北京市西城区2021下学期高一年级期末考试数学试卷

本试卷共150分。考试时长120分钟。 第一部分 （选择题 共50分）

一、选择题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。 1 下列各角中，与27°角终边相同的是

A 63° B 153° C 207° 2 圆柱的母线长为5cm，底面半径为2cm，则圆柱的侧面积为 A 20 πcm2 B 10 πcm2 3 sin（

C 28 πcm2

D 387° D 14 πcm2

2A sin

）=

B cos

C -sin

D -cos

4 设∈（-π，π），且cos=-

1，则= 2

22或 332C -或

33A -5 设a，b均为单位向量，且a·b=A 3

B

或 332 D -或 33B -

1，则|a2b|= 4C 6

D 9

6

6 下列四个函数中，以π为最小正周期，且在区间（0，A y=sin2 C y=tan

B y=cos2 D y=sin

）上为增函数的是 2x 27 向量a，b在正方形网格中的位置如图所示，则=

A 45° B 60° C 120° D 135° 8 设，∈（0，π），且>，则下列不等关系中一定成立的是 A sinB sin>sin D cos>cos

9 将函数f(x)=sin2的图像向右平移φ（0<φ≤函数的部分图像如图所示，则φ=

）个单位，得到函数g(x)的图像。在同一坐标系中，这两个2A

 6B

 4 C

 3 D

 2

10 棱锥被平行于底面的平面所截， 得到一个小棱锥和一个棱台。小棱锥的体积记为y，棱台的体积记为，则y 与 的函数图像为

A B C D

第二部分 （非选择题 共100分）

二、填空题共6小题，每小题4分，共24分。 11 已知圆的半径为2，则

的圆心角所对的弧长为 。 51，则sin312 在平面直角坐标系Oy中，角与角均以O为始边，它们的终边关于轴对称。若sin== 。

13 向量a，b满足|b|=1，a·b=1。若 （λa-b）⊥b，则实数λ= 。

14 已知正方体ABCD-A1B1C1D1的八个顶点在同一个球面上。若正方体的棱长是2，则球的直径是________；球的表面积是 。 15 已知函数f(x)cosx,x0,给出下列三个结论：

sinx,0x.①f(x)是偶函数； ②f(x)有且仅有3个零点； ③f(x)的值域是。

其中，正确结论的序号是 。 16 设函数f(x)=sin（ω

）（ω>0）。若f(x)≥f()对任意的实数都成立，则ω的最小值为 。

36

三、解答题共6小题，共76分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。 17 （本小题12分） 已知∈（0，

4），且cos=。

52sin2的值。

（Ⅰ）求tan的值； （Ⅱ）求sin2

218 （本小题13分）

如图，正三棱锥P-ABC的底面边长为2，侧棱长为3。

（Ⅰ）求正三棱锥P-ABC的表面积； （Ⅱ）求正三棱锥P-ABC的体积。 19 （本小题12分）

在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c。C=（Ⅰ）求sinB的值；

（Ⅱ）若c-a=5-10，求△ABC的面积。 20 （本小题14分） 已知函数f(x)=

53，sinA=。

cos2x。

sinxcosx（Ⅰ）求f(x)的定义域； （Ⅱ）求f(x)在区间

上的最大值； 2（Ⅲ）求f(x)的单调递减区间。 21 （本小题12分）

如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为CC1的中点。

（Ⅰ）在图中作出平面AD1E和底面ABCD的交线，并说明理由； （Ⅱ）平面AD1E将正方体分成两部分，求这两部分的体积之比。 22 （本小题13分）

如图，在扇形OAB中，∠AOB=120°，半径OA=OB=2，P为弧AB上一点。

（Ⅰ）若OA⊥OP，求PAPB的值； （Ⅱ）求PAPB的最小值。

参

一、选择题（共10小题，每小题5分，共50分）

1 D 2 A 3 B 4 A 5 B 6 C 7 D 8 C 9 C 10 A

二、填空题（共6小题，每小题4分，共24分） 11

2 5

13 1 15 ②③

1 314 23；12π

12 -16 2

注：（14）题每空2分；（15）题少解给2分，有错解不给分。

三、解答题（共6小题，共76分） 17 （共12分）

解：（Ⅰ）因为(0,2)，cos=

4， 5所以sin1cos2所以tan3 … 3分 5sin3……… 6分 cos434（Ⅱ）因为sin=，cos=，

551cos所以sin2sin2=2sincos ……… 10 分

2253= …… 12 分 5018（共13分）

解：（Ⅰ）取BC的中点D，连接PD。

22在Rt△PBD中，PD=PBBD22，………1 分

所以S△PBC=

1BCPD22。 ………3 分 2因为正三棱锥的三个侧面是全等的等腰三角形，

所以正三棱锥P-ABC的侧面积是3S△PBC= 62。…… 5 分 因为正三棱锥的底面是边长为2的正三角形， 所以正三棱锥P-ABC的底面积为3，…… 7分

所以正三棱锥P-ABC的表面积为623。 …… 8 分

（Ⅱ）连接AD，设点O是正△ABC的中心，则PO垂直于底面ABC， 且OD=

31AD=。 ……… 10分

332269，……… 11分 3231所以正三棱锥P- ABC的体积为S△ABC ·PO=。 ……… 13分

33在Rt△POD中，PO=PDOD

19（共12分）

3，所以A（0，）。 ……… 1分 44252所以cos A=1sinA。……… 3 分

5解：（Ⅰ）因为C=由已知得B=

4A， ……… 4 分

10cosA- cossinA=。……… 6 分

10444ac（Ⅱ）由正弦定理得， ……… 8 分 sinAsinC所以sinB=sin（

A）=sin

asinA10。……… 9 分 csinC5又因为ca510，

所以

解得a=10，c=5。……… 10分 所以S△ABC=20（共14分）

解：（Ⅰ）由sin cos ≠0， …… 1分 得2sin（所以

15ac sinB= 12 分 22）≠0，……… 2 分 4≠π，其中Z。 ……… 3分 4所以f(x)的定义域为{ | ≠π-，Z}。………4分

4cos2xsin2x（Ⅱ）f(x)= ……… 6分

sinxcosx=cosxsinx ……… 7分

=2cos(x)。 ……… 8分

4因为0≤≤，

23所以≤≤，……… 9分

444所以当=，即=0时，f(x)取得最大值1。……… 11分

44（Ⅲ）因为函数ycosx的单调递减区间为 （Z）。……… 12分

≤ 2 ππ，≠π-（Z），……… 13分 443得2π-<<2 π（Z）。

443所以f(x)的单调递减区间为（2π-，2π（Z）。……… 14分

44由2 π ≤ 21（共12分）

解：（Ⅰ）在正方形DCC1D1中，直线D1E与直线DC相交，

设D1EDC=F，连结AF。……… 2分 因为FDC平面ABCD，

且FD1E平面AD1E。 ……… 4分 所以平面AD1E底面ABCD=AF。… 5分

（Ⅱ）设BCAF=G，连结GE。 由E为CC1的中点，得G为BC的中点， 所以EG V棱台CGEDAD1VFDAD1VFCGE

7717717VFDAD1SDAD1FD23共13分） 883333解：（Ⅰ）当OA⊥OP时，在△POB中，由余弦定理，得

PB2=OB2OP2-2OB·OP cos∠POB

=2222-2×2×2×cos 30° =8-43， ……… 2分 所以|PB|=62。……… 3 分

又因为|PA|=22，∠APB=120°，

所以PA·PB=|PA||PB| cos∠APB=2-23。……… 5 分

（Ⅱ）以O为原点，OA所在直线为轴，建立如图所示的直角坐标系。 ……… 6分

由题意知A（2，0），由∠AOB=120°，得B（-1，3）。

设P（2cos，2sin），其中

23。……… 7分 则PA·PB=（2-2cos，-2sin）·（-1-2 cos，3-2sin）=-2-2cos4 cos2-23sin4sin2

=-2 cos-23sin2

=-4sin（6）2。……… 10分 因为2366，51662，……… 11分 所以当=3时，PA·PB取得最小值-2。……… 13分

分

……… 8