中的态叠加原理，它反映了什么？ 18．什么是光电效应？光电效应有什么规律？19．什么是光电效应？爱因斯坦是如何解释光电效应的。

20．简述波尔的原⼦理论，为什么说玻尔的原⼦理论是半经典半量⼦的。 21．简述波函数的统计解释，为什么说波函数可以完全描述微观体系的状态。 22．能量的本征态的叠加还是能量本征态吗？为什么？ 23．原⼦的轨道半径在量⼦⼒学中是如何解释的？习题2

1.1924年，德布洛意提出物质波概念，认为任何实物粒⼦，如电⼦、质⼦等，也具有波动性，对于具有⼀定动量p 的⾃由粒⼦，满⾜德布洛意关系：_____________________________

2. 假设电⼦由静⽌被150伏电压加速，求加速后电⼦的的物质波波长：_____________________________3. 计算1K 时，60C 团簇（由60个C 原⼦构成的⾜球状分⼦）热运动所对应的物质波波长_____________________________

4. 计算对易式)](,?[x f p x 和)]?(,[x p f x ，其中x p

为动量算符的x 分量，)(x f 为坐标的x 函数. 5. 如果算符βα??、满⾜关系式1=-αββα，求证 (1) βαββα222=- (2) 2333βαβ

βα=- 6. 设波函数x x sin )(=ψ，求?][][(22=ψ-dxd xx dxd ψ

7. 求⾓动量能量算符?-= i L z

的本证值和本征态 8. 试求算符dxd ie F

ix -=?的本征函数 9. 证明⼀维束缚定态⽅程的能量E 是⾮简并的

10. 在⼀维势场中运动的粒⼦，势能对原点对称：)()(x U x U =-，证明粒⼦的定态波函数具有确定的宇称11. ⼀粒⼦在⼀维势场

>∞≤≤<∞=a x a x x x U ，，，0 00)(

中运动，求粒⼦的能级和对应的波函数 12. 设t=0时，粒⼦的状态为]cos [sin)(212kx kx A x +=ψ

求此时粒⼦的动量期望值和动能期望值 13. ⼀维运动粒⼦的状态是<≥=-0,0 0

,)(x x Axe x x 当当λψ 其中0>λ，求：

(1)粒⼦动量的⼏率分布函数； (2)粒⼦的动量期望值。

14. 在⼀维⽆限深势阱中运动的粒⼦，势阱的宽度为a ，如果粒⼦的状态由波函数)()(x a Ax x -=ψ 描写，A 为归⼀化常数，求粒⼦的⼏率分布和能量的期望值.15.设粒⼦处于范围在],0[a 的⼀维⽆限深势阱中状态⽤函数ax ax ax ππ2cossin

4)(=ψ，求粒

⼦能量的可能测量值及相应的⼏率 16. 设氢原⼦处在031

),,(a rea r -=

πφθψ的态（0a 为第⼀玻尔轨道半径），求(1) r 的平均值；(2)势能re2-的平均值

17. 质量为m 的⼀个粒⼦在边长为a 的⽴⽅盒⼦中运动，粒⼦所受势能(,,)V x y z 由下式给出：()()()

0,0,;0,;0,(,,),x a y a z a V x y z others ∈∈∈??=?

∞??；试写出定态薛定谔⽅程，并求系统能量本征值和归⼀化波函数； 18. 氢原⼦处于态()433141104111122,,333

r R Y R Y R Y ψθ?-=+-中，问

（1）(),,r ψθ?是否为能量的本征态？若是，写出其本征值。若不是，说明理由； （2）在(),,r ψθ?中，测⾓动量平⽅的结果有⼏种可能值？相应⼏率为多少 19. 在⼀维谐振⼦能量表象中写出坐标x 和动量p 的矩阵表⽰ 20. 在t=0时，⾃由粒⼦波函数为()??≥<=b2x 0b 2x bx

sin 2b 0,x πππψ (1) 给出在该态中粒⼦动量的可能测得值及相应的⼏率振幅；[2221)(22sin)2()(41xxp

b bb p i b -+ ππ]

(2) 求出⼏率最⼤的动量值；b p x ±=

(3) 求出发现粒⼦在x dp b b +- 区间中的⼏率；[xx2dpb1dp)b ( =]

21. 设⼀体系未受微扰作⽤时有两个能级：0201E E 及，现在受到微扰H'?的作⽤，微扰矩阵元为b H H a H H ='='='='22112112

，；b a 、都是实数。⽤微扰公式求能量⾄⼆级修正值 22. ⼀维⽆限深势阱)0(a x <<中的粒⼦受到微扰

≤≤-≤≤=')2( )1(2)2

0( 2)(a x a a x a x a x x H λλ 作⽤，试求基态能级的⼀级修正。)221(2πλ+=

23. 具有电荷为q 的离⼦，在其平衡位置附近作⼀维简谐振动，在光的照射下发⽣跃迁。设⼊射光的能量为)(ωI 。其波长较长，求：

①原来处于基态的离⼦，单位时间内跃迁到第⼀激发态的⼏率。α

21②讨论跃迁的选择定则。1±=m ?

24. 电荷e 的谐振⼦，在0=t 时处于基态，0>t 时处于弱电场τεε/0t e -=之中(τ为常数)，

试求谐振⼦处于第⼀激发态的⼏率。 25.质量为m 的粒⼦处于位势()??

∞

≤<≤<≤<=其他和a

z 0a y 0,a x 00z ,y ,x V

中。假设它⼜经受微扰bxy H

='，试求第⼀激发态能量的⼀级修正。26. ⽤试探波函数a/x )x (e-=ψ，

估计⼀维谐振⼦基态能量和波函数

27.设粒⼦在⼀维空间中运动，其哈密顿量为 H，它在 H 0表象中的表⽰为 ()

=00E E E E H ?， A. 求 H 的本征值和本征态； E E E ?+=+0， =+

1121u E E E ?-=-0, -=

-1121u B. 若t =0时，粒⼦处于φ1，它在0H ?表象中的表⽰为

01。试求出t > 0时的粒⼦波函数；

-=- Et sin i Et cos e

t iE 0 28. ⼀个电荷为的⼀维谐振⼦受到弱电场的作⽤，利⽤微扰理论求能量⾄⼆级修正值并与其精确结果⽐较28. 若S

是电⼦的⾃旋算符，求 (1) x S ?z S ?x S ?y S ?xS ?=? (2) ?S ?S= 29. ⼆个⾃旋2

1的粒⼦组成的系统由等效哈密顿算符2121)(?S S B S S A H z z

++=描述，其中21,S S 是⼆个⾃旋，z z S S 21,是他们的分量，B A ,为常数，求系统的所有能级 30. ⼀体系由三个全同的玻⾊⼦组成，玻⾊⼦之间⽆相互作⽤。玻⾊⼦只有两个可能的单粒⼦态。问体系可能的状态有⼏个？它们的波函数怎样⽤单粒⼦波函数构成？

31.⼀量⼦体系的哈密顿算符0,H H H '=+在0?H 表象中 40?0200100H ??= ，00?00000k H k ??'=

其中常数1k <<，

（1）⽤微扰法求体系的能级，精确到⼆级近似； （2）求出体系能量的精确解，并与（1）式结果⽐较南京⼤学1998年硕⼠研究⽣考试试题——量⼦⼒学(⼀) 20分 有半壁⽆限⾼势垒的⼀维阱 ()ax a x x V x V ><<∞=000

在0V E <的情形下，该系统是否总存在⼀个束缚态？如果回答是否定的，那么系统中⾄少有⼀个束缚态的存在的充要条件是什么？

（⼆）20分 ⼀个取向⽤⾓坐标θ和?确定的转⼦，作受碍转动，⽤下述哈密顿量描述：()?2c os ??22 B L A H

+=，式中A 和B 均为常数，且B A >>，2?L

是⾓动量平⽅算符，试⽤⼀级微扰论计算系统的p 能级（1=l ）的，并标出微扰后的零级近似波函数。（三）20分求在⼀维⽆限深势阱中，处于()x n ψ态时的粒⼦的动量分布⼏率()2p n φ 。

（四）20分 试判断下列诸等式的正误，如果等式不能成⽴，试写出正确的结果： （1）i j x i p jx i peee2

1-?+???=? ？式中i ?和j ?分别是x 和y ⽅向的单位⽮量。（2）()[])(,?'x f pip x f p px x x x = ？式中xi p x ??= ? ，

（3）系统的哈密顿算符为()r V p H+=µ

2??2 ，设()r n ?

是归⼀化的束缚态波函数，则有：(

)n n n n r V r p µ=212?2 ？

（五）20分碱⾦属原⼦处在z ⽅向的外磁场B 中，微扰哈密顿为Bls

H H H 1+= ，其中S L dr dV r c H ls ??=12122µ ，()

Z Z B S L c eB H 22+=µ ， 当外磁场很弱时，那些⼒学量算符是运动积分（守恒量），应取什么样的零级近似波函数，能使微扰计算⽐较简单，为什么？ 注： ()()()()?θπim ml

lm e m l m l l Y P cos !!412+-

+=()x x P =1；()()2/12111xx P -=；()()x x x P 2/121213-=()()222

13x x P -= 南京⼤学1999年硕⼠研究⽣考试试题——量⼦⼒学专业: 理论物理、粒⼦物理与原⼦核物理 (20分)⼀、 t ＝0时，粒⼦的状态为][sin)(2

kx A x =φ，求此时动量的可能测值和相应的⼏率，并计算动量的平均值。

⼆、粒⼦被约束在半径为 r 的圆周上运动

(20分) (a) 设⽴“路障”进⼀步粒⼦在00φφ<<的⼀段圆弧上运动：<<∞<<=)2()0(0)(00πφφφφφV

求解粒⼦的能量本征值和本征函数。

(10分) (b) 设粒⼦处在情形(a)的基态，求突然撤去“路障”后，粒⼦仍然处于最低能量态的⼏率是多少?

(20分)三、边长为 a 的刚性⽴⽅势箱中的电⼦，具有能量2223ma

π，如微扰哈密顿bxy H =1，

试求对能量的⼀级修正(式中b 为常数)。

(15分) 四、对⾃旋为1／2的粒⼦，S y 和 S z 是⾃旋⾓动量算符，求AS y +BS z 的本征函数和本征值(A 和B 是实常数)。

(15分) 五、已知t=0时，⼀维⾃由粒⼦波函数在坐标表象和动量表象的表⽰分别是)/exp()exp()(02

h x ip x Nx x α?-=； ])(exp[)()(200p p b p p c p ---=φ

式中b c N 、、、α和0p 都是已知实常数．试求t=0和t>0时粒⼦坐标和动量的平均值,00=><=><>>t t p x ，（>表⽰⼒学量算符A ?的平均值）。 *aadx e x axπ4122=-∞

南京⼤学2000年硕⼠研究⽣⼊学考试试题——量⼦⼒学专业:理论物理,凝聚态物理,光学等 ⼀. ⼀维谐振⼦处在22212/1)(x ex απα-=ψ状态,ωαm =, 求:

(1) 势能的平均值(7分) (2) 动能的⼏率分布函数(7分) (3) 动能的平均值(7分) 提⽰:πβ=?+∞∞---dx ei x 2

)(

⼆. 质量为m 的粒⼦在⼀维势场∞=0

0)(V x V a x a x x ><<<00中运动,求,

(1) 决定束缚态能级的⽅程式(15分) (2) ⾄少存在⼀个束缚态的条件(5分)三. 质量为m的粒⼦在⼀维势场?∞=cx x V )(a x ax x <<><0,

0中运动,其中c 是⼩的实常

数，试⽤微扰论求准到c ⼀次⽅的基态能量.(20分) 四. 两个⾃旋2

1的⾮全同粒⼦系的哈密顿量)]2(?)1(?[?S S J H s-=0>J求s

H ?的能量本征值和相应的简并度. (20分) 五．(1) 设氢原⼦处于沿z ⽅向的均匀静磁场B中, 不考虑⾃旋,在弱磁场情形下求n=2能级的情况. (10分)

(2) 如果沿z ⽅向不仅有均匀静磁场B ,还有均匀静电场E, 再⽤微扰论求n=2能级的情况. (9分)提⽰:a

z 3210200-=

南京⼤学2001年硕⼠研究⽣⼊学考试试题———量⼦⼒学专业： 理论物理、、凝聚态物理、光学等⼀、有⼀质量为µ的粒⼦处于长度为a 的⼀维⽆限深势阱中()<<><∞=ax a x x x V 0,0;0,，在t=0时刻，粒⼦的状态由波函数()?<<-><=a x x a Ax a

x x x 0),(;0,0ψ描述。求： （20分）

1. 归⼀化常数A;2. 粒⼦能量的平均值；

3. t=0时刻，粒⼦能量的⼏率分布；

4. ⼈艺t>0时刻的波函数的级数表达式。 提⽰：96145,3,14π=∑=n n

⼆、考虑势能为()?<>=0,00

,0x x V x V 的⼀维系统，其中0V 为正常数。若⼀能量为E 的粒⼦从

-∞=x 处⼊射，其透射系数和反射系数各为多少？考虑E 的所有可能值。（20分）三、有⼀质量为µ的粒⼦，在⼀维谐振⼦势场()2221x x V µω=中运动。在动能µ22pT =的⾮

相对论极限下，基态能ω 21

=E ，基态波函数为()?? - =ψ24102exp x x µωπµω。

考虑T 与p 的关系的相对论修正，计算基态能级的移动E ?⾄21c

阶。（c 为光速）（20分） 四、氯化钠晶体中有些负离⼦空⽳，每个空⽳束缚⼀个电⼦。可将这些电⼦看成束缚在⼀个尺度为晶格常数的三维⽆限深势阱中。晶体处于室温，试粗略地估计被这些电⼦强烈吸收的电磁波的最长的波长。 （20分）提⽰：电⼦质量fm MeV c MeV mc≈=197,511.02

，晶格常数01A a ≈五、考虑⾃旋 21=S 的系统，1． 求算符z

y S B S A T +=的本征值和归⼀化本征波函数；（A 、B 为实常数） 2． 若此时系统正处在T ?的某⼀个本征态上，求此时测量yS ?结果为??

+2 的⼏率。（20分） 南京⼤学2002年硕⼠研究⽣⼊学考试试题———量⼦⼒学⼀、 ⼀维⾃由粒⼦的状态由波函数()kx kx x cos 21sin2+

=ψ描述。求粒⼦的动量平均值和动能平均值。（20分）

⼆、 粒⼦被约束在半径为r 的圆周上运动

1） 设⽴“路障”进⼀步粒⼦在00??<<的⼀段圆弧上运动，即()?<<∞<<=π2,0,000

V ，求解粒⼦的能量本征值和本征函数； 2） 设粒⼦处在上述情形的基态，现突然撤去“路障”，问撤去“路障”后，粒⼦仍然处在最低能量态的⼏率是多少？（20分）提⽰：在柱坐标系下22222211z u

u u u ??+??+

=ρρρρρ 三、 设算符N a a +=且??,1a a +??=??，证明：如果ψ是N ?

的本征函数，对应的本征值为λ，

那么，波函数ψ=ψa ?1也是N ?的本征函数，对应的本征值为1-λ，⽽波函数ψ=ψ+a ?2也是N ?的本征函数，对应的本征值为1+λ。（20分）

四、 ⼀个粒⼦在⼆维⽆限深势阱()?∞<<=elsewhere a

y x x V ,,0,0中运动，设加上微扰xy

H λ=1()a y x <<,0，求基态和第⼀激发态的⼀阶能量修正（20分）五、 若电⼦处于z S ?的本征态，试证在此态中，y S ?取值为2-或2

的⼏率各为2

1。（20分）

南京⼤学2003年硕⼠研究⽣⼊学考试试题——量⼦⼒学专 业: 理论物理,凝聚态物理 ⼀、⼀个质量为µ的粒⼦处于⼀维谐振⼦势()2212Vx x µω=

中运动，ω为谐振⼦的本征振动频率。如果0t =时，该粒⼦处于态()()()02,0x x c x ψψ=

+，其中()0x ψ和()

2x ψ分别为⼀维谐振⼦的基态和第⼆激发态的能量本征波函数，c 为待定常数且0c >。 1） 根据归⼀化条件，求待定常数c ；（5分） 2） 求t 时刻粒⼦所处的状态(),x t ψ；

（5分） 3） 求测量粒⼦的能量所能得到的可能值和测到这些值的⼏率； （10分） 4） 求粒⼦能量的平均值； （5分）5） 若在t τ=时刻，粒⼦所处的势场突然变为()'2213V

x x µω=，求粒⼦在τ时刻处于新的势场 ()'V

x 的第⼀激发态的⼏率。 （5分）

⼆、⼀根长为l 的⽆质量的绳⼦⼀端固定，另⼀端系质点m 。在重⼒作⽤下，质点在竖直平⾯内摆动，

1） 写出质点运动的哈密顿量； （10分） 2） 在⼩⾓近似下求系统的能级；（10分）

3） 求由于⼩⾓近似的误差⽽产⽣的基态能量的最低阶修正。 （10分）

提⽰：质量为m ，本征频率为ω的⼀维谐振⼦的基态波函数为()2201exp 2x C x ψα??=- ，其中C

是归⼀化常数，α=；()2

exp x dx +∞-∞-=

三、质量为µ的粒⼦从左向右作⼀维运动，穿越了⼀个宽度为a ，⾼度为0V 的⼀维势垒()00 ||/2||/2

x a V x V x a >?=?。试求发⽣共振透射（即透射系数为1）的条件。（30分）

四、两个⾃旋为1/2的粒⼦组成的系统由哈密顿量()1212zz H A S S BS S =++描述，其中1S 和

分别是两个粒⼦的⾃旋，⽽1z S 和2z S 则分别是这两个粒⼦⾃旋的z 分量，A 和B 是实常数。求该哈密顿量的所有能级。（30分）

五、⼀个质量为µ，带电荷为q 的粒⼦，束缚在宽度为a 的⼀维⽆限深势阱()0 ||/2

||/2x a V x x a ?中运动。如果在⼊射光的照射下，该粒⼦能在不同能级间发⽣偶极辐射跃迁，求跃迁的选择规则。（30分）

六、两个粒⼦被束缚在⼀个边长为a b c >>的长⽅体盒⼦中运动，粒⼦间的相互作⽤势能为()()1212,V x x A x x δ=- 可以作为微扰，其中1x 和2x

分别为两个粒⼦的坐标，A 为实常数。分别就以下两种情形求体系的最低能量态的能量，要求准⾄A 的⼀次⽅。 1） 两个粒⼦为⾃旋为零的全同玻⾊⼦；（15分）

2） 两个粒⼦为⾃旋为1/2的全同费⽶⼦，且这两个粒⼦的⾃旋平⾏(即总⾃旋为1)。（15

分）

南京⼤学2004年硕⼠研究⽣⼊学考试试题——量⼦⼒学⼀、已知电⼦质量为µ，电⼦电量为(-e)，回答以下问题：

1) ⼀个电⼦被在宽度为a 的⼀维⽆限深势阱中运动，请写出该体系的能级公式；（5分） 2) 五个电⼦被在宽度为a 的⼀维⽆限深势阱中运动，不考虑电⼦和电⼦之间的库仑相

互作⽤，请写出该体系的基态和第⼀激发态的能级公式。（10分） 3) ⼀个电⼦处于⼀维谐振⼦势场2221

x µω中运动，其中ω是谐振⼦的本征园频率，x 是电⼦的坐标，请写出该体系的能级公式。（5分）

4) 如果电⼦在上题中的⼀维谐振⼦势场中运动，并且假定电⼦恰好处在某个能量本征态上，求电⼦的坐标和动量的平均值，这些平均值随时间变化么？（10分）

5) 请写出氢原⼦体系的能级公式和电⼦的基态波函数，这⾥假定原⼦核是不动的；（10分） 6) 假定氢原⼦处于基态，求电⼦势能re2-的平均值，其中r 是电⼦的径向坐标。（10分）

⼆、假定电⼦的波函数在球坐标体系下写为：)()cos sin (),,(r g er i θθ?θψ?+=，其中)

(r g 仅是径向坐标r 的函数。1）求⾓动量平⽅2?L 的可能测量值和相应的⼏率；（10分）2）求⾓动量的z 分量z

L ?的可能测量值和平均值。（10分） 三、S 代表电⼦的⾃旋算符，)cos ,sin sin ,cos (sin θ?θ?θ=n 为从原点指向单位球⾯上),(?θ⽅向上的单位向量，其中θ是纬度，?是经度。1) 在),(2

z S S 表象下求⾃旋S 在n ⽅向上的投影S n S n ?=的本征值和相应的本征波函数。（10分）

2) 假定电⼦处于n S 的某个本征态，那么测量z S 会得到哪些数值，相应的⼏率是多少，测量z S 的平均值⼜是多少？（10分）

四、⼀个质量为m ，⽆电荷但⾃旋为1/2，磁矩为s02µµ-=的粒⼦在⼀维⽆限深势阱>∞+<=L x L

x x V ; ;0)(中运动，其中0µ和L 是正常数，x 是粒⼦的坐标，s 是粒⼦的⾃旋算符。现在考虑在0x 的半空间

有⼀同样⼤⼩但沿x ⽅向的均匀磁场。在弱磁场极限下⽤微扰论找出体系基态的能级和波函数，并指出B 能作为弱磁场处理的具体条件。（微扰只须计算到最低阶，⾃选空间的波函数在Pauli 表象下写出。）（30分）

五、⼀个质量为m 的⽆⾃旋的粒⼦在三维情形下与⼀个球对称势)()(a r C r V --=δ作⽤，其中C ，a 为正常数，r 是径向坐标，为了保证该体系⾄少有⼀个束缚态存在，试问C 的值最⼩可以取多少？ （30分）六、⼀个质量为m 的⽆⾃旋的粒⼦受到中⼼势)/(cosh 1)(222a r mar V-=的散射，其中a 是常数。已知⽅程0cosh22222=++y xy k dx

y d 有解)(tanh ik x ey ikx

±=，在低能极限下，求粒⼦

能量为E 时，s 分波的散射截⾯及其⾓分布。（30分）南京⼤学2005年硕⼠研究⽣⼊学考试试题——量⼦⼒学⼀、问答题

1、试述量⼦态的叠加原理。（5分）

讨论⾃由粒⼦的波函数是否⼀定是平⾯波？问什么？（5分） 2、为什么波函数),(t x ψ必定是复数？（5分）

⼀维定态薛定谔⽅程的解)(x ψ是否也必定是复数？（5分） 3、以下的波函数是否代表同⼀个量⼦态，并说明为什么：),(t x ψ和),(t x e i ψ?

，其中?是实常数；（5分） （2）、),(t x ψ和),()(t x ez i ψ?，其中)(x ?是实函数。（5分）4、为什么⼒学量算符A

应是线性厄⽶算符？（10分） 5、为什么全同粒⼦的波函数对于粒⼦的交换应是对称或反对称的？（10分）⼆、质量为µ的粒⼦在⼀维⽆穷深势阱中运动，><=ax a x x V ;1 ;0)(

其中a 是正实数，求解定态薛定谔⽅程。（20分）

1）、 （三、质量为µ的粒⼦在⼀维势场中运动，势能为：??<∞>=0 x ; 0x ;21)(22x x V µω ，

其中x>0区)(x V 为谐振⼦势能，求解基态的能量和归⼀化的波函数。（20分）

四、设质⼦是半径为R 的薄球壳，其电荷e 均匀分布在球壳表⾯上。对于氢原⼦，以电⼦所受势能偏离质⼦为点粒⼦模型时的值为微扰，求氢原⼦第⼀激发态能量的⼀级修正)1(2E （积分公式列出后不必计算）。（20分）五、中⼦有内禀磁矩：S Mc

e g M ?? -=，其中g=1.9，M 为中⼦质量。当⾃旋在z ⽅向向上极化的中⼦束，沿x 轴作⼀维运动时，在x<0区没有磁场⽽在x>0区域存在恒定磁场B ，其⽅向沿z ⽅向。若能量McB e g

E 2 >，求解中⼦的⼀维散射运动。（20分）六、求两个关在⼀维⽆穷深势阱?><∞<<=a x a

x x V 0, x ;0 ;0)(（a 为正常数）

中，并以接触势)1( )(),(2121<<-=d x x d x x U δ相互作⽤的全同中⼦系统的零级近似归⼀化波函数（考虑⾃旋态），并以接触势为微扰，求准到⼀次⽅的基态能量。（20分）南京⼤学1998年硕⼠研究⽣考试试题——量⼦⼒学(⼀) 20分 有半壁⽆限⾼势垒的⼀维阱 ()ax a x x V x V ><<∞=000

在0V E <的情形下，该系统是否总存在⼀个束缚态？如果回答是否定的，那么系统中⾄少有⼀个束缚态的存在的充要条件是什么？

（⼆）20分 ⼀个取向⽤⾓坐标θ和?确定的转⼦，作受碍转动，⽤下述哈密顿量描述：()?2c os ??22 B L A H

+=，式中A 和B 均为常数，且B A >>，2?L

是⾓动量平⽅算符，试⽤⼀级微扰论计算系统的p 能级（1=l ）的，并标出微扰后的零级近似波函数。（三）20分求在⼀维⽆限深势阱中，处于()x n ψ态时的粒⼦的动量分布⼏率()2p n φ 。

（四）20分 试判断下列诸等式的正误，如果等式不能成⽴，试写出正确的结果： （1）i j x i p jx i pe

ee2

1-?+???=? ？式中i ?和j ?分别是x 和y ⽅向的单位⽮量。（2）()[])(,?'x f pip x f p px x x x = ？式中xi p x ??= ? ，

（3）系统的哈密顿算符为()r V p H+=µ

2??2 ，设()r n ?

是归⼀化的束缚态波函数，则有：(

)n n n n r V r p µ=212?2 ？

（五）20分碱⾦属原⼦处在z ⽅向的外磁场B 中，微扰哈密顿为Bls

H H H 1+= ，其中S L dr dV r c H ls ??=12122µ ，()

Z Z B S L c eB H 22+=µ ， 当外磁场很弱时，那些⼒学量算符是运动积分（守恒量），应取什么样的零级近似波函数，能使微扰计算⽐较简单，为什么？ 注： ()()()()?θπim ml

lm e m l m l l Y P cos !

!412+-+=()x x P =1；()()2/12111xx P -=；()()x x x P 2/121213-=()()22213x x P -=

南京⼤学1999年硕⼠研究⽣考试试题——量⼦⼒学专业: 理论物理、粒⼦物理与原⼦核物理 (20分)⼀、 t ＝0时，粒⼦的状态为][sin)(2

kx A x =φ，求此时动量的可能测值和相应的⼏率，并计算动量的平均值。

⼆、粒⼦被约束在半径为 r 的圆周上运动

(20分) (a) 设⽴“路障”进⼀步粒⼦在00φφ<<的⼀段圆弧上运动：<<∞<<=)2()0(0)(00πφφφφφV

求解粒⼦的能量本征值和本征函数。

(10分) (b) 设粒⼦处在情形(a)的基态，求突然撤去“路障”后，粒⼦仍然处于最低能量态的⼏率是多少?

(20分)三、边长为 a 的刚性⽴⽅势箱中的电⼦，具有能量2

223ma

π，如微扰哈密顿bxy H =1，

试求对能量的⼀级修正(式中b 为常数)。

(15分) 四、对⾃旋为1／2的粒⼦，S y 和 S z 是⾃旋⾓动量算符，求AS y +BS z 的本征函数和本征值(A 和B 是实常数)。

(15分) 五、已知t=0时，⼀维⾃由粒⼦波函数在坐标表象和动量表象的表⽰分别是)/exp()exp()(02

h x ip x Nx x α?-=； ])(exp[)()(200p p b p p c p ---=φ

式中b c N 、、、α和0p 都是已知实常数．试求t=0和t>0时粒⼦坐标和动量的平均值,00=><=><>>t t p x ，（>表⽰⼒学量算符A ?的平均值）。 *aadx e x axπ4122=-∞

南京⼤学2000年硕⼠研究⽣⼊学考试试题——量⼦⼒学专业:理论物理,凝聚态物理,光学等 五. ⼀维谐振⼦处在22212/1)(x ex απα-=ψ状态,ωαm =, 求:

(1) 势能的平均值(7分)

(2) 动能的⼏率分布函数(7分) (3) 动能的平均值(7分)提⽰:π

β=?+∞∞---dx ei x 2)(

六. 质量为m 的粒⼦在⼀维势场∞=0

0)(V x V a x a x x ><<<00中运动,求,

(1) 决定束缚态能级的⽅程式(15分) (2) ⾄少存在⼀个束缚态的条件(5分)七. 质量为m的粒⼦在⼀维势场?

∞=cx x V )(a x a x x <<><0,0中运动,其中c 是⼩的实常

数，试⽤微扰论求准到c ⼀次⽅的基态能量.(20分) ⼋. 两个⾃旋2

1的⾮全同粒⼦系的哈密顿量)]

2(?)1(?[?S S J H s ?-=0>J求s

H ?的能量本征值和相应的简并度. (20分) 五．(1) 设氢原⼦处于沿z ⽅向的均匀静磁场B中, 不考虑⾃旋,在弱磁场情形下求n=2能级的情况. (10分)

(2) 如果沿z ⽅向不仅有均匀静磁场B ,还有均匀静电场E, 再⽤微扰论求n=2能级的情况. (9分)提⽰:a

z 3210200-=

南京⼤学2001年硕⼠研究⽣⼊学考试试题———量⼦⼒学专业： 理论物理、、凝聚态物理、光学等⼀、有⼀质量为µ的粒⼦处于长度为a 的⼀维⽆限深势阱中()<<><∞=a x a x x x V 0,0;0,，在t=0

时刻，粒⼦的状态由波函数()??<<-><=a

x x a Ax a x x x 0),(;0,0ψ描述。求： （20分）5. 归⼀化常数A;6. 粒⼦能量的平均值；

7. t=0时刻，粒⼦能量的⼏率分布； 8. ⼈艺t>0时刻的波函数的级数表达式。 提⽰：96145,3,14π=∑=n n