空间向量与立体几何(基础)

考情分析：在建立恰当的空间直角坐标系的基础上，利用空间坐标、空间向量表示点、线，把立体几何问题转化为向量问题是高考试题的重点题型，复习时要熟练建立空间直角坐标系，正确表示点、向量的坐标，加强向量数量积的运算．用向量法求线线角、线面角是立体几何的常见题型，是高考的热点问题，利用向量法求解直线和平面所成角时，关键点是恰当建立空间直角坐标系，确定斜线的方向向量和平面的法向量．高考中，二面角问题是各种角度问题中出现频率最高的，考查模式大致有两类：①直接求二面角的大小(或其正弦值、余弦值、正切值)；②已知二面角的大小，求相关的量或参数值(如体积、长度、直线与平面所成的角等)．涉及二面角时，若易建立空简直角坐标系，则一般用向量法解决，高考中以“平行、垂直、距离和角”为背景的存在性问题或创新型试题多次呈现，复习中应加强题目中涉及的点具有运动性和不确定性的分析和研究，此种题若用传统的方法比较困难，一般用空间向量的方法解决，通过待定系数法求解．

运用空间向量解决立体几何问题的步骤

考法提炼：(1)建系：根据题中的几何图形的特征建立适当的空间直角坐标系； (2)定坐标：确定点的坐标进而求出有关向量的坐标； (3)向量运算：进行相关的空间向量的运算；

(4)翻译：将向量中的语言“翻译”成相应的立体几何中的语言，完成几何问题的求解．注意：在建立空间直角坐标系求点的坐标时，要使尽可能多的点落在坐标轴上，尽可能多的线段平行于坐标轴，有直角的，把直角边放在坐标轴上．

1．空间向量的坐标运算

(1)设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则 ①a±b＝(a1±b1，a2±b2，a3±b3)； ②λa＝(λa1，λa2，λa3)(λ∈R)； ③a·b＝a1b1＋a2b2＋a3b3； ④a⊥b⇔a1b1＋a2b2＋a3b3＝0；

⑤a∥b⇔a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3(λ∈R)； ⑥|a|2＝a·a⇒|a|＝

22

a21＋a2＋a3(向量模与向量之间的转化)；

a·b

⑦cos〈a，b〉＝|a||b|＝

a1b1＋a2b2＋a3b3

22a1＋a22＋a3·22

b21＋b2＋b3

. (2)设A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)， →＝(x－x，y－y，z－z)，

则AB212121→|＝|AB

（x2－x1）2＋（y2－y1）2＋（z2－z1）2.

2．直线的方向向量与平面的法向量的确定

(1)找直线的方向向量：在直线上任取一非零向量可作为它的方向向量．

(2)平面的法向量可利用方程组求出：设a，b是平面α内两不共线向量，n为平面α的法向量，则求法a＝0，n·

向量的方程组为

b＝0.n·3．两条异面直线所成的角

ba·

. 设a，b分别是两异面直线l1，l2的方向向量，θ为 l1，l2所成的角，则cos θ＝|a|·|b|4.直线与平面所成的角

设直线l的方向向量为a，平面α的法向量为n，直线l与平面α所成的角为θ，则sin θ＝|cos||a·n|＝|a||n|. 5．二面角

设n1，n2分别为二面角的两个半平面的法向量，其二面角为θ，则θ＝〈n1，n2〉或θ＝π－〈n1，n1·n2

n2〉．其中cos〈n1，n2〉＝|n||n|.

126．点到平面的距离的向量求法

如图，设AB为平面α的一条斜线段，n为平面α的法向量，则点B到平面α的距→·n||AB离d＝|n|.

空间向量与立体几何

1.已知向量a＝(1，0，－1)，则下列向量中与a成60°夹角的是( )

A．(－1，1，0) B．(1，－1，0) C．(0，－1，1) D．(－1，0，1) 2.若直线l的方向向量为a＝(1，0，2)，平面α的法向量为n＝(－2，0，－4)，则( ) A．l∥α B．l⊥α C．l⊂α D．l与α斜交

3.设平面α的一个法向量为n1＝(1，2，－2)，平面β的一个法向量为n2＝(－2，－4，k)，若α∥β，则k＝( D )

A．2 B．－4 C．－2 D．4

4.在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝AA1＝2，AD＝1，E为CC1的中点，则异面直线BC1与AE所成角的余弦值为( )

1030215310A.10 B.10 C.10 D.10 5.已知正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AA1＝2AB，则CD与平面BDC1所成角的正弦值等于( ) 2321A.3 B.3 C.3 D.3 6.已知空间四个点A(1，1，1)，B(－4，0，2)，C(－3，－1，0)，D(－1，0，4)，则直线AD与平面ABC所成的角为________．

7.在平面四边形ABCD中，AB＝BD＝CD＝1，AB⊥BD，CD⊥BD.将△ABD沿BD折起，使得平面ABD⊥平面BCD，如图． (1)求证：AB⊥CD；

(2)若M为AD中点，求直线AD与平面MBC所成角的正弦值．

8. 如图，AB是圆的直径，PA垂直圆所在的平面，C是圆上的点． (1)求证：平面PAC⊥平面PBC；

(2)若AB＝2，AC＝1，PA＝1，求二面角C-PB-A的余弦值．

9.四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为平行四边形，∠DAB＝60°，AB＝2，AD＝1，PD⊥底面ABCD. (1)证明：PA⊥BD；

(2)若PD＝AD，求二面角A-PB-C的余弦值．

10.四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点，AP＝AB＝1，AD＝2，

(1)证明：PB∥平面AEC； (2)求二面角E-AC-Ｄ的余弦值； (3)求三棱锥E­ACD的体积．