北京市东城区2020-2021学年高二上学期期末考试数学试题(无答案)

数 学

2021. 1

本试卷共4页，共100分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第一部分（选择题共30分）

－、选择题共10题，每题3分，共30分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。 （1）直线x＋y－1＝0的倾斜角为

（A）30°

（B）60°

（C）120°

（D）135°

（2）已知等差数列{an}，a1＝2，a3＝5，则公差d等于

（A）

2 3（B）

3 2（C）3 （D）－3

（3）若两条直线ax＋2y－1＝0与3x－6y－1＝0互相垂直，则a的值为

（A）4

（B）－4

（C）1

（D）－1

（4）双曲线x2－y2＝1的焦点坐标是

（A）（0，2），（0，2） （C）（0，－2），（0，2）

（B）（2，0），（2，0） （D）（－2，0），（2，0）

（5）如图，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，DA＝a，DC＝b，DD1＝c，则与向量D1B相等的是

（A）a＋b－c

（B）a＋b＋c

（C）a－b＋c

（D）a－b－c

（6）北京市普通高中学业水平等级考试成绩按等级赋分计人高考录取总成绩，它是按照原始成绩排名的百分比来计算成绩，具体等、级比例和对应的赋分值如下表：

等 比例 15% 40% 30% 14% 1% A B C D E 1 / 5

级 A1 A2 A3 A4 A5 B1 B2 B3 B4 B5 C1 C2 C3 C4 C5 D1 D2 D3 D4 D5 E 比1% 2% 3% 4% 5% 7% 8% 9% 8% 8% 7% 6% 6% 6% 5% 4% 4% 3% 2% 1% 1% 例 分100 97 94 91 88 85 82 79 76 73 70 67 61 58 55 52 49 46 43 40 数 如果A考生某学科的原始成绩恰为所有选考该学科学生原始成绩的第80百分位数，则按等级赋分后，该考生此学科计人高考总分的分数为 （A）80

（B）82

（C）85

（D）88

（7）抛物线y2＝4x上的点到其焦点的距离的最小值为

（A）4

（B）2

（C）1

（D）

1 2（8）已知A，B，C，D，E是空间中的五个点，其中点A，B，C不共线，则“存在实数x，y，使得

DExAByAC是“DE//平面ABC”的

（A）充分而不必要条件

（B）必要而不充分条件

（C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件

（9）已知⊙C:x2－2x＋y2－1＝0，直线l:y＝x＋3，P为l上一个动点，过点P作⊙C的切线PM，切点为M，则| PM |的最小值为 （A）1

（B）2

（C）2

（D）6

（10）世界上最早在理论上计算出“十二平均律”的是我国明代杰出的律学家朱载堉，他当时称这种律制为“新法密率”十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它前一个单音的频率的比都相等，且最后一个单音是第一个单音频率的2倍.已知第十个单音的频率f10＝440 Hz，则与第四个单音的频率f4最接近的是 （A）880 Hz

第二部分（非选择题共70分）

二、填空题共5题，每题4分，共20分。

（11）抛物线y2＝6x的焦点到准线的距离为_____________.

（12）已知数列{an}的前n项和Sn＝n2－2n＋1，则a3＝_____________.

（13）已知双曲线的一条渐近线方程为y＝2x，则双曲线的方程可以为__________（写出一个正确答案即可）；此时，你所写的方程对应的双曲线的离心率为_____________.

（14）某学校为调查学生的身高情况，从高二年级的220名男生和180名女生中，根据性别采用按比例分配的分层抽样方法，随机抽取容量为40的样本，样本中男、女生的平均身高分别是178.6 cm，1.8 cm，该校高二年

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（B）622 Hz （C）311 Hz （D）220 Hz

级学生的平均身高估计为_____________cm.（精确到0.01 cm）

x2yy（15）在平面直角坐标系中，对于曲线C:221ab0，有下面四个结论：

ab①曲线C关于y轴对称；

②过平面内任意一点M，恰好可以作两条直线，这两条直线与曲线C都有且只有一个公共点； ③存在唯一的一组实数a，b，使得曲线C上的点到坐标原点距离的最小值为1；

④存在无数个点M，使得过点M可以作两条直线，这两条直线与曲线C都恰有三个公共点. 其中所有正确结论的序号是_____________.

三、解答题共6题，共50分。解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。 （16）（本小题7分）

已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a2＝4，S4＝20.等比数列{bn}满足b2是a1和a2的等差中项，且a1＋b2＝a2＋b1.

（I）求数列{an}的通项公式； （II）求数列{bn}的前n项和Tn

（17）（本小题8分）

已知圆C的圆心在直线x－2y＝0上，且与y轴相切于点（0，1）. （I）求圆C的方程；

（II）若圆C与直线l:x←y＋m＝0交于A，B两点，_________，求m的值. 从下列两个条件中任选一个补充在上面问题中并作答： 条件①：∠ACB＝ 120°； 条件②：| AB |＝23. 注：如果选择多个条件分别作答，则按第一个解答计分.

.

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（18）（本小题8分）

某农场为创收，计划利用互联网电商渠道销售一种水果，现随机抽取100个进行测重，根据测量的数据作出其频率分布直方图，如图所示.

（I）以每组中间值作为该组的重量，估计这100个水果中，平均每个水果的重量； （II）已知该农场大约有20万个这种水果，某电商提出两种收购方案： 方案一：按照10元/千克的价格收购；

方案二：低于2千克的按照15元/个收购，不低于2千克且不超过2.6千克的按照23元/个收购，超过2.6千克的按照40元/个收购.

请问该农场选择哪种收购方案预期收益更多？

（19）（本小题8分）

如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AC⊥BC，AC＝1，BC＝CC1＝2. （I）求证:BC⊥AB；

（II）在我段AC1上是否存在一点D，使得A1D与平面ABC1所成角为请说明理由。

AD？若存在，求出的值；若不存在，

AC13

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（20）（本小题9分）

1x2y2已知椭圆C:221（a＞b＞0）的离心率为，A，B为椭圆的左右顶点，过其右焦点F（1，0）的直线

ab2l交椭圆C于不同的两点M，N（异于A，B两点）. （I）求椭圆C的方程；

（II）设直线AM，BN的斜率分别为k1和k2，求

（21）（本小题10分）

已知{an}是无穷数列，给出两个性质：

①对于{an}中任意一项an（n≥3），在{an}中总存在两项ak，al（k>l），使得an＝2ak－al； ②对于{an}中任意两项ai，aj（i＞j），在{an}中总存在一项am，使得2ai－aj＝am.

（I）若n≥4时，an＝0，试写出数列{an}的前三项a1，a2，a3的一组值，使{an}满足性质①且不满足性质②； （II）若an＝2n＋1（n＝1，2，…），判断数列{an}是否同时满足性质①和性质②，说明理由； （III）若{an}是递增数列，且同时满足性质①和性质②，求证：{an}是等差数列.

k1的值： k2

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