第3章 2气藏物质平衡方法

对于水驱气藏，欲想用物质平衡方法计算原始地质储量及进行动态预测，首先必须解决水侵量的计算问题。为此，本节介绍计算水侵量的不同模型。这一内容属于物质平衡方法中的一个难点。

气藏的实际开发经验表明：很多气藏都与外部的天然水域相连通。而且，外部的天然水域既可能是具有外缘供给的敝开水域，也可能是封闭性的有限边底水。因此，某些气藏的外部天然水域可能很大，十分活跃，会严重影响气藏的采收率，因而必须加以考虑。而对于断块型和受岩性圈闭的气藏，外部水域通常很小，对气藏的开发动态无明显影响。

在气藏开发过程中，随着天然气的采出，气藏内部的地层压力下降，必将逐步向外部天然水域以弹性方式传播，并引起天然水域内的地层水和储层岩石的弹性膨胀作用。在天然水域与气藏部分的地层压差作用下，即会造成天然水域对气藏的水侵。随着气藏的开发，地层压降波及的范围会不断扩大，直至达到天然水域定压边界（或相当于无限大天然水域）的稳态供水条件，或有限封闭水域的拟稳态供水条件。因此，对于那些外部天然水域很大的气藏，随着气藏的开发和地层压力的下降，天然水侵的补给量也将不断增加，气藏的地层压力下降率也会随之不断减小。当达到天然水域与气藏之间的供采平衡时，气藏的地层压力将趋于稳定。如果提高气藏的采出量，而天然水侵量又小于采出量时，气藏地层压力的下降率将随之增加，并将调整到新的可能的供采平衡条件。这一现象称之为天然水驱气藏的供采敏感性效应。气藏天然水侵的强弱，主要取决于天然水域的大小、几何形状、地层岩石物性和流体物性的好坏，以及天然水域与气藏部分的地层压差等因素。

目前，计算水侵量的方法主要有稳态水侵、准稳态水侵、小水体水侵以及不稳定水侵模型等。其中，不稳定水侵模型应用最广泛。此外，根据天然水侵的几何形状，又可分为直线法、平面径向流法和半球形流法三种方式，如图3-4所示。

图3-4 天然水侵的不同方式图 一、稳定流法

对于一个具有广阔天然水域或有外部水源供给的气藏，气藏和水域属于一个水动力学系统。这时可将气藏部分简化为一口井底半径为rw的“扩大井”。扩大井的半径rw实际上

1

为气藏的气水接触面的半径，或称为天然水域的内边界半径；天然水域的外缘半径，则称为天然水域的外边界半径。在原始条件下，气藏内部含气区和天然水域的地层压力都等于原始地层压力pi。当气藏投入生产t时间后，气藏内边界上的压力（即气藏地层压力）下降到p，在考虑天然水域的地层水和岩石的有效弹性影响的条件下，Schilthuis1936年基于达西稳定流定律，得到了估算天然水侵量的如下表达式：

tWk0(pip)dt e (3-36）

dWe/dtk(pip)[2]

式中：We—天然累积水侵量，m；

3

pi—原始地层压力，MPa；

p—气藏开采到t时刻的地层压力，MPa； t—开采时间，d；

k—水侵常数，m3/(MPa•d)，它与天然水域的储层物性、流体物性和气藏边界形状有

⑴ 对于平面径向流系统稳态水侵，水侵常数为：

关。下面分别介绍其计算公式：

k2.6kwh rewlnrw式中：k—水侵常数，m/MPa•d；

3

kw—水域地层的渗透率，μm2； h—天然水域有效厚度，m； re—天然水域的外缘半径，m； rw—气水接触面半径，m。

⑵ 对于直线流系统稳态水侵，水侵常数为：

k86.40bkwh

wLw式中： Le—气水接触面到天然水域外缘的长度，m；

b—天然水域的宽度，m。

其余符号意义同前。

⑶ 对于半球形流系统稳态水侵，水侵常数为：

k2.6kwrwsre

rerws式中： rws—半球形流的等效气水接触球面半径，m。其余符号的意义同前。

值得指出的是：天然水驱气藏的实际开采动态表明，(3-36）式中的K有时并不是一

2

个常数，而是一个随时间变化的变量。因此后来曾有人对(3-36)式作过修正。

二、非稳定流法

当气藏具有较大或广阔的天然水域时，作为一口“扩大井”的气藏，由于开采所造成的地层压力降，必然连续不断地向天然水域传递，并引起天然水域内地层水和岩石的有效弹性膨胀。当地层压力的传递尚未波及到天然水域的外边界之前，或者天然水域是封闭性的，这时天然水域中的水向气藏的水侵过程即为一个不稳定的过程。而前面所讲的稳定水侵是有条件的、相对的。

对于不稳定水侵过程，不同的学者基于不同的流动方式和天然水域的外边界条件，提出了计算天然水侵量的不同的不稳定流法。

图3-5 圆形封闭天然水域系统 rre e rw rw 1.平面径向流不稳定水侵

这里我们介绍Van Everdingen和Hurst等人在假设气藏内边界处(即扩大井井壁上)压力为常数的情况下，所推导出的天然累积水侵量的计算表达式。

1)数学模型的建立与求解

考虑如图7-5所示的圆形封闭性的天然水域系统。假设水域中岩石和流体的性质均匀分布，并且各处的厚度相等。在此条件下，可写出水域中单相水流动的数学模型

［１］

：

2p1pwCep2rrKwtrp|t0pi  (3-37）

p|rrwpwf(常数)p|rr0re为了求解方便，形式统一，定义如下无因次变量：

rrDrwKwt tD (3-38） 2wCerwpip(r,t)pDpipwf将(3-38）式代入(3-37）式得到如下的无因次模型：

3

pDpD1(r)rrDrtDDDDpD|tD00 pD|rD11 (3-39）

pr0(其中reDe)DrrwDrDreD以上各式中：

Φ—天然水域的有效孔隙度，f；

µw—天然水域内地层水的粘度，mPa·S；

Kw—天然水域的有效渗透率，10-3 µm2；

Ce—天然水域中的有效压缩系数（Cw+CP），1/MPa； rw—气水接触面半径（即扩大井半径），m； re—天然水域的外缘半径，m；

pwf—气水接触面上的压力（或含气区的平均压力），MPa； pi—原始地层压力，MPa。

应用拉普拉斯（Laplace）变换求解(3-39）式可得到pD（tD，rD）的具体表达式。 因供水区内pD（tD，rD）实用意义不大，我们关心的是累积水侵量We。根据扩大井处

的达西公式，可写出下式：

qe(t)2Kwhw(rp)rrw (3-40） r式中：qe(t)—t时刻对应的水侵速度；

h—天然水域的有效厚度，m。

对(3-40）式积分，得

Weqe(t)dt0t2Kwhwt0(rp)rrdt (3-41) rw由(3-38)式引入的无因次变量可得如下两式：

pDpDpr1prw (3-42） rDprrDpr dt2wCerwKwdtD (3-43)

将(3-42)和(3-43)式代入(3-41)式，得：

4

We2rwhCep令 ：

QD(tD,reD)则

2tD0(pD)rD1dtD (3-44） rDtD0(pD)r1dtD (3-45） rDD2 We2rwhCepQD(tD,reD) (3-46）

如令：

2 BR2rwhCe (3-47)

则

WeBRpQD(tD,reD) (3-48) 从上面的推导过程可以看出，在气藏含气区的平均压力（或气水接触面上的压力）保持不变的条件下，计算累积水侵量的关键是计算QD(tD，reD)。QD(tD，reD)称为无因次水侵量，根据前面导出的天然水域内无因次压力pD（tD，rD）的具体表达式即可算出。但是，在气藏的实际开发过程中，气水接触面上（即气藏平均）压力是不断下降的，并非为常数，此时则不能用(3-48)式进行水侵量的计算了。这时，可采用叠加原理进行计算。即将压力的连续变化处理成“台阶状”形式，认为在某一阶段内为定值，如图7-6所示。

2)平面径向流累积水侵量计算的叠加原理

根据(3-48)式，由叠加原理可写出气藏平均(或气水接触面上)压力不稳定时的天然累积水侵量的表达式为：

时间， t

图7-6 不同开发阶段求解有效地层压降示意图 5

WeBRpeQD(tD,reD) (7–49)

0t式中：BR—水侵系数，m/MPa；

Δpe—气藏平均（或气水接触面上）的有效地层压降（如图7–6所示），MPa。

不同开发时间的有效地层压降，由下列各式确定： pe0pip1pi3

(pip1)pip1 22 pe1p1p2(pip1)(p1p2)pip2 222(p1p2)(p2p3)p1p3 222(pn1pn)(pnpn1)pn1pn1

222 pe2p2p3penpnpn1QD(tD，reD)为无因次水侵量，它是由下面表示的无因次时间和无因次半径的函数：

图3-7 平面径向流系统无限大天然水域和有限封闭天然水域的QD（tD）与tD的关系图

8.102KwttDRt (3-50） 2wCerw6

reDre/rw (3-51）

式中：tD—无因次时间；

reD—无因次半径； t—开发时间，d；

βR—平面径向流的综合参数，1/d。

对于无限大天然水域和不同reD的有限封闭天然水域的无因次水侵量QD(tD)和无因次时

对于一个实际的气藏，如果周围的天然水域不是一个整圆形，而是圆形的一部分（即

间tD的关系图，如图7-7所示。

扇形），或由面积等值方法折合的某个半径的扇形，则由(3-47）式表示的水侵系数，应改为下式表示：

2BR2rwhCe360 (3-52）

式中：θ—水侵角，度。

3)无因次水侵量计算的相关经验公式

在实际应用中，给定无因次半径reD和平面径向流综合参数βR值后，根据天然水域的外边界条件，对于不同开发时间的无因次累积水侵量，虽然可查图7-7或其对应的数据表获得，但十分费时又不便于编程计算。因此，胜利石理局地质科学研究院的廖运涛应用数理统计方法，得到了计算无因次水侵量的相关经验公式。现分情况和条件列出如下：

⑴有限封闭的天然水域系统

对于不同的reD值，QD(tD，reD)与tD的关系式如下：

① reD=1.5 当tD0.05时

[4]

QD(tD)21.1283tD1.1933tD0.2699tDtD0.008553tD10.6166tD0.0413tD (3-52)

当0.05tD0.8时

QD(tD)0.13193.4491tD9.88tD11.8813tD5.4741tD (3-53） 当tD0.8时

234QD(tD)0.624 (3-)

②reD2.0 当tD0.075时, QD(tD)的关系式与(3-52)式相同。当

0.075tD5.0时

2345QD(tD)0.19762.2684tD1.6845tD0.628tD0.1134tD7.8232103tD (3-55）

当tD5.0时

QD(tD)1.5 (3-56)

7

③ reD2.5 当tD0.15时, QD(tD)的关系式同(3-52)式。当0.15tD10时

23QD(tD)0.2861.7034tD0.5501tD9.259102tD7.7672.10t2.0110t34D45D

(3-57)

当tD10时

QD(tD)2.624 (3-58)

④ reD3.0 当tD0.40时, QD(tD)的表达式与(3-52)式相同。当0.4tD24时

23QD(tD)0.45521.2588tD0.187tD1.3836102tD (3-59）

4.9910t6.850210t44D65D当tD24时

QD(tD)4.00 (3-60)

⑤ reD3.5 当tD1时, QD(tD)的表达式为(3-52)式。当1tD40时

23QD(tD)0.66861.0438tD9.2077102tD4.0633103tD8.728610t7.221110tD75D (3-61）

当tD40时

QD(tD)=5.625 (3-62)

⑥ reD4.0 当tD2时, QD(tD)的表达式为(3-52)式。当2tD50时

23QD(tD)0.78010.9569tD5.65102tD1.8784103tD (3-63）

2.993710t1.875510tD75D当tD50时

QD(tD)7.497 (3-)

⑦ reD4.5 当tD2.5时, QD(tD)的表达式为(3-52)式。当2.5tD100时

23QD(tD)1.73280.6301tD1.7931102tD2.1127104tD8.728410t当tD100时

74D (3-65)

QD(tD)9.62 (3-66)

8

⑧ reD5.0 当tD3时, QD(tD)的表达式为(3-52)式。当3tD120时

23QD(tD)1.24050.758tD2.21474102tD3.2172104tD2.272710t6.19210t当tD120时

D95D (3-67）

QD(tD)=12.00 (3-68)

⑨ reD6.0 当tD6.0时, QD(tD)的表达式为(3-52)式。当6.0tD220

23QD(tD)2.65520.5306tD6.7399103tD3.5673105tD6.6510t当tD220时

84D (3-69）

QD(tD)=17.50 (3-70)

⑩ reD8.0 当tD9.0时, QD(tD)的表达式为(3-52)式。当9.0tD500时

23QD(tD)2.42680.562tD4.4381103tD1.7084105tD3.139510t2.1910t当tD500时

84D115D (3-71）

QD(tD)31.50 (3-72)

⑾ reD10.0 当tD15时, QD(tD)的表达式为(3-52)式。当15tD480时

QD(tD)exp[0.51050.3652lntD0.1684(lntD)22.2102(lntD)3]

(3-73)

(2)无限大天然水域系统 当0tD0.01时

QD(tD)2当0.01tD200时

tD (3-74)

QD(tD)当tD200时

21.1283tD1.1933tD0.2699tDtD0.008553tD10.6166tD0.0413tD (3-75)

QD(tD)

2.02566tD4.2988 (3-76)

lntD9

2.直线流系统的天然累积水侵量

Nabor和Barham给出的直线流系统天然累积水侵量的表达式为：

[2]

WebhLwCepeQD(tD) (3-77）

ot若令 ：

BLbhLwCe (3-78）

则得

WeBL式中：We—天然累积水侵量，m；

3

pQeotD(tD) (3-79）

BL—直线流系统的水侵系数，m3/MPa； b—天然水域的宽度，m； h—天然水域的有效厚度，m；

φ—天然水域的有效孔隙度，f；

LW—油水接触面到天然水域外缘的长度, m。

直线流系统的无因次时间表示为：

8.102KwttDLt (3-80）

wCeL2w 在实际计算时，可以利用如下的相关经验公式计算无因次水侵量。

1)无限大天然水域系统

QD(tD)2tD/ (3-81)

2)有限封闭天然水域系统

2n2tD1QD(tD)12(2)exp() (3-82)

4n1n83)有限敞开外边界定压天然水域系统

12QD(tD)(tD)23(n11)exp(n22tD) (3-83) 2n当tD0.25时，上述三种天然水域条件的QD(tD)均等于2tD/。而当tD2.5时，有限敞开外边界定压天然水域系统的QD(tD)tD1；有限封闭天然水域系统的3QD(tD)1。

10

3. 半球形流系统的天然累积水侵量

Chatas给出底水气藏开发的半球形流系统的天然累积水侵量的表达式为

3wst［２］

：

We2rCepeQD(tD) (3-84）

o若令 ：

3 Bs2rwsCe (3-85）

则得

WeBs3

pQeotD(tD) (3-86）

式中：BS—半球形流的水侵系数，m/MPa；

rws—半球形流的等效气水接触球面半径，m。

半球形流系统的无因次时间表示为：

8.102KwttDst (3-87） 3wCerws对于半球形流的不同天然水域情况，可采用以下相关经验公式计算无因次水侵量。 1)无限大天然水域系统

无限大天然水域的QD(tD)与tD的相关经验公式为：

QD(tD)tD2[4]

tD (3-88)

2)有限封闭天然水域系统

① reD2.0 当tD0.07时, QD(tD)的表达式为(3-88)式。当0.07tD10时

QD(tD)exp[0.57470.413lntD0.14(lntD)22.0501102(lntD)38.834610(lntD)1.848310(lntD)]当tD10时

3435 (3-)

QD(tD)=2.3333 (3-90)

② reD4.0 当tD0.7时, QD(tD)的表达式为(3-88)式。当0.7tD9时

QD(tD)exp[0.75510.7346lntD3.25102(lntD)23.043310(lntD)5.505310(lntD)]

5334 (3-91)

③ reD6.0 当tD2时, QD(tD)的表达式为(3-88)式。当2tD800时

11

QD(tD)exp[1.0150.1859lntD0.3875(lntD)28.358510(lntD)4.831910(lntD)]当tD800时

2334 (3-92）

QD(tD)=71.667 (3-93)

④ reD8.0 当tD4时, QD(tD)的表达式为(3-88)式。当4tD2000时

QD(tD)exp[0.55070.8401lntD5.5396102(lntD)21.159110(lntD)]23 (3-94）

当tD2000时

QD(tD)=170.33 (3-95)

⑤ reD10.0 当tD6.0时, QD(tD)的表达式为(3-88)式。当6tD100时

QD(tD)exp[0.91690.5345lntD0.114(lntD)0.01192(lntD)] (3-96） 当100tD4000时

23QD(tD)exp[10.47835.9859lntD0.7286(lntD)22.936710(lntD)]23 (3-97）

当tD4000时

QD(tD)=333.0 (3-98)

⑥ reD20.0 当tD30时, QD(tD)的表达式为(3-88)式。当30tD2000时

QD(tD)exp[2.12360.1685lntD0.2305(lntD)21.56102(lntD)3]

(3-99）

当tD20000时

QD(tD)=2666.3 (3-100)

⑦ reD30.0 当tD80时, QD(tD)的表达式为(3-88)式。当80tD10000时

QD(tD)exp[0.71441.92lntD0.1008(lntD)21.3355103(lntD)31.832110(lntD)1.268510(lntD)]当tD100000时

3445

(3-101）

QD(tD)=99.6 (3-102)

12

3)有限敞开天然水域系统 ① reD2.0

当tD0.07时, QD(tD)的表达式为(3-88)式。 当0.07tD3时

23QD(tD)0.18682.7744tD1.2135tD0.3023tD (3-103）

0.6757t40.471t50.08272t6DDD② reD4.0

当tD0.7时, QD(tD)的表达式为(3-88)式。 当0.7tD20时

Qt1.5814t2D(D)0.5795D4.9088102tD3.8356103t39.4781105t4 (3-104)

DD③ reD6.0

当tD2时, QD(tD)的表达式为(3-88)式。 当2tD40时

Q)0.74231.4911t2.9739103t3D(tDD3.5375102tD1D5.0251105t44.7065107t5DD④ reD8.0

当tD4 时, QD(tD)的表达式为(3-88)式。 当4tD70时

Q)1.20851.2938t103t23D(tDD6.83D8.4128105tD1.3421106t44.0782108t52.6011010Dt6 (3-106DD⑤ reD10.0

当tD6时, QD(tD)的表达式为(3-88)式。 当6tD90时

Q3.252103t2D(tD)1.5671.2253tDD3.9047105t31.67311074 (3-107)

DtD⑥ reD20.0

当tD30时, QD(tD)的表达式为(3-88)式。 当30tD600时

QD(tD)exp[0.61910.8272lntD1.3421102(lnt2D)] (3-108)

）

13

(3-105)

当reD20时, QD(tD)与tD的关系曲线基本上与无限大天然水域的重合了，此时可用(3-88)式计算不同tD所对应的QD(tD)。

在计算出相应流动方式和外边界条件下各开发时刻的无因次水侵量后，就可根据各开发阶段的有效地层压降Δpei计算出各开发时刻累积水侵量中的例如：

tpQeoD(tD)部分。

t1时刻 peQD(tD)pe0QD(tD1) (3-109)

t1 t2时刻

tn 时刻

14

ot2peQD(tD)pe0QD(tD2)pe1QD(tD2tD1) (3-110)

otnpeQD(tD)pe0QD(tDn)pe1QD(tDntD1)open1QD(tDntDn1) (3-111)