数理化研究ｉ．－【关注】 空间向量与立体几何 ●吴元芬 摘要： 文抓住空间向量与立体几何的相关性，以丰富的实 ２．在正方体ＡＢＣ［）＿一Ａ，Ｂ Ｃ，Ｄ，中，Ｅ为棱ＣＣ，的中点。求截面 Ａ，ＢＤ与截面ＥＢＤ所成二面角度数。 分析：先以二面角的概念为指导。作出二面角的平面角来（如 图示），联结ＡＣ交ＢＤ于Ｏ，联结ＯＥ，ＯＡ，，即ＬＡ ＯＥ就是二面 角Ａ 一８Ｄ—Ｅ的平面角。再按１题的方法去解。即可求得二面角 的度数为９０。。 · 。 例详尽分析讲解了利用空间向量解决立体几何中的有关空问铺、 距离、垂直等三大方面的应用问题，时于拓宽教学思路和提高教学 质量具有一定的借鉴作用 关键词：空间向量；立体几何；空间角；距离；垂直 向量是一个融大小和方向于一体的量．空间向量是平面向量 的推广，较好地完善了向量的知识体系，空间向量具有两大特 性——知识性和工具性。立体几何是平面的推广和发展。以向量为 Ｉ｝ － 卢 工具，渗透在立体几何中，可以为立体几何的许多问题提供新颖、 简捷的解法。就如何用空间向量解决立体几何的空间角、距离、垂 直的具体应用问题。现浅析如下。 一＼ ３．如图：已知二面角ａ—Ｉ—Ｂ为１２０。，Ａ、ＢＥＩ．ＡＣＣａ，ＡＣ上Ｉ 、用空间向量解决立体几何中空间角的问题 ＢＤＣ Ｂ，ＢＤ１ＬＩ。ＡＢ＝６，ＡＣ＝２，ＢＤ＝４．求直线ＣＤ与ｐ所成的角。 空间角是指两条异面直线所成的角、直线与平面所成的角、二 解：建立如图坐标系Ａ—ｘｙｚ．则Ｃ｛一１，０，、／ ），Ｄ（４，６，０） ＝面角的总称．融向量于空间角中有时会起到意想不到的效果。 １ 已知Ｍ，Ｎ分别是正方体ＡＢＣ［）＿一Ａ ８ Ｃ，Ｄ 的棱ＢＢ 和 Ｂ，Ｃ 的中点，求ＭＮ与ＣＤ，所成的角。 解：不妨设正方体的边长为１，建立如图空间直角坐标系Ｄ— ｘｙｚ，则ｃ（ｏ，１。０），Ｄ１（０，０，１）。Ｍ（１。１， ），Ｎ（ １１，１）。 ，一（５．６，一、／ 一）．设平面ｐ的一个法向量ａ：（Ｏ，０。１）。 ．·．ｃｏｓ（ ＝］ ．＝一孚。 ＝（０。 ·．ＣＤ与平面ｐ所成角的大小为ａｒｃｃｏｓ Ｖｎ３。 １，１）， 耐：（一 １，０， １）。 通过上例可以知道用空间向量求空间角时。用到公式ＣＯＳ＜ ·．‘ · ＝（ｏ，一１，１】．（一 １，０， １）＝｝ １ ＋ ．’ ｊ， ＞＝Ｔ 去解决，在立体几何直观图中合理构建空间坐标 Ｉａ１ Ｉ ６ｌ ｃ。ｓｃ耐， ＝１高 、 ’一 ２ ＿１２ 系是关键。它是完成从几何问题向代数问题转化的基础。 二、用空间向量解决立体几何中有关距离的问题 ＜ ．丽 ＞：６０。。 空间的距离共有７种：两点间距离，点到直线距离、两平行直 线距离、点到平面距离、直线到与它平行平面的距离、两个平行平 面的距离、两异面直线的距离。下就空间向量在立体几何中距离的 应用举几个例。 １．已知线段ＡＢＣａ，ＢＤｃ ａ．ＢＤ上ＡＢ，ＡＣ－Ｌ ｄ．ＡＢ＝ａ。ＢＤ＝ｂ， 用以对数学问题的认识、处理和解决。数学方法是数学思想的具体 体现，具有模式化与可操作性的特征，可以作为解题的具体手段。 只有对数学思想与方法概括了，才能在分析和解决问题时得心应 手；只有领悟了数学思想与方法，书本的、别人的知识技巧才会变 成自己的能力。 最有意义的阶段。 解题教学的目的并不单纯为了求得问题的结果，真正的目的 是为了提高学生分析和解决问题的能力，培养学生的创造精神。而 这一教学目的恰恰主要通过回顾解题的教学来实现。所以，在数学 教学中要十分重视解题的回顾，与学生一起对解题的结果和解法 ２．加强应用题的教学，提高学生的模式识别能力 高考是注重能力的考试，特别是学生运用数学知识和方法分 析问题和解决问题的能力，更是考查的重点，而高考中的应用题就 着重考查这方面的能力．这从新课程版的《考试说明》与原来的《考 试说明》中对能力的要求的区别可见一斑（新课程版将“分析和解 决问题的能力”改为“解决实际问题的能力”）。 ３重视解题的回顾 进行细致地分析。对解题的主要思想、关键因素和同一类型问题的 解法进行概括，可以帮助学生从解题中总结出数学的基本思想和 方法，并将它们用到新的问题中去．成为以后分析和解决问题的有 力武器。 参考文献： ［１］筒洪权．高中数算能力的组成及培养策略［Ｊ］．中学数学教学 参考。２０００． 在数学解题过程中。解决问题以后。再回过头来对自己的解题 活动加以回顾与探讨、分析与研究，是非常必要的一个环节。这是 数学解题过程的最后阶段，也是对提高学生分析和解决问题能力 ［２］张卫国．例谈高考应用题对能力的考查［Ｊ］．中学数学研究．２００１． （簏ＩＩＩ旧际实验学校） ４８·－２Ｏ０９。１０ 【关注】 ｌ数理化研究ｌ ＡＣ＝Ｃ，求Ｃ，Ｄ问的距离。 １．已知平行六面体ＡＢＣ［）＿一Ａ Ｂ Ｃ，Ｄ 中，底面是正方形。且 解：由向量多边形法则可得： Ａ，ＡＤ＝Ｚ＿Ａ，ＡＢ，求证：ＡＡ －ＬＢＤ。 证明： ·．·－ｃＧ： ＋ ＋蔚． ·．·ＡＢ上ＢＤ．ＡＣｊ ａ 宙：￣＇＋Ａ－Ｇ，Ｊ Ｉ：ｌＫＧ＂Ｉ ，－ＡＧ ：丌一 ， ．．．蔚． ：０． ．－Ａｄ＂：０．－ＡＣ＊·蔚：Ｏ ｃ ·．．Ｉ－ＣＧｌ ＝（Ｇ＇＋Ａ￣＋Ｂ－Ｇｙ＝ａ ＋ｂｚ＋ｃ 、 即１ｅ Ｉ＿￣／ａ％ｂ。＋ｃ 。 ２．已知一空间四边形ＯＡＢＣ各边及对角线长都是１，求点Ｏ 到平面ＡＢＣ的距离 分析：先以点到平面的距离概念为指导，作出表示有关距离的 、 缎 量 帐 【Ｊ 解：设 ＝ － ＝ ，－Ｏｄ－＝ ＝， ， ． ＝ ＝ ＜ａ．ｂ＞＝＜ｂ。Ｃ＞＝＜ｃ，ａ＞６０。。 Ｉ、 Ｉ１ ＿＿． １ｉ＝Ｉ ｌ＝ｌ ｌ：１。 Ｂ ．０在面ＡＢＣ的射影Ｈ是ＡＡＢＣ的中心，ＯＨ的长度是点Ｏ ．．秤 ｃ ，而 ＝ 矗毋： ｃ 为 。 ３已知正方体ＡＢＣ［）－一Ａ，Ｂ Ｃ，Ｄ 的棱长为ａ，Ｍ是棱ＡＡ 的 中点，Ｏ是对角线ＢＤ，的中点，求异面直线ＡＡ 和ＢＤ 的距离。 分析：先证ＯＭ是异面直线ＡＡ 和ＢＤ 的公垂线。再去求ＯＭ 的长度，前后整过程都可构造空间直角坐标系去解决。 啦如随角 则 ’。 。 ’。’ ● Ｍ（ａ，０－ａ２）·０（ ，ａ＿量）·Ａ（ａ，０，ｏ），Ａ （ａ，Ｏ，ａ）． ＢＤｔ＝（一ａ，一ａ．ａ）， ＝（０，０，ａ），石 ＝（一ａｉ，昙，０）。 ·．．耐· ＝（－ａ．一ａＩａ）．（一 ａ，ｏ）：０． · ：（ｏ．０． ａ）·（一 ，＿ａ＾．ｏ）＝０。 ’．．ＢＤ１上ＯＭ，ＡＡ１ｊ－ＯＭ。 因此ＯＭ是异面直线ＡＡ 和ＢＤ 的距离，且ｉ－Ｏ－Ｍ＇ｌ＝ １ｖ／（一；ｌ ＝ｖ２２ ａ。 以向量为工具，解决空间距离问题，避开了立体几何中的相关 知识体系。对于距离问题主要用到公式Ｉａｌ ＝ ·童。把其转化成向量 问的运算，从而达到解题目的。 三、用空间向量去解决立体几何中有关垂直问题 空间垂直包括：线线垂直、线面垂直、面面垂直．这三种垂直关 系可化归为线线垂直去解决，有关垂直问题一旦引入向量相关知 识，会变得十分简单。 ．．．． ：上Ｂ－ＢＧ： Ｄ。… …… “（ ＋ ）： ． …”。＋ ． ：０ ２．已知如图正三棱柱ＡＢＣ—＿Ａ Ｂ，Ｃ 的侧棱长为２。底面边长 为１，Ｍ是ＢＣ中点，在直线ＣＣ 上求一点Ｎ。使ＭＮＩＡＢ 。 分析：这是一道执果索因的类型题目，可根据给出空间直观 ’ 呲舶 解：沿ＡＢ，ＡＣ，ＡＡ１射线方向分别取单位向量ｉ，ｊ，ｋ， 设可 ＝ ｋ， 则 ：ｉ＋２ ， ： １（ｊ— ）＋ 由 ．丽 ：（ ＋２Ｋ）·（～１ ＋１ ＋ ）：０ …１，、一 吾Ｏ ▲ 从上例可以看到，用空间向量解决立体几何中有关垂直问题 主要用到公式ａ·ｂ＝０ｃ￣．ａ上ｂ，空间向量可使立体几何中的证明垂 直问题有规律可循。有法可用。化难为易。 通过空间向量的知识性和工具性的教学，可提高学生解决 立体几何问的灵活性．增强学生分析问题的能力。开阔了学生 解决立体几何问题的视野．作为运算工具，引入空间向量，它为 立体几何代数带来了极大的方便。由上可看出空间向量的应用 价值，激发了学生学习向量的兴趣，从而达到提高探索和创新 能力的目的。 参考文献： ［１］陈江辉．三角函数与平面向量千题巧解［Ｈ］．长春：长春出皈社． ２ｏｏ７． ［２］周子君．空间向量在角和距离求解中的运用［Ｊ］．数学通报。２００３． ［３］魏廷祥．空间向量在求角与距离中的应用［Ｊ］．青海教育，２００５． ［４］钟山．空间向量与立体几何［Ｈ］．北京：现代教育出版社。２００８． ［５］孙妍 王芳．应用数学基础［Ｍ］．北京：化学工业出版社，２００８． （茂 职业技术学院） ２００９．１０·◆４９
