2014年长春市高中毕业班第一次调研试题

2014年长春市高中毕业班第一次调研试题

一、选择题

1.复数Z=1－i 的虚部是( )

(A).i (B) －i (C) －1 (D)1 2.已知集合M={

},集合N={ x|lg(3-x)>0},则

=( )

8.已知三条不重合的直线m,n,l 和两个不重合的平面α，β ,下列命题正确的是:( ) (A). 若m//n，nα，则m// α (B). 若α⊥β, α

β=m, n⊥m ，则n⊥α.

(C) .若 l⊥n ，m⊥n, 则l//m (D). 若l⊥m ，则α⊥α，m⊥β, 且l⊥β 9.已知双曲线若

的右顶点、左焦点分别为A、F，点B（0，－b），

，则双曲线的离心率值为（ ）

(A).{ x|23.函数f(x)=(sinx+cosx)2 的一条对称轴的方程是( )

（A）315151 （B） （C） （D）2 22210.一个半径为1有球体经过切割后，剩下部分几何体的三视图如图所示，则剩下部分几何体的表面积为（ ）

124.抛物线xy的焦点到准线的距离是( )

2(A) 2 (B)1 (C).5.等比数列

中,

前三项和为

11 (D). 24 ,则公比q的值是( )

11.若函数y=f(x)图象上的任意一点p的坐标(x,y)满足条件|x|≥｜y｜,则称函数具有性质S,那么下列函数中具有性质S的是( ) (A). f(x)=tanx (B).f(x)ex－1

正视图侧视图111(A).1 (B)－ (C) 1或－ (D)－ 1或－

2226.定义某种运算

,运算原理如图所示，则式子的值为（）

( A).－3 (B).－4 (C).－8 (D). 0

俯视图第10题图(C). f(x)=sinx (D). f(x)= ln(x+1) 12.已知

设函数F(x)= f(x+3) g(x－4),且F(x)的零点均在区间[a,b] (a(A) 8 (B). 9 (C). 10 (D). .11

二、填空题

7.实数x,y满足，若函数z=x+y的最大值为4,则实数a的值为

13、在正三角形ABC中，D是BC上的点，AB＝3，BD＝1，则＝＿＿＿

(A). 2 (B). 3 (C).

3 (D).4 2- 1 -

14.已知三棱柱ABC-A1B1C1 底面是边长为6的正三角形,侧棱垂直于底面,且该三棱柱的外接球表面积为12,则该三棱柱的体积为 .

15.已知数列圆

为 .

，圆 ，

的所有项的和

20．(本小题满分12分） 已知椭圆

＝1(a>b>0)的左焦为F,右顶点为A,上顶点为B,O为坐标原点,M为椭

，若圆C2平分圆C1的周长，则

圆上任意一点,过F,B,A三点的圆的圆心为(p,q). (1).当p+q≤0时,求椭圆的离心率的取值范围;

(2).若D(b+1,0),在(1)的条件下,当椭圆的离心率最小时, 为,求椭圆的方程. 21. (本小题满分12分）

的最小值

16.定义[x]表示不超过x的最大整数,例如:[1.5]=1,[-1.5]=-2,若f(x)=sin(x-[x]),则下列结论中 ①y＝f(x)是奇是函数 ②.y＝f(x)是周期函数 ,周期为2 ③..y＝f(x)的最小值为0 ,无最大. y＝f(x)无最小值,最大值为sin1.正确的序号为 . 值 ④三、解答题

17.(本小题满分12分）

已知函数

设等差数列(1).求数列(2).若

18. (本小题满分12分） 已知向量

(1).求函数f(x)的最小正周期;

(2).已知a,b,c分别为三角形ABC的内角对应的三边长,A为锐角,a=1, 恰是函数f(x)在

19. (本小题满分12分）

如图所示,正方形AA1D1D与矩形ABCD所在平面互相垂直,AB=2AD=2,点E为AB的中点, (1).求证:D1E⊥A1D ; (2).在线段AB上是否存在点M，使二面角D1-MC-DD1A1

的前n项和为Sn, 且的通项公式

,

(1).a≥－2时,求F(x)= f(x)- g(x)的单调区间;

(2).设h(x)= f(x)+ g(x),且h(x)有两个极值点为x1 , x2 ,其中

,

求h(x1)- h(x2)

成等比数列,求正整数n的值 .

的最小值.

请考生在22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22.（本小题满分10分）选修4－1：几何证明学科网选讲.

.

如图,四边形为边长为a的正方形,以D为圆心,DA为半径的圆弧与以BC为直径的圆O交于F,连接CF并延长交AB于点 E.

，且f(A)

(1).求证:E为AB的中点;

(2).求线段FB的长.

23. （本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程选讲. 以直角坐标系的原点为极点O，x轴正半轴为极轴，已知点P的直角坐标为(1,-5),点C的极坐标为径为4.

(1).求直线l的参数方程及圆C的极坐标方程; (2).试判断直线l与圆C有位置关系.

24. 本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲. 已知f(x)=|x+1|+|x-1| ,不等式f(x)的解集为M. (1).求M;

(2).当a,bM时,证明:2|a+b|＜|4+ab|.

- 2 -

EFAD,设函数f(x)=

上的最大值,求A,b和三角形ABC的面积.

BOC ,若直线l经过点P,且倾斜角为，圆C的半

的大小为？，若存在,求出AM的长，若不存在，6说明理由

DAE第19题图BC

2014年长春市高中毕业班第一次调研测试 数学（理科）试题参及评分标准 第Ⅰ卷（选择题，共60分） 一、选择题（本大题包括12小题，每小题5分，共60分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项填写在答题纸上） 题号 答案 1 B 2 B 3 A 4 D 5 C 6 D 7 A 8 D 9 B 10 D 11 C 12 C ，即21，故选C. 992qq10，解得q1或

q92722qq6.【试题答案】D

【试题解析】由题意可知，程序框图的运算原理可视为函数，

ab1,abSabab1,ab所以

，， 1512tanlne214lg1002344311lnelg10044031.【试题答案】B 【试题解析】由复数虚部定义：复数abiaR，bR的虚部为b，得z1i的虚部为1，故选B. 2.【试题答案】B 【试题解析】因为Mx|1x3，Nx|x2，所以MNx|1x2，故选B. 3.【试题答案】A 【试题解2252tan4，故选D.

7.【试题答案】A

【试题解析】由zxy，得yxz,则z表示该 组平行直线在y轴的截距。又由约束条件

yA O yxyax 析2】化简f(x)(xcsx)soixcisnx2sonxcxxis1os2nx，∴isx1yaa1nxy0作出可行域如图，先画出yx，经 1 将选项代入验证，当时，f(x)取得最值，故选A. 4平移至经过yx和ya的交点Aa,a时，z取得 最大值，代入Aa,a，即z，所以 aa4max第7题图 x14.【试题答案】D 【试题解析】由抛物线标准方程x22pyp0中p的几何意义为：抛物线的焦点到准线的距离，又a2，故选A.

8.【试题答案】D

【试题解析】A选项，直线m可能在平面内；B选项，如果直线n不在平面内，

1，故选D. p4不能得到n；C选项，直线l与m可能平行，可能异面，还可能相交；故选D.

9.【试题答案】B

5.【试题答案】C 【试题解析】S33xdxx032330，设公比为q，又a9，则327027- 3 -

【试题解析】由BABFBABF得BABF0，又Aa,0，F(c,0) B0,b，

则

BAa,b，，所以有b2ac0，即c2a2ac0，

BFc,b 111111f(1)110234520122013从而解得

e2e10

15，又e1，所以15，故选B.

ee22f(x)1xx2x3x2012

易

知

01x03时

3，

f(x)0；

x0时，

10.【试题答案】D

【试题解析】由三视图可知，该几何体为一个球体，下半球完整，上半球分为四份，

去掉了对顶的两份，故表面积应为球的表面积，去掉1球的表面积，再

1xf(x)1x21x20 101x所以f(x)0在R上恒成立，故f(x)在R上是增函数，又

4加上6个1圆面积，故

f(1)f(0)0，

∴f(x)只有一个零点，记为x，则x1,0.

11同理可证明g(x)也只有一个零点，记为x，且x1,2.故

224半径R1，

11292，又球2S4R4R6RR44229，故选D.

S211.【试题答案】C 【试题解析】不等式

F(x)f(x3)g(x4)有2个不同零点x3，x4,x3即将x1向左平移3

个单位，x即将x向右平移4个单位，∴x34,3，x45,6， 42 又函数F(x)的零点均在区间a,b内，且ab,a,bZ，故当a4，

xy表示的平面区域如图

所示，函数f(x)具有性质S，则函

数图像必须完全分布在阴影区域①

x和②部分，分布在区

f(x)e1b6时，即ba 的最小值为6(4)10，故选C

第Ⅱ卷 （非选择题，共90分）

二、填空题（本大题包括4小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在答题卡中的横线上）

第11题图

域①和③内，f(x)ln(x1)分布 在区域②和④内，f(x)sinx图像 分布在区域①和②内，f(x)tanx 在每个区域都有图像，故选C

12.【试题答案】C

13.【试题答案】 15

2【试题解析】

【试题解析】验证f(0)10，

- 4 -

15.

ABADABABBDABABBD931cos1202214.【试题答案】

33

【试题解析】设球半径R，上下底面中心设为M，N，由题意，外接球心为MN的

中点，设为O，则OAR，由4R212 ，得ROA3，又易得由勾股定理可知，所以MN2，即棱柱的高h2，OM1，AM2，

所以该三棱柱的体积为3415.【试题答案】4024

【试题解析】设圆C与圆C交于A,B，则直线AB的方程为：

12确序号为③。

三、解答题（本大题包括6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）.

17.【试题解析】

（1）设等差数列a的公差为d，

n62233. 则

S5S23a19d27，

又a3，则d2，故

an2n1. ……………………………………………61分

（2）由（1）可得即

Snn22n，又SnSn28(an11)2，

x2y24x4yx2y22anx2a2013ny0，

化简得：a2xa2y0n2013n2n(n2)2(n4)8(2n4)2，化简得n4n320， 解得n4或n8（舍），所以n的值为4.……………………………………12分

18.【试题解析】 （

1

）

又圆C平分圆C的周长，则直线AB过C2,2,代入AB的方程得：

211,

f(x)(mn)mana2013n431cos2x33

cosx3sinxcosxsin2x22222∴

a1a2a2012a1a2012a2a2011a1006a1007

100644024.

13cos2xsin2x2sin2x2226 …………4分

16.【试题答案】 ③ 【

试

题

解

析

】

s0.5if(1.5)s1.5i-1.5n，n 因为2，所以最小正周期

. ……………………6分 2T2，当

f(1.5)sin1.51.5sin0.5，

则f(1.5)f(1.5)，故①错。

（2）由（1）知

f(x)sin2x262xx0,2时，7.

2x666f(x1)sinx1x1sinx1x1sinxxf(x)，

∴错。g(x)xx在k,k1kZ是单调递增的周函 T1，故②

数，知g(x)0,1，故f(x)0,sin1，故③正确，易知④错。综上，正

- 5 -

由正弦函数图象可知，当

6时，f(x)取得最大值3，又A为锐角

2所以

2A62,A. ……………………8分

6

由余弦定理a2b2c22bccosA得

1b323bcos2，所以6（2）存在满足条件的

3.

AM23b1或b2

经检验均符合题意. ……………………10分 从而当b1时，△ABC的面积

【解法一】假设存在满足条件的点M，过点D作

DNCM于点N，连结

13；……………11分 S31sin2D1N，则D1NCM，

所以DND为二面角DCMD的平面角，

11……………………9分

所以

13. ……………………12分 S32sin262

19.【试题解析】

（1）连结AD交AD于F，

11∵四边形AADD为正方形，

11D1A1FDAE第19题图（1） D1ND，

6在RtDND中，DD1所以DN3，

11CB又在RtDNC中，CDAB2，所以

NDC ，∴

∴AD1A1D，

116MCB，

6在RtMCB中，

∵正方形AADD与矩形ABCD所在平面互相垂直，交线为AD，AEAD， ∴AE平面AADD，又AD111∴AEAD，

1又ADAEA，∴A1D平面AD1E， 13，

BMBCtan63平面AA1D1D

∴

3．

AM23故在线段AB上存在一点M，使得二面角DCMD为，且

16D1，又

D1E平面

AD1EA1DAM第19题图（2）

∴A1DD1E.……………………………………………6分

3. ………………………………………12分

AM23NB- 6 -

C【解法二】依题意，以D为坐标原点，DA、DC、DD所在直线分别为x轴、y1

轴、因为AB2AD2，则D0,0,0，z轴建立空间直角坐标系，C0,2,0，D0,0,1，（1）设半焦距为c.由题意AF,A的B中垂线方程分别为

1A11,0,1，所以DD1，D. 10,0,1C0,2，1acbaa， x易知

2,y2b(x2)DD为平面MCD的法向量，设M1,a,00a2，所以MC1,2a,0, 1于是圆心坐标为.所以

设平面Dq1MC的法向量为nx,y,z，所以，即

acb2acpacb2ac， nD1C02,2b22b0nMC0整理得，

abbcb2ac0， ……………………………………………4分 x,y,z0,2,10x,y,z1,2a,00 即(ab)(bc)0，

所以

，取y1，

所以z2ybc，于是b2c2，即a2b2c22c2. x(2a)yDz1所以则2c21，即. ……………………………………………6n2a,1,2，又二面角DA1e2分 1MCD的大小为，

a222e16FDC（y2）当所以

，

e2时，a2b2c，此时椭圆的方程为x2cosDD1n|(0,0，1)(2a,1,2)|xAEMB22c2y2， c216||DD|n||12(2a)2122第19题图2 1|设M,y2c，

即3a212a110，解得

3.

x，则2cxa23所以MFODMO1221221. …………………8分 2xxc2x1c2又因为0a2，所以

23.

a3当2时，上式的最小值为，即2c21c217，得c2；…………10分c222故在线段AB上是存在点M，使二面角D1MCD的大小为，且3. 6AM23当2时，上式的最小值为1，0c……………………………………………12分 22(2c)22cc2

120.【试题解析】 2(2c)22cc27， 2

- 7 - 即

解得

c2304，不合题意，舍去.

分

由题h(x)0两根分别为x，x，则有xx1，xxa， ………8

122212∴

1，从而有1x2ax1x1x1综上所述，椭圆的方程为x2. ……………………………………12分 y2184

21.【试题解析】

（1）由题意分 对于

，其定义域为0，1，则x2ax1，2

F(x)xalnxF(x)xx21111111H(x)xxlnxxxln2xlnxxxxxxxxx ，……10分

.

21x1xlnx1H(x)221lnxx2x当时，H(x)0，∴H(x)在上单调递减，

11x0,0,22，

1H(x1)h(x1)h()h(x1)h(x2)x1

2m(x)x2ax1，有a4.

又

①当2a2时，F(x)0，∴F(x)的单调增区间为(0,)； ②当a2时，F(x)0的两根为∴F(x)的单调增区间为

x1aa42和

2，

x2aa42，

2

∴

h(x1)h(x2)min. ………………12分 1H()5ln232请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22. 【试题解析】 (1) 由题意知，AB与圆D和圆O相切，切点分别为A和B，

由切割线定理有：EA2EFECEB2所以EAEB，即E为AB的中点.…5分

(2)由BC为圆O的直径，易得BFCE ， ∴， 11aa240,2aa24,2F(x)的单调减区间为aa24aa24.

,22综上：当2a2时，F(x)的单调增区间为(0,)；

当a2时，F(x)的单调增区间为

aa240,2和

aa24,2，

S△BECBFCECBBE22∴BFF(x)的单调减区间为aa24aa24. ………6分

,22（2）对

，其定义域为(0,). 1h(x)xalnxx. ………10分 CB ∴5BFaBECE5，即

（t为参数）

23. 【试题解析】

（1）直线l的参数方程

求导得，

1ax2ax1，

h(x)12xxx2- 8 -

x1tcos3y5tsin31x1t2y53t2

由题知C点的直角坐标为0,4，圆C半径为4， ∴圆C方程为x2(y4)216 将xcos 代入

ysin 得圆C极坐标方程 8sin ………5分 （2）由题意得，直线l的普通方程为3xy530，

圆心C到l的距离为

d4533，

2924 ∴直线l与圆C相离. ………10分 24. 【试题解析】

（1）由f(x)4，即x1x14，

当x1时，则x11x4，得x2，∴2x1； 当1x1时，则x11x4，得24，恒成立，∴ 1x1； 当x1时，则x1x14，得x2，∴1x2；

综上，Mx|2x2. ………5分 （2）当a,bM时， 则2a2，2b2. 即：a24，b24，∴4a20，4b20 ∴

4a24b20，即164a24b2a2b20，

也就是4a24b216a2b2， ∴4a28ab4b2168aba2b2，

即：

2a2b24ab2，

即2ab4ab. ………10分

- 9 -