2019年普通高等学校招生全国统一考试(山东卷)理科数学

卷) 理科数学

1.(2019山东,理1)若复数z满足2z+ =3-2i,其中i为虚数单位,则z=( )

A.1+2i

B.1-2i

C.-1+2i

D.-1-2i

答案B 设z=a+bi(a,b∈R),则2z+ =3a+bi=3-2i,故a=1,b=-2,则z=1-2i,选B. 注意共轭复数的概念. 2.(2019山东,理2)设集合A={y|y=2x,x∈R},B={x|x2-1<0},则A∪B=( ) A.(-1,1) C.(-1,+∞)

B.(0,1) D.(0,+∞)

答案C A={y|y>0},B={x|-1-1},选C. 本题涉及求函数值域、解不等式以及集合的运算. 3.(2019山东,理3)

某高校调查了200名学生每周的自习时间(单位:小时),制成了如图所示的频率分布直方图,其中自习时间的范围是[17.5,30],样本数据分组为[17.5,20),[20,22.5),[22.5,25),[25,27.5),[27.5,30].根据直方图,这200名学生中每周的自习时间不少于22.5小时的人数是( ) A.56

200×0.7=140,选D.

4.(2019山东,理4)若变量x,y满足 - 则x2+y2的最大值是( )

A.4

B.9

C.10

D.12

B.60

C.120

D.140

答案D 自习时间不少于22.5小时为后三组,其频率和 为(0.16+0.08+0.04)×2.5=0.7,故人数为

答案C 如图,不等式组表示的可行域是以A(0,-3),B(0,2),C(3,-1)为顶点的三角形区域,x2+y2表示点(x,y)到原点距离的平方 ,最大值必在顶点处取到,经验证最大值|OC|2=10,故选C.

1

5.(2019山东,理5)一个由半球和四棱锥组成的几何体,其三视图如下图所示.则该几何体的体积为( )

A C

B D.1+

答案C 由三视图可知,上面是半径为 的半球 ,体积为1,高为1的四棱锥 ,体积V2= 1×1=,故选C.

V1=

,下面是底面积为

6.(2019山东,理6)已知直线a,b分别在两个不同的平面α,β内.则“直线a和直线b相交”是“平面α和平面β相交”的

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 故选A.

7.(2019山东,理7)函数f(x)=( sin x+cos x)( cos x-sin x)的最小正周期是( ) A

( )

D.既不充分也不必要条件

答案A 若直线a与直线b相交,则α,β一定相交,若α,β相交,则a,b可能相交,也可能平行或异面 ,B.π

C

D.2π

答案B f(x)=2sin 2cos =2sin ,故最小正周期T==π,故选B.

8.(2019山东,理8)已知非零向量m,n满足4|m|=3|n|,cos= 若n⊥(tm+n),则实数t的值为( ) A.4

B.-4

C

D.- 2

答案B 由4|m|=3|n|,可设|m|=3k,|n|=4k(k>0),

又n⊥(tm+n),所以n·(tm+n)=n·tm+n·n=t|m|·|n|cos+|n|2=t×3k×4k

+(4k)2=4tk2+16k2=0.所以 t=-4,故选B.

9.(2019山东,理9)已知函数f(x)的定义域为R.当x<0时,f(x)=x3-1;当-1≤x≤1时,f(-x)=-f(x);当x> 时,f =f - ,则f(6)=( ) A.-2

B.-1

C.0

D.2

答案D 当x> 时,f =f - ,所以当x> 时,函数f(x)是周期为1的周期函数 ,所以f(6)=f(1),又因为当-1≤x≤1时,f(-x)=-f(x),所以f(1)=-f(-1)=-[(-1)3-1]=2,故选D.

本题考查了函数的周期性、奇偶性,利用函数性质灵活变换是解 题的关键. 10.(2019山东,理10)若函数y=f(x)的图象上存在两点,使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直,则称y=f(x)具有T性质.下列函数中具有T性质的是( ) A.y=sin x

B.y=ln x

C.y=ex

D.y=x3

答案A 当y=sin x时,y'=cos x,因为cos 0·cos π=-1,所以在函数y=sin x图象存在两点x=0,x=π使条件成立,故A正确;函数y=ln x,y=ex,y=x3的导数值均非负 ,不符合题意,故选A. 本题实质上是检验函数图象上存在两点的导数值乘积等于-1. 11.(2019山东,理11)执行下边的程序框图,若输入的a,b的值分别为0和9,则输出的i的值为 .

答案3 解析第一次循环:a=1,b=8;第二次循环:a=3,b=6;第三次循环:a=6,b=3;满足条件,结束循环,此时,i=3. 循环结构抓住结束点是关键. 12.(2019山东,理12)若 的展开式中x5的系数是-80,则实数a= .

答案-2

3

解析因为

25-r

Tr+1= (ax) 5-r - 5-2 a ,所以由10-=5,解得r=2.因此 a=-80,解得a=-2.

13.已知双曲线E:

=1(a>0,b>0),若矩形

ABCD的四个顶点在E上,AB,CD的中点为E的两个焦

点,且2|AB|=3|BC|,则E的离心率是 . 答案2 解析由双曲线和矩形的对称性可知AB⊥x轴,不妨设A点的横坐标为设

A ,B - ,则|AB|=

c,则由

=1,解得

y=±

,|BC|=2c,由2|AB|=3|BC|,c2=a2+b2得离心率e=2或e=-(舍去),所以

离心率为2.

把涉及的两个线段的长度表示出来是做题的关键. 14.(2019山东,理14)在[-1,1]上随机地取一个数k,则事件“直线y=kx与圆(x-5)2+y2=9相交”发生的概率为 . 答案 解析直线y=kx与圆(x-5)2+y2=9相交,需要满足圆心到直线的距离小于半径, 即d= - -

<3,解得-

15.(2019山东,理15)已知函数f(x)= 其中m>0.若存在实数b,使得关于x的方程

- f(x)=b有三个不同的根,则m的取值范围是 . 答案(3,+∞) 解析

x2-2mx+4m=(x-m)2+4m-m2.由题意画出函数图象为右图时才符合,要满足存在实数b,使得关于x的方程f(x)=b有三个不同的根,应4m-m23,即m的取值范围为(3,+∞). 能够准确画出函数的图象是解决本题的关键. 16.(2019山东,理16)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知2(tan A+tan B)= (1)证明:a+b=2c; (2)求cos C的最小值.

解(1)由题意知2 , 4

化简得2(sin Acos B+sin Bcos A)=sin A+sin B, 即2sin(A+B)=sin A+sin B, 因为A+B+C=π,

所以sin(A+B)=sin(π-C)=sin C. 从而sin A+sin B=2sin C. 由正弦定理 得a+b=2c. (2)由(1)知c=

, 所以cos C=

-

-

=

, 当且仅当a=b时,等号成立. 故cos C的最小值为

17.(2019山东,理17)

在如图所示的圆台中,AC是下底面圆O的直径,EF是上底面圆O'的直径,FB是圆台的一条母线.(1)已知G,H分别为EC,FB的中点.求证:GH∥平面ABC; (2)已知EF=FB=

AC=2 ,AB=BC,求二面角F-BC-A的余弦值. (1)证明

设FC中点为I,连接GI,HI.

在△CEF中,因为点G是CE的中点, 所以GI∥EF. 又EF∥OB, 所以GI∥OB.

在△CFB中,因为H是FB的中点, 所以HI∥BC.

又HI∩GI=I ,所以平面GHI∥平面ABC. 因为GH⊂平面GHI,

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所以GH∥平面ABC.

(2)解法一连接OO',则OO'⊥平面ABC.

又AB=BC,且AC是圆O的直径,所以BO⊥AC.以O为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系 O-xyz.

由题意得B(0,2 ,0),C(-2 ,0,0). 过点F作FM垂直OB于点M, 所以FM= - =3, 可得F(0, ,3).

=(-2 ,-2 ,0), =(0,- ,3). 故

设m=(x,y,z)是平面BCF的一个法向量. 由

可得

- -

-

可得平面BCF的一个法向量 m= - 因为平面ABC的一个法向量n=(0,0,1), 所以cos=

所以二面角F-BC-A的余弦值为

解法二连接OO'.过点F作FM垂直OB于点M,

则有FM∥OO'. 又OO'⊥平面ABC, 所以FM⊥平面ABC. 可得FM= - =3.

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过点M作MN垂直BC于点N, 连接FN. 可得FN⊥BC,

从而∠FNM为二面角F-BC-A的平面角. 又AB=BC,AC是圆O的直径, 所以MN=BMsin 45°= 从而FN= ,可得cos∠FNM= 所以二面角F-BC-A的余弦值为

18.(2019山东,理18)已知数列{an}的前n项和Sn=3n2+8n,{bn}是等差数列,且an=bn+bn+1. (1)求数列{bn}的通项公式; (2)令

cn= ,求数列{cn}的前n项和

Tn.

解(1)由题意知当n≥2时,an=Sn-Sn-1=6n+5,

当n=1时,a1=S1 =11, 所以an=6n+5. 设数列{bn}的公差为d.

由 即 可解得b1=4,d=3.所以bn=3n+1. (2)由(1)知

cn=2n+1. =3(n+1)·

又Tn=c1+c2+…+cn,

得Tn=3×[2×22+3×23+…+(n+1)×2n+1], 2Tn=3×[2×23+3×24+…+(n+1)×2n+2], 两式作差,得-Tn=3×[2×22+23+24+…+2n+1-(n+1)×2n+2] =3

-

- -

=-3n·2n+2,所以Tn=3n·2n+2.

19.(2019山东,理19)甲、乙两人组成“星队”参加猜成语活动,每轮活动由甲、乙各猜一个成语,在一轮活动中,如果两人都猜对,则“星队”得3分;如果只有一人猜对,则“星队”得1分;如果两人都没猜对,则“星队”得0分.已知甲每轮猜对的概率是,乙每轮猜对的概率是;每轮活动中甲、乙猜对与否互不影响,各轮结果亦互不影响.假设“星队”参加两轮活动,求: (1)“星队”至少猜对3个成语的概率;

(2)“星队”两轮得分之和X的分布列和数学期望EX.

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解(1)记事件A:“甲第一轮猜对”,记事件B:“乙第一轮猜对”,记事件C:“甲第二轮猜对”,记事件D:“乙第二轮猜对”,记事件E:“‘星队’至少猜对3个成语”.

由题意,

E=ABCD+ BCD+A CD+AB D+ABC 由事件的性与互斥性,

P(E)=P(ABCD)+P( BCD)+P(A CD)+P(AB D)+P(ABC ) =P(A)P(B)P(C)P(D)+P( )P(B)P(C)P(D)+P(A)P( )P(C)P(D)+P(A)P(B)P( )P(D)+P(A)·P(B)P(C)P( )

= +2 所以“星队”至少猜对3个成语的概率为

(2)由题意,随机变量X可能的取值为0,1,2,3,4,6. 由事件的性与互斥性,得 P(X=0)=

,

P(X=1)=2

, P(X=2)=

, P(X=3)=

, P(X=4)=2

, P(X=6)=

可得随机变量X的分布列为

X 0 1 2 3 4 6 P

所以数学期望EX=0

+1 +2 +3 +4 +6

20.(2019山东,理20)已知f(x)=a(x-ln x)+ -

,a∈R. (1)讨论f(x)的单调性;

(2)当a=1时,证明f(x)>f'(x)+

对于任意的x∈[1,2]成立. 解(1)f(x)的定义域为(0,+∞).

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f'(x)=a-

- -

当a≤0时,x∈(0,1)时,f'(x)>0,f(x)单调递增,x∈(1,+∞)时,f'(x)<0,f(x)单调递减. 当a>0时,f'(x)= -

-

①0>1,

当x∈(0,1)或x

时,f'(x)>0,f(x)单调递增, 当x

时,f'(x)<0,f(x)单调递减.

②a=2时 ,

=1,在x∈(0,+∞)内,f'(x)≥0,f(x)单调递增. ③a>2时 ,0<

<1,

当x

或x∈(1,+∞)时,f'(x)>0,f(x)单调递增, 当x 时,f'(x)<0,f(x)单调递减.

综上所述,当a≤0时,f(x)在(0,1)内单调递增,在(1,+∞)内单调递减;

当0当a>2时,f(x)在 内单调递增,在 内单调递减,在(1,+∞)内单调递增. (2)由(1)知,a=1时,

f(x)-f'(x)=x-ln x+ -

- - =x-ln x+

-1,x∈[1,2].

设g(x)=x-ln x ,h(x)=

-1,x∈[1,2]. 则f(x)-f'(x)=g(x)+h(x). 由g'(x)= -

0, 可得g(x)≥g(1)=1, 当且仅当x=1时取得等号. 又h'(x)=

- -

, 9

设φ(x)=-3x2-2x+6,则φ(x)在x∈[1,2]单调递减, 因为φ(1)=1,φ(2)=-10,

所以∃x0∈(1,2),使得x∈(1,x0)时,φ(x)>0,x∈(x0,2)时,φ(x)<0. 所以h(x)在(1,x0)内单调递增,在(x0,2)内单调递减. 由h(1)=1,h(2)=

,可得h(x)≥h(2)= , 当且仅当x=2时取得等号. 所以f(x)-f'(x)>g(1)+h(2)=

, 即f(x)>f'(x)+

对于任意的x∈[1,2]成立.

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