初中数学几何证明经典试题(含答案)

初 中 几 何 证 明 题

经 典 题（一）

1、已知：如图， O是半圆的圆心， C、 E 是圆上的两点， CD⊥ AB，EF⊥ AB， EG⊥ CO．

求证： CD＝ GF．（初二）

C

E

G

A

D O F

B

2、已知：如图， P 是正方形 ABCD内点，∠ PAD＝∠ PDA＝ 150．

求证：△ PBC是正三角形．（初二）

A

P

D

B C

3、如图，已知四边形

的中点．

ABCD、 A1B1C1D1 都是正方形， A2、 B2、 C2、 D2 分别是 AA1、BB1、 CC1、 DD1

A

A2

A1

2

D

D2 D1

B1

C

1

2

求证：四边形

A B C D 是正方形．（初二）

2 2 2

B2

B

C

C

4、已知：如图，在四边形 ABCD中， AD＝ BC，M、N 分别是 AB、CD的中点， AD、BC的延伸线

F E

N C

初中数学几何证明经典试题(含答案)

交 MN于 E、 F．

求证：∠ DEN＝∠ F．

经 典 题（二）

， O为外心，且 OM⊥ BC于

1、已知：△ ABC中， H 为垂心（各边高线的交点） M．

（ 1）求证： AH＝2OM；

A

（ 2）若∠ BAC＝ 600，求证： AH＝ AO．（初二）

O ·

H E

B M D C

2、设 MN是圆 O外向来线， 过 O作 OA⊥ MN于 A，自 A引圆的两条直线，

直线 EB及 CD分别交 MN于 P、 Q． 求证： AP＝ AQ．（初二）

交圆于 B、C及 D、E，

G

E

O·

C

B

D

M

P A Q

N

3、假如上题把直线 MN由圆外平移至圆内，则由此可得以下命题：

设 MN是圆 O的弦，过 MN的中点 A 任作两弦 BC、DE，设 CD、 EB分别交 MN于 P、 Q．

E

求证： AP＝AQ．（初二）

C

A ·

Q

N

M P

·O

B

D

初中数学几何证明经典试题(含答案)

4、如图，分别以△ ABC的 AC和 BC为一边，在△ ABC的外侧作正方形 ACDE和正方形 CBFG， 点 P是 EF的中点．

求证：点 P 到边 AB的距离等于 AB的一半．（初二）

D

G

C

E

P

F

B

A Q

经 典 题（三）

1、如图，四边形 ABCD为正方形， DE∥AC， AE＝AC， AE与 CD订交于 F．

求证： CE＝CF．（初二）

A

D F

B

E

C

2、如图，四边形 于

ABCD为正方形， DE∥AC，且 CE＝ CA，直线 EC交 DA延伸线F．

求证： AE＝ AF．（初二）

F

A D

B

C

E

3、设 P 是正方形 ABCD一边 BC上的任一点， PF⊥ AP， CF均分∠ DCE．

求证： PA＝ PF．（初二）

A

D

F

B

P C E

初中数学几何证明经典试题(含答案)

4、如图， PC切圆 O于 C，AC为圆的直径， PEF为圆的割线， AE、AF 与直线 PO订交于 B、D．求

证： AB＝ DC， BC＝ AD．（初三）

A

B

O D

P

E

F

C

经 典 题（四）

A

1、已知：△ ABC是正三角形， P 是三角形内一点， PA＝3， PB＝ 4， PC＝ 5．

P

求：∠ APB的度数．（初二）

B C

2、设 P 是平行四边形 ABCD内部的一点，且∠ PBA＝∠ PDA．

求证：∠ PAB＝∠ PCB．（初二）

A

P

B

C

D

3、设 ABCD为圆内接凸四边形，求证：

AB· CD＋AD· BC＝AC· BD．（初三）

A

D

B C

初中数学几何证明经典试题(含答案)

4、平行四边形 ABCD中，设 E、 F 分别是 BC、 AB上的一点， AE 与 CF订交于 P，且

AE＝ CF．求证：∠ DPA＝∠ DPC．（初二）

1、 设 P 是边长为经 典 的正△ ABC内任一点，难 题（五）

L＝ PA＋ PB＋ PC，

A DF

P

B

E

C

A

P

B C

1 初中数学几何证明经典试题(含答案)

求证：

≤ L＜2．

2、已知： P 是边长为 1 的正方形 ABCD内的一点，求 PA＋ PB＋ PC的最小值．

A D

P

B

C

3、 P 为正方形 ABCD内的一点，而且 PA＝ a， PB＝ 2a， PC＝ 3a，求正方形的边长．

A

P

D

B

C

4、如图，△ ABC中，∠ ABC＝∠ ACB＝ 800， D、 E 分别是 AB、 AC上的点，∠ DCA＝ 300，∠ EBA

A

初中数学几何证明经典试题(含答案)

E

初中数学几何证明经典试题(含答案)

＝ 200，求∠ BED的度数．

经 典 题（一）

1. 以下列图做 GH⊥ AB,连结 EO。因为 GOFE四点共圆，因此∠ GFH＝∠ OEG,

即△ GHF∽△ OGE,可得

EOGOCO

=

=

, 又 CO=EO，因此 CD=GF得证。

GF GH CD

2. 以下列图做△ DGC使与△ ADP全等，可得△ PDG为等边△，进而可得

△ DGC≌△ APD≌△ CGP,得出 PC=AD=DC,和∠ DCG=∠ PCG＝ 15

0

因此∠ DCP=30 ，进而得出△ PBC是正三角形

0

初中数学几何证明经典试题(含答案)

3. 以下列图 连结 BC1 和 AB1 分别找此中点 F,E. 连结 C2F 与 A2E 并延伸订交于连结 EB 并延伸交 C Q于 H点，连结 FB 并延伸交 A Q于 G点，

2 2

2 2

由 AE=2 AB= 2 BC= FB ，EB= 2

2

C ，又

0

21

1 1 1

1 12

2 1

AB= 1 BC=F 1

∠GFQ+∠ Q=90 和

∠ GEB2+∠ Q=900, 因此∠ GEB2=∠ GFQ又∠ B2FC2=∠A2EB2 ， 可得△ B2 FC2≌△ A2EB2 ，因此 A2B2=B2C2 ， 又∠ GFQ+∠ HB2F=900 和∠ GFQ=∠ EB2A2 , 进而可得∠ A2B2 C 2=900 ， 同理可得其余边垂直且相等，

进而得出四边形 A2 B2C2D2 是正方形。

点，

Q

初中数学几何证明经典试题(含答案)

4. 以下列图 连结 AC并取此中点 Q，连结 QN和 QM，因此可得 ∠QMF=∠ F，∠ QNM=∠DEN

和∠ QMN=∠QNM，进而得出∠ DEN＝∠ F。

经 典 题（二）

1.(1) 延伸 AD到 F 连 BF，做 OG⊥ AF,

又∠ F=∠ ACB=∠ BHD，

可得 BH=BF,进而可得 HD=DF，

又 AH=GF+HG=GH+HD+DF+HG=2(GH+HD)=2OM

(2) 连结 OB，OC,既得 ∠ BOC=120，

0

进而可得∠ BOM=60,

0

因此可得 OB=2OM=AH=AO,

得证。

初中数学几何证明经典试题(含答案)

3. 作 OF⊥ CD，OG⊥ BE，连结 OP， OA， OF， AF， OG， AG，OQ。

因为

AD

AB

AC AE CD BE 2FD 2BG

FD ， BG

由此可得△ ADF≌△ ABG，进而可得∠ AFC=∠ AGE。

又因为 PFOA与 QGOA四点共圆，可得∠ AFC=∠AOP和∠ AGE=∠ AOQ，

∠ AOP=∠AOQ，进而可得 AP=AQ。

EGFH

4. 过 E,C,F 点分别作 AB所在直线的高 EG，CI，FH。可得 PQ=

由△ EGA≌△ AIC，可得 EG=AI，由△ BFH≌△ CBI，可得 FH=BI。 进而可得 PQ=

。

AI

BI

2

=

AB ，进而得证。

2

初中数学几何证明经典试题(含答案)

经 典 题（三）

1. 顺时针旋转 △ ADE，到△ ABG，连结 CG.

因为 ∠ ABG=∠ ADE=90+45 =135

0 0 0

进而可得 B， G，D 在一条直线上，可得△ AGB≌△ CGB。

推出 AE=AG=AC=GC ，可得△ AGC为等边三角形。

0

∠ AGB=30，既得∠ EAC=30，进而可得∠

0

0AEC=75。

又∠ EFC=∠ DFA=45+30 =75 . 可证： CE=CF。

0 0 0

初中数学几何证明经典试题(含答案)

2. 连结 BD作 CH⊥ DE，可得四边形 CGDH是正方形。

由 AC=CE=2GC=2CH，

可得∠ CEH=30，因此∠ CAE=∠ CEA=∠AED=15，

0 0

0 0 0 0

又∠ FAE=90+45 +15 =150 ，

进而可知道∠ F=150，进而得出 AE=AF。

3. 作 FG⊥ CD，FE⊥ BE，能够得出 GFEC为正方

形。令 AB=Y ， BP=X ,CE=Z , 可得 PC=Y-X 。

tan ∠ BAP=tan∠ EPF= =

X

Z

Y Y X Z

，可得 YZ=XY-X+XZ，

2

即 Z(Y-X)=X(Y-X) ，既得 X=Z ，得出△ ABP≌△ PEF ， 获得 PA＝ PF ，得证 。

初中数学几何证明经典试题(含答案)

经 典 难 题（四）

1. 顺时针旋转 △ ABP 60 0 ，连结 PQ ，则△ PBQ是正三角形。可得 △ PQC是直角三角形。

0因此∠ APB=150

。

2. 作过 P点平行于 AD的直线，并选一点 E，使 AE∥ DC，能够得出 ∠ ABP=∠ ADP=∠ AEP，可得：

AEBP共圆（一边所对两角相等） 。

可得∠ BAP=∠ BEP=∠ BCP，得证。

BE∥PC.

初中数学几何证明经典试题(含答案)

3. 在 BD取一点 E，使 ∠ BCE=∠ ACD，既得△ BEC∽△ ADC，可得：

BEAD

=

，即 AD?BC=BE?AC， ①

BC AC

又∠ ACB=∠ DCE，可得△ ABC∽△ DEC，既得

ABDE

=

，即 AB?CD=DE?AC， ②

AC DC

由① +②可得 : AB ?CD+AD?BC=AC(BE+DE)= AC· BD ，得证。

4. 过 D作 AQ⊥ AE ， AG⊥CF ，由 S ADE =

SABCD

2

= S DFC ，可得：

AE PQAE PQ

=

，由 AE=FC。

2 2

可得 DQ=DG，可得∠ DPA＝∠ DPC（角均分线逆定理） 。

初中数学几何证明经典试题(含答案)

（1）顺时针旋转经 典 题（五）

△ BPC 600 ，可得△ PBE为等边三角形。

既得 PA+PB+PC=AP++PE+EF要使最小只需

AP， PE，即以下列图：可得最小 L= 在一条直线上，

1. EF

；

初中数学几何证明经典试题(含答案)

（ 2）过 P 点作 BC的平行线交 AB,AC与点 D，F。

因为 ∠ APD>∠ ATP=∠ ADP，

推出 AD>AP

① 又 BP+DP>BP

② 和 PF+FC>PC

③

又 DF=AF ④

由①②③④可得：最大

L<2 ；

1）和（ 2）既得： L＜ 2 。

由（≤

初中数学几何证明经典试题(含答案)

2. 顺时针旋转 △ BPC 600 ，可得△ PBE为等边三角形。

既得 PA+PB+PC=AP+PE+EF要使最小只需 AP， PE， EF 在一条直线上， 即以下列图：可得最小 PA+PB+PC=AF。

既得 AF=

1

4

=

( 3 1)2 =

2

2

3 =

4 2 3

2

( 3

1)2

2

=

2

2

( 3 1)

=

6

2

2 。

初中数学几何证明经典试题(含答案)

3. 顺时针旋转 △ ABP 90 0 ，可得以下列图：

既得正方形边长 L = (2

2 )2 ( 2

) 2

2

2

= 5 2 2 a

a 。 初中数学几何证明经典试题(含答案)

0

4. 在 AB上找一点 F，使 ∠ BCF=60 ，

连结 EF， DG，既得△ BGC为等边三角形，

0

0

可得∠ DCF=10 , ∠ FCE=20 , 推出△ ABE≌△ ACF ，

获得 BE=CF ， FG=GE 。

推出 ： △ FGE为等边三角形 ，可得∠ AFE=800 ，

0

既得：∠ DFG=40

0

0

又 BD=BC=BG，既得∠ BGD=80 ，既得∠ DGF=40 推得： DF=DG ,获得：△ DFE≌△ DGE ，

0

进而推得：∠ FED=∠ BED=30 。

①②

初中数学几何证明经典试题(含答案)