浅谈解析几何中的点差法

高二（七班）第一学习小组 易正贵整理 2013年5月

解析几何在高考中占有重要地位，一般放在试题倒数第二题，有时也成为压轴题。在高考中，绝大多数学生只能完成第1问，第2问，因计算量大而难无法完成。在平时学习及复习过程中，要让自己真正理解解析几何中的最优解法与算法，这样在考试中才能作出正确的、最优的解法选择，这样才能事半功倍。下面谈谈 什么是“点差法”？什么情况下用“点差法”？

若设直线与圆锥曲线的交点（弦的端点）坐标为M(x1,y1)、N(x2,y2)，将这两点代入圆锥曲线的方程并对所得两式作差，得到一个与弦MN的中点和斜率有关的式子，可以大大减少运算量。我们称这种代点作差的方法为“点差法”。

二次曲线mxny1上两点M,N，设M(x1,y1),N(x2,y2),MN的中点Q(x0,y0)，

22MN的斜率为k。

22mx1ny11(1)由（1）－（2）得，m(x1x2)(x1x2)n(y1y2)(y1y2)0 22mx2ny21(2)又∵x1x22x0,y1y22y0,y1y2k(x1x2)

x1x2∴mx0nky00 这一等式建立了二次曲线弦的斜率与弦的中点坐标之间关系式。 ．．．．．．．．．．．即已知弦的中点，可求弦的斜率；已知斜率，可求弦的中点坐标。同时也告诉我们当题目问题涉及到弦的斜率与弦的中点在一起时，就要想到“点差法”。 一、 以定点为中点的弦所在直线的方程

例1、已知抛物线y4x，过点P(3,4)的直线l交抛物线于A、B两点且点P平分AB，求直线l的方程。

分析：此题涉及到弦AB的斜率及弦AB的中点坐标，故采用“点差法”。

241y14x1(y1y2)(y1y2)4(x1x2)kAB 解：设A(x1,y1),B(x2,y2),则282y24x22从而直线l的方程为x2y50

x2y21内一点M(2,1)引一条弦，使弦被M点平分，求这条弦所在直线的方练习1、过椭圆

1程。

2、已知ABC的三个顶点都在抛物线y32x上，其中A2,8，且ABC的重心

2G是抛物线的焦点，求直线BC的方程.

二、 过定点的弦和平行弦的中点坐标和中点轨迹

x2y21，直线l过点P（1,1）交椭圆C于A、B两点，求AB中点例2、已知椭圆C：43M的轨迹方程。

分析：此题涉及到弦AB的中点坐标，且弦的斜率等于MP的斜率。故采用“点差法”。 解：设A(x1,y1),B(x2,y2),M(x,y)，则

223x14y1123(x1x2)(x1x2)4(y1y2)(y1y2)0 223x4y2123x4y•y1y2y103x4y•03x(x1)4y(y1)0

x1x2x1∵点P在椭圆内部，直线l与椭圆恒有两个交点，∴点M的轨迹方程为：

3x(x1)4y(y1)0

三、圆锥曲线上两点关于某直线对称问题

x2y21，试确定的m取值范围，使得对于直线y4xm，椭圆上总有不例3、已知椭圆43同的两点关于该直线对称。

解：设P1(x1,y1)，P2(x2,y2)为椭圆上关于直线y4xm的对称两点，P(x,y)为弦P1P2的中

点，则3x14y112，3x24y212两式相减得，3(x1x2)4(y1y2)0 即3(x1x2)(x1x2)4(y1y2)(y1y2)0

22222222x1x22x，y1y22y，

y1y21

x1x24y3x 这就是弦P1P2中点P轨迹方程。

它与直线y4xm的交点必须在椭圆内

联立y3xxm3，得 则必须满足y23x2，

4y4xmy3m21321332m m，解得131342即(3m)23练习、若抛物线C:yx上存在不同的两点关于直线l:ymx3对称，求实数

m的取值范围.

四、证明定值问题

例4

x2y2已知AB是椭圆221ab0不垂直于x轴的任意一条弦，P是

abAB的中点，O为椭圆的中心.求证：直线AB和直线OP的斜率之积是定值.

证明

设Ax1,y1,Bx2,y2且x1x2，

x12y12x22y22则221，（1）221，（2） ababx12x22y12y2212得：22，

abb2x1x2b2x1x2y1y2y1y2，kAB. 22x1x2x1x2ay1y2ay1y2又kOPy1y2b2b21，kAB2，kABkOP2（定值）. x1x2aakOP五、求参数的取值范围

例5、（稳派2013年5月高二年级模底考试理科第20题）

x2y25如图，在RtDEF中，DEF90,|EF|2,|EFED|，椭圆C：221，

2ab以E、F为焦点且过点D，点O为坐标原点。

（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；

（Ⅱ）若点K满足OK1ED.，问是否存在不平行于EF的直线l与椭圆C交于不同的两3点M、N且|MK||NK|，若存在，求出直线l的斜率的取值范围，若不存在，说明理由。

x2y211，K(0,) 解：（Ⅰ）略： 432（Ⅱ）分析：∵|MK||NK|，

设MN的中点为H，则KHMN，此条件

涉及到弦MN的中点及弦MN的斜率，故用“点差法” 设M(x1,y1),N(x2,y2),H(x0,y0)，直线l的斜率为k（k0)， y D E O F x 则3x14y112① 3x24y212② 由①－②得：

22223(x1x2)(x1x2)4(y1y2)(y1y2)03x04y0k0 又∵|MK||NK|，则

KHMN，∴

22y012•k1，从而解得x2k,y3，点H(x,y)在椭圆内，则

0000x02x0y11101k2k且k0 43422