2020年西城区高三模拟测试(二模)数学试题及答案

数学

2020.6

处,并将答案写在答题卡上,在试卷上作答无效。考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。

本试卷共6页,150分。考试时长120分钟。考生务必将条形码贴在答题卡规定

一、选择题:本大题共10小题,每小题4分,共40分.在每小题列出的四个选项中,},B={},则集合(1.设全集U=R,集合A={∪B=x|x<2x|x<1∁A)U()A)(-¥,2()C)(1,2

2􀭵,则z2.设复数z=1+i=

第Ⅰ卷

(选择题 共40分)

选出符合题目要求的一项.

(B)[2,+¥)

()D)(-¥,1∪[2,+¥)

(A)-2i(B)2i(C)2-2i(D)2+2i

3.焦点在x轴的正半轴上,且焦点到准线的距离为4的抛物线的标准方程是

(A)x2=4y2

(B)xy=4

(C)x2=8yπ

,则cosB=6

2

(D)xy=8

4.在锐角△ABC中,若a=2,b=3,A=

3

(A)

4

3(B)4

7(C)433(D)4

1

5.函数f(x)=x-是

x(A)奇函数,且值域为(0,+¥)(C)偶函数,且值域为(0,+¥)

(B)奇函数,且值域为R(D)偶函数,且值域为R

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2

6.圆x2+x-2y+4y+1=0截x轴所得弦的长度等于

(A)2(B)23(C)25(D)4

7.设a,b,c为非零实数,且a>b>c,则

(A)a-b>b-c(C)a+b>2c111(B)<<

abc(D)以上三个选项都不对

1

,则|a+xb|(x∈R)的最小值为2

(D)28.设向量a,b满足|a|=|b|=1,a·b=

5(A)2

3(B)2

(C)1

{为等比数列,则“对于任意的m∈N*,为递增数列”的9.设{aam+2>am”是“an}n}

(A)充分而不必要条件(C)充分必要条件

(B)必要而不充分条件(D)既不充分也不必要条件

香囊内通常填充一些中草药,有清香、驱虫、开窍的功10.佩香囊是端午节传统习俗之一.

效.因地方习俗的差异,香囊常用丝布做成各种不同的形状,形形色色,玲珑夺目.

图1的▱A将它沿虚线折起来,可得图2所示的六面BCD由六个正三角形构成.体形状的香囊.那么在图2这个六面体中,棱AB与CD所在直线的位置关系为

图1图2

(A)平行(B)相交(C)异面且垂直(D)异面且不垂直

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第Ⅱ卷

(非选择题 共110分)

二、填空题:本大题共5小题,每小题5分,共25分.

6

的展开式中,x的系数为1+511.在(x)

.

;使得数列{前n项an}

中,若a1+6,12.在等差数列{aa2=1a5=1,则a1=n}

的和Sn取到最大值的n=

.

13.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积

为

.

x2y2

)若m(14.能说明“n+2≠0,则方程+=1表示的曲

mn+2

线为椭圆或双曲线”是错误的一组m,n的值是

.

x),],的定义域为R,满足f(且当x∈(时,15.已知函数f(x)x+2=2x)02x)-3.=2f(f(

有以下三个结论:)①f(-1=-1;211]上有三个不同的实根;②当a∈(,]时,方程f(x)=a在区间[-4,4

42③函数f(x)有无穷多个零点,且存在一个零点b∈Z.其中,所有正确结论的序号是

.

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三、解答题:本大题共6小题,共85分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演

算步骤.

本小题满分116.(4分)

(Ⅰ)求证:BC1∥平面AB1D;

中点,且AC=BC=AA1=2.

如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,CC1⊥底面ABC,AC⊥BC,D是A1C1的

(Ⅱ)求直线BC与平面AB1D所成角的正弦值.

本小题满分117.(4分)

(已知函数f(x)=Asinωx+A>0,ω>0,0<φ)(φ<件中的三个:

π

)同时满足下列四个条2

π)=0.6

)①最小正周期为π; ②最大值为2; ③f(0=-1; ④f(-(Ⅱ)求函数f(x)的单调递增区间.

(x)的解析式,并说明理由;Ⅰ)给出函数f(

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本小题满分118.(4分)

随着科技的进步,视频会议系统的前景愈加广阔.其中,小型视频会议软件格外受

,C,D,E,F人青睐.根据调查统计,小型视频会议软件下载量前6名的依次为A,B.

在实际中,存在很多软件下载后但并未使用的情况.为此,某调查公司对有视频会议需求的人群进行抽样调查,统计得到这6款软件的下载量W(单位:人次)与使用,数据用柱状图表示如下:量U(单位:人次)

U定义软件的使用率t=,当t≥0有效下载软件”.9时,称该款软件为“.调查公

W司以调查得到的使用率t作为实际中该款软件的使用率.

(有效下载软件”的概率;Ⅰ)在这6款软件中任取1款,求该款软件是“

布列与数学期望;

(Ⅲ)将(Ⅰ)中概率值记为x%.对于市场上所有小型视频会议软件,能否认为这些软

?说明理由.件中大约有x%的软件为“有效下载软件”

(有效下载软件”的数量为X,求X的分Ⅱ)从这6款软件中随机抽取4款,记其中“

本小题满分119.(5分)(Ⅰ)求a的值;

,)),)设函数f(其中a∈R.曲线y=在点(处的切线经过点(x)=axlnx,x)1132.f(f(

x2(x)>x-.Ⅲ)证明:f(

ee(Ⅱ)求函数f(x)的极值;

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本小题满分120.(4分)

(Ⅰ)求椭圆E的方程;

x2y23),),离心率为已知椭圆E:2+2=经过点C(1(a>b>001.O为坐标原点.

2ab,(设A,右顶点,D为椭圆E上一点(不在坐标轴上)直线CⅡ)B分别为椭圆E的左、D→→

,求证:C,交x轴于点P,Q为直线AD上一点,且OP·OQ=4B,Q三点共线.

本小题满分121.(4分)

)表示位于第m行第n列的数.将表1中每一am,m=1,2,…,40;n=1,2,…,20n(,其中i=1,)表2(即bb2,…,39;2,…,20.i,i+1,j=1,j≥j表1

如图,表1是一个由40×20个非负实数组成的40行20列的数表,其中

,得到列的数都按从大到小的次序从上到下重新排列(不改变该数所在的列的位置)

表2

a1,1a2,1…

a1,2a2,2…

…………

a1,20a2,20

…

b1,1b2,1…

b1,2b2,2…

…………

b1,20b2,20

…

a40,1

a40,2

a40,20b40,1

b40,2

b40,20

((,,…,Ⅰ)判断是否存在表1,使得表2中的b40;2,…,20)等于i,j=1,ji=12(,,,…,;,,…,,都有b且对于任意的i=Ⅱ)如果b112391220b140,20=i,i+1,j=j-j≥

;证明:b781,1≥

-j结论不需要证明)100-i-j?等于i+2呢?(

,,…,;,,…,,都有b成立,对于任意的m=1240n=1219b2成立,m,n-m,n+1≥

(,,…,),求最小的正整数k,使得任给i≥Ⅲ)若aaa19(i=1240k,1+2+…+20≤i,i,i,

都有bbb19成立.i,1+i,2+…+i,20≤

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西城区高三模拟测试

数学参

一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.1．D6.B2．A7.C3．D8.B4．C9.C5.B10.B2020.6二、填空题：本大题共5题，每小题5分，共25分.11．3014．答案不唯一.如m3，n112．9，515．①②13．45+4

注：第12题第一问3分，第二问2分；第15题全部选对得5分，不选或有错选得0分，其他得3分.三、解答题：本大题共6小题，共85分.其他正确解答过程，请参照评分标准给分.16．（本小题满分14分）解：（Ⅰ）如图，连接A1B.设A1BAB1E，并连接DE.由三棱柱ABCA1B1C1，得A1EBE.…………2分又因为D是A1C1的中点，所以BC1//DE.………………4分A1

EAxCByDC1zB1

又因为BC1平面AB1D，DE平面AB1D，所以BC1//平面AB1D.………………6分（Ⅱ）因为CC1底面ABC，ACBC，所以CA，CB，CC1两两垂直，故分别以CA，CB，CC1为x轴，y轴，z轴，如图建立空间直角坐标系，则C(0,0,0)，B(0,2,0)，A(2,0,0)，B1(0,2,2)，D(1,0,2)，所以AB1(2,2,2)，B1D(1,2,0)，BC(0,2,0)，北京市西城区2020年6月高三数学参………………7分………………8分第1页（共7页）设平面AB1D的法向量n(x,y,z)，2x2y2z0,由AB1n0，B1Dn0，得x2y0,令y1，得n(2,1,1).设直线BC与平面AB1D所成的角为，BCn6则sin|cosBC,n||，|6|BC||n|………………11分所以直线BC与平面AB1D所成角的正弦值为6.6………………14分17．（本小题满分14分）解：（Ⅰ）若函数f(x)满足条件③，则f(0)Asin1.这与A0,0

π

矛盾，故f(x)不能满足条件③，2

………………2分所以函数f(x)只能满足条件①，②，④.由条件①，得2π||

π，………………4分………………5分又因为0，所以2.由条件②，得A2.由条件④，得f()2sin(又因为0

π6π

)0，3

ππ，所以.23π

所以f(x)2sin(2x).3πππ（Ⅱ）由2kπ≤2x≤2kπ+，kZ，232………………8分………………10分………………12分5ππ,kπ+]，kZ.1212得kπ5ππ≤x≤kπ+，1212所以函数f(x)的单调递增区间为[kπ（注：单调区间写成开区间亦可.）………………14分北京市西城区2020年6月高三数学参第2页（共7页）18．（本小题满分14分）解：（Ⅰ）根据数据，可得软件A，B，C，D，E，F的使用率tA91840.9，tB0.9，9691tC69630.9，tD0.9，tE0.9，tF0.9.85746965所以软件A，B，E，F为“有效下载软件”.………………2分记事件M为“在6款软件中任取1款，该款软件是有效下载软件”，………3分则事件M的概率P(M)

42

.63………………4分………………5分（Ⅱ）随机变量X的可能取值为2，3，4.21C2C3C42814C24C24则P(X2)，，.……8分P(X3)P(X4)444C65C615C615所以随机变量X的分布列为：XP23425815115………………9分所以随机变量X的数学期望EX2

2818

34.………………10分515153………………12分（Ⅲ）不能认为大约有x%的软件为“有效下载软件”.理由如下：若根据这6款软件中“有效下载软件”的概率来估计所有软件中“有效下载软件”的频率，即是用样本估计总体.用样本估计总体应保证总体中的每个个体被等可能抽取.但此次调查是“从有视频会议需求的人群”中做调查，且有针对性只选取“下载量排名前6名”的软件，不是从所有软件中随机抽取6款作为样本.故不能认为大约有x%的软件为“有效下载软件”.………………14分19．（本小题满分15分）解：（Ⅰ）由f(x)axlnx，得f(x)alnxa，………………2分北京市西城区2020年6月高三数学参第3页（共7页）则f(1)0，f(1)a.所以曲线yf(x)在点(1,f(1))处的切线为ya(x1).将点(3,2)代入切线方程，得a1.（Ⅱ）由题意，得f(x)xlnx，f(x)lnx1.令f(x)0，得x

………………4分………………5分1.e………………7分随着x变化，f(x)与f(x)的变化情况如下表所示：x

f(x)f(x)

1(0,)e1e0极小值1

(,+)e

↘

↗………………9分11

所以函数f(x)在(0,)上单调递减，在(,+)上单调递增.ee11

所以函数f(x)存在极小值，且极小值为f()；函数f(x)不存在极大值.ee………………10分（Ⅲ）“f(x)

x2x2xlnx0”.”等价于“………………11分exeexe11

由（Ⅱ），得f(x)xlnx≥-（当且仅当x时等号成立）.①eex21x

所以xlnxx≥x.eeee1x故只要证明x≥0即可（需验证等号不同时成立）.………………12分ee1xx1

设g(x)x，x(0,+)，则g(x)x.………………13分eeex1x1因为当x(0,1)时，g(x)x0；当x(1,)时，g(x)x0，ee所以函数g(x)在(0,1)上单调递减，在(1,+)上单调递增.所以g(x)≥g(1)0（当且仅当x1时等号成立）.因为①②两个不等式中的等号不同时成立，所以当x(0,)时，f(x)

②x2.xee………………15分北京市西城区2020年6月高三数学参第4页（共7页）20．（本小题满分14分）解：（Ⅰ）由题意，得b1，c3.a2………………2分………………3分又因为a2b2c2，所以a2，c3.x2

故椭圆E的方程为y21.4（Ⅱ）A(2,0)，B(2,0).2x02

设D(x0,y0)(x0y00)，则y01.4………………5分………………6分所以直线CD的方程为y

y01

x1，x0x0,0).1y0………………7分令y0，得点P的坐标为(

………………8分4(1y0)

Q(x,y)x设（显然xQ2）.……9分QQ，由OPOQ4，得Qx0直线AD的方程为y

y0(x2)，x02

………………10分将xQ代入，得yQ

y0(44y02x0)4(1y0)y0(44y02x0)

Q(,).，即x0(x02)x0x0(x02)………………11分故直线BQ的斜率存在，且kBQ

yQxQ2

y0(44y02x0)

……12分(x02)(44y02x0)22y02y0x0y024x02x0y04y022y02y0x0y012.4y02x0y04y02…………13分又因为直线BC的斜率kBC1，2………………14分所以kBCkBQ，即C,B,Q三点共线.北京市西城区2020年6月高三数学参第5页（共7页）21．（本小题满分14分）解：（Ⅰ）存在表1，使得bi,j100ij；不存在表1，使得bi,j等于i2j.………3分1，（Ⅱ）因为对于任意的i1,2,,39；j1,2,,20，都有bi,jbi1,j≥

所以b1,20b2,20≥1，b2,20b3,20≥1，，b39,20b40,20≥1，所以(b1,20b2,20)+(b2,20b3,20)++(b39,20b40,20)≥39，即b1,20≥b40,203940.………………6分又因为对于m1,2,,40；n1,2,,19，都有bm,nnm,n1≥2，所以b1,1b1,2≥2，b1,2b1,3≥2，，b1,19b1,20≥2，所以(b1,1b1,2)+(b1,2b1,3)++(b1,19b1,20)≥38，所以b1,1≥b1,2038≥403878.即b1,1≥78.（Ⅲ）当表1如下图时：001111110011111100………………8分11111111111111111111111100111100其中，每行恰好有1个0和19个1；每列恰好有2个0和38个1；因此每行的和均为19.符合题意.重新排序后，对应表2中，前38行中每行各数均为1，每行的和均为20；后2行各数均为0，因此k≥39.………………10分以下先证：对于任意满足条件的表1，在表2的前39行中，至少包含原表1中某一北京市西城区2020年6月高三数学参第6页（共7页）行（设为第r行）的全部实数（即包含ar,1,ar,2,,ar,20）.假设表2的前39行中，不能包含原表1中任一行的全部实数.则表2的前39行中至多含有表1中的4019760个数，这与表2中前39行有3920780个数矛盾.所以表2的前39行中，至少包含原表1中某一行（设为第r行）的全部实数.………………12分20）其次，在表2中，根据重排规则得：当i≥39时，bi,j≤b39,j≤ar,（，jj1,2,，

所以bi,1bi,2bi,20≤ar,1ar,2ar,20≤19.所以k≤39.综上，k39.………………14分北京市西城区2020年6月高三数学参第7页（共7页）