幂函数知识点总结及练习题

幂函数

（1）幂函数的定义： 一般地，函数yx叫做幂函数，其中x为自变量，是常数．

（2）幂函数的图象

/ 《

（3）幂函数的性质 '

①图象分布：幂函数图象分布在第一、二、三象限，第四象限无图象．幂函数是偶函数时，图象分布在第一、二象限(图象关于y轴对称)；是奇函数时，图象分布在第一、三象限(图象关于原点对称)；是非奇非偶函数时，图象只分布在第一象限．

②过定点：所有的幂函数在(0,)都有定义，并且图象都通过点(1,1)．

③单调性：如果0，则幂函数的图象过原点，并且在[0,)上为增函数．如果0，则幂函数的图象在(0,)上为减函数，在第一象限内，图象无限接近x轴与y轴． ④奇偶性：当为奇数时，幂函数为奇函数，当为偶数时，幂函数为偶函数．当qpq（其p中p,q互质，p和qZ），若p为奇数q为奇数时，则yx是奇函数，若p为奇数q为

qpqp偶数时，则yx是偶函数，若p为偶数q为奇数时，则yx是非奇非偶函数． ⑤图象特征：幂函数yx,x(0,)，当1时，若0x1，其图象在直线yx下方，若x1，其图象在直线yx上方，当1时，若0x1，其图象在直线yx上方，若x1，其图象在直线yx下方．

幂函数练习题

一、选择题： ·

1．下列函数中既是偶函数又是(,0)上是增函数的是 A．yx B．yx C．yx D．yx2．函数yx A．

2（ ）

4332214

（ ）

在区间[,2]上的最大值是

12

1 B．1 C．4 D．4 4

（ ）

3333．下列所给出的函数中，是幂函数的是 A．yx

43B．yx3 C．y2x D．yx1

（ ）

4．函数yx的图象是

；

A． B． C． D． 5．下列命题中正确的是 （ ） A．当0时函数yx的图象是一条直线

B．幂函数的图象都经过（0，0）和（1，1）点



C．若幂函数yx是奇函数，则yx是定义域上的增函数 D．幂函数的图象不可能出现在第四象限 >

6．函数yx和yx图象满足

313 （ ）

A．关于原点对称 B．关于x轴对称 C．关于y轴对称 D．关于直线yx对称

7． 函数yx|x|,xR，满足

（ ）

A．是奇函数又是减函数 B．是偶函数又是增函数 C．是奇函数又是增函数 D．是偶函数又是减函数

； 8．如图1—9所示，幂函数yx在第一象限的图象，比较0,1,2,3,4,1的大小（ ）

1

A．130421 ; B．012341 C．240311 D．320411

二、填空题：.

~

4

2

3

1．函数yx3．yxa232的定义域是 .

.

12．幂函数f(x)的图象过点（3,427)，则f(x)的解析式是

4a9是偶函数，且在(0,)是减函数，则整数a的值是 .

4．函数yx22x24的单调递减区间是 .

三、解答题：解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤 1．比较下列各组中两个值大小 （1）0.6与0.7!

611611；（2）(0.88)与(0.).

5353

2．求证：幂函数yx在R上为奇函数且为增函数.

。

3

￥

3．下面六个幂函数的图象如图所示，试建立函数与图象之间的对应关系.

（1）yx；（2）yx；（3）yx；（4）yx2；（5）yx3；（6）yx.12321323

|

（A） （B） （C） （D） （E） （F）

巩固训练 一、选择题

1,2,N2，则MN等于（ ） 1．已知集合M》

1,2 B．1 C．2 D．2 A．2．下列函数中，值域是0,的函数是（ ） A．yx B．yx C．yx3．函数y

A．1, B．1, C．,1 D． ,11, 4．二次函数yx1的单调递减区间是（ ）

A．,0 B．1, C．,1 D．0,

(

342 D．yx13

1的定义域是（ ） x12

35．函数f(x)x的图象（ ）

A．关于直线yx对称 B．关于x轴对称 C．关于原点对称 D．关于y轴对称 6．幂函数yx(nQ)的图象一定经过点（ ）

n

A．0,0 B．1,1 C．1,1 D．0,1 7．已知IR,Ax2x15，则A=（ ）

A．xx3 B．xx2 C．2x3 D．x2x32

8．若一元二次不等式xpx120的解集是x2xq，则p的值是（ ）

^



A．不能确定 B．4 C．－4 D．８ 10．函数yx1(x1)的反函数是（ ） A．yx1(xR) B．yx1(x0) C．yx1(x0) D．yx1(x0)

11．已知f(x)是定义在R上的偶函数，且在0,上单调递减，则（ ） A．f(3)f()f(10) B．f(10)f()f(3)

C．f()f(3)f(10) D．f(10)f(3)f()

|

2222

12．已知点2ab,b1与2,a2b关于直线yx对称，则这两点之间的距离是（ ）

A．不能确定 B．314 C．132 D．172

213．若不等式kxkx10的解集是R，则k的取值范围是（ ） A．4k0 B．4k0 C．k4或k0 D．k4或k0 14．已知f(x)是奇函数，当x0 时，其解析式f(x)xx1 ，则当x0时，f(x)的解析式是（ ）

33333A．xx1 B．xx1 C．xx1 D．xx1 二、填空题

%

15．设函数f(x)的定义域是x0x1，则f(2x1)的定义域是___________ 18．已知幂函数f(x)的图象经过2,2 ，则f(9)=___________



19．已知函数f(x)xm的图象经过点1,3 ，又其反函数图象经过点10,2，则f(x)a的解析式为___________

20．已知奇函数f(x)在区间2,5上是减函数，且最小值为5，则f(x)在区间5,2上的最大值是___________ 21

．

满

足

条

件

1,2M1,2,3的集合

M的个数是

___________个.

22．函数y11x的反函数的值域是___________ 三、解答题

23．已知Axx22x80,Bxxmm，若AB，求m的取值范围。 2[

24．已知函数f(x)。

1x。 ⑴求函数f(x)的定义域； x

⑵利用定义证明函数f(x)在定义域上是减函数。

\\

26．已知偶函数f(x)在0,上是增函数，求不等式f(2x5)f(x2)的解集。

2

）

幂函数练习题

一、选择题

1．下列函数中，其定义域和值域不同的函数是( ) A．yx B． yx C．yx

a&

131253D. yx

232．以下关于函数yx当a＝0时的图象的说法正确的是( )

A．一条直线 B．一条射线 C．除点(0,1)以外的一条直线 D．以上皆错

2

3．已知幂函数f(x)的图象经过点(2，)，则f(4)的值为( )

2

11

A．16 B. C. D．2

162

4．下列结论中，正确的是( )

①幂函数的图象不可能在第四象限

②a＝0时，幂函数y＝x的图象过点(1,1)和(0,0)

*

a

③幂函数y＝x，当a≥0时是增函数

④幂函数y＝，x当a<0时，在第一象限内，随x的增大而减小 A．①② B．③④ C．②③ D．①④

3220

5．在函数y＝2x，y＝x，y＝x＋x，y＝x中，幂函数有( )

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 6．幂函数f(x)＝x满足x＞1时f(x)＞1，则α满足条件( )

A．α＞1 B．0＜α＜1 C．α＞0 D．α＞0且α≠1

2

aaa7．幂函数y＝(m＋m－5)x>

2m－m－

2

313

的图象分布在第一、二象限，则实数m的值为 ( )

A．2或－3 B．2 C．－3 D．0

1n8．函数y＝x在第一象限内的图象如下图所示，已知：n取±2，±四个值，则相应于

2

曲线C1、C2、C3、C4的n依次为( )

1111

A．－2，－，，2 B．2，，－，－2

22221111C．－，－2,2， D．2，，－2，－

2222

aa－a9．若a<0，则0.5、5、5的大小关系是( )

A．5<5<0.5 B．5<0.5<5

'

－aaaaa－a C．0.5<5<5 D．5<5<0.5

a－aaa－aa

1a10．在同一坐标系内，函数y＝x(a≠0)和y＝ax－的图象可能是( )

a

二．填空题

1．函数f(x)＝(1－x)＋(1x)的定义域为________．

0

122．已知幂函数y＝f(x)的图象经过点(2，2)，那么这个幂函数的解析式为________． 3．若 (a1)(2a2)，则实数a的取值范围是________． 三、解答题

;

13131．已知函数f(x)＝(m＋2m)·x(1)正比例函数； (2)反比例函数； (3)二次函数； (4)幂函数．

2

）

m2m1 ，m为何值时，f(x)是

-

2.函数f(x)＝(m－m－5) x定m的值．

2

m1是幂函数，且当x∈(0，＋∞)时，f(x)是增函数，试确

幂函数练习题答案

一． 选择题DCCDB ABBBC

二．填空题 1. (－∞，1) 2. yx 3. (3，＋∞) 三．解答题1. [解析] (1)若f(x)为正比例函数，则

12m＋m－1＝1，2

m＋2m≠0

2

2

⇒m＝1.

(2)若f(x)为反比例函数，则

m＋m－1＝－1，2m＋2m≠0m＋m－1＝2，2

m＋2m≠0

2

⇒m＝－1.

(3)若f(x)为二次函数，则

－1＋13

⇒m＝.

2

2

(4)若f(x)为幂函数，则m＋2m＝1，∴m＝－1±2.

2

2.解：根据幂函数的定义得：m－m－5＝1， 解得m＝3或m＝－2，

2

当m＝3时，f(x)＝x在(0，＋∞)上是增函数；

－3

当m＝－2时，f(x)＝x在(0，＋∞)上是减函数，不符合要求．故m＝3.